6-3线性子空间

第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。

四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。

集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。

定义:（集合的映射) 设、为集合。

如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。

当然也可以写成，。

（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。

§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。

四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。

线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。

吉林建筑大学电气与电子信息工程学院信息理论与编码课程设计报告设计题目： 线性分组码编码的分析与实现 专业班级： 电子信息工程 学生姓名： 学 号：指导教师：设计时间： 2014.11.24－2014.12.51.1教师评语：成绩 评阅教师 日期第1章 概述1.1 设计的作用、目的《信息论与编码》是一门理论与实践密切结合的课程,课程设计是其实践性教学环节之一，同时也是对课堂所学理论知识的巩固和补充。

其主要目的是加深对理论知识的理解，掌握查阅有关资料的技能，提高实践技能，培养独立分析问题、解决问题及实际应用的能力。

通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想和目的，掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力，培养和提高自学能力以及综合运用所学理论知识去分析解决实际问题的能力，逐步熟悉开展科学实践的程序和方法。

1.2 设计任务及要求设计一个（6, 3）线性分组码的编译码程序：完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性。

1．理解信道编码的理论基础，掌握信道编码的基本方法；2．掌握生成矩阵和一致校验矩阵的作用和求解方法；3．针对线性分组码分析其纠错能力，并能够对线性分组码进行译码；4．能够使用MATLAB 或其他语言进行编程，实现编码及纠错，编写的函数要有通用性。

1.3设计内容已知一个（6,3）线性分组码的Q 矩阵：设码字为(c 5, c 4, c 3, c 2, c 1, c 0)011101110Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求出标准生成矩阵和标准校验矩阵，完成对任意信息序列（23个许用码字）的编码。

当接收码字R 分别为(000000), (000001), (000010), (000100), (001000), (010000), (100000), (100100)时，写出其伴随式S ，以表格形式写出伴随式与错误图样E 的对应关系。

§6子空间的交与和定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221V V V V =(交换律)，)()(321321V V V V V V =（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：si is V V V V 121==,它也是子空间.定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221V V V V +=+(交换律)，)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和∑==+++si is V V V V 121 .它是由所有表示成),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论：1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n tn t t n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0,0,0,022*******1122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 的解空间.例3 在一个线性空间V 中，有),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.。

第六章线性空间［教学目标］1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。

2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。

3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。

4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。

5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空间和生成子空间的性质。

6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。

7了解直和的概念和充要条件。

8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。

［教学重难点］线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。

［教学方法］讲授［教学时间］22学时。

［教学内容］集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构［考核目标］会判断一个集合是否为线性空间。

会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。

会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。

教学过程：§1 集合·映射一集合的相关概念1、集合：若干个固定事物的全体，简称集。

一般用大写拉丁字母A,,表示。

把不包含任何元素的集合叫空集，记为BC∅。

2、元素：集合中的每一个事物，简称元。

一般用小写拉丁字母a,,表示。

bc二者关系：元素属于或不属于某个集合。

记为a∈A,a∉A.3、子集、真子集及其表示方法。

（集合与集合之间是包含或不包含的关系）,.⊂⊆A B A B4、集合相等：BA=等价于A与B互相包含。

5、交集{}B=∈A∈xxBAorx6、并集{}B∈=,A∈xAxxB7、性质A 的子集。

A 是A、B的子集，A与B是BB二映射1、定义：B A ,是两个集合，σ是A 到B 的对应法则，如果A a ∈∀，按照这个对应法则，在B 中存在唯一的元素B b ∈与之对应，我们称σ是A 到B 的映射，记为:A B σ→， b 叫a 在σ下的象，a 叫b 在σ下的一个原象。

第六章线性空间(Linear Space)引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广。

我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论。

现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论，可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。

§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Îa M表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用a MÏ表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}=.M a a|具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作j .如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即a M Î当且仅当a N Î，那么它们就称为相等，记为M N =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由a M Î可以推出a N Î，那么M 就称为N 的子集合，记为M N Ì或N M É.两个集合M 和N 如果同时满足M N Ì和N M Ì.，则M 和N 相等.设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N的交，记为M N I .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为M N U .二、映射设M 和M ¢是两个集合，所谓集合M 到集合M ¢的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M ¢中一个确定的元素a ¢与之对应.如果映射s 使元素a M ⅱÎ与元素a M Î对应，那么就记为()a a s ¢=,a ¢就为a 在映射s 下的像，而a 称为a ¢在映射s 下的一个原像.M到M 自身的映射，有时也称为M 到自身的变换.关于M 到M ¢的映射s 应注意： 1）M 与M ¢可以相同，也可以不同；2）对于M 中每个元素a ，需要有M ¢中一个唯一确定的元素a ¢与它对应； 3）一般，M ¢中元素不一定都是M 中元素的像； 4）M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M 到集合M ¢的两个映射s 及t ，若对M 的每个元素a 都有()()a a s t =则称它们相等，记作s t =..例1 M 是全体整数的集合，M ¢是全体偶数的集合，定义()2,n n n Ms =?,这是M 到M ¢的一个映射.例2 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义1()||,A A A M s =?.这是M 到P 的一个映射.例3 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义2(),a aE a P s =?.E是n 级单位矩阵，这是P 到M 的一个映射. 例4 对于()[]f x P x Î,定义(())()f x f x s ¢=这是[]P x 到自身的一个映射.例5 设M ，M ¢是两个非空的集合，0a 是M ¢中一个固定的元素，定义0(),a a a M s =?.这是M 到M ¢的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义(),a a a M s =?.即s 把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为1M .例7 任意一个定义在全体实数上的函数()y f x =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设s 及t 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的映射，乘积t s 定义为()()(()),a a a Mt s t s =?,即相继施行s 和t 的结果，t s 是M 到M ⅱ的一个映射.对于集合M 到M ¢的任何一个映射s 显然都有11M M s s s¢==.映射的乘法适合结合律.设,,s t y 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ，M ⅱ到M ⅱ?的映射，映射乘法的结合律就是()()y t s y t s =.设s 是集合M 到M ¢的一个映射，用()M s代表M 在映射s 下像的全体，称为M 在映射s 下的像集合.显然()M M s ¢Ì.如果()M M s ¢=，映射s 称为映上的或满射.如果在映射s 下，M 中不同元素的像也一定不同，即由12a a ¹一定有12()()a a s s ¹,那么映射s就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M ¢的双射s 可以自然地定义它的逆映射，记为1s -.因为s 为满射，所以M ¢中每个元素都有原像，又因为s 是单射，所以每个元素只有一个原像，定义当1(),()a a a a s s -ⅱ==.显然，1s -是M ¢到M 的一个双射，并且111,1M M s s s s --¢==.不难证明，如果,s t 分别是M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的双射，那么乘积t s 就是M 到M ⅱ的一个双射.§2 线性空间(Linear Space )的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上m n ´矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法addition ；这就是说给出了一个法则，对于V 中任意两个元素a 与b ,在V 中都有唯一的一个元素g 与它们对应,称为a 与b 的和sum ,记为g a b =+.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法scalar multiplication ；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素a ,在V 中都有唯一的一个元素d 与它们对应,称为k 与a 的数量乘积scalar multiple ,记为k d a=.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) a b b a +=+；Commutative law2) ()()a b g a b g ++=++；Associative law3) 在V 中有一个元素0,V a "?,都有0a a +=（具有这个性质的元素0称为V的零元素a zero vector ）； 4) ,,0V V sta b ab "??=(b称为a 的负元素additive inverse ).数量乘法满足下面两条规则： 5) 1a a =; 6) ()()k l kl a a =;数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ()k l k l a a a +=+; 8) ）(;k k k a b a b +=+在以上规则中，,k l 等表示数域P 中任意数；,,a b g 等表示集合V 中任意元素. 注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算(linear operation)．2．线性空间的元素也称为向量(vector )，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间也称为向量空间(vector space )．但这里的向量不一定是有序数组．以下用黑体的小写希腊字母,,,a b g L代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,,,a b c L代表数域P中的数.3.由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法。