圆与方程知识点的总结典型例题

直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：，范围0≤α＜π，x l //轴或与x 轴重合时，α=00。

2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2,y 2） α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时，α=900，κ不存在。

当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。

几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系2、L 1 到L 2的角为0，则12121tan k k k k •+-=θ（121-≠k k ）3、夹角：12121tan k k k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B Ad③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是0221=+++C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' （2）点关于线的对称：设p(a 、b) 一般方法：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0中点满足L 方程解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。

圆的标准方程与一般方程题型归纳总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准 方程圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2图示说明若点M (x ，y )在圆C 上，则点M 的坐标适合方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；反之，若点M (x ，y )的坐标适合方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点M 在圆C 上重点二、点与圆的位置关系圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其圆心为(a ，b )，半径为r ，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝2200()()x a y b -+-.位置关系d 与r的大小图示 点P 的坐标的特点点在圆外 d >r(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2点在圆上 d ＝r(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2点在圆内 d <r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2重点三、圆的一般方程(1)方程：当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C (－D 2，－E2)，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ．(2)说明：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不一定表示圆．当且仅当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆：当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点(－D 2，－E2)；当D 2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤： ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程． 重点四、二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是：A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0． 重点五、求轨迹方程的五个步骤：①建系：建立适当的坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； ②设点：写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； ③列式：用坐标(x ，y )表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0； ④化简：化方程F (x ，y )＝0为最简形式；⑤查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．【典题精练】考点1、求圆的标准方程例1．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程． 【解析】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB514-1-43k -==；BC 5231--34k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥ ∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |22， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点点睛：(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．考点2、判断点与圆的位置关系例2．已知圆过两点()1,4A 、()3,2B ，且圆心在直线0y =上. （1）求圆的标准方程； （2）判断点()2,4P 与圆的关系.【解析】（1）圆心在直线0y =上，∴设圆心坐标为(),0C a ，则AC BC ==，即()()2211634a a -+=-+，解得1a =-，即圆心为()1,0-，半径r AC ====则圆的标准方程为()22120x y ++=（2）PC ===5=r >∴点()2,4P 在圆的外面.考点点睛：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，点在圆外； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，点在圆上； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，点在圆内．考点3、圆的标准方程的综合应用例3．已知一圆的圆心C 在直线210x y +-=上，且该圆经过()3,0和()1,2-两点. （1）求圆C 的标准方程；（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，试求ABC 面积的最大值和此时直线l 的方程.【解析】（1）方法一：()3,0和()1,2-两点的中垂线方程为：10x y +-=，圆心必在弦的中垂线上，联立21010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()1,0C ，半径2r，所以圆C 的标准方程为：()2214x y -+=.方法二：设圆C 的标准方程为：()()222x a y b r -+-=，由题得：()()()()2222222103012a b a b r a b r ⎧+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得：102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的标准方程为：()2214x y -+=.（2）设直线l 的方程为0x y m ++=，圆心C 到直线l 的距离为d ，∴d =()0,2d ∈，AB ==ABC面积12S d AB ==== ∴当22d=，()0,2d =时，S 取得最大值2=1m =或3-所以，直线l 的方程为：10x y ++=或30x y +-=. 考点点睛：确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法．(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有：①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组；③解：解方程组，求出a、b、r；④代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程．考点4、二元二次方程与圆的关系例4．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．【解析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r=，max此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径 r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．考点点睛：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解． 考点5、用待定系数法求圆的方程 例5．分别根据下列条件，求圆的方程. （1）过点(4,0)A -，(0,2)B 和原点；（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线2350x y -+=上. 【解析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意，04201640F E F D F =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得024F E D =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22420x y x y ++-=.（2）由圆心在直线2350x y -+=上，设圆心的坐标为25(,)3a a +， 因为圆与两坐标轴均相切，所以25||||3a a +=，解得5a =或1a =-. 当5a =时，圆心为(5,5)，半径为5，则圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=； 当1a =-时，圆心为(1,1)-，半径为1，则圆的方程为22(1)(1)1x y ++-=； 故所求圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y ++-=. 考点6、求轨迹方程的常用方法：例6．已知()1,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足12MA MB =.设动点M 的轨迹为C . （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；（3）设直线:l y x m =+交轨迹C 于,P Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过A 若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.【解析】（112=，化简可得：()2224x y ++=， 所以动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.轨迹C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆.（2）设过点B 的直线为()2y k x =-，圆心到直线的距离为2421k d k -=≤+.∴33k -≤≤，即min 3k =-. （3）假设存在，联立方程得()2224y x m x y =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，得()222220x m x m +++=， 0,∆>即222222m -<<+.设()()1122,,,P x y Q x y ，则122x x m +=--，2122m x x =，由题意知PA QA ⊥，∴()()()()()()1212121211110x x y y x x x m x m +++=+++++=.∴()()212122110x x m x x m +++++=，得2310m m --=，313m ±=且满足0∆>，∴存在以线段PQ 为直径的圆经过A ，此时3132m ±=. 考点点睛：求轨迹方程的常用方法包括：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：(2)代入法(也称相关点法)若动点P (x ，y )跟随某条曲线(直线)C 上的一个动点Q (x 0，y 0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下： ①设所求轨迹上任意一点P (x ，y )，与点P 相关的动点Q (x 0，y 0)；②根据条件列出x ，y 与x 0、y 0的关系式，求得x 0、y 0(即用x ，y 表示出来)；③将x 0、y 0代入已知曲线的方程，从而得到点D (x ，y )满足的关系式即为所求的轨迹方程． (3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．。

圆与方程知识点1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心C (a,b),半径为r2、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2240D E F +->表示圆，圆心C （,22D E--）半径为22240D E F +-=表示点（,22D E--） 2240D E F +-<不表示任何图形3、点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+->⇔点在圆外 222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上 222()()x a y b r -+-<⇔点在圆内（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x220x y Dx Ey F ++++>⇔点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆上 220x y Dx Ey F ++++<⇔点在圆内（3）特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠4、直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法（1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为d1》判断方法r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点2》涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式24b ac =-0<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 0=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 0>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点（3）求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=-求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩（4）求弦长及弦长的应用问题（垂径定理．．．．及勾股定理——常用） 1》弦长公式：()()222121212114l kx x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（暂作了解，无需掌握） 2》判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. 3》关于点的个数问题：例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,65、过点求圆的切线方程（第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数）.（1）点00(,)x y 在圆上圆的方程为222x y r +=，切线方程200x x y y r +=（运用在选择题及填空题） 圆的方程为222()()x a y b r -+-=，切线方程200()()()()x a x a y b y b r --+--=圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，切线方程0000022x x y yx x y y D E F ++++++= （2）点00(,)x y 在圆外，圆：()()222x a y b r-+-=，[()()22200x a y b r -+->]设直线方程为00()y y k x x -=-即000kx y kx y --+= 由圆心到直线的距离rd=求出k （过圆外一点作圆的切线有2条）特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！例题：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.（答案：3410x y -+=和1x =）6、 圆与圆的位置关系（221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=）（1）判断方法：求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r1212C C r r >+⇔圆1C 与圆2C 相离⇔有4条公切线 1212C C r r =+⇔圆1C 与圆2C 外切⇔有3条公切线121212||r r C C r r -<<+⇔圆1C 与圆2C 相交⇔有2条公切线 1212||C C r r =-⇔圆1C 与圆2C 内切⇔有1条公切线 1212||C C r r <-⇔圆1C 与圆2C 内含⇔有0条公切线（2）圆与圆相交：公共弦的直线方程为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-= 圆心到弦的距离（弦心距）d 满足关系式：222()2l d r +=（公共弦长l ，半径r ） 过两圆交点的圆系方程可设为2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-或22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=点M 在圆1C 上，点N 在圆2C 上，则有1212max MN C C r r =++min 0MN =（相交，相切） 1212min MN C C r r =--（相离） 1212min MN r r C C =--（内含）7、用坐标法解决几何问题的步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系，设点的坐标 （2）找等量关系（3）将平面几何问题转化为代数问题； （4）化简运算 （5）检验得出结论8、空间直角坐标系（1）点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标（2）有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点（3）圆的参数方程 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 9、点),,(1111z y x P 与点),,(2222z y x P 的关系：中点坐标为121212(,,)222x x y y z z +++ 距离22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=10、对称问题（1）.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.（2.）圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.（3.）圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.（4.）已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.11、最值问题（方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程）(1.)已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方（2.）已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.（数形结合和参数方程两种方法均可！）（3.）设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是___________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）12、相关应用（1）.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.（2.）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=（3.）已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B -，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.（4.）已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈）（1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.（5.）若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.（6.）已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.13、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式—轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一动点随另一点主动点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.（分析：角平分线定理和定比分点公式.）例题2：已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=， 则223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),G x y ，则 ()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C AB C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD AB CDAC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。

圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422FE D r -+=（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x（4）圆的参数方程：①)0(222>=+r r y x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）；②)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-222)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-222)()(r b y a x 点P 在圆上； ③⇔<-+-222)()(r b y a x 点P 在圆内.（2）点),(00y x P 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：①⇔>++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆外； ②⇔=++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆上； ③⇔<++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程 思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b )和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）ABC ∆的三个顶点分别为A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A (6,5),B (0,1),且圆心在直线3x +10y +9=0上； （3）经过点P (-2,4),Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-0505508220265F E D F E D F E D 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=2024F E D 故所求圆的方程为0202422=---+y x y x解法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x =2,BC 的中垂线方程为x +y -3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P (2,1),且半径5)51()12(||22=-++==AP r所以所求圆的方程为25)1()2(22=-+-y x 即0202422=---+y x y x（2）AB 的中垂线与AB 垂直，则斜率231-=-=ABk kAB 的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(233--=-x y ， 即线段AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x ，解得⎩⎨⎧-==37y x ，所以圆心为C(7,-3),又65||=BC故所求的圆的方程为65)3()7(22=++-y x（3）设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点P ，Q 的坐标分别代入，得⎩⎨⎧-=+-=--1032042F E D F E D ，又令y =0,得02=++F Dx x .设21,x x 是方程的两根，则由韦达定理有F x x D x x =-=+2121,，由6||21=-x x有364)(21221=-+x x x x ，即3642=-F D解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=842F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=086F E D故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程例9.18 已知圆的半径为10，圆心在直线y =2x 上，圆被直线y=x 截得的弦长为24，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求222)()(r b y a x =-+-中的a,b,r ，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为10)()(22=-+-b y a x .由圆心在直线y=2x 上，得b=2a （①） 由圆在直线y=x 上截得的弦长为24，将y=x 代入10)()(22=-+-b y a x ，整理得010)(22222=-+++-b a x b a x 由弦长公式，得24||221=-x x即24)10(2)(2222=-+-+b a b a ，化简得2±=-b a （②） 由式①②可得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距2)22(22=-=r d ，又弦心距等于圆心(a,b )到直线x-y =0的距离，即22||=-=b a d ，又已知b =2a ，解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a 故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x 轴相切，圆心在直线3x-y =0上，且被直线x-y =0截得的弦长为72的圆的方程例9.19 圆01222=--+x y x 关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）A.21)2()3(22=-++y x B.21)2()3(22=++-y xC.2)2()3(22=-++y x D.2)2()3(22=++-y x解析 解法一：（推演法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)1(22=+-y x ，得圆心为(1,0)，半径为2，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+⨯2110032212a b b a ,得⎩⎨⎧=-=23b a . 故对称圆的方程是2)2()3(22=-++y x 解法二：（排除法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)2(22=+-y x ,得2=r ,则对称圆的半径也应为2，故排除选项A,B ，在选项C 中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为211302-=---，与直线032=+-y x 垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P ,Q 的坐标分别为，)3,3(),,(a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线l 对称的圆的方程为______题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：0)()(22221111=+++++C y B x A C y B x A λλ)0(2221≠+λλ简记为：)0(022212211≠+=+λλλλl l 当01≠λ时，简记为：021=+l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x简记为：)1(021-≠=+λλC C ，不含2C当1-=λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 注 与圆C 共根轴l 的圆系0:=+l C C λλ例9.20 （1）设直线01:1=+-y x l 与直线022:2=++y x l 相交于点P,求过点P 且与直线0132:3=--y x l 平行的直线4l 的方程.（2）求圆心在直线0143=-+y x 上且过两圆0222=-+-+y x y x 与522=+y x 的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由⎩⎨⎧=++=+-02201y x y x ，得交点)0,1(-P .因为34//l l ，故设032:4=+-C y x l ，又4l 过点)0,1(-P ，故0)1(2=+-C ，得2=C即0232:4=+-y x l解法二：设0)1(22:4=+-+++y x y x l λ，即02)1()2(:4=++-++λλλy x l 因为34//l l ，所以）（）（λλ-=+-1223，得8-=λ，故0232:4=+-y x l (2)设所求圆为)1(0)5(222-≠=-++-+-+λλy x y x y x 化为一般式0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 所以)1(212,)1(212λλ+-=-+=-E D ，故圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++）（，）（λλ121-121代入直线0143=-+y x 中，得01)1(24)1(23=-+-+λλ解得23-=λ，把23-=λ代入所设的方程中，得0112222=--++y x y x 故所求圆的方程为0112222=--++y x y x评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往能够简化运算，快速得出结论.变式1 过直线042=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程是_________ 变式2 （1）设直线0:1=-y x l 与直线04:2=-+y x l 相交于点P ，求过点P 且与直线0543:3=++y x l 垂直的直线4l 的方程.（2）已知圆042:22=---+m y x y x C ，若直线02:=-+y x l 与圆C 相交于A,B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点），求m 的值和以AB 为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点)0,4(),0,1(N M 的距离之比为21.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）若直线3:+=kx y l 与曲线W 交于A,B 两点，在曲线W 上是否存在 一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 解析 （1）设点P 的坐标为),(y x P ，由题意知21||||=PN PM ，即2222)4()1(2y x y x +-=+- 即4:22=+y x W（2）因为直线3:+=kx y l 与曲线W 相交于A,B 两点，所以213),(2<+=kl O d即25>k 或25-<k ① 假设曲线W 上存在点Q ，使得2||,=+=OQ OB OA OQ 因为A,B 在圆上，所以||||OB OA =，且OB OA OQ +=由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直平分. 故1||21),(==OQ l O d ，即1132=+k，解得22±=k ，符合式①所以存在点Q ，使得OB OA OQ +=评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆. 变式1 在ABC ∆中，若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值为__________变式2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面B A l ,,=βα 是l 上的两个点，C,D 在平面β内，且αα⊥⊥CB DA ,,AD =4,AB =6,BC =8，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则P-ABCD 体积的最大值是（ ）A.324B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P (4,0)是圆3622=+y x 内的一点，A,B 是圆上两动点，且满足︒=∠90APB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析 解法一：设AB 的中点为R ,点Q 的坐标为(x,y ),则在ABP Rt ∆中||||PR AR =，又因为R 是弦AB 的中点，由垂径定理，在ORA Rt ∆中36||||22=+OR AR ，又2222|)|2(|)|2()|||(|2PR OR OP OQ +=+(*), 得72362)|||(|2||||2222=⨯-+=+PR OR OP OQ , 故56||72||22=--OP OQ则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是5622=+y x 解法二：设AB 的中点为R ，Q 的坐标为(x,y),则⎪⎭⎫⎝⎛+2,24y x R ，在矩形APBQ 中有||21||||PQ AR PR ==在ORA Rt ∆中，36||||||222==+OA RA OR则()[]364412242222=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ，即5622=+y x 评注 式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ 外一点，有2222OB OA OQ OP +=+变式1 已知圆422=+y x 上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内的一定点，P ，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；（2）若︒=∠90PBQ ，求线段PQ 中点N 的轨迹.变式2 已知点P (0,5)及圆024124:22=+-++y x y x C（1）直线l 过P 且被圆C 截得的线段长34||=AB ，求l 的方程； （2）求过点P 的圆C 的动弦的中点M 的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 思路提示方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径F E D r 42122-+=例9.23方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.()2,-∞-B.⎪⎭⎫⎝⎛-0,32 C.()0,2-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2解析 由0122222=-+++++a a ay ax y x可得0143)(2222>+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a y a x即04432<-+a a ，得322<<-a .故选D 评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程042422=+-++m y mx y x 表示圆的方程的充要条件是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,41mB.()+∞∈,1mC.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈41,mD. ),1(41,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈ m变式2 若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数a 的值为______ 题型5 点与圆的位置关系判断 思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A (1,1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B.)1,0(C.),1()1,.(+∞-∞-D.{}1,1-解析 点A (1,1)在圆内部，满足4)()(22<++-a y a x ，即4)1()1(22<++-a a ，解得11<<-a 故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点),(00y x P 在圆上,则22020)()(r b y a x =-+-； 若点),(00y x P 在圆外,则22020)()(r b y a x >-+-； 若点),(00y x P 在圆内,则22020)()(r b y a x <-+-.反之也成立.变式1 点A (1,0)在圆0332222=-++-+a a ax y x 上，则a 的值为_______变式2 过占P (1,2)可以向圆024222=-+-++k y x y x 引两条切线，则k 的范围是（ ）A.)7,(-∞B.)7,0(C.)7,3(D.),5(+∞题型6 与圆有关的最值问题 思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y 满足方程01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值； （2）求x y -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值分析 方程01422=+-+x y x 表示圆心为（2，0），半径为3的圆.--=x y x y 的几何意义是圆上一点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b ，可看作直线y=x+b 在y 轴上的截距；22y x +是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.解析 （1）原方程可化为3)2(22=+-y x ，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k xy=，即kx y =.当直线kx y =与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时31|02|2=+-k k ，解得3±=k故xy的最大值为3，最小值为3- （2）设y-x =b ，即y =x +b ，当y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时32|02|=+-b ，即62±-=b ，故y-x 的最大值为62+-，最小值为62--（3）解法一：（几何法）22y x +表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()347)32(2max22+=+=+y x,()347)32(2min22-=-=+y x解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22=+-y x设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x （θ为参数,)2,0[πθ∈） 则()θθθcos 347)sin 3(cos 322222+=++=+y x故当1cos -=θ时，()347)32(2min22-=-=+y x当1cos =θ时，()347)32(2max22+=+=+y x解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22=+-y x ，可得222(3）--=x y且[]32,32+-∈x故14)2(32222-=--+=+x x x y x 由[]32,32+-∈x故[]347,3471422+-∈-=+x yx故所求最大值为347+，最小值为347-评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如ax b y --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题 变式 1 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0≥-+m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞B.),21[+∞-C.]12,(---∞D.]12,(+-∞ 变式2 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0)2(22≥-+-m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞ B.),51[+∞- C.]15,(--∞ D.]15,(+-∞题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程225x y --=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围解析 由题可知0,55≤≤≤-y x ，且2522=+y x ，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程21y x -=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆 例9.27 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A.{}2,2- B.{}211|-=≤<-b b b 或 C.{}11|≤≤-b b D.{}2|≥b b 分析 利用数形结合法求解解析 将曲线方程21y x -=变形为)0(122≥=+x y x ，当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时，满足12|00|=--b ，整理可得2||=b ，即2±=b .如图9-12所示，可得当2-=b 或11≤<-b 时，直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.故选B变式1 当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 变式2 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[]221,1+- B.[]221,221+- C.[]3,221- D.[]3,21- 变式3 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222, {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122),(，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______有效训练题1.若直线y =kx 与圆03422=+-+x y x 的两个交点关于直线x +y +b =0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2 2.若点(4a -1,3a +2)不在圆25)2()1(22=-++y x 的外部，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55,55 B.)1,1(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-55,55 D.]1,1[- 3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P （ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 4.已知圆422=+y x ，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)1(22x y x B. ()104)1(22<≤=+-x y xC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)2(22x y x D. ()104)2(22<≤=+-x y x 5.已知两点A (-1,0),B (0,2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是（ ） A.)54(21,2- B.)54(21),54(21-+ C.54,5- D. )25(21),25(21-+ 6.已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A.31 B.51 C.31- D.51- 7.定义在),0(+∞上的函数f (x )的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若1)(22≤+y x f ，则y x y x 2222+++的最小值是______8.已知圆C 经过()()5,1,1,3A B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______9.已知直线R m m x y l ∈+=,:.若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，该圆的方程为_______10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点(1,1)P 和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -；（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C -（4）已知一圆过(4,2),(1,3)P Q --两点，且在y 轴上截得的线段长为.11.设定点(3,4)M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边做平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.12.集合22(,)|((1)4A x y x y ⎧⎫⎪⎪=++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 集合{}22()(,)|22,B m x y y x mx m m m R ==-++∈，设集合B 是所有()B m 的并集，求A B ⋂的面积。

圆的方程（2018年5月）一、 知识要点1、圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．2、圆的标准方程：圆心为(),a b ，半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+- 方程中有三个参量a b r 、、，因此三个独立条件可以确定一个圆．3、圆的一般方程：二次方程220x y Dx Ey F ++++=（*）配方得：22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2240D E F +->，其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，叫做圆的一般方程． （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：22x y 、项系数相等且不为零，没有xy 项（2）当2240D E F +-=时，方程（*）表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当2240D E F +-<时，方程（*）不表示任何图形．（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程．4、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件若二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆，则有0A C =≠，0B =，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分．在0A C =≠，0B =时，二元二次方程化为220D E F x y x y A A A++++=， 仅当2240D E AF +->时表示圆．故220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①0A C =≠，②0B =，③2240D E AF +->． 5、经过两个圆交点的圆系方程经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ()1λ≠-．若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程．6、经过直线与圆交点的圆系方程0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ7、确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(．（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D ，,)2,2(圆心----E D 2422F E D r -+=——半径．二、 例题精讲 例1、（1）求过点()2,3A -、()2,5B --，且圆心在直线230x y --=上的圆的方程．（2）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,1A ，()1,2B ，()2,3C ，求ABC ∆外接圆的方程．答案：（1）()()221210x y +++=；（2）224470x y x y +--+=．例2、设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程． 答案：()()22112x y -+-=或()()22112x y +++=．例3、已知方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=()t R ∈的图形是圆． （1） 求t 的取值范围；（2） 求其中面积最大的圆的方程；（3） 若点()23,4P t 恒在所给圆内，求t 的取值范围． 答案：（1）117t -<<；（2）222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）304t <<．例4、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()()22f x x x b x R =++∈与两坐标轴有三个交点，记过三个交点的圆为圆C ．（1） 求实数b 的取值范围；（2） 求圆C 的方程；（3） 圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论．答案：（1）()(),00,1-∞；（2）()22210x y x b y b ++-++=；（3）()0,1及()2,1-．例5、已知()()22:234C x y -+-=，直线()():22178l m x m y m +++=+． （1） 证明：直线l 与C 恒相交；（2） 求直线l 被C 截得的线段长的最小值及此时l 的方程．答案：（1）提示：直线上的定点在圆内；（2）10x y +-=．例6、求过直线240x y -+=和圆222410x y x y ++-+=的交点．（1） 且经过原点的圆的方程；（2） 且有最小面积的圆的方程．答案：（1）2277042x y x y ++-=；（2）224819555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例7、已知2221:2450C x y mx y m +-++-=，222:22C x y x my ++-2m +30-=，m 为何值时，（1）1C 与2C 相外切；（2）1C 与2C 内含．答案：（1）5m =-或2m =；（2）21m -<<-．例8、已知圆C ()22:21x y ++=，(),P x y 为圆上任一点． （1） 求21y x --的最大、最小值； （2） 求2x y -的最大、最小值．答案：（1；（2）最大值为2-，最小值为2-三、 课堂练习1、在ABC ∆中，点()6,0A ，()6,0B -，顶点C 在圆2236x y +=上移动，则ABC ∆的重心的轨迹方程为 ．答案：()2240x y y +=≠． 2、已知圆2282120x y x y +--+=内部一点()3,0A ，经过点A 的弦中，最长的弦和最短的弦所在直线的方程分别为 ．答案：3y x =-，3y x =-+．3、已知点P为曲线,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩()0απ≤≤上的点，则点P 与点()0,1Q -的距离的最大值为 ．1．4、点P 在圆2284110x y x y +--+=上，点Q 在圆224210x y x y ++++=上，则PQ 的最小值为 ．答案：5．5、若直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为 ．答案：13-或3-．6、过点()2,4M -作圆()()22:2125C x y -+-=的切线l ，直线1:320l ax y a ++=与l 平行，则1l 与l 之间的距离是 ． 答案：125． 四、 课后作业一、填空题1、圆()()221316x y -++=关于直线10x y ++=对称的圆的方程是 ． 答案：()()222216x y -++=．2、与直线3410x y +-=垂直，且与圆()()22121x y +++=相切的直线方程是 ． 答案：413y x =+或4733y x =-． 3、为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为，则此圆方程为 ．答案：()()22214x y -++=04、点()3,0P 是圆2282120x y x y +---=内一点，在过点P 的弦中，最短的弦所在的直线方程是 ．答案：30x y +-=．5、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．答案：6、圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若90APB ︒∠=，则c 的值为 ．答案：3-．二、选择题7、设集合(){}(){},|0,,|M x y y y N x y y x b ==≠==+，若M N ≠∅，则b 满足（ ）A 、b ≤B 、3b -<≤C 、0b <≤D 、3b ≤≤答案：B8、将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆2224x y x y ++-0=相切，则实数λ的值为（ ）A 、3-或7B 、2-或8C 、0或10D 、1或11 答案：A9、圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）A 、36B 、18C 、D 、答案：C三、解答题10、根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在原点，且圆周被直线34150x y ++=分成1：2两部分；（2）与两平行直线1:210l x y --=、2:290l x y -+=均相切，且圆心在直线3210x y ++=上； （3）过点()4,1A -，且与已知圆222650x y x y ++-+=相切与点()1,2B 的圆的方程．答案：（1）2236x y +=；（2）22511548x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()22315x y -+-=．11、已知点()4,2P 和圆方程2210x y +=，过P 点作圆的两条切线，切点为A 、B ． （1）求切点弦AB 所在的直线方程；（2）过点P 作圆的任意割线，交圆于点C 、D ，求CD 中点E 的轨迹方程． 答案：（1）25x y +=；（2）()224203,3x y x y x y +--=<<．12、设实数x y 、满足方程：2286210x y x y +--+=．（1）当3x ≠时，求13y P x +=-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．答案：（1）42⎛⎡⎫-+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（2）最大值为5+，最小值为5-（3）最小值为21-21+．。

§第四章 圆与方程§4.1.1 圆的标准方程【课标定向】学习目标掌握圆的标准方程. 提示与建议回顾确定圆的基本要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程.【互动探究】自主探究1.指出下列圆的圆心和半径. (1)922=+y x ;(2)4)1()2(22=++-y x .2.写出下列圆的标准方程: (1)圆心在(1,2),半径长是3; (2)圆心在(-1,3),半径长是22.剖例探法★ 讲解点 圆的标准方程1.以),(b a A 为圆心,r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=，这是圆的标准方程.特别地,以原点为圆心, r 为半径的圆的标准方程是222x y r +=.当1r =时,方程为221x y +=,以原点为圆心,1为半径的圆通常称为单位圆.2.给定圆的标准方程，就可以知道圆心坐标和半径大小.3.圆的标准方程的求法有两种:一是运用定义,求出圆心坐标和半径长;二是利用待定系数法,确定,,a b r 三个参数.这需要三个独立的条件,解题时可充分利用圆的平面集合性质.例题1 已知圆心在(3,4)C --,且经过原点,求圆的标准方程，并判断点(1,0),(1,1)P Q --和圆的关系.【思维切入】知道圆心为(3,4)C --,可以设圆的方程为222(3)(4)x y r +++=,再根据圆过原点,求出半径.判断点与圆的关系,只需要研究点到圆心的距离与半径的关系即可.【解析】方法一:设圆的方程为222(3)(4)x y r +++=. 因为圆过原点，所以有222(03)(04)r +++=，225r =，所求圆的方程为22(3)(4)25x y +++=.||PC r =>,所以点P 在圆外.||5QC r ===,所以点Q 在圆上. 方法二:因为圆心为(3,4)C --,圆过原点,所以||5r OC ===,从而所求圆的方程为22(3)(4)25x y +++=.||PC r =>,所以点P 在圆外.||5QC r ===,所以点Q 在圆上.【规律技巧总结】(1)在知道圆心的情况下求圆的方程,只需要根据条件求出圆的半径即可.(2)判断点与圆的关系就是比较点到圆心的距离d 和半径r 的关系: ① 若点在圆内, 则d r <； ② 若点在圆上,则d r =; ③ 若点在圆外, 则d r >. 例题2 求过三点(0,5),A (1,2),B -(3,4)C --的圆的标准方程.【思维切入】 本题可以设圆的方程为222()()x a y b r -+-=,根据所给的条件待定参数,,a b r 即可;也可以根据圆的平面几何性质直接确定圆的圆心和半径.【解析】方法一: 设圆的方程为222()()x a y b r -+-=.因为(0,5),A (1,2),B -(3,4)C --都在圆上,所以有222222222(0)(5),(1)(2),(3)(4),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+--=⎩解得23,1,25.a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩故所求圆的标准方程为22(3)(1)25x y ++-=. 方法二: 因为(0,5),A (1,2),B -(3,4)C --都在圆上,所以圆心P 在AB 的垂直平分线710x y -=-上;也在BC 的垂直平分线2x y +=-上.由710,2,x y x y -=-⎧⎨+=-⎩得3,1.x y =-⎧⎨=⎩即圆心(3,P -.半径2222||(03)(51)25r P A ==++-=, 故所求圆的标准方程为22(3)(1)25x y ++-=.【规律技巧总结】解法一为待定系数法，就是求222()()x a y b r -+-=中的参数,,a b r 这是求圆的标准方程的基本方法；解法二为几何法，根据圆的平面几何性质直接确定圆的圆心和半径.具体采用哪种方法可以根据题目的条件灵活选择.例题3 求与x 轴切于点(5,0)并在y 轴上截取的弦长为10的圆的方程.【思维切入】因为条件与圆心有直接的关系，因此设出圆的标准方程即可解决问题. 【解析】设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=,因为圆与x 轴切于点(5,0),所以||,5r b a ==.因为圆在y 轴上截取的弦长为10,所以22210()502r a =+=,从而b =±所以所求圆的方程为22(5)(50x y -+±=.【规律技巧总结】22210()502r a =+=是根据弦心距、半径长、弦长之间的关系得出的,解决与弦长有关的问题,常采用此法. 精彩反思1.求圆的标准方程常用待定系数法,根据题目给定的条件列出关于,,a b r 的方程或方程组.2.在列关于,,a b r 的方程时,要注意联系平面几何的知识.如例题2,3的方法二.3.判定点与圆的位置关系主要有两种方法：（1）将点),(n m P 与圆心C 的距离跟半径r 比较.（2）利用圆的标准方程来确定： ①点),(n m P 在圆C上;)()(222r b n a m =-+-⇔ ②点),(n m P 在圆C内;)()(222r b n a m <-+-⇔③点),(n m P 在圆C外.)()(222r b n a m >-+-⇔ 【自我测评】1.以原点为圆心,4为半径的圆的方程是( )A ． 224x y += B ． 2216x y +=C ． 222x y +=D ． 22(4)(4)16x y -+-=2.已知圆的方程是22(2)(3)4x y -+-=,则点(3,2)P ( ) A ． 是圆心 B. 在圆上 C ． 在圆内 D. 在圆外3.圆心在点(2,3)P -,并且与y 轴相切的圆的方程为( )A ．22(2)(3)4x y -++=B ．22(2)(3)4x y ++-=C ．22(2)(3)9x y -++=D ．22(2)(3)9x y ++-=4.方程y =( ) A ．一条射线 B.一个圆 C ．两条射线 D.半个圆5.圆22(3)(4)1x y -++=关于直线y x=对称的圆的方程为（ ） A ．22(3)(4)1x y ++-=B ．22(4)(3)1x y -++=C ．22(4)(3)1x y ++-=D ．22(3)(4)1x y -+-=6.已知一个圆的圆心为(2,3)P -，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的方程是（ ）A ．22(2)(3)13x y -+-= B ．22(2)(3)13x y ++-=C ．22(2)(3)52x y -+-=D ．22(2)(3)52x y ++-= 【拓展迁移】思维提升7.已知三点(3,2),(5,3),(1,3)A B C --.以点(2,1)P -为圆心作一个圆使A 、B 、C 三点中一点在圆外,一点在圆内,一点在圆上,求这个圆的方程.视野拓展§4.1.2圆的一般方程【课标定向】学习目标回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中探索并掌握圆的一般方程. 提示与建议通过和圆的标准方程来帮助,加深对圆的一般方程的理解.【互动探究】自主探究1.圆222410x y x y +-++=的圆心为__________，半径为____________.2.将方程220x y Dx Ey F ++++=左边配方可得到_____________________①.当_____________时，方程①表示以__________为圆心为半径长的圆;当____________时, 方程①一个点_____________;当_____________时, 方程①不表示任何图形.3.已知圆的圆心为(1,1),半径为2,求出该圆的表准方程并化成一般方程.剖例探法★ 讲解点一 圆的一般方程1.方程220x y Dx Ey F ++++=,当2240D E F +->时,叫做圆的一般方程.这个条件不能忽略.例如2240x y ++=就不是圆的方程.2.圆的一般方程2x 2y +0Dx Ey F +++= (2240D E F +->)中二次项22,x y 的系数相等,都是1.如果所给方程不是上述形式可以化成上述形式再研究对应问题.同时需要注意这个二元二次方程中不含xy 项. 例题1 将下列方程化为标准方程,并写出圆的圆心和半径.(1)2246120x y x y ++--=; (2)224484150x y x y +-+-=. 【思维切入】将方程左边配方即得圆的标准方程. 【解析】(1)对方程左边配方,方程化为22(2)(3)25x y ++-=.所以圆的圆心为(2,3)-,半径为5.(2)方程两边除以4，得2215204x y x y +-+-=.方程左边配方，得221(1)()52x y -++=.所以圆的圆心为1(1,)2-,【规律技巧总结】圆的标准方程指明了圆的圆心和半径,而圆的一般方程表示了方程的形式特点.例题2 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径. (1)2210x y x +++=;(2)22220(0)x y ax a a +++=≠;(3)2222220(0)x y ax ay a ++-=≠.【思维切入】 (1),(2)符合220x y Dx Ey F ++++=的形式;方程(3)需要两边同除以2，然后看224D E F +-与0的大小关系.【解析】(1)1,0,1D E F ===,2241430D E F +-=-=-<.所以方程(1)不表示任何图形. (2)22,0,D a E F a ===,22224440D E F a a +-=-=.所以方程(2)表示点(,0)a -.(3)方程化简为220x y ax ay ++-=,,,0D a E a F ==-=, 222420D E F a +-=>.所以方程(3)表示圆,圆心为(,)22a a-,半径r ===. 【规律技巧总结】本题也可以先配方,化成圆的标准方程的形式,然后根据等号右边的数的符号加以判断.★ 讲解点二 求圆的方程求圆的方程,若选择一般方程,根据条件列出关于,,D E F 的方程组,解出,,D E F 代入圆的一般方程即可.这是典型的待定系数法的应用.例题 2 已知三角形ABC 的三个顶点坐标分别是(0,5)A ,(1,2)B -,(3,4)C --,求它的外接圆的一般方程.【思维切入】 可以设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,然后把三个点的坐标代入方程,得关于,,D E F 的方程组,解方程组得,,D E F 的值代入原方程即可.【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.由题意知,圆过(0,5)A ,(1,2)B -,(3,4)C --三点,所以有22222205050,1(2)1(2)0,(3)(4)(3)(4)0,D E F D E F D E F ⎧++⋅++=⎪+-+⋅+-+=⎨⎪-+-+-+-+=⎩化简得525,25,3425,E F D E F D E F +=-⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩解得6,2,15.D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为 2262150x y x y ++--=.【规律技巧总结】本小题我们在上一节用了两种方法解答,这是第三种方法.在具体问题中我们到底选用圆的标准方程还是圆的一般方程,需要根据题目所给的条件确定.如果条件和圆心半径有密切关系就选标准方程,否则可以选一般方程.例题3 求下列条件所确定的圆的方程. (1)已知圆经过两点(3,1),(1,3)A B -,且它的圆心在直线320x y --=上;(2)经过三点:(1,1),(1,4),(4,2)A B C --. 【思维切入】(1)的条件与圆心有关,可以选择圆的标准方程;(2)可以选择圆的一般方程.【解析】(1)设所求圆的圆心为(,)C a b , 因为,C A C B r ==圆心在直线320x y --=上,所以2222(3)(1)(1)(3),320,a b a b a b ⎧-+-=++-⎨--=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩从而2222(23)(41)10r C A ==-+-=.所以，所求圆的方程为22(2)(4)10x y -+-=. (2)设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.将,,A B C 三点坐标代入并整理得2,417,4220,D E F D E F D E F -+=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩解得7,3,2.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为227320x y x y +--+=.【规律技巧总结】求圆的方程常用“待定系数法”，求解的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于F E D r b a ,,,,或的方程组；③解出F E D r b a ,,,,或，代人标准方程或一般方程.★讲解点三 与圆有关的轨迹与轨迹方程(1)求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标(,)x y 所满足的等量关系并把这个方程化成最简形式.如果题目中无坐标系,就要先建立适当的直角坐标系.(2)轨迹与轨迹方程不同,前者是曲线,后者是方程.如果要求某个点的轨迹,往往需要先求出其轨迹方程,才能看出是什么曲线. 例题4 已知一动点P 到定圆22(2)(1)9x y -++=所引的切线长等于它到定点(7,5)M -距离的一半,求动点P的轨迹方程,并指出动点的轨迹.【思维切入】设(,)P x y ,切点为D ,列出动点P 的坐标所满足的关系式,并加以化简即可.【解析】设(,)P x y ,切点为D .圆心为(2,1)C -,依据题意点P 满足2P M P D =,而229PD PC =-,由以=化简得22(5)(3)64x y -++=.所以动点P 的轨迹为以(5,3)-为圆心,8为半径的圆.【规律技巧总结】求动点轨迹的步骤可以归结如下:(1)建立适当的坐标系,设动点的坐标(,)x y ;(2)根据题意,列出动点的坐标(,)x y 所满足的等式;(3)化简所得到的方程,指出动点的轨迹. 精彩反思 方程220x y Dx Ey F ++++=当2240D E F +->时表示圆心,圆心为(,)22D E --,半径为.求经过不在同一条直线上的三点的圆的方程常设一般方程,然后代入点的坐标的方程组求,,D E F .【自我测评】1.方程2222220x y ax by a b +++++=表示的图形是( ). A ．以(,)a b 为圆心的圆 B ．以(,)a b --为圆心的圆 C ．点(,)a b D ．点(,)a b --2.若圆的方程为(1)(2)x x -+(2)(4)0y y +-+=，则圆的圆心坐标为（ ）.A ．(1,1)- B.1(,1)2- C ．(1,2)- D.1(,1)2-- 3.已知圆的方程为222680x y x y +-++=那么经过圆心的一条直线方程是（ ）.A ．210x y -+= B.210x y ++= C ．210x y --= D.210x y +-=4.圆22222412160x y ax ay a +-++=(0)a <的周长等于( ).A．aB.a - C ．2a πD.a5.若方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,4)-为圆心,4为半径的圆,则F =_________.6.设圆2242110x y x y +-+-=的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中点M 的轨迹方程是__________.7.求ABC ∆的外接圆方程,其中(4,3A ,(5,2)B ,(1,0)C .【拓展迁移】 思维提升8.试说明当,,,,,A B C D E F 满足什么条件时,方程220Ax By Dx Ey F ++++=表示圆?视野拓展§4.2.1 直线与圆的位置关系(第一课时)【课标定向】学习目标能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. 提示与建议判断直线与圆的位置关系,常常需要比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系.【互动探究】自主探究1.直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆______,有两个公共点; (2) 直线与圆______,有一个公共点; (3) 直线与圆______,没有公共点. 2.判断下列各组直线与圆的位置关系: (1)221x y +=，2x =；（2）22(1)1x y -+=，2(1)y x =-；（3）222x y x y +=+=.剖析探法★ 讲解点一 直线与圆的位置关系的判断 1.直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,有一个公共点; (3)直线与圆相离,无公共点.2.判断直线与圆的位置关系的方法有两种: (1)几何法：设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,若d r <,直线与圆相交;若d r =,直线与圆相切;若d r >,直线与圆相离. (2)代数法：直线方程与圆的方程组成方程组.若方程组有两组解,则直线与圆相交;若方程组有一组解,则直线与圆相切;若方程组无解,则直线与圆相离.例题 1 已知圆228x y +=,定点(4,0)P ,问过点P 的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆(1)相交;(2)相切;(3)相离,并写出过点P 的切线方程. 【思维切入】本题有两种方法:(1)判断圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系;(2)判断直线与圆的方程组成的方程组的解的组数.【解析】方法一:设过点P 的直线的斜率为k (由已知k 存在),则方程为(4)y k x =-.由22(4)8y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ,得222(4)8x k x +-=,即2222(1)81680k x k x k +-+-=,22222(8)4(1)(168)32(1)k k k k ∆=--+-=-(1)令0∆>,即232(1)0,11k k ->-<<,所以当11k -<<时直线与圆相交. (2)令20,32(1)0,1k k ∆=-==±.所以当1k =±时直线与圆相切,切线方程为40x y --=或40x y +-=.(2)令0∆<,232(1)0k -<,1k >或1k <-,所以当1k >或1k <-时,直线与圆相离.方法二:设圆心到直线的距离为d ,则d ==.(1)d r >,即>,21k ∴>,即1k >或1k <-.所以，当1k >或1k <-时,直线与圆相离. (2) d r <,即<,21k ∴<,即11k -<<.所以，当11k -<<时,直线与圆相交. (3)d r =,=,12=∴k 即1±=k .所以，当1k =±时，直线与圆相切,切线方程为40x y --=或40x y +-=.【规律技巧总结】判断直线与圆的位置关系,原则上有代数法和几何法两种解法,在实际应用中几何法更方便.★讲解点二 圆的切线及其方程的求解建议添加此知识点例题2求过圆222:()()C x a y b r -+-=上一点00(,)M x y 的圆的切线方程. 【思维切入】 本题知道切点了,只需要确定切线的斜率即可.【解析】设0x a ≠且0y b ≠,所求的切线斜率为k ,由圆的切线垂直与过切点的半径得001CMx ak k y b-=-=--. 所以所求直线方程为0000()x ay y x x y b--=--- 即00()()()()y b y b x a x a --+--2200()()x a y b =-+-.又点00(,)M x y 在已知圆上,则有22200()()x a y b r -+-=,代入上式,得200()()()()y b y b x a x a r --+--= (1)当0x a ≠或0y b ≠时,经验证(1)式仍然成立,所以(1)式为所求的圆的切线方程.建议更换为下题例题2 已知圆C 的方程为9)1(22=+-y x ，求过)4,2(-M 的圆C的切线方程. 【思维切入】 本题知道切点了,只需要确定切线的斜率k 即可.直线与圆相切，所以r d =，但要注意k 不存在的情况. 【解析】,3=r 圆心)0,1(C 到点)4,2(-M 的距离,5r d >=∴点)4,2(-M 在圆C 外，切线有两条.（1） 当切线的斜率存在时，设过)4,2(-M 的圆C 的切线方程为),2(4+=-x k y即.042=++-k y kx 由圆心)0,1(C 到切线的距离等于半径3，得.314202=+++-k k k 解得,247-=k 代人切线方程得.082247=-+y x（2） 当切线的斜率不存在时，圆心)0,1(C 到直线2-=x 的距离等于半径3，所以2-=x 也是圆C 的切线方程.综上（1）（2），所求圆C 的切线方程为02=+x 或.082247=-+y x【规律技巧总结】①圆的切线垂直于过切点的半径,这个结论经常用到.在处理这类问题时要看清楚题目中所给的点是不是圆的切点.②求解本题注意所求圆的切线有两条，不能忽视直线的斜率不存在的情形.★ 讲解点三 相交弦长问题直线与圆相交,很多问题与弦长有关，解此类问题有两种方法：一是几何法，即用弦心距,半弦长和半径构成的直角三角形求解;二是代数法，将直线方程与圆的方程联立，运用韦达定理，弦长公式是.1122x x k AB -+=例题 3 求直线l :360x y +-=被圆C :22240x y y +--=截得的弦长.【思维切入】本题可以考虑利用弦心距,半弦长和半径构成的直角三角形求解. 【解析】圆C :22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=,其圆心坐标(0,1),半径r =点(0,1)到直线l 的距离为2d ==,所以半弦长为==,【规律技巧总结】在解决直线和圆相交弦长问题时，应首先考虑几何法，代数法虽然具有一般性，但计算量较大.本题也可以联立直线与圆的方程求出直线与圆的交点坐标,然后求弦长,由于计算比本题所给的方法复杂,所以很少运用. 精彩反思(1)设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,若d r <,直线与圆相交;若d r =,直线与圆相切;若d r >,直线与圆相离.(2) 在解决直线与圆相交的问题时,常常用到弦心距,半弦长和半径构成的直角三角形;相切时,圆心和切点的连线垂直于切线.(3)涉及直线的斜率时,常需分存在和不存在两种情况进行讨论.【自我测评】1.直线1x =和圆221x y +=的位置关系是( )A ．相交 B.相切C ．相离 D.无法确定2.直线4340x y +=和圆22100x y +=的位置关系是( )A ．相交 B.相切C ．相离 D.无法确定3.已知圆220x y Dx Ey F ++++=与y 轴相切于原点,那么( ) A ． 0,0D E F ==≠B ． 0,0,0D E F =≠=C ． 0,0,0DEF ≠==D ． 0,0,0DEF ≠≠=4.直线21y -=与圆22224210x y x y +--+=的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心5.若,,a b c 是直角三角形的三边,其中c 为斜边,那么直线0ax by c ++=与圆22()()1x a y b -+-=的位置关系是( )A ．相交 B.相切C ．相离 D.相交或相切6.圆心在x 轴上,半径为1,且与y 轴相切的圆的方程是_____________.7.若直线340x y R ++=与圆22650x y x +-+=相切,则实数R 的值等于___________.过点(1,1)A 且倾斜角是0135的直线与圆22(2)(2)8x y -+-=是什么位置关系?若相交,试求弦长.【拓展迁移】 思维提升自点(1,4)A -作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程.视野拓展§4.2.1 直线与圆的位置关系(第二课时)【课标定向】学习目标会根据直线与圆的位置关系求圆或直线的方程. 提示与建议1.根据直线与圆的位置关系求圆的方程,要先根据条件,灵活设出圆的方程.2.圆上的点到点或直线的距离的最值问题,常常转化为圆心到定点或直线的距离.【互动探究】自主探究 1.求以(2,1C -为圆心,截直线10x y ++=所得的弦长为的圆的方程.2.设点00(,)x y 在圆222x y r +=的外部,判断直线200x x y y r +=与圆的位置关系.剖析探法★ 讲解点一 求圆的方程根据直线与圆的位置关系求圆的方程,需要根据题目所给的条件,灵活的设出所求圆的方程.例题 1 求经过点(2,4)A --且与直线:l 3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.【思维切入】本题告诉了圆所过的两个定点,所以可以设圆的一般方程.【解析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则圆心(,)22D E C --.6282CB Ek D +∴=+， 由1CB l k k ⋅=-，得612()1382E D +⋅-=-+.① 又 22(2)(4)240D E F -+---+=，②2286860D E F ++++=. ③①②③联立可得11,3,30D E F =-==-. 所以，所求圆的方程为22113300x y x y +-+-=.【规律技巧总结】对同一个问题,设圆的标准方程还是设圆的一般方程,并不是绝对的.本题也可以设圆的标准方程.设圆心为P ,则直线PB 与直线l 垂直,且||||PA PB =.两个条件可以确定圆心,再进一步确定半径就确定圆的方程了,只是运算量有区别.我们选择某一方法是因为它方便,而不是因为这是唯一的方法.例题 2 求圆22(2)(3)1x y +++=关于直线20x y ++=对称的圆的方程. 【思维切入】两个圆大小一样,圆心不同,且两个圆的圆心关于已知直线对称.【解析】设圆心(2,3)C --关于直线20x y +-=的对称点为(,)C m n ',则2320,2231,2m n n m --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩解得1,0.m n =⎧⎨=⎩ 故所求圆的方程为22(1)1x y -+=.【规律技巧总结】若点,A B 关于直线l 对称,则直线l 为线段AB 的垂直平分线. ★ 讲解点二 与圆有关的最值问题圆上的点到点或直线的距离的最值问题,常常转化为圆心到定点或直线的距离. 例题 3 设点(,)P x y 在圆22(1)1x y +-=上任一点.(1);(2)求点P 到直线2y =-的距离的最小值.【思维切入】(1)是圆上的点与定点(2,0)的距离,需要转化为圆心到定点的距离;(2)可转化为圆心到直线的距离.【解析】(1)的几何意义是圆上的点(,)P x y 与定点(2,0)的距离.因为圆心(0,1)与定点(2,0)圆的半径是 1.所以1.(2)圆心(0,1)到直线2y =-的距离为3,圆的半径为1,所以点P 到直线2y =-的距离的最小值为3-1=2.【规律技巧总结】①圆上的点到点或直线的距离的最值问题,之所以常常转化为圆心到定点或直线的距离,是因为圆上的点很多,但圆心只有一个.这样可以化繁为简.②与圆有关的最值问题，往往需要根据几何图形中所隐含的条件，利用几何意义或几何知识解决.精彩反思1.涉及到直线被圆截得的弦长问题时,常用弦心距,半弦及半径构成的直角三角形计算,直线与圆的对称问题要注意联系平面几何的知识.2.对称与最值问题常用转化的思想解决.【自我测评】1.过点P 作圆224x y +=的切线,则圆的切线方程为( ) A2= B．x y +=C ．4x y += D ．以上答案都不对2.已知斜率为k 的直线y kx =被圆222x y +=所截,截得的弦AB 的长等于( ).A .4 B. 2 C． D.与k 有关 3.与坐标轴相切,圆心在第三象限,半径为1的圆的方程是( ) A ．22(1)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)1x y -+-= C ．22(1)(1)1x y ++-= D ．22(1)(1)1x y -++=4.圆2216x y +=上的点到直线3x y -=的距离的最大值是( ) A ．B.42- C ．4+D. 0 5.求圆22(2)1x y -+=关于直线y x =的对称的圆的方程.6.圆心在直线y x =上，且与直线210x y +-=相切的圆，截y 轴所得弦长为2，求此圆的方程.【拓展迁移】 思维提升7.已知,A B 为二次函数2y x =图象上两点，它们的横坐标为a 和2a ，求OAB ∆（O 为坐标原点）的外接圆方程.视野拓展§4.2.2 圆与圆的位置关系【课标定向】学习目标能根据给定的方程判断圆与圆的位置关系.提示与建议判断圆与圆的位置关系关键是看圆心距与半径的关系.【互动探究】自主探究1.两圆221:230C x y x +--=,222:4230C x y x y +-++=的位置关系是( )A ． 外离 B. 相切 C ． 相交 D. 内含 2.两圆22x y r+=与222(3)(1)x y r -++=(0)r >外切,则r 的值是( ) A ．B. C ． 5D.3.两圆22x y a+=(0a >与2268110x y x y ++--=内切,则a 的值为_________________.剖析探法★ 讲解点一 圆与圆位置关系的判断 1.圆与圆有五种位置关系:外离,外切,相交,内切,内含.其中外切和内切统称为相切,外离和内含统称为相离.2.设两圆的半径分别为12,r r ,两圆的圆心距为d ,则:①当12d r r >+时,两圆外离; ②当12d r r =+时,两圆外切;③当1212||r r d r r -<<+时,两圆相交;④当12||d r r =-时,两圆内切;⑤当12||d r r <-时,两圆内含.3.两圆的方程组成的方程组若有两解,则两圆相交;若有一解,则两圆相切;若无解则两圆相离.但这种方法不能判断内切还是外切,外离还是内含.例题1 判断下列两圆的位置关系,若相交,请求出公共弦的方程. (1)22(2)(2)1x y ++-=和22(2)(5)16x y -+-=;(2)22670x y x ++-=和226270x y y ++-=.【思维切入】(1)找出两圆的圆心距与半径比较即可;(2)先将方程化成标准形式,再按照上述方法进行判断. 【解析】(1)根据题意的,两个圆的半径分别为121,4r r ==,两圆的圆心距5d ==,12d r r =+,所以两圆外切.(2)将圆的一般方程化成标准方程,得22(3)16,x y ++=22(3)36x y ++=.故两圆的半径分别为124,6r r ==,两圆的圆心距d ==210<<即1212||r r d r r -<<+,所以两圆相交.22670x y x ++-=和226270x y y ++-=两式相减得33100x y -+=,这就是公共弦的方程.【规律技巧总结】设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①,222222:0C x y D x E y F ++++= ②,相交，①-②得：121212()()0D D x E E y F F -+-+-=就是两圆公共弦的方程. 例题2求过点(0,6)且与圆22:10100C x y x y +++=相切于原点的圆的方程. 【思维切入】 求圆的方程,关键就是确定圆的圆心和半径.【解析】方法一:将圆C 化为标准方程得22(5)(5)50x y +++=,则圆心为(-5,-5),所以经过此圆心和原点的直线方程为0x y -=.设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=.由题意得222222(0)(0),(0)(6),0.a b ra b ra b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-=⎩解得3,3,a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22(3)(3)18x y -+-=.方法二:由题意,所求圆经过点(0,0)和(0,6),所以圆心在直线3y =上,又由解法一,知圆心在直线0x y -=上,所以由3,0,y x y =⎧⎨-=⎩得圆心为(3,3).所以r ==故所求圆的方程为22(3)(3)18x y -+-=.【规律技巧总结】解题时注意合理利用平面几何的知识.两圆相切时,两圆圆心的连线过切点;两圆相交时,两圆圆心连线垂直平分公共弦. 精彩反思1.圆与圆的位置关系的判断有两种方法: (1)几何法：依据圆心距与半径的关系; (2)代数法：依据两圆方程组成的方程组的解的情况.两种方法中,以几何法用的较多.2,解答本部分问题时注意利用平面几何的有关知识.【自我测评】1.圆221:26260C x y x y ++--=与圆222:4240C x y x y +-++=的位置关系是( )A ． 内切 B. 外切 C ． 相交 D. 相离2.两圆22616480x y x y +-+-=与2248440x y x y ++--=的公切线条数是( ).A ． 4 B. 3 C. 2 D. 13.设0r >,两圆222(1)(3)x y r -++=与2216x y +=的位置关系不可能是( )A ．相切 B.相交C ．内切或内含 D.外切或外离4.半径为6的圆与x 轴相切,且与圆22(3)1x y +-=内切,则此圆的方程是( )A ．22(4)(6)6x y -+-=B ．22(4)(6)6x y ±+-=C ．22(4)(6)36x y -+-=D ．22(4)(6)36x y ±+-= 5.已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．22(5)(7)25x y -++=B ．22(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)15x y -++= C ．22(5)(7)9x y -++= D ．22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++=6.两圆2260x y x +-=和224x y +=的公共弦所在直线方程是_________. 7.若圆22x y m+=与圆2268110x y x y ++--=内切,求m .【拓展迁移】 思维提升8.求经过两圆22100x y x +-=和22200x y y ++=的交点且面积最小的圆的方程.视野拓展§4.2.3 直线与圆的方程的应用【课标定向】学习目标能用直线和圆的方程的知识解决一些简单问题. 提示与建议在解决问题的过程中体会用代数的方法处理几何问题的思想.【互动探究】自主探究 .求直线:22l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.剖析探法★ 讲解点 解析法解决几何问题 1.用坐标法解决平面几何问题的步骤: (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;(2)通过代数运算,解决代数问题;(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.需要注意的几个问题:(1)直线方程有多种形式,根据题目的不同选择不同的形式,可以快捷地求出直线方程,需要设斜率时,一定要考虑斜率不存在的情况.(2)圆的方程有两种形式,需要根据条件的差异选择不同的形式求圆的方程.求圆的方程时用到平面几何的知识.例题1 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.一辆宽为2.7m ,高为2.5m 的货车能不能驶入该隧道?假设货车的最大宽度为am ,那么货车要驶入该隧道,高至多为多少m ? 【思维切入】以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,然后用圆的知识研究所给问题即可.建议添加图形【解析】以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.那么半圆的方程为2216(0)x y y +=≥，将 2.7x =代入，得2.5y ==>.即在离中心线2.7米处,隧道的高度大于货车的高度,因此,货车能驶入这个隧道. 将x a =代入2216(0)x y y +=≥，得y =所以,货车要驶入该隧道,高至多为.【规律技巧总结】读懂题意，通过建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决.合理建立直角坐标系是解决这类问题的关键.解决完得到的数学问题后,别忘了将数学结论转译成实际问题中的结论. 精彩反思直线与圆的方程在生产,生活实践以及数学中有着广泛的应用,要善于利用其解决一些实际问题,关键是把实际问题转化为数学问题;要有意识用坐标法解决几何问题,用坐标法解决几何问题的步骤可以归结为(1)建系,将几何问题转化为代数问题;(2)通过代数运算,解决代数问题;(3)把代数运算的结果“翻译”为几何结论. 【自我测评】 1.直线29x y ++=被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为( ) A ．B.C ．D. 52.过原点的直线与圆22430x y x +++=相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( )A．y =B.y = C．3y x =D.3y x = 3.一涵洞的横截面是半径为5m 的半圆,则该半圆的方程为( ) A ．2225x y += B ．2225(0)x y y +=≥C ．22(5)25(0)x y y ++=≤D ．随建立的直角坐标系的变化而变化 4.若直线1ax by +=与圆221x y +=相交,。

圆的方程1。

圆的定义 ：在平面内到定点(圆心）的距离等于定长(半径)的点的集合。

2。

圆的方程标准式：222()()x a y b r -+-=,其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心． 一般式：220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->)。

其中圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为22142D E F +- 参数方程：cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，cos (sin x a r y b r ααα=+⎧⎨=+⎩是参数). 消去θ可得普通方程3。

点与圆的位置关系判断点(,)P x y 与圆2()x a -+22()y b r -=的位置关系代入方程看符号.4。

直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.判断方法： （1)代数法：(判别式法）0,0,0∆>∆=∆<时分别相离、相交、相切。

（2）几何法：圆心到直线的距离 ,,d r d r d r >=<时相离、相交、相切.5．弦长求法(1)几何法：弦心距d ，圆半径r ,弦长l ，则2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2）解析法:弦长公式= │x1—x2│√（k^2+1）=│y1—y2│√[（1/k^2)+1］6．圆与圆的位置关系:相交、相离、相切直线与圆的经典例题解析1.已知圆x2+y2+x —6y+m=0和直线x+2y —3=0交于P ，Q 两点,且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.解： 将x=3—2y 代入方程x2+y2+x —6y+m=0，得5y2—20y+12+m=0.设P （x1，y1），Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1+y2=4， y1y2=.512m+ ∵OP ⊥OQ ， ∴x1x2+y1y2=0。

而x1=3—2y1，x2=3-2y2。

∴x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2。

∴m=3,此时Δ＞0，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-321，, 半径r=25.圆的方程1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a 的取值范围是 （ D ）A 。

高中圆的方程典型例题精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为 ∴2225b a d -=当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴21422=++-kk解得43=k 所以()4243+-=x y即01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

圆的方程知识点及题型归纳总结由于题目对于具体的格式并没有限制，下面将逐步介绍圆的方程知识点以及一些相关题型的归纳总结。

一、圆的基本知识在开始介绍圆的方程之前，我们先来回顾一些与圆相关的基本知识：1. 定义：圆是由平面上到一个定点的距离恒等于一个定值的所有点的集合。

2. 元素：圆心、半径。

3. 直径：连接圆上任意两个点，并通过圆心的线段称为圆的直径，它的长度是半径的两倍。

4. 弦：连接圆上的两个点，并没有通过圆心的线段。

5. 弧：连接圆上的两个点，并在圆上的部分。

6. 弧长：弧所对应的圆周上的一部分的长度。

二、圆的方程类型及示例1. 标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2在标准方程中，(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

例如，圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。

2. 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0在一般方程中，系数D、E、F的值决定了圆心与半径的关系，可以通过配方将一般方程转化为标准方程。

例如，圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0。

三、常见的圆相关题型归纳1. 求圆心和半径：已知圆的方程，求圆心和半径的长度。

策略：将方程与标准方程形式进行对比，通过对坐标系上的平移和缩放得到圆心和半径。

示例：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0，则圆心为(3, 2)，半径为√10。

2. 求圆与直线的交点：已知圆心、半径和直线方程，求圆与直线的交点坐标。

策略：将直线方程代入圆的方程，解圆方程与直线方程联立方程组，求解得到交点坐标。

示例：已知圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5，直线方程为y = 2x + 1，则交点坐标为(-1, -1)和(2, 5)。

3. 判断点的位置关系：已知圆心、半径和点的坐标，判断点与圆的位置关系。

策略：计算点到圆心的距离，与半径进行比较。

第四章圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋3)2＋(y－1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 23．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝17．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是()A．|a|＜1B．a＜113C．|a|＜1 5D．|a|＜1 139．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．4.1.2 圆的一般方程1．圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k>1B．k<1C．k≥1D．k≤14．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是()A．3x＋2y＋1＝0B．3x＋2y＝0C．3x－2y＝0D．3x－2y＋1＝05．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．6．点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1B．0<a<1C ．－1<a <15D ．－15<a <1 7．求下列圆的圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.8．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( )A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)求圆的圆心和半径；(3)求该圆的半径r 的最大值及此时圆的标准方程．4．2 直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线y ＝x ＋3与圆x 2＋y 2＝4的位置关系为( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．下列说法中正确的是( )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点3．若直线x ＋y ＝2与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为( )A.12B.22C. 2 D ．2 4．(2013年陕西)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定5．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( )A.2x ＋y ＝5B.2x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y ＝5D ．2x ＋y ＋5＝06．(2013年浙江)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．7．已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．8．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．39．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4，直线l ：(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8.(1)证明：无论m 为何值，直线l 与圆C 恒相交；(2)当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值．10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ∶ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝2 2时，求直线l 的方程．4.2.2 圆与圆的位置关系1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是() A．外离B．外切C．相交D．内切2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为()A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．2x＋y＝03．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是()A．2 B．3C．4 D．54．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是()A．－1 B．2C．3D．06．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 3，求实数a的值．8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．4.2.3 直线与圆的方程的应用1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()A．0或2 B．2C. 2 D．无解3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为() A．y＝3xB．y＝－3xC．y＝3 3xD．y＝－3 3x4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是() A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能5．圆x 2＋y 2－4x －4y －1＝0上的动点P 到直线x ＋y ＝0的最小距离为( )A ．1B ．0C ．2 2D ．2 2－36．过点P (2,1)作圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a ＋1＝0的切线只有一条，则a 的取值是( )A ．a ＝－3B ．a ＝3C ．a ＝2D ．a ＝－27．与圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点P (3，1)，则直线AB 的方程为____________．9．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)．(1)若点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若实数m ，n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，求k ＝n －3m ＋2的最大值和最小值． 4.3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系1．点P (－1,0,1)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x 轴的对称点的坐标是( )A ．(－2,1，－4)B ．(－2，－1，－4)C ．(2，－1,4)D ．(2,1，－4)3．点P (－4,1,3)在平面yOz 上的投影坐标是( )A ．(4,1,0)B ．(0,1,3)C ．(0,3,0)D ．都不对4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ 垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．第一象限内6．设x ，y 为任意实数，相应的点P (x ，y,3)的集合是( )A ．z 轴上的两个点B ．过z 轴上的点(0,0,3)，且与z 轴垂直的直线C ．过z 轴上的点(0,0,3)，且与z 轴垂直的平面D ．以上答案都有可能7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()A．(3，－1,5)B．(3,7,4)C．(0，－8,1)D．(7,3,1)8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．10．如图K4-3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD ⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．图K4-3-14．3.2 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为()A. 6 B．6C. 3 D．22．坐标原点到下列各点的距离最大的是()A．(1,1,1) B．(2,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,3,4)3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为() A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝()A．10 B.10C．2 10 D．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝()A.534 B.532C.532 D.1326．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝5，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．第四章 圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．C 2.D3．(－2,2) |m | 4.±5 5.(x ＋2)2＋(y －1)2＝26．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知?0－1?2＋?b －2?2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.7．解：方法一：设圆心P (a ，b )，则⎩⎨⎧a －3b －10＝0，?a －5?2＋b 2＝?a ＋2?2＋?b －1?2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. 圆的半径r ＝?a －5?2＋b 2＝?1－5?2＋?－3?2＝5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：线段AB 的中点P ′⎝⎛⎭⎫5－22，0＋12，即P ′⎝⎛⎭⎫32，12.直线AB 的斜率k ＝1－0－2－5＝－17. ∴弦AB 的垂直平分线的方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32， 即7x －y －10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －10＝0，7x －y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.即圆心P (1，－3)． 圆的半径r ＝?1－5?2＋?－3?2＝5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25.8．D9.41＋510．解：∵弦AB 的长为2 3，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴|a －2＋3|a 2＋1＝1，∴a ＝0.4．1.2 圆的一般方程1．(3,0) 2.4 3．B 4.A5．2 13π6．A7．解：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12. (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.8．C 解析：圆的标准方程是：(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r ＝13.过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．9．解：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧ x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线的方程，得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简，得2x －3y －6＝0即为所求．10．解：(1)由圆的一般方程，得[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，解得－17<t <1. (2)圆心为⎝⎛⎭⎫－－2?t ＋3?2，－2?1－4t 2?2，即(t ＋3,4t 2－1)，半径r ＝12[－2?t ＋3?]2＋4?1－4t 2?2－4?16t 4＋9? ＝－7t 2＋6t ＋1.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， 所以当t ＝37时，r max ＝4 77， 故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. 4．2 直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系1．D 2.D 3.D4．B 解析：点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，有a 2＋b 2>1，圆心到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，所以直线与圆O 相交． 5．C 解析：因为点(2,1)在圆x 2＋y 2＝5上，所以切线方程为2x ＋y ＝5.6．4 5 解析：圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|6－4＋3|5＝5，弦长等于252－?5?2＝4 5. 7．解：设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4， 所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3.由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3.解得k ＝±3. 8．C9．(1)证明：由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8，得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8，即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －7＝0，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. ∴无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2)．(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，∴最短的弦的斜率为1，故最短弦的方程为x －y －1＝0.∴m ＝－1.10．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34.故当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切． (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.∴直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.4．2.2 圆与圆的位置关系1．B 2.D 3.A4．C 解析：圆化为标准方程，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心O 1(2，－1)，r 1＝2，O 2(－2,2)，r 2＝3.∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴两圆外切．∴公切线有3条．5．D 6.A7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y ＝1a .利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1a ，得⎪⎪⎪⎪1a ＝22－?3?2＝1，解得a ＝1或a ＝－1(舍)． 8．5－2 29．解：(1)将两圆方程C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减，得2x ＋y －5＝0.∴公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 2，圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离为2 5，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 30.10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝20，4x －2y －20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 故对任意实数a ，该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2.①若两圆外切，则2＋5?a －2?2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍)； ②若两圆内切，则|5?a －2?2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55，或a ＝1＋55(舍)． 综上所述，a ＝1±55. 4．2.3 直线与圆的方程的应用1．D 解析：该圆的圆心(－a ，a )，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．B 解析：圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2＝m ，m ＝2. 3．C4．C 解析：由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离，则1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1， ∴P 在圆内．5．C 6.A7．A 解析：过原点的直线也满足条件．8．x ＋y －4＝09．D 解析：方法一：∵实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，∵记P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝3上的点，y x是直线OP 的斜率，记为k .∴直线OP ：y ＝kx ，代入圆的方程，消去y ，得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0.直线OP 与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0，∴－3≤k ≤ 3.方法二：同方法一，直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2－0|k 2＋1≤3，∴－3≤k ≤ 3. 10．解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0.解得a ＝4，∴P (4,5)．∴|PQ |＝?4＋2?2＋?5－3?2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心坐标C 为(2,7)，半径为2 2，∴|QC |＝?2＋2?2＋?7－3?2＝4 2.∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2.(3)设点(－2,3)的直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆．易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2.∴k ＝2±3. ∴k ＝n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系1．C 解析：点P 的y 轴坐标为0，则点P 在平面xOz 上．2．B 解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．3．B 4.B 5.B 6.C 7.B8．7 8 3 9.510．解：由图知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面ABCD ， 从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b .由H 为DP 的中点，得H (0,0，b )．E 在底面ABCD 上的投影为AD 的中点，∴E (a,0，b )．同理G (0，a ，b )．F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 的横坐标相同，都是a ，点F 与G 的纵坐标也同为a ，又F 的竖坐标为b ，故F (a ，a ，b )．4．3.2 空间两点间的距离公式1．B 2.C 3.A 4.A 5.C6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球7．解：由题意设A (0，y,0)，则?y －1?2＋4＝5，得y ＝0或y ＝2，故点A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．8．直角 解析：因为|AB |2＝9，|BC |2＝9＋36＝45，|AC |2＝36，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形．9.87解析：|AB | ＝?x －1?2＋?5－x －x －2?2＋?2x －1－2＋x ?2＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 故当x ＝87时，|AB |取得最小值． 10．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |.设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32.显然，此式对任意y ∈R 恒成立．∴y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，∴只要满足|MA |＝|AB |，就可以使得△MAB 是等边三角形． ∵|MA |＝10＋y 2，|AB |＝?1－3?2＋?0－0?2＋?－3－1?2＝20，∴10＋y 2＝20，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。