第2课时 图形的平移与坐标变换

坐标平移变换在实际应用中具有广泛 的应用，如遥感图像处理、医学图像 处理、自动驾驶等领域。
展望未来研究方向
进一步研究坐标平移变换的理 论基础，包括变换矩阵的推导 、变换过程的数学描述等方面
。
探索新的坐标平移变换方法， 以适应不同应用场景和需求， 如非线性变换、多维变换等。
研究坐标平移变换与其他图像 处理和计算机视觉技术的结合 ，以提高图像处理和计算机视 觉系统的性能和鲁棒性。
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总结与展望
总结
坐标平移变换是图像处理和计算机视 觉领域中的一种基本技术，用于将图 像或数据从一种坐标系转换到另一种 坐标系。
坐标平移变换可以通过线性代数和矩 阵运算实现，其中最常用的变换矩阵 是2x2和3x3的变换矩阵。
坐标平移变换通常用于纠正图像的几 何失真、拼接全景图像、增强机器视 觉系统的鲁棒性等方面。
图像旋转
通过坐标平移，可以将图像旋转一 定角度，实现图像的旋转处理。
在物理和工程领域中的应用
物理模拟
在物理模拟中，坐标平移 用于模拟物体在空间中的 运动轨迹和速度。
工程测量
在工程测量中，坐标平移 用于确定物体的位置和尺 寸，如建筑物的位置、桥 梁的长度等。
自动化控制
在自动化控制中，坐标平 移用于调整机器的位置和 方向，如自动化流水线、 机器人手臂等。
三维坐标平移变换的实例
要点一
总结词
三维坐标平移变换是指在空间中的移动，涉及x、y和z三个 坐标轴。
要点二
详细描述
在三维坐标系中，假设有一个点C(x,y,z)在空间中的坐标为 (5,7,9)，现在将点C向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 最后向前平移1个单位，新的坐标变为(8,5,8)，即 C'(x',y',z')=C(x,y,z)+(dx,dy,dz)=(5,7,9)+(3,-2,-1)=(8,5,8)。

变化规律，反过来，这节课我们将探讨图形上点的坐标的 人教版 · 数学· 七年级（下）
(2)M(a－6，b－3)．
(x+a , y+b)
先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度.
某种变化引起的图形平移． 例 如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(4，3)，
(2)将平行四边形ABCD向下平移3个单位长度，得到平行四边形A1B1C1D1，画出相应图形，并写出各点坐标；
别是什么？并画出相应的三角形
A2B2C2 . A2(4，-2)，B2(3，-4)，C2(1，-3)
-2 -3 C2 -4 -5 -6
A2 B2
例 如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(4，3)，
B(3，1)，C(1，2)．
y 65Βιβλιοθήκη (2)三角形 A2B2C2与三角形ABC 的大 小、形状和位置有什么关系？
B.向左平移 1 个单位长度
C.向上平移 3 个单位长度
D.向下平移 1 个单位长度
横坐标
(1,1)
减3 (-2,1)
3.在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的位置如图所示，
点 A' 的坐标是(-2，2)，现将三角形 ABC 平移，使点 A 变换为点
A' ，点 B' ， C' 分别是 B，C 的对应点.
A．(－5，2) B．(3，2)
C．(－1，6) D．(－1，－2)
2．在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度后
得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为( )
B
A．(－3，－2) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)

平移图形的相关性质和坐标的变化规律一、平移图形的定义与性质1.平移图形是指在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。

2.平移不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。

3.平移图形中，对应点、对应线段和对应角都保持平行且相等。

4.平移具有传递性，即若图形A经过平移变成图形B，图形B经过平移变成图形C，则图形A经过平移直接变成图形C。

5.在平移过程中，图形与原图形重合的点、线段和角，分别称为对应点、对应线段和对应角。

二、坐标的变化规律1.坐标系的平移：当坐标系整体向某个方向平移时，所有点的坐标都相应地增加或减少相同的数值。

2.点的平移：一个点在平面内平移，其实质是该点的坐标发生变化。

若点P(x,y)沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，则平移后点的坐标为P’(x+a,y+b)。

3.直线的平移：一条直线平移时，其上的所有点的坐标都按照上述点的平移规律变化。

4.圆的平移：一个圆平移时，其上所有点的坐标同样按照上述点的平移规律变化。

5.其它图形的平移：其它平面图形平移时，其上所有点的坐标也按照上述点的平移规律变化。

三、平移图形的实际应用1.尺规作图：在尺规作图中，平移是一种基本的作图方法，可以用来构造已知图形。

2.图形变换：在计算机图形学、动画制作等领域，平移是实现图形变换的基本操作。

3.地图导航：在地图导航中，平移是实现地图缩放、查看不同区域的基本方法。

4.设计制图：在工程设计、建筑设计等领域，平移可以帮助设计者快速定位和调整图形。

四、平移图形的判定与证明1.判定：若两个图形在形状、大小上完全相同，只是位置不同，则这两个图形一个是另一个的平移。

2.证明：通过证明两个图形对应的点、线段和角相等，可以证明两个图形是平移关系。

五、平移图形的练习与巩固1.绘制：绘制不同形状的图形，并尝试进行平移，观察平移后的图形特点。

2.变换：将已知图形进行平移变换，求出平移后的坐标或位置。

3.应用：结合实际问题，运用平移图形的相关性质解决问题。

如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正实数a，相应的新图形就是 .2.自主归纳：1.已知点A（2，-3），若将点A向左平移3个单位得到点B，则点B 的坐标是，若将点A向上平移4个单位得到点C，则点C 的坐标是 .2.已知正方形的一个顶点A（-4,2），把此正方形向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，此时点A的坐标变成 .二、合作探究探究点1：平面直角坐标系中点的平移问题1：如图，点A的坐标为(-2,-3)（1）将点向右平移5个单位长度，得到点A1( ___ , ___ );（2）将点向左平移2个单位长度，得到点A2(____ , _____)；（3）将点向上平移4个单位长度，得到点A3(_____,_____)；（4）将点向下平移2个单位长度，得到点A4(_____,_____).问题2：你能归纳出点的平移规律吗？（1）移动的方向怎样？（2）写出三角形ABC与三角形A1B1C1各点的坐标，它们有怎样的变化？（3）如果三角形A1B1C1向下平移4个单位，得到三角形A2B2C2，写出各点的坐标，它们有怎样的变化?（4）三角形ABC能否在坐标平面内直接平移后得到三角形A2B2C2？问题3：通过对以上问题的探讨，你能说出图形平移的规律吗？典例精析例1.平面直角坐标系中,将点A(－3，－5)向上平移4个单位,再向左平移3个单位到点B,则点B的坐标为()A.(1,－8)B.(1,－2)C.(－6,－1)D.(0,－1)方法总结：点的平移变换：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．探究点2：平面直角坐标系中图形的平移问题1：如图，线段AB的两个端点坐标分别为:A(1，1),B(4，4),将线段AB向上平移2个单位，得到线段A′B′,画出线段A′B′，并写出点A′,B′的坐标.问题2：如图,三角形ABC在坐标平面内平移后得到三角形A1B1C1. 归纳总结：（1）原图形向左（右）平移a个单位长度：(a>0)原图形上的点P(x,y)向右平移a个单位P1(x+a,y)原图形上的点P (x,y)向左平移a个单位P2(x-a,y)(2)原图形向上（下）平移b个单位长度：(b>0)原图形上的点P(x,y)向上平移b个单位P3(x,y+b)原图形上的点P(x,y)向下平移b个单位P4(x,y-b)典例精析例2. 如图,在平面直角坐标系中,P(a,b)是三角形ABC的边AC上一点,三角形ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6,b＋2)．(1)请画出上述平移后的三角形A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标；(2) 求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积.方法总结：点（或图形）在坐标系中的平移，沿x轴平移，纵坐标不变，向右平移，横坐标加上一个正数；向左平移，横坐标减去一个正数；沿y轴平移，横坐标不变，向上平移，纵坐标加上一个正数；向下平移，纵坐标减去一个正数。