2016-2017学年四川省眉山中学高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

2016-2017学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y=1的倾斜角是（）A．45°B．90°C．0°D．180°2．点P在直线x+y﹣4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是（）A．2 B．C．2D．3．若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0 4．若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．5．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣36．圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为（）A．1 B． C．D．7．直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A．B． C． D．8．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离9．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．311．已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13．已知方程x2+y2+2x﹣4y+a=0表示一个圆，则实数a的取值范围是．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为．16．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．直线l过点P（﹣2，1）．（1）若直线l与直线x+2y=1平行，求直线l的方程；（2）若直线l与直线x+2y=1垂直，求直线l的方程．18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l过定点A（1，0）．（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|=2，求此时直线l的方程．19．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，20．已知⊙C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，直线L：y=kx+1与⊙C相交于P，Q点．（1）求⊙C的方程．（2）过点（0，1）作直线L1⊥L，且L1交⊙C于M，N，求四边形PMQN的面积最大值．21．已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．（1）求直线l所经过的定点P的坐标；（2）若直线l与线段AB有公共点，求λ的取值范围；（3）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线l 的方程．22．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y=1的倾斜角是（）A．45°B．90°C．0°D．180°【考点】直线的倾斜角．【分析】因为对于平行于x轴的直线，规定其倾斜角为0．【解答】解：直线y=1，图象是平行于x轴的直线，∴倾斜角为0°．故选：C．2．点P在直线x+y﹣4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是（）A．2 B．C．2D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直接由点到直线的距离公式求|OP|的最小值．【解答】解：由点到直线的距离公式得：|OP|的最小值=．故选：C．3．若直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，则系数A，B，C满足的条件为（）A．A，B，C同号B．AC＞0，BC＜0 C．AC＜0，BC＞0 D．AB＞0，AC＜0 【考点】直线的一般式方程．【分析】利用直线斜率、截距的意义即可得出．【解答】解：∵直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）经过第一、二、三象限，∴斜率，在y轴上的截距＞0，∴AC＞0，BC＜0．故选：B．4．若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C． D．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．【解答】解：圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），故，故选D5．若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3【考点】两条直线平行的判定．【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故选C．6．圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为（）A．1 B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径即为所求．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0即（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，表示圆心坐标为（2，2），半径等于1的圆．圆心到直线的距离为=2（大于半径），∴圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为2﹣1．故选B．7．直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A．B． C． D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．【解答】解：圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，圆心C（2，2），半径为2．直线y﹣1=k（x﹣3），∴此直线恒过定点（3，1），当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（3，1）的连线垂直于弦，弦心距为：=．∴所截得的最短弦长：2=2．故选：C．8．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，∴a2+b2＜r2，∵k OP=，直线OP⊥直线m，∴k m=﹣，∵直线l的斜率k l=﹣=k m，∴m∥l，∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，∴l与圆相离．故选C．9．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．10．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．3【考点】圆与圆的位置关系及其判定；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到=1，=+=++，使用基本不等式求得的最小值．【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣2b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有=3，∴a2+4b2=9，∴=1，∴=+=++≥+2=1，当且仅当=时，等号成立，故选C．11．已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（）A．B．C．[2，5]D．（2，5）【考点】简单线性规划；二次函数的性质．【分析】由条件可得，，化简得到关于m，n的不等式组，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，再由（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，由图象观察，即可得到取值范围．【解答】解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则即有，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域，而（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为=，点（﹣1，2）到点（﹣2，0）的距离为，故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2，5）．故选D．12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13．已知方程x2+y2+2x﹣4y+a=0表示一个圆，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】根据圆的一般方程的性质得到a的不等式．解不等式即可解得实数a的取值范围．【解答】解：∵方程x2+y2+2x﹣4y+a=0表示的曲线是一个圆，∴22+（﹣4）2﹣4a＞0．解得a＜5．∴实数a的取值范围是（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．15．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为a＞1．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件1≤x+y≤4，﹣2≤x﹣y≤2的可行域，再由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，我们不难分析直线斜率的取值范围．【解答】解：已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，﹣2≤x﹣y≤2．在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A（3，1），k AD=1，k AB=﹣1，目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为﹣a的直线系中的截距的大小，若仅在点（3，1）处取得最大值，则斜率应小于k AB=﹣1，即﹣a＜﹣1，所以a的取值范围为（1，+∞）．16．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围为﹣2＜a＜2且a≠0．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意知：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，2为半径的圆x2+y2=4相交，因此两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，列出不等式，解此不等式即可．【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=4相交，两圆圆心距d=|a|，∴0＜|a|＜4，∴﹣2＜a＜2且a≠0．故答案为：﹣2＜a＜2且a≠0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．直线l过点P（﹣2，1）．（1）若直线l与直线x+2y=1平行，求直线l的方程；（2）若直线l与直线x+2y=1垂直，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）若直线l与与直线x+2y=1平行，所以可将直线设为x+2y=c，再将点P（﹣2，1）代入求出c值，可得答案；（2）若直线l与直线x+2y=1垂直，所以可将直线设为2x﹣y=m，再将点P（﹣2，1）代入求出m值，可得答案．【解答】解：（1）因为与直线x+2y=1平行，所以可将直线设为x+2y=c，再将点P（﹣2，1）代入解得c=0，即所求直线方程是x+2y=0；（2）因为与直线x+2y=1垂直，所以可将直线设为2x﹣y=m，再将点P（﹣2，1）代入，解得m=﹣5，即得直线方程2x﹣y=﹣5．18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l过定点A（1，0）．（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|=2，求此时直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别根据直线和圆相切的性质求得直线的方程，综合可得结论．（2）用点斜式设出直线的方程，利用条件以及点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率的值，可得直线的方程．【解答】解：（1）若直线l的斜率不存在，则直线l：x=1，符合题意．若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，即：=2，解之得k=，此时直线的方程为3x﹣4y﹣3=0．综上可得，所求直线l的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，因为|PQ|=2=2=2，求得弦心距d=，即=2，求得k=1或k=7，所求直线l方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0．19．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，【考点】简单线性规划的应用．【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论．【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80x+60y．则，作出可行域，如图．作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，，解得，即M（9，4）．所以z max=80×9+60×4=960（万元）．答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．20．已知⊙C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，直线L：y=kx+1与⊙C相交于P，Q点．（1）求⊙C的方程．（2）过点（0，1）作直线L1⊥L，且L1交⊙C于M，N，求四边形PMQN的面积最大值．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C 的方程；（2）设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得d12+d2=1，根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2，|MN|=2，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，所以==r解得a=0，r=2，所以圆C的方程是x2+y2=4；（2）设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有d12+d2=1又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2，|MN|=2∴S=×2×2=2≤2=7当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．21．已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．（1）求直线l所经过的定点P的坐标；（2）若直线l与线段AB有公共点，求λ的取值范围；（3）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线l 的方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由题意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），由此可得方程组，从而可求定点的坐标；（2）求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围；（3）先求出过A，B且斜率为的两条平行直线，再分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．【解答】解：（1）由题意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），则λ（x+y﹣4）+（3x﹣y）=0，∵λ∈R，∴，解的，∴直线l所经过的定点P的坐标（1，3）；（2）∵点A（2，0），点B（﹣2，0），定点P的坐标（1，3）；∴k PA==﹣3，k PB==1，∵直线l与线段AB有公共点，当λ=1时，直线x=1，与线段AB有公共点，当λ≠1时，直线l的斜率k=，∴≥1或≤﹣3，解的﹣1≤λ＜1，或1＜λ≤3，综上所述：λ的取值范围为[﹣1，3]．（3）分别过A，B且斜率为的两条平行直线，分别为y=x+2，y=x﹣2，由（1）知，l恒过点（1，3），当斜率存在时，设直线l为y﹣3=k（x﹣1），由图象易知，直线l的倾斜角为30°，即k=，∴过点p的直线l为y﹣3=（x﹣1），即x﹣3y+9﹣=0．当直线l的斜率不存在时，由（1）可知直线过定点（1，3），则直线方程为x=1，令x=1，可知y1=3，y2=﹣，|y1﹣y2|=4，符合题意，综上所述：直线l的方程为x=1或x﹣3y+9﹣=0．22．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣， }时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣， }．2016年12月10日。

2016-2017学年四川省眉山中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．直线x +2y ﹣1=0在y 轴上的截距为（ ）A ．﹣1B ．C ．D ．12．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆3．双曲线的实轴长是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．44．椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是（ ）A ．2B ．2（﹣）C ．2D ．2（+）5．若直线x +（1+m ）y ﹣2=0和直线mx +2y +4=0平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．1或﹣2D ．6．已知焦点在x 轴上的双曲线渐近线方程为，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．圆C 1：x 2+y 2﹣2x=0与圆C 2：x 2+（y ﹣）2=4的公切线的条数（ ）A ．3B ．2C ．1D ．08．若变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y ﹣4的最大值为（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．59．设F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆+=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为（ ）A．﹣1 B． +1 C．﹣1 D． +110．椭圆的内接三角形ABC（顶点A、B、C都在椭圆上）的边AB，AC分别过椭圆的焦点F1和F2，则△ABC的周长（）A．总大于6a B．总等于6aC．总小于6a D．与6a的大小不确定11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．12．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．若双曲线﹣=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离是．14．过点M（1，1）作一直线与椭圆+=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为．15．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为．16．对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为．三、解答题（共70分）17．求经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长．18．已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程及其渐近线方程．19．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦被点P0平分时，写出直线AB的方程．20．已知圆C过点P（，），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆C的方程；（2）直线l过点D（，），且截圆C的弦长为，求直线l的方程；（3）设Q为圆心C上的一个动点，求•的最小值．21．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x ﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省眉山中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】直线的截距式方程．【分析】令x=0，可得直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距．【解答】解：令x=0，可得y=，∴直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为，故选B．2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【考点】轨迹方程．【分析】首先确定点M在直线上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上．【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∵|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，∴点M在线段F1F2上．故选C．3．双曲线的实轴长是（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据标准方程，可得a=2，即可求得双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线中a2=4，∴a=2∴2a=4，即双曲线的实轴长是4故选C．4．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（）A．2 B．2（﹣）C．2 D．2（+）【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，∴c==1，∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选：A．5．若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．【考点】两条直线平行的判定．【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1，故选：A．6．已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程为，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得2a=3b，再由a，b，c的关系以及离心率公式计算即可得到．【解答】解：焦点在x轴上的双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得，=，即b=a，c===a，即有e==．故选：D．7．圆C1：x2+y2﹣2x=0与圆C2：x2+（y﹣）2=4的公切线的条数（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出两个圆的圆心和半径，根据圆心距离和半径之间的关系，判断两个圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x=0的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心为C1：（1，0），半径r=1，圆C2：x2+（y﹣）2=4，圆心为C2：（0，），半径R=2，则|C1C2|=2，∵R+1=3，R﹣1=1，∴1＜|C1C2|＜3，∴两个圆的位置关系是相交，则两个圆的公共切线为2条，故选B．8．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y﹣4的最大值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．5【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组表示的平面区域为一三角形区域，可得当直线z=2x+y﹣4过A（2，1）时，z取得最大值．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域为一三角形区域，由得x=2，y=1，∴当直线z=2x+y﹣4过A（2，1）时，z max=2×2+1﹣4=1故选C．9．设F1（﹣c，0）、F2（c，0）是椭圆+=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若2∠PF1F2=∠PF2F1，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B． +1 C．﹣1 D． +1【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据题意和圆的性质可判断出△PF1F2为直角三角形，根据2∠PF1F2=∠PF2F1，推断出∠PF1F2=30°，进而可求得PF1和PF2，进而利用椭圆的定义求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．【解答】解：由题意△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∠PF1F2=30°，F1F2=2c，∴PF2=c，PF1=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，∴离心率为e==﹣1．故选：A．10．椭圆的内接三角形ABC（顶点A、B、C都在椭圆上）的边AB，AC分别过椭圆的焦点F1和F2，则△ABC的周长（）A．总大于6a B．总等于6aC．总小于6a D．与6a的大小不确定【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，CF1+CF2=2a，三式相加可得AF1+AF2+BF1+BF2+CF1+CF2=6a，结合△ABC周长，即可得出结论．【解答】解：连接BF2，CF1，则AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，CF1+CF2=2a，三式相加可得AF1+AF2+BF1+BF2+CF1+CF2=6a∴AB+AC+BF2+CF1=6a，∵BF2+CF1＞BC，∴AB+AC+BC＜6a故选C．11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）12．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，a2=b2+c2，可得：椭圆的标准方程为：x2+4y2=4b2．可设椭圆上的任意一点Q （x ，y ），则x 2=4b 2﹣4y 2，（﹣b ≤y ≤b ）．|PQ |==．对b 与的大小关系分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由，a 2=b 2+c 2，可得：c 2=3b 2，a 2=4b 2．∴椭圆的标准方程为：x 2+4y 2=4b 2．可设椭圆上的任意一点Q （x ，y ），则x 2=4b 2﹣4y 2，（﹣b ≤y ≤b ）．∴|PQ |==．①若﹣b ＞﹣即0＜b ，则当y=﹣b 时|PQ |2最大，即=，解得b=．②若﹣b ≤﹣≤b ，即时，y=﹣时，4b 2+3=，解得b=，与矛盾，舍去． 综上可得：b=． 故选：C ．二、填空题（每题5分，共20分） 13．若双曲线﹣=1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一焦点F 2的距离是 16 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义与性质，求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1，可得a=5，b=4，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一焦点F 2的距离为m ，|m ﹣6|=10． 解得m=16． 故答案为：16．14．过点M（1，1）作一直线与椭圆+=1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为4x+9y﹣13=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．【分析】设出通过点M（1，1）的直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：由题意，直线AB的斜率存在，设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0设A、B的横坐标分别为x1、x2，则=1，解之得k=﹣故AB所在直线的方程为，即为4x+9y﹣13=0．故答案为：4x+9y﹣13=0．15．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程算出a=3、b=，可得焦距|F1F2|=2，由椭圆的定义得|AF2|=6﹣|AF1|．由此在△AF1F2中利用余弦定理解出|AF1|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF1F2的面积．【解答】解：由题意，可得∵椭圆的方程为，∴a=3，b=，可得c==，故焦距|F1F2|=2，∵根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a=6，∴△AF1F2中，利用余弦定理得|AF1|2+|F1F2|2﹣2|AF1|•|F1F2|cos45°=|AF2|2=|AF1|2﹣4|AF1|+8，即（6﹣|AF1|）2=|AF1|2﹣4|AF1|+8，解之得|AF1|=故△AF1F2的面积为S=|AF1|•|F1F2|sin45°=×××=．16．对于曲线C：=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜其中所有正确命题的序号为③④．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错，据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围，判断出③对；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．【解答】解：若C为椭圆应该满足即1＜k＜4 且k≠故①②错若C为双曲线应该满足（4﹣k）（k﹣1）＜0即k＞4或k＜1 故③对若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4﹣k＞k﹣1＞0则1＜k＜，故④对故答案为：③④．三、解答题（共70分）17．求经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．可得a=3，b=2．即可得出．【解答】解：由椭圆可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．则a=3，b=2．∴椭圆的标准方程为：=1，椭圆的长轴长2a=6，短轴长=2b=4．18．已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程及其渐近线方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣4，0）和（4，0），则可设双曲线方程为（a＞0，b＞0），∵c=4，又双曲线的离心率等于2，即，∴a=2．∴b2=c2﹣a2=12；故所求双曲线方程为．渐近线方程为：．19．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦被点P0平分时，写出直线AB的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP0垂直，故AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程．【解答】解：（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1），圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=，则|AB|==，∴AB的长为；（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP0垂直，故AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程为x﹣2y+5=0．20．已知圆C过点P（，），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆C的方程；（2）直线l过点D（，），且截圆C的弦长为，求直线l的方程；（3）设Q为圆心C上的一个动点，求•的最小值．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）设C（x，y），由圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称，点M（﹣2，﹣2）与点C（x，y）关于直线x+y+2=0对称，列出方程组能求出C（0，0），由此能求出圆C的方程．（2）由垂直径定理得圆心C（0，0）到直线l的距离d=，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=；当直线l的斜率存在时，设其方程为kx﹣y+=0，由点到直线的距离公式能求出所求直线l的方程．（3）设Q（x，y），则x2+y2=1，=（x，y），=（x+2，y+2），由此能求出•的最小值．【解答】解：（1）设C（x，y），圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称，则点M（﹣2，﹣2）与点C（x，y）关于直线x+y+2=0对称，∴，解得，∴C（0，0），∴r=|CP|=1，∴圆C的方程为x2+y2=1．（2）若l截圆C所得弦长为，由垂直径定理得圆心C（0，0）到直线l的距离d==，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，此时l截圆C所得弦长为，当直线l的斜率存在时，设其方程为y==k（x﹣），即kx﹣y+=0，则d==，解得k=0，此时l的方程为y=．∴所求直线l的方程为或x=．（3）设Q（x，y），则x2+y2=1，=（x，y），=（x+2，y+2），=x（x+2）+y（y+2）=x2+y2+2x+2y=（x+1）2+（y+1）2﹣2，记D（﹣1，﹣1），=|DQ|2﹣2≥（|DC|﹣1）2﹣2=1﹣2，∴•的最小值为1﹣2．21．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与=即可得到关于t 系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x ﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d，利用2=2，解得a 2，又=，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出．（II ）假设在x 轴上存在定点M （m ，0），使得•为定值．设A （x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m 2﹣4m +1=2（m 2﹣2），解得m 即可得出．【解答】解：（I ）圆x 2+y 2=a 2的圆心（0，0）到直线x ﹣y ﹣=0的距离d==1，∴2=2，解得a 2=2，又=，a 2=b 2+c 2，联立解得：a 2=2，c=1=b ． ∴椭圆C 的标准方程为：+y 2=1．（II ）假设在x 轴上存在定点M （m ，0），使得•为定值．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化为：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2=0，则x 1+x 2=，x 1•x 2=．•=（x 1﹣m ，y 1）•（x 2﹣m ，y 2）=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）=（1+k 2）x 1•x 2﹣（m +k 2）（x 1+x 2）+m 2+k 2=（1+k 2）•﹣（m +k 2）+m 2+k 2=，令2m 2﹣4m +1=2（m 2﹣2），解得m=．因此在x 轴上存在定点M （，0），使得•为定值．2017年1月20日。

2016-2017学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0） C．（）D．（）2．命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．43．设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．85．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞16．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF 1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3 D．28．已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17 B．（x﹣2）2+y2=13 C．（x﹣1）2+y2=20 D．（x+1）2+y2=40 9．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（）A．或B．C．D．或10．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆11．x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或112．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．抛物线y=4x2的准线方程为．14．利用秦九韶算法公式，（k=1，2，3，…，n）．计算多项式f（x）=3x4﹣x2+2x+1，当x=2时的函数值；则v3=．15．过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．16．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．18．（12分）设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d的最小值；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．20．（12分）如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．（12分）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．2016-2017学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0） C．（）D．（）【分析】根据双曲线渐近线过点（，1），建立方程求出a的值，结合a，b，c 的关系求出c的值即可得到结论．【解答】解：不妨设a＞0，则双曲线的渐近线方程为y=±x，∵渐近线过点（，1），∴点（，1）在y=x，上，代入得1=×=，得a=2，则c2=a2+2=4+2=6，即c=，则双曲线的焦点坐标为（±，0），故选：C．【点评】本题主要考查双曲线焦点坐标的求解，根据双曲线的渐近线求出a的值是解决本题的关键．2．命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．【解答】解：根据不等式的基本性质，可得原命题：“若a＜b，则a+c＜b+c”为真命题，故其逆否命题也为真命题；其逆命题：“若a+c＜b+c，则a＜b”为真命题，故其否命题也为真命题；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，四种命题，难度基础．3．（2015•郴州模拟）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．（2016•益阳模拟）抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2，抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，可得圆心在准线上，即可得出p．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2由抛物线y2=2px（p＞0）得准线l方程为x=﹣．∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，∴圆心在准线上，∴=1∴p=2．故选：B．【点评】熟练掌握圆的标准方程、抛物线的性质、配方法、勾股定理等是解题的关键．5．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1【分析】根据全称命题和特称命题否定的方法，写出各个命题的否定，可得结论．【解答】解：“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”，故A正确；“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2≥0”，故B错误；“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”，故C正确；“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1，故D正确；故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题的否定，难度中档．6．（2016•重庆校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的m，i 的值是解题的关键，属于基础题．7．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF 1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3 D．2【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF 1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF 1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形问题中的应用，是中档题．8．已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17 B．（x﹣2）2+y2=13 C．（x﹣1）2+y2=20 D．（x+1）2+y2=40【分析】设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．【解答】解：∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（5，2），B（﹣1，4），由|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a﹣5）2+4=（a+1）2+16，求得a=1，可得圆心为M（1，0），半径为|MA|=，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=20，故选C．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．9．（2013•休宁县校级模拟）已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（）A．或B．C．D．或【分析】先根据等比中项的定义，求出m的值，再分类讨论，当m=4时，圆锥曲线为椭圆，当m=﹣4时，圆锥曲线为双曲线，最后根据离心率的定义求出即可【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，∴m2=2×8=16，即m=4或m=﹣4，当m=4时，圆锥曲线x+=1为椭圆，∴a=2，b=1，c=，∴e==，当m=﹣4时，圆锥曲线x﹣=1为双曲线，∴a=1，b=2，c=，∴e==，故选：D【点评】本题主要考查了等比中项和圆锥曲线的离心率的问题，属于基础题10．（2014•丽水校级模拟）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD 与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【分析】根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．11．x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．12．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA•cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2015•固原校级模拟）抛物线y=4x2的准线方程为．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．14．利用秦九韶算法公式，（k=1，2，3，…，n）．计算多项式f（x）=3x4﹣x2+2x+1，当x=2时的函数值；则v3=24．【分析】利用“秦九韶算法”可知：f（x）=3x4﹣x2+2x+1=（（（3x﹣1）x+0）x+2）x+1，即可得出．【解答】解：由“秦九韶算法”可知：f（x）=3x4﹣x2+2x+1=（（（3x﹣1）x+0）x+2）x+1，在求当x=2时的值的过程中，v0=3，v1=3×2﹣1=5，v2=5×2=10，v3=12×2=24，故答案为：24．【点评】本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题．15．过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是[0，] ．【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=，此时直线l与圆相离，没有公共点，不满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y﹣k+1=0，∵直线l和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，则≤1，解得0≤k≤，∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故答案为[0，]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等，考查转化思想，分类讨论思想，以及化简能力．16．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）=（）2故答案为：【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．【分析】（1）当α=时，求出直线AB的方程，圆心到直线AB的距离，即可求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，求出直线AB的斜率，即可写出直线AB 的方程．【解答】解：（1）当时，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1）⇒x+y﹣1=0，设圆心到直线AB的距离为d，则，∴…，（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，∵，∴，故直线AB的方程为：即x﹣2y+5=0…（10分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．（12分）设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用若¬p为真，且p或q为真，即可求a的取值范围．【解答】解：若：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0成立，则△≥0，即△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，得a≤﹣2或a≥1，即p：a≤﹣2或a≥1，若x∈R，恒成立，当a=0时，2＞0恒成立，满足条件．当a≠0，要使不等式恒成立，则，解得0＜a＜4，综上0≤a＜4．即q：0≤a＜4．若¬p为真，则p为假，又p或q为真，∴q为真，，∴a的取值范围为[0，1）．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用p，q成立的等价条件是解决本题的关键．19．（12分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d的最小值；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．【分析】（1）由两平行线间的距离计算可得；（2）可得直线l的方程为y=3，分别可得与两直线的交点，可得d值．【解答】解：（1）当直线l与两平行线垂直时d最小，此时d即为两平行线间的距离，∴d==3（2）当直线l与x轴平行时，直线l的方程为y=3，把y=3代入l1：3x+4y﹣7=0可得x=，把y=3代入l2：3x+4y+8=0可得x=，∴d=|﹣（）|=5．【点评】本题考查直线的一般式方程与平行关系，涉及距离公式，属基础题．20．（12分）如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．【分析】（1）由题意可知：|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆，即2a=2，a=，2c=2，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|MN|的长度．【解答】解：（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系…．（1分）∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆…．（4分）设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=，c=1，b=1，∴曲线E的方程为：+y2=1．…（6分）（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1）且M（x1，y1），N（x2，y2）…．（7分）由方程组，得方程7x2﹣12x+4=0x1+x2=，x1•x2=…（9分）==，故…..（12分）【点评】本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2006•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【分析】（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B （x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．【点评】本题考查了真假命题的证明，但要知道向量点乘运算的知识．22．（12分）（2014•漳州四模）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．【分析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x 轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l 的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t 的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r 乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，由，得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，∴|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，综上，|AB|的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…（13分）【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：直线与圆的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．第21页（共21页）。

四川省眉山市高二上学期）期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一下·淄川开学考) 已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是________．2. （1分） (2016高一下·徐州期末) 已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a 的取值是________．3. （1分）已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：x﹣2y﹣1=0，l2：ax+by﹣1=0，则直线l1⊥l2的概率为________4. （1分） (2015高三上·临川期末) 已知函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y=x+4，则f（2）+f′（2）=________ ．5. （1分） (2015高二下·张掖期中) 若函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则常数c的值为________．6. （1分） (2018高二下·定远期末) 已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．7. （1分） (2018高二上·寿光月考) 下列命题正确的是________（写出正确的序号）．①已知，，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则实数的值是；③抛物线（）的焦点坐标是 .8. （1分） (2016高三上·虎林期中) 已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为________．9. （1分）已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________ .10. （1分） (2017高二上·海淀期中) 圆与圆相交于，两点，则弦 ________．11. （1分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是________ 米．12. （1分） (2016高一上·杭州期中) 已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a ﹣1），则a的取值范围是________13. （1分） (2018高二下·如东月考) 已知函数图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为________．14. （1分） (2015高二上·永昌期末) 已知椭圆与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________．二、解答题 (共6题；共35分)15. （5分） (2017高二上·集宁期末) 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的直线交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△F2AB的面积为时，求直线的方程．16. （10分） (2017高一下·资阳期末) 已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且，求k的值；（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．17. （5分）(2017·淮北模拟) 已知椭圆C1： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，且过点，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．18. （5分）(2018·天津模拟) 已知函数，函数．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对一切的，都有恒成立；（Ⅲ）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：．19. （5分）(2016·山东模拟) 抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0 ， y0）（x0≠0）作斜率为k1 ， k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1 ， y1）B（x2 ， y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足=λ ，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．20. （5分）设f（x）=（ax+b）e﹣2x ，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+xlnx，证明：当0＜x＜1时，2e﹣2﹣e﹣1＜g（x）＜1．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共35分)15-1、16-1、16-2、17-1、19-1、20-1、。

眉山中学高2017届高二上期半期数学（文）测试题数学试题卷共2页．满分150分．考试时间120分钟．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ).A []︒︒90,0 .B [)︒︒180,90 .C ()︒︒180,90 .D [)︒︒180,02.若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则 ( ).A c a // .B c a ,是异面直线 .C c a ,相交 .D c a ,的位置关系不确定3.已知过点()m A ,2-和()4,m B 的直线与直线12+=x y 平行，则=m ( ).A 0 .B 8- .C 2 .D 104.如图，在空间四边形ABCD 中，2,22==BC AD ，F E ,分别是CDAB ,的中点，若3=EF ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( ).A ︒30 .B ︒60 .C ︒90 .D ︒1205.如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么=a ( ) .A 3- .B 6- .C 23- .D 32 6.直线031=-+-k y kx ，当k 变动时，所有直线都过定点 ( ).A ()0,0 .B ()1,0 .C ()1,3 .D ()1,27.已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ).A 若αα//,//n m ，则n m // .B 若αα⊂⊥n m ,，则n m ⊥ 如图，边长为2的正方形ABCD 中，点,E F 分别在线段AB 与BC 上，且满足：12BE BF BC ==，将AED ∆,DCF ∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点P , 并连结PB .（1）求证：面PDF ⊥面PEF ；（2） 求四棱锥P BFDE -的体积.。

2017-2018学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）给出下列三个命题：①若平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n；②若直线m∥直线n，直线m∥平面α，n∥平面β，则α∥β；③平面α∥平面β，直线m⊂α，则m∥β；．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）若圆x2+y2+2x﹣2y=m的面积为4π，则m的值为（）A．B．2 C．4 D．63．（5分）命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．44．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．（5分）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外6．（5分）“直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知点M（a，b）（ab≠0），是圆x2+y2=1内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=1，则（）A．l∥m且l与圆相交B．l⊥m且l与圆相切C．l∥m且l与圆相离D．l⊥m且l与圆相离8．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或19．（5分）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；命题p2：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0，则下列命题是真命题的是（）A．（￢p1）∧p2 B．p1∨p2C．p1∧（￢p2）．D．（￢p1）∨（￢p2）10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1] B．[2﹣，2+] C．[，]D．[0，+∞）11．（5分）若直线y=k（x+2）与曲线有交点，则（）A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值D．k有最大值，最小值012．（5分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．当|OP|=|OM|时，则直线l的斜率（）A．k=3 B．k=﹣3 C．k= D．k=﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于．14．（5分）已知点P（1，1）在圆x2+y2+2x﹣4y+a=0的外部，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为．16．（5分）如图，在△ABC中，，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知P（3，2），一直线l过点P，①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l 的方程．18．（12分）已知点M（3，1），直线l：ax﹣y+4=0及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若l与圆C相交于A，B两点，且，求a的值．19．（12分）某工厂投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需要场地200m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需要场地100m2，可获利润200万元．现该工厂可使用资金2800万元，场地1800m2．（1）设生产A产品x百万吨，生产B产品y百万吨，写出x，y满足的约束条件，并在答题卡上的直角坐标系中画出其平面区域；（2）怎样投资利润最大，并求其最大利润．20．（12分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=，AD=2，PB=，E为PB中点，且AE⊥BC．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若M，N分别为棱PC，PD中点，求四棱锥B﹣MCDN的体积．22．（12分）已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方．（1）求圆M的标准方程；（2）直线mx+y﹣m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=|PM|（O 为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．2017-2018学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）给出下列三个命题：①若平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n；②若直线m∥直线n，直线m∥平面α，n∥平面β，则α∥β；③平面α∥平面β，直线m⊂α，则m∥β；．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，若平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则m，n平行或异面，故①错误；对于②，若α∩β=c，且m∥n∥c，直线m∥平面α，n∥平面β，显然符合条件，但结论不成立，故②错误；对于③，若平面α∥平面β，直线m⊂α，则m与β无公共点，故而m∥β，故③正确．故选：B．2．（5分）若圆x2+y2+2x﹣2y=m的面积为4π，则m的值为（）A．B．2 C．4 D．6【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y=m，即（x+1）2+（y﹣1）2 =m+2，故圆的半径为，则圆的面积为π（m+2）=4π，则m=2，故选：B．3．（5分）命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据不等式的基本性质，可得原命题：“若a＜b，则a+c＜b+c”为真命题，故其逆否命题也为真命题；其逆命题：“若a+c＜b+c，则a＜b”为真命题，故其否命题也为真命题；故选：D．4．（5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选：A．5．（5分）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．6．（5分）“直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a=1时，两条直线相互垂直．a=﹣时，两条直线不垂直，舍去．a，1时，由两条直线相互垂直可得：﹣×=﹣1，解得a=﹣3．∴a=1或﹣3时，两条直线相互垂直．∴“直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直”是“a=﹣3”的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）已知点M（a，b）（ab≠0），是圆x2+y2=1内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=1，则（）A．l∥m且l与圆相交B．l⊥m且l与圆相切C．l∥m且l与圆相离D．l⊥m且l与圆相离【解答】解：由题意可得a2+b2＜1，且CM⊥直线l，故直线l的斜率为=﹣直线m的方程是ax+by=1，那么直线m的斜率为﹣，圆心C到直线m的距离d=＞1，故l∥m且m与圆c相离，故选：C．8．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．9．（5分）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；命题p2：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0，则下列命题是真命题的是（）A．（￢p1）∧p2 B．p1∨p2C．p1∧（￢p2）．D．（￢p1）∨（￢p2）【解答】解：x2+x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，故命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题；x∈（﹣1，1）时，x2﹣1＜0，故命题p2：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0为假命题；故（￢p1）∧p2，p1∨p2，p1∧（￢p2）均为假命题．（￢p1）∨（￢p2）为真命题，故选：D．10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1] B．[2﹣，2+] C．[，]D．[0，+∞）【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2可得，圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤3﹣2=；即≤，则a2+b2+4ab≤0，若a=0，则b=0，故不成立，故a≠0，则上式可化为1+（）2+4≤0，由直线l的斜率k=﹣，则上式可化为1+k2﹣4k≤0，则∈[2﹣，2+]，故选：B．11．（5分）若直线y=k（x+2）与曲线有交点，则（）A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值D．k有最大值，最小值0【解答】解：如图所示，曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x 轴上方部分）当直线y=k（x+2）与曲线相切时，d==1（k＞0），∴k=∴k有最小值0，最大值：故选：D．12．（5分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．当|OP|=|OM|时，则直线l的斜率（）A．k=3 B．k=﹣3 C．k= D．k=﹣【解答】解：圆C的方程可化为x2+（y﹣4）2=16，所以圆心为C（0，4），半径为4．设M（x，y），则=（x，y﹣4），=（2﹣x，2﹣y）．由题设知•=0，故x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．当|OP|=|OM|时，x2+y2=8，∵P（2，2）满足M的轨迹方程，即P在以（1，3）为圆心，为半径的圆上，∴|CP|=|CM|，∴直线l的斜率k PM=﹣=﹣．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于2或﹣8．【解答】解：∵空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，∴=，解得x=2或x=﹣8．故答案为：2或﹣8．14．（5分）已知点P（1，1）在圆x2+y2+2x﹣4y+a=0的外部，则实数a的取值范围是（0，5）．【解答】解：点P（1，1）在圆x2+y2+2x﹣4y+a=0的外部，所以，解得0＜a＜5，所以a的取值范围是（0，5）．故答案为：（0，5）．15．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为﹣．【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即（x+y﹣4）+m（2x+y ﹣7）=0，过定点M（3，1），由于点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，故它们的斜率之积等于﹣1，即=﹣1，解得m=﹣，故答案为：﹣．16．（5分）如图，在△ABC中，，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是7π．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，OB=OD，得OB=，∴三棱锥P﹣BDC的外接球半径R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故答案为：7π．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知P（3，2），一直线l过点P，①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l 的方程．【解答】解：①显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k （x﹣3）+2，令x=0得y=﹣3k+2，令y=0得x=+3．∴﹣3k+2++3=12，解得k=﹣或k=﹣2．∴直线l的方程为y=﹣（x﹣3）+2或y=﹣2（x﹣3）+2．②∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，∴（﹣3k+2）（+3）=12，解得k=﹣．∴直线l的方程为y=﹣（x﹣3）+2．18．（12分）已知点M（3，1），直线l：ax﹣y+4=0及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若l与圆C相交于A，B两点，且，求a的值．【解答】解：（1）圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4∴圆心（1，2），半径为2斜率不存在时，经过M点的直线方程为x=3，满足题意；设经过M点的圆C的切线方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1=0∴d==2∴k=，∴切线方程为3x﹣4y﹣8=0综上，经过M点的圆C的切线方程为x=3和3x﹣4y﹣8=0；（2）圆心（1，2）到直线ax﹣y+4=0的距离为，∵直线l与圆C相交与A，B两点，且弦AB的长为2，∴（）2+（）2=4，解得a=﹣．∴a=﹣．19．（12分）某工厂投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需要场地200m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需要场地100m2，可获利润200万元．现该工厂可使用资金2800万元，场地1800m2．（1）设生产A产品x百万吨，生产B产品y百万吨，写出x，y满足的约束条件，并在答题卡上的直角坐标系中画出其平面区域；（2）怎样投资利润最大，并求其最大利润．【解答】解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元（1′）则约束条件为：，（5′）目标函数为S=3x+2y，（7′）作出可行域，（11′）使目标函数为S=3x+2y取最大值的（x，y）是直线2x+3y=28与2x+y=18的交点（6.5，5），此时S=3×6.5+2×5=29.5（13′）（15′）答：应作生产A产品6.5百吨，生产B产品5百吨的组合投资，可使获利最大．20．（12分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=，AD=2，PB=，E为PB中点，且AE⊥BC．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若M，N分别为棱PC，PD中点，求四棱锥B﹣MCDN的体积．【解答】证明：（1）由题意有PA2+AB2=3+3=6=PB2，所以PA⊥AB①，因为AB=AP，E为PB中点，所以AE⊥PB，又AE⊥PC，PB∩PC=C，所以，AE⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又AB⊥BC，及AE∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA②，由①②及AB∩BC=B得PA⊥平面ABCD，故PA⊥平面ABCD．解：（2）因为BA∥CD，CD⊂平面PCD，所以BA∥平面PCD，=V A﹣MCDN，所以四棱锥B﹣MCDN的体积V B﹣MCDN又M，N分别为棱PC，PD的中点，所以，所以．22．（12分）已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方．（1）求圆M的标准方程；（2）直线mx+y﹣m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=|PM|（O 为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．【解答】解：（1）由已知可设圆心M（a，﹣a），圆心到直线l的距离为d，则d==，…（1分）于是，整理得|14a﹣9|=5，解得a=1，或a=．…（3分）∵圆心M在直线l的右下方，∴圆心M是（1，﹣1），∴圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=1．…（4分）（2）直线mx+y﹣m+1=0可变形为m（x﹣1）+y+1=0，即过定点（1，﹣1），∴动直线mx+y﹣m+1=0恰好过圆M的圆心，∴|AB|=2．…（5分）设P（x，y），则由|PO|=|PM|，可得x2+y2=2[（x﹣1）2+（y+1）2]，整理得（x﹣2）2+（y+2）2=4，即P点在以（2，﹣2）为圆心，2为半径的圆上，…（7分）设此圆圆心为N，则N（2，﹣2）．∴要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，d max=|PM|=+2=+2，∴△PAB面积的最大值为=．…（8分）∵MN的方程为y=﹣x，…（9分）代入方程（x﹣2）2+（y+2）2=4中，可解得x=4，或0 （舍去），∴此时P（4，﹣4）．…（10分）。

四川省眉山市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2018·浙江学考) 在直角坐标系中，已知点，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2016高一下·岳阳期末) 已知圆（x+1）2+y2=4的圆心为C，点P是直线l：mx﹣y﹣5m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°，则实数m的取值范围为（）A . [﹣1，1]B . [﹣2，2]C .D .3. （1分） (2016高二上·屯溪期中) 直线x+ y﹣8=0的倾斜角是（）A .B .C .D .4. （1分）点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（）A . 梯形B . 空间四边形C . 正方形D . 有一内角为60o的菱形5. （1分）下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是（）A . 用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B . 几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C . 水平放置的矩形的直观图是平行四边形D . 水平放置的圆的直观图是椭圆6. （1分） (2018高一上·吉林期末) 圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，则这个圆台的体积是（）A .B .C .D .7. （1分） (2016高二上·右玉期中) 一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A . ①②B . ①③C . ③④D . ②④8. （1分）若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形（如图），则该正四棱锥的体积是（）A . 1B .C .D . 29. （1分）在空间四边形中，分别是的中点。

2015-2016学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°）B．[0°，180°） C．[90°，180°）D．（90°，180°）2．（5分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（）A．a∥c B．a，c是异面直线C．a，c相交D．a，c的位置关系不确定3．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线y=2x+1平行，则m=（）A．0 B．﹣8 C．2 D．104．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．（5分）如果直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．6．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）7．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α8．（5分）已知P（3，m）在过M（2，﹣1）和N（﹣3，4）的直线上，则m 的值是（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．09．（5分）过点P（2，3）且平行于直线2x+y﹣5=0的直线的方程为（）A．2x+y﹣7=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y+7=0 D．2x﹣y+7=010．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2 B．C．D．111．（5分）若动点A，B分别在直线l 1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．3 B．2 C．3 D．412．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13．（5分）点A（m，﹣5）到直线l：y=﹣2的距离是．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均相等，且侧棱垂直于底面，则BC1与平面A1B1C1所成的角为．15．（5分）已知直线过点P（3，1），且与以A（4，3），B（5，2）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为．16．（5分）一条光线从点A（3，2）发出，经x轴反射，通过点B（﹣1，6），则反射光线所在直线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）已知△ABC三个顶点坐标为A（2，﹣1），B（2，2），C（4，1），求三角形AC边上的中线所在直线方程；（2）倾斜角为60°且与直线5x﹣y+2=0有相同纵截距的直线方程．18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：AB⊥平面CDE；（2）求证：EF∥平面ACD．19．（12分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程．20．（12分）如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．（1）求证：平面PED⊥平面PAE；（2）求直线PD与平面PAE所成的角．21．（12分）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．22．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在线段AB与BC上，且满足：BE=BF=BC，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，并连结PB．（Ⅰ）求证：面PDF⊥面PEF；（Ⅱ）求四棱锥P﹣BFDE的体积．2015-2016学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°）B．[0°，180°） C．[90°，180°）D．（90°，180°）【解答】解：若直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角，故选：D．2．（5分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（）A．a∥c B．a，c是异面直线C．a，c相交D．a，c的位置关系不确定【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选：D．3．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线y=2x+1平行，则m=（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【解答】解：由题意可得：=2，解得m=0．故选：A．4．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM．则EM∥BC，FM∥AD，EM=BC=，FM=AD=1，∴∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成角．在△MEF中，EM2+FM2=3=EF2，∴∠EMF=90°．∴异面直线AD与BC所成角的大小为90°．故选：C．5．（5分）如果直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．【解答】解：因为直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，所以，所以a=．故选：D．6．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）【解答】解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1对于任何k∈R都成立，则，解得x=3，y=1，故选：C．7．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．8．（5分）已知P（3，m）在过M（2，﹣1）和N（﹣3，4）的直线上，则m 的值是（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．0【解答】解：∵P（3，m）在过M（2，﹣1）和N（﹣3，4）的直线上，∴直线PM与MN的斜率相等，得=解之得m=﹣2故选：A．9．（5分）过点P（2，3）且平行于直线2x+y﹣5=0的直线的方程为（）A．2x+y﹣7=0 B．2x﹣y﹣7=0 C．2x+y+7=0 D．2x﹣y+7=0【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0平行的直线方程为：2x+y+m=0，把点P（2，3）代入可得：4+3+m=0，解得m=﹣7．∴要求的直线方程为：2x+y﹣7=0．故选：A．10．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2 B．C．D．1【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．11．（5分）若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．3 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A．12．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13．（5分）点A（m，﹣5）到直线l：y=﹣2的距离是3．【解答】解：点A（m，﹣5）到直线l：y=﹣2的距离是d=|﹣5﹣（﹣2）|=3．故答案为：3．14．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均相等，且侧棱垂直于底面，则BC1与平面A1B1C1所成的角为45°．【解答】解：由题意，∠BC1B1是BC1与平面A1B1C1所成的角，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均相等，且侧棱垂直于底面，∴∠BC1B1=45°．故答案为：45°．15．（5分）已知直线过点P（3，1），且与以A（4，3），B（5，2）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为[，2] ．【解答】解：作出直线和点对应的图象如图：要使直线与线段AB相交，则直线的斜率k满足k PB≤k≤k PA，∵A（4，3），B（5，2），P（3，1），∴K PA==2，K PB==，∴≤k≤2，故答案为：[，2]16．（5分）一条光线从点A（3，2）发出，经x轴反射，通过点B（﹣1，6），则反射光线所在直线的方程为2x+y﹣4=0．【解答】解：∵一条光线从点A（3，2）发出，经x轴反射，通过点B（﹣1，6），则点A关于x轴的对称点A′（3，﹣2）在反射光线所在直线上，则由两点式求得反射光线（BA′）所在直线的方程为=，即2x+y﹣4=0，故答案为：2x+y﹣4=0．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）已知△ABC三个顶点坐标为A（2，﹣1），B（2，2），C（4，1），求三角形AC边上的中线所在直线方程；（2）倾斜角为60°且与直线5x﹣y+2=0有相同纵截距的直线方程．【解答】解：（1）由A（2，﹣1），C（4，1），得AC的中点坐标为（3，0），又B（2，2），由直线方程的两点式得，即2x+y﹣6=0．∴三角形AC边上的中线所在直线方程为2x+y﹣6=0；（2）由直线5x﹣y+2=0，得y=5x+2，∴直线5x﹣y+2=0的纵截距为2，由k=tan60°=，可得倾斜角为60°且与直线5x﹣y+2=0有相同纵截距的直线方程为y=．18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E，F分别是AB，BC的中点．（1）求证：AB⊥平面CDE；（2）求证：EF∥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BC=AC，E为AB的中点，∴AB⊥CE．又∵AD=BD，E为AB的中点∴AB⊥DE．∵DE∩CE=E∴AB⊥平面DCE；（2）∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD．19．（12分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程．【解答】解：（1）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为﹣3又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．3x+y+2=0．（2）∵M为矩形ABCD两对角线的交点，则点M到直线AB和直线DC的距离相等∵DC∥AB∴可令DC的直线方程为：x﹣3y+m=0（m≠﹣6）M到直线AB的距离d==∴M到直线BC的距离即：=∴m=2或﹣6，又∵m≠﹣6∴m=2∴DC边所在的直线方程为：x﹣3y+2=020．（12分）如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．（1）求证：平面PED⊥平面PAE；（2）求直线PD与平面PAE所成的角．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．∴AE2=22+22=8=DE2，∴AE2+DE2=16=AD2，∴∠AED=90°，∴DE⊥AE，∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE．又PA∩AE=A，∴DE⊥平面PAE，又DE⊂平面PED．∴平面PED⊥平面PAE．（2）解：由（1）可得：DE⊥平面PAE，∴∠DPE是直线PD与平面PAE所成的角．在Rt△PAE中，PE===2．同理可得：DE=2．∴tan∠DPE===，∴∠DPE=．21．（12分）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．22．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在线段AB与BC上，且满足：BE=BF=BC，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，并连结PB．（Ⅰ）求证：面PDF⊥面PEF；（Ⅱ）求四棱锥P﹣BFDE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：折起前AD⊥AE，CD⊥CF，折起后，PD⊥PE，PD⊥PF．（2分）∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，（4分）∵PD⊂平面PDF，∴面PDF⊥面PEF；（6分）（Ⅱ）解：当BE=BF=BC时，由（1）可得PD⊥平面PEF．（7分）=，S△ADE=S△CDF==1．（8分）此时，，S△BEF△PEF的高为h1===（9分）∴S △PEF ===（10分） ∴V D ﹣PEF ===（11分）∵S △DEF =S ABCD ﹣S △BEF ﹣S △ADE ﹣S △CDF =4﹣﹣1﹣1=（12分） 设点P 到平面BEDF 的距离为h ，则V P ﹣DEF ==h∵V D ﹣PEF =V P ﹣DEF ，∴=h ， 解得h=（13分）∴四棱锥P ﹣BEDF 的体积V P ﹣BEDF =（S △DEF +S △BEF ）h=）×=．（14分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bbx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

四川省眉山市数学高二上学期文数期中联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 过双曲线 切点为 E，若A.的左焦点作圆， 则双曲线的离心率为（ ）的切线交双曲线右支于点 P，B. C. D. 2. （2 分） 若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离是 A. B.1（）C. D. 3. （2 分） 已知 A. B. C. D.，， 则 的取值范围为（ ）第 1 页 共 11 页4. （2 分） 如果 一点的切线的倾斜角 的取值范围是（ ）导函数图像的顶点坐标为， 那么曲线上任A.B.C.D.5. （2 分）是直线A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 非充分也非必要条件与直线垂直的（ ）6. （2 分） (2019 高二上·四川期中) “ （）A . 必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件”是“直线与圆”相切的7. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 已知双曲线 ：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为（ ）A.B.第 2 页 共 11 页C.2 D.3 8. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 已知过点(1，-2)的直线 与圆 点，则弦长 的取值范围是（ ） A. B. C. D.交于 ， 两9. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 经过点为的中点，则直线 的斜率为（ ）A.作直线 交椭圆于 ， 两点，且B. C.D.10. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 已知圆 ：是圆 上的动点，线段的垂直平分线交线段于（ 为圆心），点 点，则动点 的轨迹是（ ）A . 两条直线B . 椭圆C.圆D . 双曲线第 3 页 共 11 页，点11.（2 分）(2019 高二上·四川期中) 已知椭圆 ：且 周长为，过左焦点 ，的直线 与椭圆 交于 ， 两点，连接，则三角形的面积为（ ）A.B.C.D.的左右焦点分别为 ， ，，，若三角形的12. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 已知圆 分别是圆 ， 上的动点.若动点 在直线A.3上，则，圆 的最小值为（ ），，B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二上·青海月考) 已知直线 l 过圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心，且与直线 x＋y＋1＝0 垂直， 则 l 的方程是________．14. （1 分） (2019 高二上·四川期中) 两圆，则公共弦所在的直线的方程是________.（结果用一般式表示）相交于 ， 两点，15. （1 分） (2019 高二上·四川期中) 已知椭圆 的取值范围是________.的左焦点为 ，动点 在椭圆上，则第 4 页 共 11 页16. （1 分） (2019 高二上·四川期中) 给出下列说法:①方程题“若，则或”为真命题;③已知双曲线表示的图形是一个点;②命 的左右焦点分别为 ， ，过右焦点 被双曲线截得的弦长为 4 的直线有 3 条;④已知椭圆上有两点，，若点是椭圆 上任意一点，且，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则为定值.其中说法正确的序号是________.三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） 在直角坐标系中，直线 的参数方程为点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 圆 相交于 ， 两点．的极坐标方程为（1） 求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；（ 为参数），以坐标原点 为极 ，直线 与（2） 求弦长．18. （10 分） 已知两点 A（﹣3，4），B（3，2），过点 P（2，﹣1）的直线 l 与线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率的取值范围．19. （10 分） (2017 高三下·岳阳开学考) 已知椭圆 C1： + =1（a＞b＞0）的离心率为 2，1）是 C1 上一点．，P（﹣（1） 求椭圆 C1 的方程；（2） 设 A，B，Q 是 P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于 AB 的直线 l 交 C1 于异于 P、Q 的两点 C， D，点 C 关于原点的对称点为 E．证明：直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形．20. （10 分） 设直线 的方程为.（1） 若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程；（2） 若 不经过第二象限，求实数 的取值范围.第 5 页 共 11 页21. （10 分） (2016 高三上·重庆期中) 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为抛物线 y2=x 交于 M，N 两点，且直线 MN 恰好通过椭圆 C 的右焦点．，椭圆 C 和（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 经过椭圆 C 右焦点的直线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，点 P 在椭圆上，且 =2 ，其中 O 为坐标 原点，求直线 l 的斜率．22. （10 分） 已知椭圆 （1） 求直线 的斜率的上顶点为 ,左焦点为 ,离心率为（2） 设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ）,过点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ）直线与 轴交于点MQ（i）求 λ的值（ii）若， 求椭圆的方程第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页 共 11 页19-1、19-2、 20-1、第 9 页 共 11 页20-2、21-1、第 10 页 共 11 页21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．202．为了解某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系，统计了（x，y）的10组值，并画成散点图如图1，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x﹣198 B．=﹣10x+198 C．=10x+198 D．=10x﹣1983．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．134．某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1=17x2，生产总成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2=2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品6．函数y=lnx﹣x在x∈（0，e﹣5，0） B．（﹣5，0）C．1，21，440，50），90，10040，50），1，4上的最大值为（）A．e B．1 C．﹣e D．﹣1【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】利用导数研究函数f（x）在（0，e﹣5，0）B．（﹣5，0）C．﹣3，0）；故选C．11．已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．【解答】解：f（x）=x2+2x+1﹣2x=（x+1）2﹣2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）﹣h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，在（﹣∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h（x），即f（x）＜0；在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．故选：A．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a 的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：，即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．14．已知函数f（x）=e x+2cosx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程x﹣y+3=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，可得曲线在x=0处的导数，即为曲线的切线的斜率，求得切点，由斜截式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）=e x+2cosx的导数为f′（x）=e x﹣2sinx，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0﹣2sin0=1，切点为（0，e0+2cos0）即（0，3），即有曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+3，即为x﹣y+3=0．故答案为：x﹣y+3=0．15．已知函数，若对∀x1∈，∃x2，使得f（x1）≥g （x2），则m的取值范围是（﹣∞，1，21，41，21，416．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥l时，的取值范围是hslx3y3h，﹣（x2﹣4x+1），（87﹣90）2+（88﹣90）2+（91﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2（85﹣90）2+（89﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2+（93﹣90）240，50），90，10040，50），1，41，4（3）a=﹣，f（x）=﹣x+b即x2﹣x+lnx﹣b=0设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，（x＞0），可得g'（x）=列表可得2）=ln2﹣b﹣2；极大值=g（1）=﹣b﹣∴极小值=g（∵方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根，且g（4）=2ln2﹣b﹣2∴，解之得ln2﹣2＜b≤﹣2017年5月26日。