点集拓扑学拓扑空间与连续映射

第二章 拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑学的核心内容打下基础。

本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列。

学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭集、邻域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。

二、教学重点与难点教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。

教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。

三、课时安排与教学方法教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方法2.1,2.2 4/4 理论/讲授2.3,2.4 4/4 理论/讲授2.5,习题课 4/4 理论/讲授、讨论2.6,2.7 4/4 理论/讲授习题课 4/4 练习/讲授、讨论四、教学过程在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间, 将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射. 然后将两者再度抽象, 给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射. 随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域, 闭包, 内部, 边界, 基和子基, 序列等等.2.1度量空间与连续映射首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发, 抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设是一个集合, X :X X R ρ×→.如果对于任何,,x y z X ∈,有(1) (正定性) (,)0,x y ρ≥并且(,)0x y ρ=当且仅当x y = ;(2) (对称性)(,)(,)x y y x ρρ=;(3) (三角不等式)(,)x z ρ≤(,)(,),x y y z ρρ+则称ρ是集合X 的一个度量.如果ρ是集合X 的一个度量,则称偶对(,)X ρ是一个度量空间或称,X 是一个对于度量ρ而言的度量空间.有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已有交代,不提它不至于引起混淆，这时我们称X 是一个度量空间. 此外对于任意两点 ,,,x y ∈X 实数(,)x y ρ称为从点到点的距离.例2.1.1 实数空间 R .对于实数集合定义,R :R R Rρ×→如下：对于任意,,x y R ∈令(,).x y x y ρ−=容易验证ρ是的一个度量因此偶对R ,(,)R ρ是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量,ρ称为的通常度量,并且常常略而不提，称为实数空间.R 例2.1.2维欧氏空间n .n R对于任意1212,,,,,,(),()nn n x x x x ,y y y y R ==∈……令(,)x y ρ=容易验证ρ是的一个度量,因此偶对nR (,)nRρ是一个度量空间.这个度量空间特别地成为维欧式空间.这里定义的度量n ,ρ称为的通常度量,并且称为维欧氏空间.nR nR n 例2.1.3Hilbert 空间H .记为平方收敛的所有实数序列的集合,即H2121,,,;{()}i i i x R i Z x H x x x ∞+=∈∈<∞==∑…定义:H H R ρ×→如下：对于任意1212,,,,(),()x x x y y y H ==……∈令(,)x y ρ=则偶对(,)H ρ是一个度量空间.这个空间特别地称为Hilbert 空间.例2.1.4 离散的度量空间.设(,)X ρ是一个度量空间.称(,)X ρ是离散的，或者称ρ是的一个离散度量，如果对于每一个X ,x X ∈存在一个实数0x δ>使得(,)xx y ρδ>对于任何,.y X y x ∈≠例如我们假定是一个集合,定义X:X X Rρ×→使得对于任何,,x y X ∈有(,)0,x y x y ρ==或(,)1,x y x y ρ=≠容易验证ρ是的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.X 定义2.1.2 设(,)X ρ是一个度量空间，.x X ∈对于任意给定的0,ε>集合(,){}x y y X ρε<∈记作(,),B x ε或，称为一个以()B x εx 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域，有时也称为x 的一个ε−邻域.定理2.1.1 度量空间(,)X ρ的球形邻域具有以下基本性质：(1)每一点x X ∈至少有一个球形邻域，并且点属于它的每一个球形邻域; x (2)对于点x X ∈的任意两个球形邻域，存在的一个球形邻域同时包含于两者;x (3) 如果y X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于的x那个球形邻域.定义2.1.3 设A 是度量空间的一个子集.如果X A 中的每一个点有一个球形邻域包含于A (即对于每一个存在实数,a A ∈0ε>使得(,)B a A ε⊂)，则称A 是度量空间中的一个开集.X 例2.1.5 实数空间中的开区间都是开集. R 定理2.1.2 度量空间中的开集具有以下性质：X (1) 集合本身和空集Φ都是开集; X (2) 任意两个开集的交是一个开集;(3) 任意一个开集族(即有开集构成的族)的并是一个开集。

拓扑名词解释拓扑学是现代数学中的一个分支，主要研究空间及其中形状特征的性质。

拓扑学中有很多名词，下面将分别进行解释。

一、空间1. 拓扑空间：是指一个集合和其上的一些子集所构成的空间，这些子集被赋予了特定的性质，即开集和闭集。

开集具有稠密性和可加性，闭集则满足四个公理，包括空集和全集为闭集，闭集的并集为闭集等。

2. 流形：指在局部可与欧几里德空间同胚的空间，如球面、环面等。

流形具有一些卓越的性质，如最重要的：沿途保存等式。

3. 嵌入空间：是指将一个空间嵌入高维空间的过程，如将平面嵌入三维空间。

4. 维数：是指一个空间中的自由度数量。

如平面的维数为二，三维空间的维数为三。

二、性质1. 一致连续性：是指对于一个拓扑空间中的每一个开集，存在一个对应的开集使得它包含在前述开集中。

2. 连通性：是指一个拓扑空间是不可分割的。

若将该空间分成两个非孤立点集，则它们之间存在一个开集，使得它们分别包含在该空间的两个子区域中。

3. 同胚：是指两个拓扑空间间的一一映射是连续和开连续的。

4. 分离性：是指两个点集之间存在某种性质的分离方式，如点集之间用开区域隔开。

三、映射1. 映射：是指将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的过程。

2. 连续映射：是指对于一个拓扑空间，将其中一个子集映射到另一个拓扑空间，使得其满足连续性要求。

3. 同伦映射：是指在两个拓扑空间之间，有连续的映射使得这两个空间具有相似的形状或性质。

4. 等价映射：是指两个拓扑空间之间存在一种映射，使得它们具有相同的同胚性质并且具有双向性。

以上就是拓扑学中一些比较基础的名词解释，如果想要更好地理解和深入探究拓扑学的话，还需要进行更加深入和具体的学习。

拓扑学尤承业答案【篇一：点集拓扑学】工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。

是数学与应用数学专业的主干课。

点集拓扑学（point set topology），有时也被称为一般拓扑学（general topology），是数学的拓扑学的一个分支。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。

这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。

g.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。

1906年m.-r.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版2第一章集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。

1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。

例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。

拓扑学的基本概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间中的形状、连通性和变化性质。

它主要关注的是不同空间对象之间的关系，而不考虑其具体的度量尺寸或几何特征。

拓扑学起源于18世纪，经过数学家们的不断探索和研究，逐渐形成了一套完整的理论体系。

在拓扑学中，我们关注的是空间对象之间的相互关系，而不关心它们的形状如何变化或者具体的度量尺寸。

例如，我们可以将两个球看作是相同的，因为它们都具有一个孔，而不关心它们的大小或者表面的形状。

这种抽象的思维方式使得拓扑学成为解决很多实际问题的强大工具，例如网络连通性分析、形状识别等。

拓扑学的基本概念包括拓扑空间、拓扑结构、连通性等。

拓扑空间是指一个具有拓扑结构的集合，通过给定的一组开集来定义集合中元素的关系。

拓扑结构则是用来描述集合中元素之间的邻近性和连通性的规则。

而连通性则是指一个空间对象是否是连通的，即是否可以通过一条连续的路径将其所有点连接起来。

拓扑学作为一门基础学科，在多个领域都有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，拓扑学被用来描述网络中节点之间的连通性和通信路径；在物理学中，拓扑学被用来研究物质的相变性质；在生物学中，拓扑学被用来研究DNA的结构和蛋白质的折叠等。

这些应用领域的发展与拓扑学的基本概念密不可分。

本文将从拓扑学的起源、基本概念、拓扑空间与拓扑结构以及拓扑学的应用领域等方面进行介绍。

通过对这些内容的系统阐述和分析，旨在帮助读者更好地理解拓扑学的基本概念和应用，以及其在解决实际问题中的重要性。

接下来的章节将详细介绍这些内容，以期能够为读者提供一个全面而深入的拓扑学知识框架。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以根据以下方式进行编写：文章结构部分：本篇文章将按照以下结构组织和介绍拓扑学的基本概念：1. 引言：首先，我们将概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体的概览。

接着，我们将介绍文章的结构，明确每个部分的内容和安排。

拓扑学原理拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间的性质在连续变换下的不变性质。

它是现代数学的一个重要领域，对于理解空间结构和形态具有深远的意义。

在拓扑学中，最基本的概念是拓扑空间和连续映射。

拓扑学原理涉及到许多重要的概念和定理，下面我们将对拓扑学原理进行简要介绍。

首先，拓扑学研究的对象是拓扑空间。

拓扑空间是一个集合，它的元素被称为点，还有一个被称为拓扑结构的子集族。

这个子集族满足一些基本性质，比如空集和全集都包含在这个子集族中，有限个开集的交集还是开集，任意多个开集的并集还是开集等。

这些性质构成了拓扑空间的基本性质，也是拓扑学研究的核心内容。

其次，拓扑学原理中的连续映射也是一个重要的概念。

对于两个拓扑空间，如果一个映射能够保持拓扑结构，即原空间中的开集在映射后仍然是开集，那么这个映射就是连续映射。

连续映射是拓扑学中非常重要的概念，它能够帮助我们理解空间之间的关系和变换。

另外，拓扑学中的一些重要定理也是我们需要了解的内容。

比如连通性定理、紧致性定理、同伦定理等，它们在拓扑学的研究中起着重要的作用。

这些定理的证明和推论丰富了拓扑学的理论体系，也为实际问题的研究提供了重要的数学工具。

总的来说，拓扑学原理是一门非常深奥的数学学科，它涉及到许多抽象的概念和理论，但是它对于理解空间的结构和性质有着重要的意义。

通过对拓扑学原理的学习，我们可以更好地理解空间的形态和变换规律，这对于许多领域的研究都具有重要的意义。

在实际应用中，拓扑学原理也有着广泛的应用。

比如在地理学中，拓扑学可以帮助我们理解地球表面的形态和结构；在物理学中，拓扑学可以帮助我们理解物质的性质和变换规律；在计算机科学中，拓扑学可以帮助我们理解网络结构和数据传输规律等等。

可以说，拓扑学原理在现代科学和技术中都有着重要的应用和意义。

总之，拓扑学原理是一门非常重要的数学学科，它涉及到空间的形态和结构，对于理解和研究空间具有重要的意义。

通过对拓扑学原理的学习，我们可以更好地理解空间的性质和变换规律，这对于许多领域的研究都具有重要的意义。

第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。

§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。

设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。

解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。

§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。

集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。

τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。

● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。