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热力学统计物理_答案

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. . 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,Tp的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得： lnTV=αdTκdp

如果11,TTp，试求物态方程。 解：以,Tp为自变量，物质的物态方程为 ,,VVTp

其全微分为

.pTVVdVdTdpTp



（1）

全式除以V，有 11.pTdVVVdTdpVVTVp





根据体胀系数和等温压缩系数T的定义，可将上式改写为

.TdVdTdpV （2） 上式是以,Tp为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ln.TVdTdp

（3）

若11,TTp，式（3）可表为 11ln.VdTdpTp



 （4）

选择图示的积分路线，从00(,)Tp积分到0,Tp，再积分到（,Tp），相应地体 .

. 积由0V最终变到V，有 000ln=lnln,VTpVTp 即 000

pVpV

CTT（常量），

或 .pVCT （5）

式（5）就是由所给11,TTp求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。 1.10 声波在气体中的传播速度为

sp



假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及给出：

21aauuh h200,-1

其中00,uh为常量。 解：根据式（1.8.9），声速a的平方为 2v,ap

（1） . . 其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为 ,mpVRTm 式中m是气体的质量，m是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，有 1v,pRTm （2）

代入式（1）得 2.aRTm

（3）

以,uh表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。 由式（1.7.10）—（1.7.12）知

0,1RTmumu

0.1RTmhmh

（4）

将式（3）代入，即有 20,(1)auu

20.1ahh

（5）

式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和即可确定气体的比内能和比焓。 1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由1T升至2T。 假设是

常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。 解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为

0lnln.pSCTnRpS （1） 在等压过程中温度由1T升到2T时，熵增加值pS为

21ln.ppTSCT

（2）

根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为 0lnln.VSCTnRVS （3） 在等容过程中温度由1T升到2T时，熵增加值VS为 . . 21ln.VVTSCT

（4）

所以 .ppVVSCSC

（5）

1.21 物体的初温1T，高于热源的温度2T，有一热机在此物体与热源之间工

作，直到将物体的温度降低到2T为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为

max212()WQTSS 其中12SS是物体的熵减少量。 解：以,abSS和cS分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为 .abcSSSS 由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求 0.abcSSSS （1） 以12,SS分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为

21.aSSS （2） 热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即 0.bS （3） 以Q表示热机从物体吸取的热量，Q表示热机在热源放出的热量，W表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有 ,QQW 所以热源的熵变为

22.cQQWSTT （4）

将式（2）—（4）代入式（1），即有 212

0.QWSST （5）

上式取等号时，热机输出的功最大，故 max212.WQTSS （6） . . 式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),pfVT 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),pfVT （1） 故有

().V

pfVT





（2）

但根据式（2.2.7），有 ,TVUpTpVT



（3）

所以 ()0.T

UTfVpV





（4）

这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数. 2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落. 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数

STp

和HTp描述. 熵函数(,)STp的全微分为

.PTSSdSdTdpTp



在可逆绝热过程中0dS，故有

.TP

pS

P

SVTpTTSpCT















（1）

最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）. 焓(,)HTp的全微分为 . . .PT

HHdHdTdpTp





在节流过程中0dH，故有

.TP

pH

P

HVTVpTTHpCT















（2）

最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得

0.pSH

TTVppC



（3）

所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体. 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化. 2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关. 解：根据习题2.8式（2） 22,VTVCpTVT



（1）

范氏方程（式（1.3.12））可以表为 22.nRTnapVnbV

（2）

由于在V不变时范氏方程的p是T的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T的函数，与比体积无关. 不仅如此，根据2.8题式（3）

0202(,)(,),VVVV

V

pCTVCTVTdVT



 （3）

我们知道，V时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V，式中的0(,)VCTV

就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同

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热力学与统计物理-参考答案

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热力学与统计物理 参考答案一、推出克拉珀龙方程mm m m S S dp dT V V βαβα-=-()m m L T V V βα=- 在相图上取两个相邻的点),(p T A 和),(p p T T B ∆+∆+，这两点上化学势都相等，),),p T p T （（βαμμ=),),p p T T p p T T ∆+∆+=∆+∆+（（βαμμ两式相减得βαμμd d =，由吉布斯函数的全微分dG SdT Vdp =-+，化学势的全微分dp V dT S d m m +-=μ，dp V dT S m mαα+-dp V dT S m m ββ+-= mm m mS S dp dT V V βαβα-=- 以L 表示1摩尔物质相变潜热，则)(αβS S T S T L -=∆=二、证明均匀系统有：能态方程：()()T V U pT p V T∂∂=-∂∂ 选T ，V 为状态参量，则),(V T U U =，那么，dV VUdT T U dU T V )()(∂∂+∂∂= （1） 右边的偏导数，和状态函数联系，麦氏关系，),(V T S S =，dV VSdT T S dS T V )()(∂∂+∂∂=将dS代入pdV TdS dU -=pdV dU V S T dT T S T T V -∂∂+∂∂=)()(dV p VST dT T S T T V ])([)(-∂∂+∂∂=则 ()[()]V V S pdU T dT T p dV T T∂∂=+-∂∂(2)比较（1）和（2）， ()()T V U pT p V T∂∂=-∂∂，能态方程； 三、若按量子力学，一维简谐振子以经典平衡位置的势能为零的振动能级公式为12n n εω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(n=0, 1, 2, …)，（1）试求一维简谐振子的振动配分函数；（2）若204.810J n εω-∆=≈⨯，系统在300K 下达到热平衡，求此时处在第一激发态和基态的粒子数之比。

热力学与统计物理课后答案.docx

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《热力学与统计物理学》课后习题及解答选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数压强系数卩和等温压缩系数為。

解：由理想气体的物态方程为PV = uRT 可得:1.2证明任何一种具有两个独立参量T,尸的物质，其物态方程可由实验测得的 体胀系数Q 及等温压缩系数紡，根据下述积分求得:\nV = \(adT-K T dP)以八尸为自变量，物质的物态方程为：V = V(T,P)如耘〒 专’试求物态方程。

解: 体胀系数: 其全微分为：dV dT + p ar dP dP = aVdT-VK T dP, y- = adT-K T dP体胀系数:压强系数：0 =等温压缩系数: 丄P等温压缩系数:这是以八P 为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得:}nV = j （adT-K T dP ） 根据题设,将6（=丄,K T =丄，代入：ln/=f 丄dT -丄dPT T P }{T P 丿得:lnr = ln- + C, PV = CT,其中常数c 由实验数据可确定。

P1.5描述金属丝的儿何参量是长度厶，力学参量是张力£,物态方程是 ./、（£, L, r ） = o,实验通常在1几下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为：“丄（学］,等温杨氏模量定义为：Y = -（^},其中/是 L （打人 牡。

厶力金属丝的截面积。

一般来说，a 和Y 是厂的函数，对£仅有微弱的依赖关系。

如 果温度变化范围不大，可以看作常量。

假设金属丝两端固定。

试证明，当温度由 7；降至3时，其张力的增加为：\^ = -YAa （T 2-T^ 解:由/（£,厶，T ）= 0,可得：£ = £（L, T ）微分为：〃£ = （等）血+ （善］刃\由题意可知：dL = O.即：d£ = -aAYdT,积分得：A£ = -aAY(T 2 ・TJ1. 7在25 °C 下，压强在0至1000 p n 之间,测得水的体积为：K = （18.066-0.715x 10~3P + 0.046x 1 O'6P 2\m\mor ［Q 如果保持温度不变，将 1 mol 的水从1几加压至1000 求外界所作的功。

热力学统计物理 课后习题 答案

热力学统计物理 课后习题 答案

第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212zy x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。

由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。

如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。

7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222z y x n n n Lc cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n n nn n n Lczy x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。

汪志诚热力学与统计物理答案

汪志诚热力学与统计物理答案

汪志诚热力学与统计物理答案【篇一：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】xt>1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?解：已知理想气体的物态方程为?。

pv?nrt,（1）由此易得??1??v?nr1??,（2） ??v??t?ppvt1??p?nr1??,（3） ??p??t?vpvt???t??????????2??.（4）v??p?t?v??p?p1??v??1??nrt?11.8 满足pvn?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。

试证明： n??cv n?1理想气体在多方过程中的热容量cn为cn?解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量??q???u???v?cn?lim???p?????. （1） ?t?0?t??n??t?n??t?n对于理想气体，内能u只是温度t的函数，??u????cv, ??t?n所以??v?cn?cv?p??. （2）??t?n将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得。

（3） tvn?1?c1（常量）将上式微分，有1 / 15vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0,所以v??v???.（4） ??(n?1)t??t?n代入式（2），即得cn?cv?pvn???cv,（5） t(n?1)n?1其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量c多方过程，多方指数n?cn?cpcn?cvn如果是常数，该过程一定是。

假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

解：根据热力学第一定律，有du??q??w.（1）对于准静态过程有?w??pdv,对理想气体有du?cvdt,气体在过程中吸收的热量为?q?cndt,因此式（1）可表为(cn?cv)dt?pdv. （2）用理想气体的物态方程pv?vrt除上式，并注意cp?cv?vr,可得(cn?cv)dtdv?(cp?cv).（3） tv将理想气体的物态方程全式求微分，有dpdvdt??. （4） pvt式（3）与式（4）联立，消去dt，有 t(cn?cv)2 / 15dpdv?(cn?cp)?0. （5） pv令n?cn?cpcn?cv，可将式（5）表为dpdv?n?0. （6） pv如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得。