2017_2018学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系课后拓展练习新版沪科版

17.4 一元二次方程根与系数的关系一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。

二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。

三、学习过程：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0 （2）x2＋3x－4＝0 （3）x2－5x＋6＝0.探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=,x2=能得出以下结果：x1＋x2= 即：两根之和等于x1•x2= 即：两根之积等于=+===×===由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=， x1x2=如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋ x＋＝0(a≠0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么（为什么？）∴ x1=又x1+2= （为什么？）∴ k=想一想，还有没有别的做法？例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2=（1）∵（x1+x2）2= x12+2 +x22∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 =（2）例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是解：所求的方程是x2-（）x＋（）＝0 (为什么？)即 x2+ x- ＝0 或 6x2+ x- ＝0例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。

解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根解这个方程，得x1= ， x2=因此，这两个数是，四、分层练习(A组)下列方程两根的和与两根的积各是多少？（1）y2-3y+1=0 （2） 3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0（4）3x2+5x-2=0 （5）2y2-5=6y （6）4p(p-1)-3=0已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）（x1+1）（x2+1）（2）4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-75、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。

(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。

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4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。

○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。

解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。

17.4 一元二次方程根与系数的关系◆随堂检测1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ）A ．0a =B ．2a =或2a =-C ．2a =D ．2a =或0a =4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.5、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.◆课下作业●拓展提高1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <02、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）AB ．3C ．6D ．93、已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --4、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=g .则k 的值为（ ）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在 5、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.6、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=--的两个实数根．（1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．7、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．。

《17．4 一元二次方程的根与系数的关系》习题一、填空题1．如果x 1、x 2是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，则x 1+x 2=_________．2．一元二次方程230x x --=两根的倒数和等于__________．3．关于x 的方程20x px q ++=的根为121x x ==p =______，q =____．4．若x 1、x 2是方程2570x x --=的两根，那么x 12+x 22= ，（x 1-x 2）2 ．5．已知方程20x x k -+=的两根之比为2，则k 的值为_______．6．已知12,x x 为方程2310x x ++=的两实根，则212320__________.x x -+= 7．方程2520x x -+=与方程2260x x ++=的所有实数根的和为___________．8．关于x 的方程2210ax x ++=的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________． 二、选择题9．已知a 、b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b a a b+的值是（ ）． A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．2--2n10．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）．A ．260x x +-=B ．260x x ++=C ．260x x --=D ．260x x -+=11．设方程2350x x m -+=的两根分别为x 1，x 2，且1260x x +=，那么m 的值等于（ ）． A ．32- B ．—2 C ．92 D ．—92 12．点P （a ，b ）是直线y =—x +5与双曲6y x=的一个交点，则以a ，b 两数为根的一元二次方程是（ ）． A ．2560x x -+= B ．2560x x ++= C ．2560x x --= D ．2560x x +-=13．已知2(1)(22)0x m x m ----=两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）．A ．1B ．—1C ．2D ．—2。

沪科版八年级下册数学17.4一元二次方程的根与系数同步练习一、选择题(本大题共6小题)1. 若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（）A．﹣4 B．3 C．D．2. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．33. 小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=04. 设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣15. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣56. 定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关二、填空题(本大题共4小题)7. 设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= ．8. 设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．9. 设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为．10. 关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是．11. 设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= ．三、计算题(本大题共4小题)12. 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程。

13. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．14. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．15. 关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．参考答案：一、选择题(本大题共6小题)1. D分析：由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=”，由此即可得出结论．解：∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣=故选D．2. D分析：由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故选D．3. 小B分析：利用根与系数的关系分别建立等式解答即可。

第17章相交线与平行线17.4一元二次方程根与系数的关系填空题1．一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个根为－1，则另一个根为_______．2．方程2x2－3x－1＝0的两根为x1、x2，那么x1＋x2＝_______，x1x2＝_______．3．如果一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两根互为相反数，那么m＝____；若两根互为倒数，则n＝_______．4．方程x2＋mx＋(n－1)＝0的两个根是2和－4，那么m＝_______，n＝_______．选择题5．设a、b是方程x2＋x－2011＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 ( )A．2008 B．2009 C．2010 D．20116．下列方程中，两个实数根之和为2的是( )A．x2＋2x－3＝0 B．x2－2x＋3＝0C．x2－2x－3＝0 D．x2＋2x＋3＝07．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个实数根是x1、x2，且 x12＋x22＝24，则k的值是 ( )A．8 B．－7 C．6 D．58．已知方程x2＋2x－1＝0的两根是x1、x2，那么的值为 ( )A．－7 B．3 C．7 D．－3综合提高题9．关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．10．已知关于x的方程2x2＋kx－1＝0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是－1，求另一个根及k的值．11．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)0可以是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．。