2014-2015学年山东省枣庄八中高三上学期期末数学试卷(理科)含答案

山东省枣庄第八中学2014-2015学年高一1月月考数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设集合}5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，则C u A =（ ）A.}4{B.}5,4,2{C.}5,4{D.}4,3,1{2．设()2,02,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，则()1f f -⎡⎤⎣⎦=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 83. 已知)1,1(A ,)4,2(B ，则直线的斜率为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．3y x = 5. 若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是（ ）A.3-B. 1C. 0或23-D. 1或3-6. 设0.30.33,log 3,log 2a b c π===则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<7. 已知平面,αβ，直线,l m ，且有,l m αβ⊥⊂，则下列四个命题正确的个数为（ ） ①若α∥β则l m ⊥； ②若l ∥m 则l ∥β；③若αβ⊥则l ∥m ； ④若l m ⊥则l β⊥；（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48. 已知0lg lg =+b a ，则函数xa x f =)(与函数x x gb log )(-=的图象可能是（ ）2 俯视图主视图左视图21 29. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), ）A. 2(2042)cm +B. 221cmC. 2(2442)cm +D. 224cm 10. 函数()ln |2|()f x x m m R =--∈的所有零点之和为（ ）A.4-B. 2C. 4D. 与实数m 有关 二、填空题（本大题共5小题，共25分）11. 已知函数)1lg()(-=x x f ，它的定义域为 .12.过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是 ； 13．两平行直线0125=+y x 与013125=-+y x 的距离是 ．14．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于___________．15．已知函数1y ax =+在()1,1-上是增函数，函数22y x ax =-+在[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）设集合{|13}A x x =-≤<，{|242}Bx x x =-≥-， {|1}C x x a =≥-.（1）求A ⋂B ；（2）若B C C ⋃=，求实数a 的取值范围.17. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1） PA∥平面BDE .（2）平面PAC ⊥平面BDE .18.（本小题满分12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （2,3）,B （-1，-2），C （-3，4），求 （Ⅰ）BC 边上的中线AD 所在的直线方程；（Ⅱ）△ABC 的面积。

2015-2016学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，0}D．{0，2}2．（5分）直线l：x+y﹣3=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°4．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．（5分）设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a 6．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），＞1；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7．（5分）若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是（）A．1B．2C．4D．88．（5分）已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定9．（5分）函数的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．610．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P在直线l：y=x+2上，若圆C上存在两点A，B使得，则点P的横坐标的取值范围为（）A．B．C．[﹣1，0]D．[﹣2，0]二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，则p=．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，则=．13．（5分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是．15．（5分）已知直线y=k（x﹣m）与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2+y2﹣4x=0上，则p=．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值； （2）若，f （α）=﹣，求sinα的值．17．（12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=，公比q ＞0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列． （1）求a n ； （2）设b n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m ，n （m ＞n ），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： ξ 01 2 3Pab（1）求至少有一位学生做对该题的概率； （2）求m ，n 的值； （3）求ξ的数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，E 是PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求锐二面角C ﹣PB ﹣D 的大小．20．（13分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点与它的左、右两个焦点F 1，F 2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x 2﹣y 2=2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），AF 1的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）2015-2016学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，0}D．{0，2}【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，∵A={﹣2，0，2}，∴A∩B={0，2}，故选：D．2．（5分）直线l：x+y﹣3=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得直线的斜率k==﹣，即tanα=﹣，故α=，故选：D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：D．4．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，得，即A（1，1），此时z的最小值为z=1+1=2，故选：A．5．（5分）设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．6．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），＞1；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∀x∈（1，+∞），由幂函数的性质可得＞1，是真命题；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，利用指数函数的单调性可知：是真命题．则下列命题为真命题的是p∧q，其余的为假命题．故选：A．7．（5分）若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，设T为函数f（x）=sin（ωx+）的最小正周期，∴=k×=k×，k∈N+，即：ω=4k，k∈N+，∴当k=1时，ω取得最小值是4，故选：C．8．（5分）已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定【解答】解：如图，延长BC到D，使BD=2BC，连接DA，则：，；设，则E在直线BC上，连接EA，则：；∵；∴；∴AD⊥BD；∴∠ACD为锐角；∴∠ACB为钝角；∴△ABC为钝角三角形．故选：C．9．（5分）函数的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵f（x）=|lg（x﹣）|﹣cosx，∴由f（x）=0得|lg（x﹣）|﹣cosx=0，即|lg（x﹣）|=cosx，作出函数y=|lg（x﹣）|和y=cosx的图象如图：则由图象知两个图象的交点个数为4，故函数f（x）的零点个数为4，故选：B．10．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P在直线l：y=x+2上，若圆C上存在两点A，B使得，则点P的横坐标的取值范围为（）A．B．C．[﹣1，0]D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可得得圆心C（0，0），根据圆C上存在两点A、B使得，则点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径．设点P的坐标为（m，m+2），则有﹣1≤1，化简求得﹣2≤m≤0，故选：D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，则p=．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，可得np=2，np（1﹣p）=1，解得p=．故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，则=﹣．【解答】解：=f（），∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴f（）=﹣f（）=，故答案为：﹣13．（5分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【解答】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是．【解答】解：由已知几何体的三视图得到几何体是半个底面直径为4高为1的圆柱与个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体，所以几何体的条件为；故答案为：15．（5分）已知直线y=k（x﹣m）与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2+y2﹣4x=0上，则p=2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由，整理得：k2x2﹣（2k2m+2p）x+k2m2=0，由韦达定理可知：x1•x1=m2，由OA⊥OB，则•=0，即x1•x1+y1•y1=0，即m2﹣2pm=0，解得：m=2p，∵点D在直线AB：y=k（x﹣m）上，∴设D坐标为（x，k（x﹣m）），则OD的斜率为k′=；又∵OD⊥AB，AB的斜率为k，∴k•k′==﹣1，即k（x﹣m）=﹣；又∵动点D的坐标满足x2+y2﹣4x=0，即x2+[k（x﹣m）]2﹣4x=0，将k（x﹣m）=﹣代入上式，得x=；再把x代入到=﹣1中，化简得4k2﹣mk2+4﹣m=0，即（4﹣m）•（k2+1）=0，∵k2+1≠0，∴4﹣m=0，∴m=4．∴p=2故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．【解答】解：（1）因为直线、是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以，函数的最小正周期T=2×=2π，从而，因为函数f（x）关于直线对称．所以，即．…（5分）又因为，所以．…（6分）（2）由（1），得．由题意，．…（7分）由，得．从而．…（8分），…（10分）=．…（12分）17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求a n；（2）设b n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以S3+a3﹣S1﹣a1=S2+a2﹣S3﹣a3．…（1分）化简得4a3=a1．…（3分）所以．因为q＞0，所以．…（4分）故．…（6分）（2）由（1）可知．…（8分）．…（10分）T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n===…（12分）18．（12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0123P a b（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．【解答】解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，．（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是．（2）由题意知，，整理得mn=，．由m＞n，解得，．（3）由题意知=，b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，∴ξ的数学期望为Eξ==．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求锐二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】（1）解法一：如图，以D为坐标原点，分别以所在的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E （0，1，1）．…（2分）法一：．设，即（2，0，﹣2）=λ（2，2，0）+μ（0，1，1）．解得λ=1，μ=﹣2．所以．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）法二：取BD的中点G，则G（1，1，0）.，．所以，所以PA∥EG．又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）法三：．设=（x，y，z）为平面EDB的一个法向量，则，即2x+2y=0，y+z=0．取y=﹣1，则x=z=1．于是=（1，﹣1，1）．又，所以．所以．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）解法二：连接AC，设AC∩BD=G．因为ABCD是正方形，所以G是线段AC的中点．又E是线段PC的中点，所以，EG是△PAC的中位线．所以PA∥EG．…（2分）又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）（2）解法一：由（1）中的解法一，，．设=（x1，y1，z1）为平面CPB的一个法向量，则，．取y1=1，则z1=1．于是=（0，1，1）．…（7分）因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PDB．所以是平面PDB的一个法向量．…（10分）所以．…（11分）所以，锐二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…（12分）解法二：如图，设AC∩BD=G．在Rt△PDB中，过G作GF⊥PB于F，连接FC．…（5分）因为四边形ABCD是正方形，所以CA⊥BD，即CG⊥BD．…（6分）因为侧棱PD⊥底面ABCD，CG⊂平面ABCD，所以CG⊥PD．…（7分）又CG⊥BD，PD∩BD=D，所以CG⊥平面PDB．所以CG⊥PB．…（8分）又PB⊥GF，CG∩GF=G，所以PB⊥平面CGF．所以PB⊥FC．从而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角…（9分）在Rt△PDB中，．…（11分）在Rt△FGC中，．所以∠GFC=60°．所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…（12分）20．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x2﹣y2=2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．【解答】解：（1）由椭圆的定义知2a=2，双曲线x2﹣y2=2的离心率为，故椭圆+=1的离心率e=，故a=，c=1，b=1；故椭圆的方程为+y2=1；（2）①证明：设A（x A，y A），B（x B，y B），则C（﹣x A，﹣y A），设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简得，（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x A+x B=﹣，y A+y B=k（x A+x B）+2k=k（﹣+2）=k，∴k AB k BC=k•==﹣；②当直线AB的斜率不存在时，可知A（﹣1，），B（﹣1，﹣），C（1，﹣），=，故S△ABC当直线AB的斜率存在时，由①知，x A+x B=﹣，x A x B=，故|x A﹣x B|==•，故|AB|=|x A﹣x B|=••，点C到直线AB的距离d==，=•（••）•故S△ABC=2=2•＜，故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为x+1=0．21．（14分）已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）【解答】解：（1）f'（x）=4x3lnx+x3﹣4ax3．…（1分）则f'（1）=1﹣4a．又f（1）=0，所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（1﹣4a）（x﹣1）．…（3分）（2）由（1）得f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）．①当时，因为y=4lnx+1﹣4a为增函数，所以当x≥1时，4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a＞0，因此f'（x）≥0．当且仅当，且x=1时等号成立，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．因此，当x≥1时，f（x）≥f（1）=0．所以，满足题意．…（6分）②当时，由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得，解得．因为，所以，所以．当时，f'（x）＜0，因此f（x）在上为减函数．所以当时，f（x）＜f（1）=0，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是．…（9分）（3）由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得，．当时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．所以f（x）的极小值=．…（10分）由φ'（a）=1﹣e4a﹣1=0，得．当时，φ'（a）＞0，φ（a）为增函数；当时，φ'（a）＜0，φ（a）为减函数．所以．…（11分）==．下证：a＞0时，．，∴，∴，∴．…（12分） 令，则．当时，r'（a ）＜0，r （a ）为减函数；当时，r'（a ）＞0，r （a ）为增函数．所以，即．所以，即．所以．综上所述，要证的不等式成立．…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2014-2015学年山东省枣庄八中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（C U A）∩（C U B）=（）A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，4，5} 2．（5分）若复数的实部和虚部相等，则实数a等于（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．64．（5分）某同学有相同的明信片2张，同样的小饰品3件，从中取出4样送给4位朋友，每位朋友1样，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种5．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．6．（5分）对于函数f（x）=e ax﹣lnx，（a是实常数），下列结论正确的一个是（）A．a=1时，B有极大值，且极大值点（1，3）B．a=2时，A有极小值，且极小值点x0∈（0，）C．a=时，D有极小值，且极小值点x0∈（1，2）D．a＜0时，C有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）7．（5分）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或78．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，已知a=2，c=2，1+=，则C=（）A．30°B．45°C．45°或135°D．60°10．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24B．48C．66D．13211．（5分）若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32B．﹣16C．16D．3212．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是．14．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B，F为C的焦点．若|FA|=2|FB|，则k=．15．（5分）设=（m+1）﹣3，=+（m﹣1），其中，为互相垂直的单位向量，又（+）⊥（﹣），则实数m=．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且A=．现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可）你选择的条件是；（用序号填写）由此得到的△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．18．（12分）已知首项都是1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足b n+1=（Ⅰ）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b32=4b2•b6，求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，当点M为EC中点时．（1）求证：BM∥平面ADEF；（2）求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．20．（12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92．（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为．（1）求椭圆的方程．（2）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）=alnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）与f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求证：xf（x）﹣1．2014-2015学年山东省枣庄八中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（C U A）∩（C U B）=（）A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，4，5}【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，∴C U A={2，4，5}，又∵集合U={1，2，3，4，5}，B={2，3，4}，∴C U B={1，5}，∴（C U A）∩（C U B）={5}，故选：B．2．（5分）若复数的实部和虚部相等，则实数a等于（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵复数==的实部和虚部相等，∴，解得a=﹣1，故选：A．3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．4．（5分）某同学有相同的明信片2张，同样的小饰品3件，从中取出4样送给4位朋友，每位朋友1样，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本小饰品一本明信片，让一个人拿本明信片就行了4种另一种情况是2本明信片2本小饰品，只要选两个人拿明信片C42=6种根据分类计数原理知共10种，故选：B．5．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选：C．6．（5分）对于函数f（x）=e ax﹣lnx，（a是实常数），下列结论正确的一个是（）A．a=1时，B有极大值，且极大值点（1，3）B．a=2时，A有极小值，且极小值点x0∈（0，）C．a=时，D有极小值，且极小值点x0∈（1，2）D．a＜0时，C有极大值，且极大值点x0∈（﹣∞，0）【解答】解：∵f（x）=e ax﹣lnx，∴函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=ae ax﹣，若a=，f（x）=﹣lnx，则f′（x）=，则f'（x）=在（0，+∞）上单调递增，f′（1）=，f′（2）═∴函数f（x）存在极小值，且f′（x）=0的根在区间（1，2）内，故选：C．7．（5分）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或7【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m2=4×9，解得m=±6．①当m=6时，圆锥曲线为表示椭圆，其中a2=6，b2=1，∴离心率e===；②当m=﹣6时，圆锥曲线为表示双曲线，其中a2=1，b2=6，∴离心率e==．故选：C．8．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，已知a=2，c=2，1+=，则C=（）A．30°B．45°C．45°或135°D．60°【解答】解：∵1+=，即===，∴cosA=，即A为锐角，∴sinA==，∵a=2，c=2，∴由正弦定理=得：sinC==，∵a＞c，∴A＞C，∴C=45°．故选：B．10．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+6，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24B．48C．66D．132【解答】解：∵列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a9=，∴a1+8d=（a1+11d）+6，∴a1+5d=12，即a6=12．∴数列{a n}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=132．故选：D．11．（5分）若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32B．﹣16C．16D．32【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选：D．12．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，+∞）D．【解答】解：当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，所以f（x）=，由f（x）﹣kx+k=0得f（x）=kx﹣k，分别作出y=f（x）和y=kx﹣k=k（x﹣1）的图象，如图：由图象可知当直线y=kx﹣k经过点A（﹣1，1）时，两曲线有两个交点，又直线y=k（x﹣1）过定点B（1，0），所以过A，B两点的直线斜率k=．所以要使方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则≤k＜0．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是9．【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，∴x+3y=2，∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，当且仅当x=3y=1时取等号．其最小值是9．故答案为：9．14．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B，F为C的焦点．若|FA|=2|FB|，则k=．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为（1，2）∴k==，故答案为：15．（5分）设=（m+1）﹣3，=+（m﹣1），其中，为互相垂直的单位向量，又（+）⊥（﹣），则实数m=﹣2．【解答】解：∵=（m+1）﹣3，=+（m﹣1），其中，为互相垂直的单位向量，∴，=（1，m﹣1）．又（+）⊥（﹣），∴（+）•（﹣）==0，∴（m+1）2+9﹣[1+（m﹣1）2]=0，化为m=﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且A=．现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可）你选择的条件是①②；（用序号填写）由此得到的△ABC的面积为．【解答】解：（1）①a=2；②B=45°可以确定三角形，由正弦定理得：，则b===2，又C=180°﹣A﹣B=105°，则sinC=sin（45°+60°）==，所以△ABC的面积S===；（2）①a=2，③c=b可以确定三角形，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，则4=，解得b=2，则c=2，即△ABC的面积S===，故答案为：①②或①③；或．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．18．（12分）已知首项都是1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足b n+1=（Ⅰ）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b32=4b2•b6，求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由题意得a nb n=a n•b n+1+3b n•b n+1，+1两边同时除以b n b n+1，得，又c n=，∴c n﹣c n=3，+1又，∴数列{c n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴c n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N*．（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，q＞0，∵，∴，整理，得，∴q=，又b1=1，∴，n∈N*，a n=c nb n=，∴S n=1×…+，①∴=+…+，②①﹣②，得：+…+﹣（3n﹣2）×=1+3[]﹣（3n﹣2）×==4﹣（6+3n﹣2）×=4﹣（3n+4）×（）n，∴S n=8﹣（6n+8）×．19．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，当点M为EC中点时．（1）求证：BM∥平面ADEF；（2）求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．【解答】（1）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），M（0，2，1）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又是平面ADEF的一个法向量．∵即∴BM∥平面ADEF﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）解：设M（x，y，z），则，又设，即M（0，2，1）．﹣﹣（6分）设是平面BDM的一个法向量，则，取x 1=1得y1=﹣1，z1=2即又由题设，是平面ABF的一个法向量，∴20．（12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92．（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．【解答】解：（1）记甲乙分别解出此题的事件记为A和B设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出为P2则P（A）=P1=06，P（B）=P2P（A+B）=1﹣P（）=1﹣（1﹣P1）（1﹣P2）=P1+P2﹣P1P2=0.92∴0.6+P2﹣0.6P2=0.92，则0.4P2=0.32 即P2=0.8（2）由题意知变量的取值可能是0，1，2，P（ξ=0）=P（）•P（）=0.4×0.2=0.08P（ξ=1）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44P（ξ=2）=P（A）•P（B）=0.6×0.8=0.48∴ξ的概率分布为：ξ012P0.080.44 0.48∴Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4∴Dξ=（0﹣1.4）2•0.08+（1﹣1.4）2•0.44+（2﹣1.4）2•0.48=0.1568+0.0704+0.1728=0.421．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为．（1）求椭圆的方程．（2）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．【解答】解：（1）由题意得，得a=2．…（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．…（4分）所以，椭圆的方程为+=1．…（6分）（2）由，得（3+12k2）x2﹣12×3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=0，x1x2=﹣，…（10分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，…（12分）因为=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），所以•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，即+9=0，解得k=±．…（15分）22．（12分）已知函数f（x）=alnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）与f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求证：xf（x）﹣1．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx，g（x）=，∴f′（x）=，g′（x）=，设曲线f（x）与f（x）与曲线g（x）交点的横坐标为x0，由曲线y=f（x）与f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，可得：alnx 0=，且=，解得：x0=e2，a=，证明：（2）由（1）得：f（x）=lnx，则不等式xf（x）﹣1．可化为：x•lnx﹣1，即即证明exlnx＞xe1﹣x﹣2．令H（x）=exlnx，可得H′（x）=e+elnx=e（1+lnx），令H′（x）＞0，解得x∈（，+∞），此时函数H（x）单调递增；令H′（x）＜0，解得x∈（0，），此时函数H（x）单调递减．∴当x=时，函数H（x）取得极小值即最小值，H（）=﹣1．令G（x）=xe1﹣x﹣2，可得G′（x）=（1﹣x）e1﹣x，令G′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数G（x）单调递增；令G′（x）＜0，解得x＞1，此时函数G（x）单调递减．∴当x=1时，函数G（x）取得极大值即最大值，G（1）=﹣1．∴H（x）＞G（x），因此xf（x）﹣1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。

2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高三（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（每题5分，共10题）1．（5分）设A、B是两个非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞0}，则A×B=（）A．[0，1]∪（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]D．[0，2]2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1B．﹣1C．D．﹣3．（5分）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则∠A为（）A．B．C．D．4．（5分）如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A．1个B．2个C．50个D．100个5．（5分）小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10，7：20，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）=e x﹣1B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx7．（5分）已知下列命题：①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”是“α⊥β”的充要条件；②的展开式中含x3的项的系数为60；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）=﹣p；④若不等式|x+3|+|x﹣2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，2）；⑤已知奇函数f（x）满足f（x+π）=﹣f（x），且0＜x＜时f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上有5个零点．其中所有真命题的序号是（）A．③④B．③C．④⑤D．②④8．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1] 9．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4，0），则|AB|是最大值为（）A．2B．4C．6D．1010．（5分）函数f（x）=（1+x﹣+﹣+…﹣+）cos2x在区间[﹣3，3]上的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．（5分）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n 的值为．12．（5分）某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有种．13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y+5）2=25和两点A（2，2），B（﹣1，﹣2），若点P在圆C上且S=，则满足条件的P点有个．△ABP14．（5分）在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为．15．（5分）已知函数f（x）=2ae x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是．三、解答题16．（12分）已知f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和函数在[0，π]上的单调减区间；（2）若△ABC中，f（）=，a=2，b=，求角C．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．18．（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．19．（12分）已知点P1（a1，b1），P（a2，b2），…P n（a n，b n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上．（1）若数列{b n}是等差数列，求证：数列{a n}是等比数列；（2）若数列{a n}的前n项和S n=1﹣2﹣n，过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围图形的面积为c n，求最小的实数t，使得对任意的n∈N*，c n≤t恒成立．20．（13分）设函数f（x）=x2﹣xlnx+2，（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．21．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共10题）1．（5分）设A、B是两个非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞0}，则A×B=（）A．[0，1]∪（2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）C．[0，1]D．[0，2]【解答】解：∵集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，A={x|y=}={x|0≤x≤2}B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}∴A∪B=[0，+∞），A∩B=（1，2]因此A×B=[0，1]∪（2，+∞）．故选：A．2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1B．﹣1C．D．﹣【解答】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选：A．3．（5分）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则∠A为（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，整理得：2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A为三角形的内角，∴∠A=．故选：C．4．（5分）如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A．1个B．2个C．50个D．100个【解答】解：先退到两个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数，且乙的体重数＞甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人．再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人．这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象．由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为A i，（i=1，2，…，100），其身高数为x i，体重数为y i，当y100＞y99＞…＞y i＞y i﹣1＞…＞y1且x1＞x2＞…＞x i＞x i+1＞…＞x100时，由身高看，A i不亚于A i+1，A i+2，…，A100；由体重看，A i不亚于A i﹣1，A i﹣2，…，A1所以，A i不亚于其他99人（i=1，2，…，100）所以，A i为棒小伙子（i=1，2， (100)因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个．故选：D．5．（5分）小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10，7：20，7：30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤7，7≤y≤7，甲、乙两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将3班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足{（x，y）|，或或}，即（x，y）必须落在图形中的3个带阴影的小正方形内，如图所以由几何概型的计算公式得P=；故选：A．6．（5分）若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）=e x﹣1B．f（x）=ln（x+1）C．f（x）=sinx D．f（x）=tanx【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．7．（5分）已知下列命题：①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”是“α⊥β”的充要条件；②的展开式中含x3的项的系数为60；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）=﹣p；④若不等式|x+3|+|x﹣2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，2）；⑤已知奇函数f（x）满足f（x+π）=﹣f（x），且0＜x＜时f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上有5个零点．其中所有真命题的序号是（）A．③④B．③C．④⑤D．②④【解答】解：①设m为直线，α，β为平面，且m⊥β，则“m∥α”是“α⊥β”的充分不必要条件，因此不正确；==，令15﹣4r=3，②的展开式中通项公式T r+1解得r=3．含x3的项的系数为=10，因此不正确；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）==﹣p，因此正确；④∵不等式|x+3|+|x﹣2|≥|﹣3﹣2|=5，∴5≥2m+1恒成立，解得m≤2，则m的取值范围是（﹣∞，2]，因此不正确；⑤∵奇函数f（x）满足f（x+π）=﹣f（x），∴f（x+2π）=f（x），f（﹣x+π）=﹣f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）的周期T=2π．f（﹣x+π）=f（x），即函数f（x）关于直线x=对称．∵函数f（x）是奇函数，且0＜x＜时f（x）=x，∴，f（x）=x．分别画出函数y=f（x），y=sinx的图象．若=1，则函数g（x）=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上有9个零点，因此不正确．其中所有真命题的序号是③．故选：B．8．（5分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1]【解答】解：（如图）以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，进而可得C（1，1），M（1，），设E（x，0）（0≤x≤1）∴=（1﹣x，1），=（1﹣x，）∴=（1﹣x）（1﹣x）+1×=x2﹣2x+∵0≤x≤1，∴当x=1时，有最小值为；当x=0时，有最大值为，由此可得的取值范围是[，]故选：C．9．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是（4，0），则|AB|是最大值为（）A．2B．4C．6D．10【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1）B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线恰过点M（4，0），∴|MA|2=|MB|2，即+=+，又=4x1，=4x2，代入并展开得：16+﹣8x1+4x1=﹣8x2+16+4x2，即﹣=4x1﹣4x2，又x1≠x2，x1+x2=4，∴AB≤AF+BF=（x1+）+（x2+）=4+2=6（当A，B，F三点共线时取等号）．即|AB|是最大值为6．故选：C．10．（5分）函数f（x）=（1+x﹣+﹣+…﹣+）cos2x在区间[﹣3，3]上的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：设g（x）=1+x﹣+﹣+…﹣+，则g′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012=，在区间[﹣3，3]上，＞0，故函数g（x）在[﹣3，3]上是增函数，由于g（﹣3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（﹣3）＜0，且g（3）=1+3+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，故在[﹣3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．又y=cos2x在区间[﹣3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，∴函数f（x）=（1+x﹣+﹣+…﹣+）cos2x在区间[﹣3，3]上的零点的个数为1+4=5．故选：C．二．填空题11．（5分）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n 的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得p=16，n=1，S=0满足条件S＜p，S=3，n=2满足条件S＜p，S=9，n=3满足条件S＜p，S=18，n=4不满足条件S＜p，退出循环，输出S的值为18，n的值为4．故答案为：4．12．（5分）某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有75种．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31•C63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y+5）2=25和两点A（2，2），B（﹣1，﹣2），=，则满足条件的P点有2个．若点P在圆C上且S△ABP【解答】解：∵A（2，2），B（﹣1，﹣2），∴|AB|==5，圆C：（x﹣3）2+（y+5）2=25的半径r=5，圆心C（3，﹣5），=，∵点P在圆C上且S△ABP∴点P到AB的距离就应该是1．直线AB的方程为：=，整理，得4x﹣3y﹣2=0，圆心C（3，﹣5）到直线AB的距离d==5，∴直线AB与圆C相切，∴满足条件的P点有2个．故答案为：2．14．（5分）在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为．【解答】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P为BE上一点，∴不妨设=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ∴m+4n=（1﹣λ）+λ∵，不共线∴m+4n=1﹣λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当=即m=2n时等号成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案为15．（5分）已知函数f（x）=2ae x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是2．【解答】解：由题意，f（0）=2a•e0=2a；故M（0，2a）；g（x）=ln=0解得，x=a；故N（a，0）；由g′（x）=•=；k MN==﹣2，g′（a）=；则由|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln（a＞0）图象上的最小值知，k MN×g′（a）=﹣1，即﹣2×=﹣1；解得，a=2．故答案为：2．三、解答题16．（12分）已知f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和函数在[0，π]上的单调减区间；（2）若△ABC中，f（）=，a=2，b=，求角C．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）+sin2x=sin2x+cos2x+cos2x+sin2x+sin2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）…3分所以f（x）的最小正周期为π…4分由2kπ≤2x+≤2kπ+可得kπ≤x≤kπ+，又0≤x≤π，所以可得：所以f（x）的递减区间为：[，]…6分（2）由（1）知f（）=sin（A+）=，所以sin（A+）=1，因为0＜A ＜π，所以A=…8分又∵a=2，b=，所以由正弦定理可得：，所以sinB=，即B=或B=，所以C=或C=…12分17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．（2）解：连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，1，），平面PBD的法向量=（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以|cos＜，＞|==，所以t=2或t=﹣2（舍）P（0，﹣，2），E（0，0，1），=（，1，1），=（﹣1，0，﹣）∴sinθ=||=，∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为．18．（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．19．（12分）已知点P1（a1，b1），P（a2，b2），…P n（a n，b n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上．（1）若数列{b n}是等差数列，求证：数列{a n}是等比数列；（2）若数列{a n}的前n项和S n=1﹣2﹣n，过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围图形的面积为c n，求最小的实数t，使得对任意的n∈N*，c n≤t恒成立．【解答】（1）证明：设等差数列{b n}的公差为d，则P n（a n，b n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上．，∴an=．∴==对n∈N*恒成立，得到数列{a n}是等比数列．（2）解：由S n=1﹣2﹣n，可得=．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1﹣2﹣n﹣（1﹣2﹣（n﹣1））=．==n，∴P n，P n+1．过点P n，P n+1的直线方程为：=，化为：y=n﹣2（2n x﹣1）．可得：A n，B n（0，n+2）.=．由c n﹣c n+1==＞0．∴数列{c n}单调递减，使得对任意的n∈N*，c n≤t恒成立，则t≥c1=．∴t的最小值为．20．（13分）设函数f（x）=x2﹣xlnx+2，（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令g（x）=f′（x）=2x﹣lnx+1（x＞0），则g′（x）=2﹣=，（x＞0）令g′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x≥时，g′（x）≥0，g（x）为增函数；所以g（x）在（0，）单调递减，在[，+∞）单调递增，则g（x）的最小值为g（）=ln2＞0，所以f′（x）=g（x）≥g（）＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间[a，b]⊆[，+∞）递增，∵f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，所以f（a）=k（a+2），f（b）=k（b+2），≤a＜b，则f（x）=k（x+2）在[，+∞）上至少有两个不同的正根，k=，令F（x）==，求导得，F′（x）=（x≥），令G（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4（x≥）则G′（x）=2x+3﹣=所以G（x）在[，+∞）递增，G（）＜0，G（1）=0，当x∈[，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，所以F（x）在[，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴F（1）＜k≤F（），∴k∈（1，]；21．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q （，0），使得恒成立．第21页（共21页）。