六年级数学下册 正比例1一课一练(无答案) 北师大版

4.2正比例第一课时1.填空题。

(1)两种相关联的量,一种量变化,另一种量( )。

当两种量中相对应的两个数的( )一定时,这两种量成正比例。

(2)如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例可以表示为( )。

2.正方形的边长和周长如下表。

正方形的边长/1 2 3 4 ……厘米正方形的周长/4 8 12 16 ……厘米(1)写出几组对应的正方形的周长和边长的比,并求出比值。

（2）这个比值表示什么意义?(3)正方形的周长和边长成什么比例?为什么?3.订阅《小学生数学报》的份数与钱数如下表。

份数 1 2 3 4 ……钱数/元15 30 45 60 ……(1)写出几组对应的钱数和份数的比,并求出比值。

（2）这个比值表示什么意义?(3)钱数和份数成什么比例?为什么?第二课时1.下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。

先看图填表,再判断题目中的两种量是否成正比例。

说出你的理由。

行驶路程/千米0 20 70耗油量/升 4 6 82. 一列火车行驶的时间与路程的变化情况如下表:路程/千米70 140 210 280 350 420 490 560 ……时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 ……(1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?(2)写出几组这两种量中相对应的两个数的比,并比较比值的大小。

说说这个比值表示什么。

(3)表中相关联的两个量成正比例吗?为什么?3. 甲、乙两人的速度比是9∶10,他们同时从两地相向而行,相遇时离中点5千米。

相遇后两人继续前进,当乙到达甲的出发地时,甲离乙的出发地还有多少千米?第一课时参考答案：1.（1）也随着变化 比值 （2）xy =k （一定）2.（1）41=4，82=4，123=4，164=4 （2）边长有4条 （3）成正比例，因为它们的比值一定。

3. （1）151=15，302=15，453=15，604=15（ 2）数学报的单价 （3）成正比例，因为它们的单价（比值）一定。

正反比例综合复习同步练习1. 某工厂有职工1800人，男女职工人数比是5∶4，求男女职工各多少人？2. 沙子灰是灰和沙子混合而成的，它们的比是7∶3．要用280吨沙子灰，则灰和沙子各需多少吨？3. 图书馆买来180本儿童故事书，按1∶2∶3分给低、中、高年级同学阅读．低、中、高年级各分到多少本？4. 学校把560棵的植树任务，按照五年级三个班人数分配给各班．一班47人，二班45人，三班48人．三个班级各植树多少棵？5. 有一块试验田，周长200米，长与宽的比是3∶2．这块试验田的面积是多少平方米？6. 看图编一道按比例分配题解答．7. 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％．最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？8. 有两堆棋子，A 堆有黑子350个和白子500个，B 堆有黑子400个和白子100个．为了使A 堆中黑子占A 堆的21，B 堆中黑子占43．要从B 堆中拿到A 堆黑子、白子各多少个？9. 高中学生的人数是初中学生人数的65，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的1712，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，问高、初中毕业生共有多少人？10. 张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的53，王用了自己钱数的43，李用了自己钱数的32，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元？【试题答案】1. 男女职工各1000人和800人2. 灰和沙子各需196吨和84吨3. 低、中、高年级各分到30本，60本，90本．4. 提示：①三个班植树的总棵树是几？①题目要求按什么比？人数比是几比几？①三个数的和及三个数的比知道后，根据“按比例分配”的规律，一班188棵，二班180棵，三班192棵5. 提示：（这道题给了长与宽的比是3∶2，指的是一个长与一个宽的比，而周长包括2个长和2个宽，因此先求出一个长宽的和，即200÷2，然后把100按3∶2去分配．）这块试验田的面积是2400平方米6. 苹果和桔子共重1200千克，糨们的重量比是3：1，求苹果和桔子各重多少千克？苹果和桔子各重900千克和300千克7. 解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.1人买3件少 5％×3；1人买2件多 5％×2；1人买1件多 15％ ×1.1人买3件与1人买1件成A 组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B 组，即按2∶3的比例.A 组是2人买4件，每人平均买2件.B 组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2. B 组人数是（76－2×33）÷（24－2）＝25（人），其中买3件1032225＝+⨯（人）， 买2件（人）＝1532325+⨯ A 组人数是33－25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人.10＋4＝14（人）.答：买3件的顾客有14位.8. 解：要B 堆中黑子占43，即黑子与白子之比是3：1．先从B 堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40－100）∶100＝3∶1．再要从B 堆拿出黑子与白子到A 堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比．现在A 堆已有黑子350＋100＝450个，与已有白子500个，相差50个．要黑子占21，就是两种棋子一样多．从B 堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是 50÷（3－1）＝25（个）．再要拿出黑子数是 25×3＝75（个）．答：从B 堆拿出黑子 175个，白子25个．由于时间的关系这些题放在模拟试题中，让学生自己阅读理解9. 解一：先画出如下示意图：6－5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）＝ 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝ 1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.解二：用65乘初中人数，应与高中人数一样多，就产生如下算式，可计算出每份是 （人））＝（）（4012651765520520-⨯÷⨯- 10. 解：设钢笔的价格是1.张有的钱数是1÷3553＝， 王有的钱数是1÷3443＝ 李有的钱数是1÷2332＝ 这样就可以求出，钢笔价格是108÷（233435++） ＝108÷69810++ ＝24（元）张剩下的钱数是24×（135-）＝16（元） 李剩下的钱数是 （元）＝（元））＝（2812161212324+-⨯ 答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的．为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1．每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地计算．解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧．。

六年级下册数学一课一练-2.1比例的认识一、单选题1.能与3∶8组成比例的是（）。

A. 8∶3B. ∶C. 0.2∶0.6D. 1 5∶402.根据6×7=2×21，写出下面的比例中正确的一组是（）A. 6：7=2：24B. 6：2=7：21C. 6：2=21：73.a筐橘子的40%和b筐橘子的50%相等，那么（）A. a=bB. a＞bC. a＜b4.0.25：2与下面（）不能组成比例．A. 2.5：20B. 2：C. 0.05：0.4D. 1：8二、判断题5.比值相等的两个比一定能组成一个比例。

（）6.比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互为倒数．（）7.若5：4的前项加上5，要使比值不变，后项也应加上5．（）8.如果x= y，那么x与y的比是5：6（）三、填空题9.4∶9=________∶0.9，外项有________，内项有________．（按题中数的顺序填写）10.12的因数有________个，选4个组成一个比例是________。

11.3：4=6：8，如果第一个比的后项加3，那么第二个比的后项应该加________才能使等式成立。

四、计算题12.一个比例的两个外项互为倒数，一个内项是，写出符合条件的一个比例。

五、解答题13.根据1.6×6=2.4×4，写出8个不同的比例。

14.把8×2.5＝0.4×50改写成四个不同的比例参考答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】3：8=3÷8=，选项A，8：3=8÷3=，≠，不能组成比例；选项B，：=÷=，≠，不能组成比例；选项C，0.2：0.6=0.2÷0.6=，≠，不能组成比例；选项D，15：40=15÷40=，=，能组成比例。

故答案为：D。

【分析】判断两个比是否能组成比例，可以分别求出比值，比值相等的两个比能组成比例，据此解答。

北师大版数学六年级下册一课一练4.正比例和反比例（含答案）一、单选题1.一堆煤，已烧的吨数和剩下的吨数（）A. 成正比例B. 成反比例C. 不成比例2. 圆的直径一定，圆的周长和圆周率（）A. 成正比例B. 成反比例C. 不成比例3.某煤厂有一堆煤，运出，又运进11吨，这时厂里的煤与原来存煤的比恰好是1∶8，原存煤（）A. 624吨B. 426吨C. 246吨D. 264吨4.一架客机从北京飞往上海，飞行速度和所用的时间（）A. 成正比例B. 成反比例C. 不成比例5.三角形的面积一定，底和高（）A. 成正比例B. 成反比例C. 不成比例6.圆的周长和它的直径（）A. 成正比例B. 成反比例C. 不成比例二、判断题7.长方形的面积一定，长和宽成正比例。

8.长方形的面积一定时，长越大，宽越小。

9.比的后项一定，前项和比值成正比例。

10.三角形的面积一定，它的底和高。

11.判断对错三角形的高一定，它的底和面积成正比例关系．三、填空题12.王强按下边表中的比例配制一种盐水．（1）如果用12克盐配制这样的盐水，需要________克水？（2）如果要配制这样的盐水2千克，需要盐________克？13. 王飞以每小时40千米的速度行了240千米，按原路返回时每小时行60千米，王飞往返的平均速度是每小时行________ 千米．14.把左边的三角形按一定的比缩小后得到右边的三角形，求未知数x________．(单位：cm)15.优质大米的重量和总价如下表。

（2）比值实际上表示________，用式子表示他们的关系，关系式为________。

（3）下结论：大米的________一定，________和________成正比例。

16.筑路队12人5天可以修路3000米，照这样的速度，如果再增加4人，修一条长7600米的路需要________天．（用比例解）17.填空（1）一堆白菜10千克(填写下表)________（2）一堆白菜重量一定，吃去的和剩下的________.四、计算题18.一艘轮船，从甲地开往乙地，每小时行20千米，12小时到达，从乙地返回甲地时，每小时航行8千米，几小时可以到达？五、解答题19.毛师傅加工零件的情况如下图．毛师傅加工零件的个数和时间成正比例吗？你是根据什么判断的？20.如果x和y成正比例关系，当x=16时，y=0.8；当x=10时，y是多少？如果x和y成反比例关系，当x=16时，y=0.8；当x=10时，y是多少？六、综合题21.一辆汽车所行的时间与路程的关系，可以用右图来表示，请你根据图上信息填一填、算一算下列问题。

六年级下册数学一课一练-2.1比例的认识一、单选题1.下列各组比中，不能组成比例的是（）。

A. 6：10和9：15B. 5：20和4：1C. 0.6：和3：1D. 6：4和：2.能与0.25：组成比例的是（）。

A. 2.5：0.4B. 25：4C. 0.05：2D. 5：83.下面( )组中的两个比可以组成比例。

A. 6：10和9：15B. 20：5和1：4C. ：和3：4D. 0.6：0.2和：4.下面各组的两个比，可以组成比例的是（）A. 和B. 8：9和4：3C. 8.4：2.1和1.2：8.4二、判断题5.比其实就是比例．（）6.由两个比组成的式子叫做比例。

（）7.由两个比组成的式子叫做比例。

（）8.如果a×7=b×8，那么a：b=7：8。

（）三、填空题9.甲数的相当于乙数的（甲、乙两数都不为零），甲数：乙数＝________：________。

10.解比例．0.6∶4.8=x∶8x=________11.在一个比例里，两个内项的积是最小的合数，一个外项是5，另一个外项是________．四、解答题12.根据3×8＝4×6写成比例13.根据3×12=4×9可以写出多少个比例？参考答案一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：A项：10×9=90，6×15=90，能组成比例；B项：5×1=5，20×4=80，不能组成比例；C项：0.6×1=0.6，×3=0.6，能组成比例；D项：6×=2，4×=2，能组成比例。

故答案为：B。

【分析】依据比例的基本性质，在比例里，两个内项积等于两个外项积。

2.【答案】D【解析】【解答】0.25：=0.25÷=；选项A，2.5：0.4=2.5÷0.4=；选项B，25：4=25÷4=；选项C，0.05：2=0.05÷2=；选项D，5：8=5÷8=；0.25：=5：8。

北师大版六年级数学下册一课一练 2.1《比例的认识》同步练习一、选择题1.根据xy=mn，下面组成的比例错误的是（）。

A. m：y=x：nB. n：x=y：mC. y：n=x：mD. x：m=n：y2.下列各组数，能组成比例的是？（）A. 2，3，4，5B. 1.5，3，4.5，6C. 116，18，14，12D. 0.6，3，6，323.在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是2，另一个外项是（）。

A. 12B. 1C. 24.下面能与6：13组成比例的是（）A. 13：6 B. 3：16C. 9：16D. 3：195.如果A＝25B，则A：B＝（）A. 5：2B. 1：25 C. 2：5 D. 25：16.如果A×2=B÷3，那么A：B=（）A. 2：3B. 6：1C. 1：67.3：5=6：10，如果将比例中的3改为12，那么5改为（）A. 14B. 16C. 20二、判断题8.在比例里，两个外项的积减去两个内项的积，差是0。

9.比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互为倒数。

（）10.14：15和4：5能组成比例．11.A、B、C、D均不为0，如果A∶B=C∶D，那么D∶C=B∶A。

（）三、填空题12.________叫做比例．13.如果3a=5b，a、b都不为0，a：b写成最简整数比是________，比值是________。

14.一个比例的两个外项互为倒数，那么两个内项之积是________15.一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.8，另一个外项是________。

16.将等式8×0.6= 365× 23改写成两个不同的比例是________和________。

17.从24的约数中选出四个数组成一个比例是________。

18.用24的因数写出一个比例是________。

19.写出两个比值是13的比是________和________，这两个比可以组成比例为________。

六年级下册数学一课一练比例的应用一、单选题1=（）A B C D 1922夏日的一天．阳光明媚，淘气的身高为150cm，映在地面上约为75cm，那么，他旁边的影长为米的教学楼高为（）A 米B 米C 7米D 9米．∶＝∶16＝A 16BCD 5二、判断题4（）5应用比例的基本性质可以解比例。

（）三、填空题6在一个比例中，两个内项的积是，如果一个外项是，另一个外项是________。

7在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2021一个内项是________。

8解比例（1）9∶＝∶＝________（2）∶＝∶3＝________ 小数9解比例．X=________10一辆客车和一辆货车同时从甲乙两站相对开出．客车走完全程的处与货车相遇，如果客车每小时行40千米，货车10小时走完全程，甲乙两站相距________千米．四、解答题11解方程：（1）=（2）5÷=42（3）9：4=：（4）：= ：．12张老师每天坚持登山，上山时她以平均90米/分的速度需要27分钟；下山时速度提高50%，张老师下山只要多少分钟？（用比例解答）五、应用题13两地相距360千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，4小时后相遇，甲、乙两车速度比是4∶5，两车每小时各行多少千米？按甲、乙车的顺序填写参考答案一、单选题1【答案】A【解析】【解答】解：故答案为：A【分析】可以根据等式的性质，把两边同时乘，再根据分数乘法的计算方法就能计算出的值2【答案】C【解析】【解答】解：设教学楼高为米，150:75=:75=150×=150×÷75=7故答案为：C【分析】同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比不变，所以物体高度与影子的长度成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例解答即可3【答案】D【解析】【解答】解：故答案为：D【分析】根据比例的基本性质，先把比例写成两个内项积等于两个外项积的形式，然后根据等式的性质求出未知数的值即可二、判断题4【答案】正确【解析】【解答】解：=4×=÷=原题计算正确故答案为：正确【分析】根据比例的基本性质，把比例写成两个外项积等于两个内项积的形式，然后根据等式的性质求出未知数的值即可做出判断5【答案】正确【解析】【解答】根据分析可知，解比例要根据比例的基本性质来解的说法是正确的．故答案为：正确．【分析】比例的基本性质是指“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，而解比例的关键就是先把比例式转化为乘积式，进而解方程得解；所以解比例的依据就是比例的基本性质．三、填空题6【答案】2【解析】【解答】解：÷=2故答案为：2。

四 正比例与反比例4 反比例重点导学知识点：认识反比例，能根据反比例的意义，判断两个不相关联的量是不是成反比例，会解决一些简单的问题。

例题：想一想，填一填。

1.从甲地到乙地，所用的时间和速度成（ ）比例。

2.大米的质量一定，每袋质量和袋数成（ ）比例。

点拨：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，它们相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量， 它们的关系叫做反比例关系。

【轻松通关】一、想一想，填一填。

1.单价书总价＝本数（一定），书的总价和单价成（ ）比例；本数书总价＝单价（一定），书的总价和本数成（ ）比例；单价×本数＝书的总价（一定），书的单价和本数成（ ）比例。

2.ab ＝c ，当b 是不变量时，a 和c 成（ ）比例。

3.长方形的长是A ，宽是B ，面积是S ，则S ＝A ×B 。

如果A 一定，那么B 和S 成（ ）比例；如果B 一定，那么A 和S 成（ ）比例；如果S 一定，那么A 和B 成（ ）比例。

二、在括号里填“正”或“反”。

1.每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成（ ）比例。

2.教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成（ ）比例。

3.长方形的面积一定，长和宽成（ ）比例。

4.衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成（）比例。

5.地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成（）比例。

6.稻谷的出米率一定，碾成大米重量和稻谷重量成（）比例。

三、判断是非。

（对的画“√”，错的画“×”）1.图上距离和实际距离成正比例。

（）2.X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。

（）3.两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。

（）4.水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间成正比例。

（）5.装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数成反比例。

（）6.订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。

( )四、精挑细选。

正比例和反比例同步练习1. 甲、乙、丙三种糖果每千克售价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？2. 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是32，原来的分数是多少？3. 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？4. 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙组有多少名男会员？5. 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？6. 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？7. 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？8. A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.9. 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？10. 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？11. 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？【试题答案】1. 解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克的平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙＝15∶11∶10.平均数是（15＋11＋10）÷3＝12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.2. 解：新的分数，分子与分母之和是（10＋23＋32），而分子与分母之比2∶3.因此3. 解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是：700×3＝2100分钟＝35小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.4. 解：甲组的人数是100÷2＝50（人）.乙、丙两组男会员人数是56－24＝32 （人）.答：丙组有12名男会员. 上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔的脚数”是32，5. 解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1＋2＋3）＝6（倍）.如果上坡用的时间是4份，全设小龙走完全程用x 小时.可列出比例式x ：350＝（4＋5＋6）：246. 解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4＝9份，变化后要分成5+7＝12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份.因此原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得22.5÷5×16＝72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x－22.5）∶（4x+22.5）＝5∶7即5（4x+22.5）＝7（5x－22.5）15x＝12×22.5x＝18.7. 解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x＝8∶5，x＝150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5－3）＝60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份－240）×3.李家开支的8倍是（5份－270）×8.从图上可以看出5×8－8×3＝16份，相当于270×8－240×3＝1440（元）.因此每份是1440÷16＝90（元）.张家收入是90×8＝720（元），李家收入是90×5＝450（元）.本题也可以列出比例式：（8x－240）∶（5x－270）＝8∶3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.8. 解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1＝6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8－6＝2（份）或5－3＝2（份）.因此，每份是34∶2＝17.A数是17×8＝136，B数是17×5＝85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4. 解一：充分利用已知数据的特殊性.9. 解：4+3＝7，5+2＝7，15－8＝7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份＝原来1份+1原来4份，新的5份，5－4＝1，因此新的1份有15－1×4＝11（张）.小明原有图画纸11×5－15＝40（张），小强原有图画纸11×2+8＝30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3＝20∶155∶2＝20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，3×5－4×2＝7（份）相当于图画纸15×2+8×5＝70（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.这几道题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.第2题的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.10.我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点去42，问过多长时间两支蜡烛长度相等.现在两者相关是（2－1），每小时能缩小差距）（5142-，因此两者相等需要时间是（2－1）÷3135142）＝（-（小时） 答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.11. 解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7×3＝21只，最后应剩3×3＝9只.因此.共取了（51－3×3）÷（7×3－15）＝7（次）.红球有15×7＋53＝158（只）.白球有7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多158－52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.。