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九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)

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第二十六章 反比例函数 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

象限内，y 随x 的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如xky =在第一、第三象限，则可知0k >。

☆反比例函数xky =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。

习题1．下列函数中，不是反比例函数的是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝－32x C ．y ＝1x －1D ．3xy ＝22．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．－14C ．4D ．－43．若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝ax在同一坐标系中的图象可能是( )6．如图26­1­10，直线x ＝t (t >0)与反比例函数y ＝2x，y ＝－1x的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为( )图26­1­10A ．3 t D ．不能确定7．已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而______ （填“增大”或“减小”）．8．若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．9．如图26­1­9，直线y ＝2x －6与反比例函数y ＝kx(x >0)的图象交于点A (4,2)，与x 轴交于点B .(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)在x 轴上是否存在点C ，使得AC ＝AB 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．图26­1­910．如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．第二十七章相似图形的相似概述如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等。

性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

比例线段有关概念及性质 1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若a c b d=或a:b=c:d ，那么d 叫作a 、b 、c 的第四比例项.（3）比例中项：若a b b c=或a:b=b:c ，b 叫作a ，c 的比例中项. （4）黄金分割：把一条线段（AB ）分割成两条线段，使其中较长线段（AC ）是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB ·BC ，510.618AB AB -≈；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理 （1）a cad bc bd=→=（2）a c a b c db d b d ±±=→=（3）(b d n 0)a c ma c m abdnb d n b+++===+++≠→=+++ 3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；判定1.两个三角形的两个角对应相等2.两边对应成比例,且夹角相等3.三边对应成比例4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

位似如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

位似多边形的对应边平行或共线。

位似可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

注意1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

习题1、已知513b a =，则a b a b -+的值是（ ）A ．23B ．32C ．94D ．492、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A 、13 B 、23 C 、34 D 、45第7题图3、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DEB4、已知△ABC ∽△DEF,ABC ∆与DEF ∆的相似比为4:1，则ABC ∆与DEF ∆对应边上的高之比为 .5、将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 ．6、在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O 点，则S△MOD：S△COB= ．7、如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．8、如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AG AF.GC FE9、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=46，求BG的长．第二十八章锐角三角函数一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：sinA＝∠A的对边斜边＝ac余弦：cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切：tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：(1)三边关系：a2＋b2＝c2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边与角关系：sinA＝cos B＝ac ，cos A＝sinB＝bc，tanA＝ab；(4)sin2A＋cos2A＝1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角习题解直角三角形聚焦考点☆温习理解一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：sinA＝∠A的对边斜边＝ac余弦：cos A＝∠A的邻边斜边＝bc余切：tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：(1)三边关系：a2＋b2＝c2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边与角关系：sinA＝cos B＝ac ，cos A＝sinB＝bc，tanA＝ab；(4)sin2A＋cos2A＝1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b【举一反三】(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.考点典例二、锐角三角函数的计算）2=0，【例2】在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA-1|+（cosB-12那么∠C=【举一反三】|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（）在△ABC中，若|cosA-12A．45°B．60°C．75°D．105°考点典例三、解直角三角形【例3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=1，AD=1．求3BC的长．【举一反三】如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。

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【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

2020年苏科版九年级下册知识点归纳(最新最全)

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苏科版九年级数学下册知识点总结第五章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 十二、二次函数考查重点与常见题型2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)21． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题(不错!)

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—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章 直角三角形的边角关系1．正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

例 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 2. 正弦．．： 在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;例 在ABC ∆中，若90C ∠=︒，1sin 2A =，2AB =，则ABC ∆的周长为 3. 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;例 等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（ ） A ．4B ．23C ．2D ．224. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。

例 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 3|2sin 30B A -+-=（），则△ABC是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

九年级数学知识点归纳总结

九年级数学知识点归纳总结

九年级数学知识点归纳总结九年级数学知识点归纳总结一、代数与函数1. 整式的定义与运算2. 一次函数3. 一元一次方程4. 二元一次方程组5. 二次根式6. 平方根函数7. 一元二次方程8. 二次函数9. 不等式及其应用10. 分式方程及其应用11. 一元二次不等式二、图形的认识与计算1. 图形的基本要素2. 线图的认识与表示3. 直角坐标系与点4. 直线的斜率与截距5. 平面图形的认识6. 圆的定义与性质7. 三角形的定义与性质8. 四边形的定义与性质9. 多边形的定义与性质10. 平行四边形与梯形11. 全等三角形与相似三角形三、图形的变换与特殊点的研究1. 图形的对称2. 图形的平移3. 图形的旋转4. 图形的放缩5. 图形的镜像6. 图形的识别与构造7. 直线与曲线方程8. 直线的方程9. 曲线的方程与图像10. 函数图像与方程四、数据的收集、整理与分析1. 数据的搜集2. 数据的组织与分析3. 数据的统计指标与应用4. 数据的表示与处理5. 概率与统计的应用6. 概率的计算与描述五、几何证明与解题思想1. 数学证明的基本要素2. 数学证明的方法与技巧3. 合理解题的方法与思想4. 题目解析与解题思路5. 数学建模与解题策略6. 数学问题的探究与解答7. 考试题型与解题技巧六、数学思想方法与习题1. 数学思想与方法2. 理解数学概念与性质3. 理解数学定理与定律4. 数学求解与推演5. 数学解题与解答6. 数学习题与补充题7. 数学案例与应用以上是九年级数学知识点的一个大致归纳总结。

对于每个知识点，学生可以通过课堂学习、练习题、习题集的训练等方式进行深化学习和巩固。

同时，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力也是十分重要的。

希望以上总结对您有所帮助！。