流体静力学基本方程

三、流体静力学基本方程式

1、方程的推导

设：敞口容器内盛有密度为ρ的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积

均为Am 2。

作用在上、下端面上并指向此两端面的压力

分别为 P 1和 P 2

。 该液柱在垂直方向上受到的作用力有:

（1）作用在液柱上端面上的总压力P 1

P 1= p 1 A (N) ↓

（2）作用在液柱下端面上的总压力 P 2

P 2= p 2 A (N) ↑

（3）作用于整个液柱的重力G

G =ρgA(Z 1-Z 2) (N) ↓

由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ： p 1 A+ ρgA(Z 1 -Z 2) -–p 2 A = 0

令： h= (Z 1 -Z 2) 整理得： p 2 = p 1 + ρgh

若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为 p 0 ；

则： p 0 = p 1 + ρgh

上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。 即：静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。

2、静力学基本方程的讨论:

（1）在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。

（2）在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。

（3）当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。

（4） g h p p ρ+=12 或g p p h ρ12-= 压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。

（5）整理得：g g z p g z 2

21

1ρρ+=+ 也为静力学基本方程

（6）方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变

化不大的情况。

3、静力学基本方程的应用

(1) 测量流体的压差或压力

① U 管压差计

U 管压差计的结构如图。

对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起

化学作用，且其密度指ρ应大于被测流体的密度ρ。

通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。

测压差：设流体作用在两支管口的压力为1p 和2p ，且1p ＞2p ， A-B 截面为等压面 即：B A p p =

根据流体静力学基本方程式分别对U 管左侧和U 管右侧进行计算,

整理得： ()Rg p p ρρ-=-指21

讨论：（a ）压差（21p p -）只与指示液的读数R 及指示液同被测流体的密度差有关。（b ）若压差△p 一定时，（21p p -）越小，读数R 越大，误差较小。 （c ）若被测流体为气体， 气体的密度比液体的密度小得多，即()指指ρρρ≈-，

上式可简化为： Rg p p 指ρ=-21

（d ）若指ρ〈ρ时采用倒U 形管压差计。 ()Rg p p 指ρρ-=-21

测量某处的表压或真空度

当p 2=p 大时, 若△p>0， R 即为表压读数；若△p<0， R 即为真空度读数。 U 管压差计所测压差或压力一般在1大气压的范围内。

其特点是：构造简单，测压准确，价格便宜。但玻璃管易碎，不耐高压，测量范围狭小，读数不便。通常用于测量较低的表压、真空度或压差。

②微差压差计 若所测量的压力差很小，U 管压差计的读

数R 也就很小，有时难以准确读出R 值。为了把读数R 放

大，除了在选用指示液时，尽可能地使其密度指ρ与被测

流体的密度ρ相接近外，还可采用如图1-6所示的微差压

差计。

其特点：指示液A 和B 密度相近、且互不相溶，而指示液

B 与被测流体亦应不互溶，A ρ>B ρ>ρ；扩大室的截面积比U 管的截面积大很多，即使U 管内指示液A 的液面差R 很大，仍可认为两扩大室内的指示液B 的液面维持等高。压力差△p 便可由下式计算，即:

()'21gR p p B A ρρ-=-

适当选取A 、B 两种指示液，使其密度差很小，其读

数便可比普通U 管压差计大若干倍。U 管压差计主要用

于测量气体的微小压力差。【例题1-10】

(2) 液位的测量

①玻璃管液面计。这种液面计构造简单、测量直观、使

用方便，缺点是玻璃管易破损，被测液面升降范围不应

超过1m ，而且不便于远处观测。多使用于中、小型容器

的液位计

②液柱压差计 如图1-8所示，为液柱压差计。连通管中放入的指示液，其密度指ρ远大于容器内液体密度ρ。这样可利用较小的指示液液位读数来计量大型容器内图1-7 玻璃液位计

图1-8 液柱压差计

贮藏的液体高度。因为液体作用在容器底部的静压强是和容器中所盛液体的高度成正比，故由连通玻璃管中的读数R ，便可推算出容器内的液面高度h 。

即 ρρ指

R h = 【例题1-11】

（3）液封高度的计算 【例题1-12】

流体静力学基本方程式解题步骤：

①做图选取等压面。②分别写出等压面上两个点的静力学方程式。③联立方程，求解未知量。

在应用流体静力学基本方程式时应当注意：

①正确选择等压面。②基准面的位置的选取。③计算时，各项物理量的单位必须一致。

小结：静力学基本方程式解题步骤；应用流体静力学基本方程式时注意事项。 作业：1-9、