组合数学课程介绍

同等学力申硕离散数学与组合数学讲义主讲：单志勇博士目录引言 (1)第一章 (9)1.1 命题及其符号化 (9)1.2 合式公式和真值赋值 (14)第二章 (20)2.1等值关系及联结词全功能集 (20)2.3 范式 (25)第三章命题逻辑自然推理 (30)第四章 (37)4.1~2谓词和量词、一阶语言 (37)4.3一阶等值演算 (43)4.4一阶逻辑形式推理 (48)第五章集合 (55)5.1~5.3集合的概念及其表示、运算、定律 (55)5.4 有限集计数问题 (62)第六章关系 (68)6.1~3二元关系及其表示、性质、运算 (68)6.4特殊关系及性质 (75)第七章函数 (81)7.1~7.3函数的基本概念、合成、反函数 (81)7.4～5特殊函数及集合的基数 (85)引言一、课程内容·数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。

·集合论：数学的基础，对于学习程序设计、数据结构、编译原理等几乎所有计算机专业课程和数学课程都很有用处。

熟练掌握有关集合、函数、关系等基本概念。

·代数结构：对于抽象数据类型、形式语义的研究很有用处。

培养数学思维，将以前学过的知识系统化、形式化和抽象化。

熟练掌握有关代数系统的基本概念，以及群、环、域等代数结构的基本知识。

·图论：对于解决许多实际问题很有用处，对于学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。

要求掌握有关图、树的基本概念，以及如何将图论用于实际问题的解决，并培养其使用数学工具建立模型的思维方式。

·讲课时间为两个学期，第一学期讲授数理逻辑与集合论，第二学期讲授代数结构和图论。

考试内容限于书中的内容和难度，但讲课内容不限于书中的内容和难度。

二、数理逻辑发展史1. 目的·了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。

组合数学在计算机中的应用摘要：组合数学是计算机科学的核心基础理论课，为后续课程提供必须的理论基础。

本文分析了组合数学在计算机学科中与其他课程之间的关系，阐述了组合数学在计算机领域的实际应用。

关键词：组合数学；计算机；应用组合数学是计算机学科的专业基础课，不但为后续课程提供必须的理论基础，而且可以培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

组合数学的教学内容与计算机硬件和软件都有着密切的关系，具有鲜明的基础特点，不仅是数据结构、数据库原理、数字逻辑、编译原理、人工智能、信息安全等课程的前续课程，同时以计算机导论和程序设计基础作为组合数学的先导课程[1]。

组合数学是计算机应用的必不可少的工具。

例如数理逻辑在数据模型、计算机语义、人工智能等方面的应用，集合论在数据库技术中的应用，代数系统在信息安全中的密码学方面的应用，图论在信息检索、网络布线、指令系统优化等方面的应用。

1组合数学与其他课程的关系1。

1组合数学与数据结构的关系组合数学与数据结构的关系非常紧密，数据结构课程描述的的对象有四种，分别是线形结构、集合、树形结构和图结构，这些对象都是组合数学研究的内容。

线形结构中的线形表、栈、队列等都是根据数据元素之间关系的不同而建立的对象，组合数学中的关系这一章就是研究有关元素之间的不同关系的内容；数据结构中的集合对象以及集合的各种运算都是组合数学中集合论研究的内容；组合数学中的树和图论的内容为数据结构中的树形结构对象和图结构对象的研究提供了很好的知识基础。

1。

2组合数学与数据库原理的关系目前数据库原理主要研究的数据库类型是关系数据库。

关系数据库中的关系演算和关系模型需要用到组合数学中的谓词逻辑的知识；关系数据库的逻辑结构是由行和列构成的二维表，表之间的连接操作需要用到组合数学中的笛卡儿积的知识，表数据的查询、插入、删除和修改等操作都需要用到组合数学中的关系代数理论和数理逻辑中的知识。

1。

3组合数学与数字逻辑的关系数字逻辑为计算机硬件中的电路设计提供了重要理论，而组合数学中的数理逻辑部分为数字逻辑提供了重要的数学基础。

抽屉原理优秀教案
简介
抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一种非常基础的组合数学原理，也是解决问题的常用思路。

在高中数学的课程中，抽屉原理也是非常重要的一部分。

下面将介绍一份优秀的抽屉原理教案，帮助老师更好地让学生掌握该原理。

教材准备
•白板、白板笔、橡皮擦、教材
•尺子、铅笔、草稿纸
教学目标
•理解抽屉原理的概念和应用条件；
•运用抽屉原理解决实际问题；
•提高学生的组合数学思维和解决问题的能力。

教学过程
1. 引入
1.1 翻译和解释抽屉原理的概念。

1.2 提示学生，抽屉原理能够帮助解决哪些问题，引出本课核心内容。

2. 案例练习
2.1 由老师出题，引导学生使用抽屉原理解决有关组合数学的实际问题。

2.2 根据题目难易程度逐步提高练习难度，帮助学生逐步掌握使用抽屉原理的方法。

3. 归纳
3.1 学生归纳抽屉原理的应用范围和方法，并在白板上进行讲解。

3.2 带领学生解决课堂上未完成的案例，检测学生对抽屉原理的掌握程度。

4. 课后练习
4.1 布置课后练习，让学生巩固抽屉原理的应用。

4.2 课后批改作业，对学生掌握程度进行检测和评价。

教学评估
•课堂互动表现
•课堂练习和课后作业完成情况
•学生对课程知识点的掌握和理解
小结
本教案针对高中生，以案例练习为主，教师通过引入案例和逐步讲解抽屉原理的方法，帮助学生掌握该原理的应用方法，提高学生的组合数学思维和解决问题的能力。

同时，通过课堂互动和课后练习等方式进行评估，帮助学生巩固和深化所学知识，从而达到提高教学质量的目的。

清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要容】主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。

课程名称：数据结构课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。

课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。

课程名称：专家系统课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等容。

课程名称：人工智能课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀【主要容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。

课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课学时：48 开课学期：春任课教师：芬【主要容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。

组合数学的课程教学探讨作者：龙述德来源：《教育教学论坛》2013年第25期摘要：对在组合数学教学中遇到的问题进行探讨并总结了一些体会，以便提高学生分析和解决组合问题的能力。

关键词：组合数学；组合恒等式；数学思维中图分类号：O157.5；G424.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）25-0089-02一、引言组合数学作为既古老又年轻的一个数学分支，它是研究离散对象的一门数学学科，是大学数学专业高年级学生的一门选修课程。

学生经过大学两年或三年的专门数学专业训练后，已经有了一定的数学基础和数学思维能力。

另外，学生在中学也学过一些简单的组合数学知识，例如简单的排列和组合问题，这些对于学习组合数学是有利的和必备的。

在教学中，有相当一部分学生一开始认为组合数学在中学曾经接触过且又学了二三年的其他数学专业课程，学好组合数学是件不难的事情，但随着学习的深入，发现和自己想象中完全不同，这门课程不仅思维方式很独特，方法很难模仿，尤其是在解习题时不知从何着手，无所适从。

针对这些情况，结合这些年的教学经验，笔者认为应注意以下几个方面。

二、加强数学概念教学数学概念不仅是任何一门数学课程的起点，也是学好任何一门数学课程的立足点。

组合数学也不例外。

在实际教学中，有的教师认为只要教学生解决问题的方法就行了，至于概念的教学则一笔带过，概念的理解就是学生自己的事情，殊不知，概念理解的正确与否直接决定了学生组合数学学习好坏的程度。

概念理解不清是不可能掌握正确解决问题的方法的，更谈不上在将来的数学研究工作中有所创新。

因此，在组合数学教学中应注重概念教学，有意识地培养学生理清概念实质的能力。

为了进一步理解组合数学中的一些概念，教师最好举一些实例加以说明。

例1 求从10名学生中任选3人组成一个数学学习兴趣小组及从10名学生中任选3人排成一列的方法数。

学生经过简单的思考后，可得知该问题的前半部分的本质是组合问题，而后半部分的本质是排列问题，因为前半部分和顺序无关，而后半部分和顺序有关。

清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013课内学时：48 开课学期: 秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya 定理、区组设计与编码的初步概念、 线性规划问题的单纯形算法。

课程名称：数据结构课程编号：60240023课内学时：48 开课学期:春秋 任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实 现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方 法的简单介绍。

课程名称：软件工程技术和设计任课教师：周之英课程编号：60240033课内学时：48 春开课学期:【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6面向对象设计方法；7、Design Pattern ；8、 分布式系统对象模型：CORBA 及DCOM/COM （OLE ； 9、实例分析（实时系统的设计）等 课程名称：专家系统任课教师：艾海舟 【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍 人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、 知识获取 、推理机、不确定推理方法等内容。

课程名称：人工智能课程编号：60240043春 课内学时：48 开课学期:任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统; 搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人 工智能语言程序设计。

课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063课内学时：48 春 任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC 机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。

离散数学与其他学科之间的联系摘要：离散数学，又称为组合数学。

离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。

计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。

离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

关键词：离散数学电路设计软件技术人工智能应用等1、离散数学的相关介绍1.1离散数学的简介离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机类专业的重要课程。

它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。

由于离散数学在计算机科学中的重要作用，国内外几乎所有大学的计算机类专业的教学计划中都将其列为核心课程进行重点建设，它是其他骨干课程，如数据结构、操作系统、人工智能、计算机网络、软件工程、编译原理等的先修课程，国内许多大学将其作为计算机专业类研究生入学考试的内容。

1.2离散数学的发展20世纪的计算机出现，带动了世界性的信息革命的伟大进程。

计算机科学在信息革命中的学科地位有如牛顿力学在工业革命中的学科地位一样，由计算机出现带动的信息革命当然计算机科学将起着主导的作用。

随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

《排列与组合》教材分析一、教材地位《排列与组合》内容作为高中数学教学内容的一部分，在整个高中数学中占有重要地位，以计数问题为主要内容的排列与组合，是组合数学的最初步知识，它是学习二项式定理的重要基础,更是学习概率初步所必需具备的基础知识。

通过学习排列组合可以大大提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，也是培养学生思维能力的不可多得的好素材，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系二、教材内容的处理目标分类上，体现“情感、态度与价值观”领域的目标；目标总量是不断增加的；目标层次的平均要求提高了；（2）从排列组合的课程内容来看，素材选取的数量和内容的丰富程度呈现递增的趋势；（3）从排列组合的课程难度上看，现行教材中排列组合内容的课程难度较大。

（4）从排列组合的编写体例上看，引例插图体现时代精神；框架结构逐渐完整、清晰、逻辑严密。

（5）从排列组合的例题和习题上看，例题和习题总量大体上是增加的趋势，习题类型多样；在习题的综合难度上，习题在“背景”、“探究”、“运算”和“推理”上的难度逐渐提高；在“知识含量”因素上，难度变化不大，一直处于比较平稳的状态。

三、课程教材内容的整合在学习了分类加法与分步乘法计数原理的基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式，然后结合排列数与组合数的联系，推导出组合数公式，并总结出组合数的两个性质，以简化组合数的计算，并为推导二项式定理作好铺垫。

排列、组合与必修三所学的概率有密切的内在联系，通过本节内容与概率知识的学习，为第二章《离散型随机变量的分布列》的学习奠定基础。

四、教学的重点、难点教学重点：1、理解排列、组合的概念，排列问题和组合问题的区别；2、排列数、组合数公式的推导及应用；3、排列与组合的性质及其应用；教学难点：1、排列数、组合数公式的推导及应用2、排列组合的综合应用五、课时安排本节教学约需5课时，具体分配如下：第一课时排列的概念，排列数公式的推导第二课时排列数公式的应用第三课时组合的概念，组合数公式的推导第四课时组合数公式的应用第五课时排列与组合的综合应用。

第三章容斥原理与鸽巢原理§3.1 容斥原理引论§3.1 容斥原理引论§3.1 容斥原理引论§3.2 容斥原理BA§3.2 容斥原理§3.2 容斥原理§3.2 容斥原理§3.2 容斥原理§3.2 容斥原理§3.2 容斥原理§3.2 容斥原理§3.3 举例§3.3 举例§3.3 举例§3.3 举例1204A A A⎢⎥==I I，§3.3 举例§3.3 举例例6。

求完全由n个布尔变量确定的布尔函数的个数。

§3.3 举例例7。

欧拉函数Φ(n)是求小于n且与n互素的数的个数。

§3.3 举例•例7续。

欧拉函数Φ(n)是求小于n且与n互素§3.3 举例A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列n§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列§3.4 棋盘多项式和有限制排列３．有禁区的排列设对于排列P=P 1 P 2 P 3 P 4，规定P 1≠３，２≠１、４，P ３≠2、４，P 4≠2。

这样的排列对应于有禁区的布子。

如图中有影线的格子表示禁区。

定理设r i 为i 个棋子布入禁区的方案数，i =1,2,3,···,n 。

有禁区的布子方案数（即禁区内不布子的方案数）为n! －r 1(n －1)! ＋r 2(n －2)!－···＋(－1)n r n 设A i 为第i 个棋子布入禁区，其他棋子任意布的方案集，i =1 , 2 , 3, …,n 。

抽屉原理及其应用《组合数学》课程论文摘要本文简要介绍了抽屉原理的定义、简单形式、推广形式，以及在几个方面上的应用，通过使用抽屉原理我们可以解决一些常见的问题。

关键词：抽屉原理推广应用抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理，是一个十分简单又十分重要的原理.它是由德国著名数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet 1805-1855)首先发现的，因此也叫作狄利克雷原理.定义：若把n+1个物体放到n（n≥1）个盒子中去，则至少有一个盒子放有至少2个物体。

一般形式：设q 为正整数，（i=1,2，…n ）,，如把q 个物体放入n 个盒子中，则至少存在一个i ，使得第i 个盒子中至少有q i 个物体。

推论1：若把m 个物体放到n 个盒子中去，则至少有一个盒子放有不少于⎣(m -1)/n ⎦+1个物体。

推论2：若把n (r -1)+1个物体放到n 个盒子中去，则至少有一个盒子放有不少于r 个物体。

推论3：若m i 为正整数(i =1,2,…,n ),则至少存在一个i ，使得m i ≥r 。

抽屉原理简单直观，很容易理解.而这个看似简单的原理在高等数学中有着很大的用处，对于数论、离散数学、高等代数以及抽象代数中的一些复杂问题，可以利用抽屉原理巧妙的解答出来.11n i i q q n =≥-+∑11n i i m n r =⎛⎫>- ⎪⎝⎭∑抽屉原理的应用1、数论问题中的应用例1.任意5个整数中，有其中3个整数的和为3的倍数.证明将整数分为形如3k 、3k+1及3k+2这3类形式，则我们可以将这3类整数看作是3个抽屉，将这5个整数看作元素放入这3个抽屉中.由抽屉原理可知，至少存在2=[315-]+1个整数在同一抽屉中，即它们都是形如（3k+m ）的整数，m=0,1或2.如果有3个以上的数在同一个抽屉中，则取其中的任意三个数，它们的和是形如3（3k+m ）的整数，即三者的和为3的倍数.如果有2个整数在同一个抽屉中，则由抽屉原理知，在余下的3个数中有2个数在同一个抽屉中，余下的1个数在另一个抽屉中.在3个抽屉中各取一个数，这3个数的形式分别为3k 1,3k 2+1,3k 3+2,则三者的和为3（k 1+k 2+k 3）+3，即为3的倍数. 例2.从1,2,3，4…,97，98中任取50个不同的数， 试证：其中必有两个数，它们之差等于7.证明先把所给的98个数设计成49个抽屉：(1,8),(2,9)(3,10),(4,11),…(21,28),… (91,98) , 每个抽屉中的两个数之差为7.从1,2,3，…,98中任取50个，就是从这49个抽屉中任取50个数，由抽屉原理1知，必有一个抽屉中要取两个数，即这50个数中必有两个数，它们之差等于7. 例3.任取6人，试证必有3人，他们互相认识或不认识.证明用A 、B 、C 、D 、E 、F 表示这六个人，首先以A 为中心考虑，与另外五个人B 、C 、D 、E 、F 只有两种可能的关系:认识或不认识，则由抽屉原理知，必定与其中某三个人认识或不认识.现在不妨设A 认识了B 、C 、D 三人，当B 、C 、D 不认识时，问题得证；当B 、C 、D 三人中有两人认识，如B 、C 认识时，则A 、B 、C 互相认识，问题也得证. 2、 线性代数中的应用例4. 设A 为n 阶方阵，证明存在1n i ≤≤，使秩(i A )=秩(1+i A )=秩Λ=+)(2i A 证明因为n 阶方阵的秩只能是n ,,2,1,0 Λ这n +1个数之一. =E 120,,,,,+n n A A A A A Λ,E 的个数多于秩的个数，由抽屉原理可知，存在k ,l 满足1≤k <l ≤n 使秩(k A )= 秩(l A ),但秩(k A )≥秩(1+k A )≥…≥秩(l A ),所以秩(k A )=秩(1+k A ),利用此式与秩的性质得秩(ABC )≥秩(AB )+秩(BC )-秩(B ),这里的C B A ,,是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证秩(m k A +)=秩(1++m k A ).其中m 为非负整数，故命题的结论成立. 秩(i A )=秩(1+i A )=秩Λ=+)(2i A .3、解决几何问题抽屉原理在几何问题中可以变形如下：如果长度为a 的线段上放置若干条长度大于之和大于a 的线段，则放置的线段中必有公共点．例5 在边长为1的正方形内部，放置若干个圆，这些圆的周长之和等于10．证明：可以作出一条直线，至少．．与其中四个圆有交点． 证明：将所有的已知圆投影到正方形的一条边AB 上．注意，周长为l 的圆周，其投影长为l π的线段．因此所有已知圆的投影长度之和等于10π，由于1033AB π>=，所以由抽屉原理知，线段AB 上必有一点X ，至少被四条投影线段所覆盖．即至少有四条投影线段有公共点．因此，过点X 且垂直于AB 的直线，至少与四个已知圆有交点。