D11_6高斯公式

z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x

y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
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内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式:
P d y d z Q d z d x R d x d y P Q R d xd yd z x y z
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
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(Gauss 公式)
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例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
2 z d x d ydz h

4
2 z d x d ydz h 4

z
4 h 2 z z d z 0 2
h
1 h h
o x
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y
结束
1 4 h 2
二、通量与散度
定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k

积为V, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
d
S
1 3
3
dv
V
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1 R3
3( x 2
y2
z2)dv
3 R
d
v
4
R
2
(2)
x3 r3
dy
d
z
y3 r3
d
z
d
x
z3 r3
d
x
d
y
x
x3 r3
y
y3 r3
z
z3 r3
dv
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作业
P236 1 (4), (5); 4
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立, 假设存在 M 0 G, 使
P Q R x y z
M 0
0
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dxd y
Dx y
z2(x,y) R d z z1(x, y) z
2
3
R(x,

2
x
柱，前，右
zxdydz
1
o
1
y
6/16
例1 求
2 2 ( x y ) dxdy ( y z ) xdydz ， Σ ： x + y =1 及

z= 0、z= 3 所围闭区域边界曲面的外侧。
Gauss
P Q R 解2 原 式 ( )dv x y z

解1 原 式 (
顶 底 左右对称
( )( x y )dxdy 2
柱
)
顶 底
柱 xOy
顶、 底 yOz

柱 ， 前
( y z ) xdydz 0
z
柱
( y z ) xdydz
3

4
3 4 z 1 y ( dydz) 2 D yz
R R dxdydz dxdydz z k 1 k z n Rdxdy Rdxdy.
n
k 1 k

同理
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 证毕
用法：同格林公式。
14/16
三、*物理意义----通量与散度
记 A( x, y, z ) ( P, Q, R), ,
P Q R ( )dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ＝ ＝
dir A dxdydz A dS

其中 是 的边界曲面的正向，cos 、cos 、 cos 是 上正向法向量的方向余弦。
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲 面积分之间的关系.

高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影是一种常用的地理坐标转换方法，它将地球表面上的经纬度坐标转换成平面坐标系，以方便地图绘制和测量。

在中国，高斯投影采用的是带状投影方式，其中6度和3度分带是最常用的两种分带方式。

本文将介绍高斯投影6度和3度分带的计算公式和步骤。

1.高斯投影的基本原理高斯投影是基于椭球体模型的地图投影方法，其基本原理是将地球表面划分为一系列带状区域，每个区域采用不同的投影中央经线。

在相应的中央经线上，经度与平面坐标有直接线性关系，而纬度则需要进行适当的纬度变换。

2.高斯投影6度分带2.1计算公式对于给定的经度λ和纬度φ，可以计算出相应的高斯坐标(x,y)。

(1)计算带号先计算经度λ所在的带号zone：zone = int((λ+3)/6) + 1(2)计算中央经线中央经线投影为：L = zone * 6 - 3(3)计算ΔLΔL=λ-L(4)计算纬度变化量B=φ×π/180(5)计算椭球长半轴(6)计算参数e(7)计算TT = tan(B)T2=T*TC = e * cos^2(B)A = (λ - L) × cos(B)(8)计算MM = a * ((1 - e / 4 - 3e^2/64 - 5e^3/256) * B - (3e/8 + 3e^2/32 + 45e^3/1024) * sin(2 * B)+ (15e^2/256 + 45e^3/1024) * sin(4 * B) - (35e^3/3072) * sin(6 * B))(9)计算yy=M+a*(1-C+(5-T2+9C+4C^2)*A^2/12+(61-58T2+T^4)*A^4/360)(10)计算xx=a*((1-C+(1-T2+C)*A^2/6+(5-18T2+T^4+14C-58TC)*A^4/120)*A)3.高斯投影3度分带高斯投影3度分带是在中国西部和南部地区常用的投影方式，将全球划分为120个带状区域，每个带状区域跨度3度。