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北师大版数学九年级下册知识点归纳总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2.正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度(或坡比)。
用字母i表示，即5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
万唯中考九年级数学知识点归纳数学对于每个学生来说都是一门必修的学科，而数学在中考中的重要性更是不言而喻。
作为学生们最为关注的科目之一，数学的积累和掌握是十分必要的。
为了帮助九年级学生做好数学的复习备考工作，下面将对万唯中考九年级数学知识点进行归纳总结。
一、代数与函数代数与函数是数学中的基础和核心，其中包括了常数、变量、代数式、函数等内容。
在代数与函数部分，重点掌握代数式的展开与因式分解、二次根式的加减乘除及绝对值、一元二次方程的解法、函数的概念与特征以及函数关系的图像。
二、图形与几何几何是数学中的重要组成部分，图形与几何主要涵盖了平面几何和空间几何两个方面。
平面几何的内容包括了点、线、面等基本概念及相关性质，如三角形、四边形、多边形的性质，图形的相似与全等等。
空间几何则主要关注点、直线、平面等在三维空间中的相互关系，如直线的位置关系、平面与平面的位置关系等。
三、数据与概率数据与概率是现实生活中的数学应用，也是数学考试中的一项重要内容。
在数据与概率部分，学生需要了解数据的收集、整理和分析方法，包括统计图表的绘制与解读，常见统计量的计算等。
此外，还需要掌握概率的概念与计算方法，包括事件概率的计算、概率分布的应用等。
四、简单数理逻辑与证明数学逻辑与证明是数学思维的重要体现，也是数学中的一项基本技能。
简单数理逻辑与证明主要包括数学推理、命题、逻辑联结词等相关内容。
九年级学生需要通过大量的练习来提高自己的逻辑思维能力，培养正确的数学证明方法。
五、应用题与解题方法除了掌握基础知识和技能外，九年级学生还需要掌握合理的解题方法和策略，并能够应用所学的数学知识解决实际问题。
对于应用题，需要培养学生的问题分析和解决问题的能力，帮助学生掌握问题的转化和解题思路的确定。
综上所述，九年级数学的复习备考工作需要广泛涉猎各个知识点，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。
在备考过程中，学生们可以选择不同的学习方法和技巧，如整理笔记、做题总结、与同学讨论等方式来巩固知识，提高解题水平。
九年级数学知识点归纳总结实数实数是数学中一个重要的概念，它包含了有理数和无理数。
在九年级数学中，我们学习了很多与实数相关的知识点。
本文将对这些知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握实数概念。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数、零以及正、负分数等。
无理数是不能表示成两个整数的比的数，如π、√2等。
二、实数的表示实数可以用小数、分数和百分数表示。
小数是将数用十进制形式表示，可以是有限位数的小数，也可以是无限循环小数。
分数是用分子和分母表示的数，分子分母都是整数且分母不为零。
百分数是百分数与百分号（%）组成的数，表示百分之几。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法：实数的加法是满足交换律、结合律和对加法逆元素的封闭性。
减法可以看作加法的逆运算。
2. 实数的乘法和除法：实数的乘法是满足交换律、结合律和对乘法逆元素的封闭性。
除法可以看作乘法的逆运算。
3. 实数的乘方和开方：实数的乘方是将实数连乘若干次的运算，记作an。
实数的开方是指找到一个数的平方等于该数的运算。
四、实数的性质1. 实数大小比较：实数可以通过大小比较运算符进行大小比较，如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
2. 实数的相反数和绝对值：实数a的相反数是-b，满足a + (-b) = 0。
实数的绝对值表示数与0之间的距离，用|a|表示，如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
3. 实数的数轴表示：实数可以用数轴上的点来表示，其中0代表原点，正数向右延伸，负数向左延伸。
4. 实数的有序性：实数在数轴上是有序排列的，即可以通过大小比较来确定其顺序关系。
五、实数的应用实数在日常生活和实际问题中有广泛的应用：1. 金融领域：利率、股票价格、汇率等都是实数，它们的增长和变动可以通过实数的运算和比较来计算和预测。
2. 科学研究：物理学中的物理量、化学中的化学反应速率、生物学中的物种丰富度等都与实数密切相关。
初三数学知识点总结归纳初三数学复习五大方法初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
初三数学知识点总结归纳（二）1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2.非负数：正实数与零的统称。
（表为：x0）性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a（a1）;B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义（三要素）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
九年级数学《圆》知识点祥解及习题检测一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；rddCBAO五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
人教版初三数学中考知识点总结有理数一．知识概念1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；?不是有理数；(2)有理数的分类: ①②2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1? a、b 互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
九年级几何知识点归纳总结几何学是数学的一个重要分支，主要研究空间与图形的属性和相互关系。
在九年级数学学习中，几何知识点的掌握至关重要。
下面将对九年级几何知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和掌握这些知识。
一、角的相关概念1. 角的定义：角是由两条有公共端点的线段所形成的图形。
2. 角的度量单位：角的度量单位有度和弧度两种，其中度是常用单位。
3. 角的分类：按照角的大小，可以将角分为锐角、直角、钝角和平角四种。
4. 角的比较：通过将角的度数进行比较，可以确定角的大小关系。
二、三角形与四边形1. 三角形的分类：根据边长和角的不同，三角形可以分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
2. 三角形的性质：包括三角形内角和为180度、任意两边之和大于第三边等。
3. 四边形的分类：常见的四边形包括矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形等。
4. 四边形的性质：包括对角线的性质、各种四边形特有的性质等。
三、相似与全等1. 相似三角形的判定：两个三角形相似的条件有AAA、AA和SAS三种。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
3. 全等三角形的判定：两个三角形全等的条件有SSS、SAS、ASA和RHS四种。
4. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边和对应角相等。
四、圆的相关概念1. 圆的定义：圆是平面上一点到另一点距离不变的所有点的集合。
2. 圆的要素：包括圆心、半径、直径、弧和扇形等。
3. 圆的性质：包括圆的两点间距离等于直径、相等弧所对的圆心角相等等。
五、空间几何体1. 空间几何体的分类：包括球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。
2. 空间几何体的性质：包括体积和表面积的计算公式。
六、平面坐标系1. 平面坐标系的构建：通过选择坐标轴和确定原点，可以构建平面坐标系。
2. 点的坐标表示：通过横坐标和纵坐标，可以准确定位平面上的点。
3. 点的性质：包括点的对称性、点的距离公式等。
九年级数学《圆》知识点祥解及习题检测一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；rddCBAO五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥③CE DE =④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习含答案在九年级数学下册教材中，反比例函数是一个重要的知识点。
它是函数的一种特殊形式，具有一些独特的性质和应用。
下面将对反比例函数的知识点进行归纳总结，并提供一些相关的练习题及答案。
一、反比例函数的定义反比例函数是指一个函数，它的函数关系是如下形式：y = k/x其中，k是常数，x和y分别是自变量和因变量。
二、反比例函数的性质1. 定义域和值域：对于反比例函数 y = k/x，其定义域是除数x不能为零的实数集，值域为除数k不能为零的实数集。
2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是一条经过原点(0,0)的曲线，其形状根据k的正负不同而有所变化。
当k>0时，反比例函数为一条开口向右上方的双曲线；当k<0时，反比例函数为一条开口向右下方的双曲线。
3. 反比例函数的性质：a) 反比例函数的图像关于y轴和x轴对称。
b) 当x>0时，y随着x的增大而减小；当x<0时，y随着x的减小而增大。
c) 当x等于1时，y等于k，这是反比例函数的特殊点。
d) 反比例函数可以通过求导得到，导数的值为-ky^2。
三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 速度与时间的关系：当一个物体以恒定的速度运动时，它所用的时间与距离成反比。
2. 人均所得与人口数量的关系：当一个国家人口增加时，人均所得会相应减少。
3. 工人数量与完成一项任务所需时间的关系：当工人的数量增加时，完成一项任务所需的时间会相应减少。
四、练习题及答案1. 以下哪个函数是反比例函数？A. y = 2xB. y = x^2C. y = 3/xD. y = x + 1答案：C. y = 3/x2. 反比例函数 y = k/x 中，若k > 0，则函数的图像是一条__________的双曲线。
答案：开口向右上方3. 若反比例函数的定义域为(-∞, -4) ∪ (4, +∞)，则函数的值域为__________。
第二十六章 反比例函数26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号 0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k<时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。
如xky =在第一、第三象限，则可知0k >。
☆反比例函数xky =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。
如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为 垂足，则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xk y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。
习题1．下列函数中，不是反比例函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－32xC ．y ＝1x －1D ．3xy ＝22．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．－14 B.14 C ．4 D ．－43．若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．已知函数和（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝ax在同一坐标系中的图象可能是( )6．如图26-1-10，直线x ＝t (t >0)与反比例函数y ＝2x ，y ＝－1x的图象分别交于B ，C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为( )图26-1-10A ．3 B.32t C.32D ．不能确定7．已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而______ （填“增大”或“减小”）．8．若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________． 已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．9．如图26-1-9，直线y ＝2x －6与反比例函数y ＝kx(x >0)的图象交于点A (4,2)，与x 轴交于点B .(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)在x 轴上是否存在点C ，使得AC ＝AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．图26-1-910．如图在Rt △ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．第二十七章 相似图形的相似概述如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽） 判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等。
性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
比例线段有关概念及性质1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若或a:b=c:d ，那么d 叫作a 、b 、c 的第四比例项. （3）比例中项：若或a:b=b:c ，b 叫作a ，c 的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB ）分割成两条线段，使其中较长线段（AC ）是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB ·BC ，AC=；一条线段的黄金分割点有两个. a cb d =a bb c=510.618AB AB -≈2.比例的基本性质及定理（1）（2） （3） 3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 判定1.两个三角形的两个角对应相等2.两边对应成比例,且夹角相等3.三边对应成比例4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
直角三角形相似判定定理: ○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
性质a cad bc b d =→=a c a b c d b d b d ±±=→=(b d n 0)a c m a c m ab d n b d n b+++===+++≠→=+++1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
位似如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
位似多边形的对应边平行或共线。
位似可以将一个图形放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
注意1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
习题1、已知，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( ) A 、B 、C 、D 、3、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE//AC ，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= .4、已知△ABC ∽△DEF,与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为 .5、将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 ．6、在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ：S △COB = ．7、如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，分别延长FD 和CB 交于点G ．513b a =a b a b -+2332944913233445第7题图FABC∆DEF ∆ABC ∆DEF ∆ECDBA第1题第4题（1）求证：△ADE ≌△CFE ；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB 的长．8、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F.求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）. 9、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC ＝PG.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G 是BC 的中点（3）在满足（2）的条件下，AB=10，，求BG 的长．第二十八章 锐角三角函数一、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝bAG AFGC FE正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切：tanA ＝∠A 的对边∠A的邻边＝ab二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形 解直角三角形的常用关系 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则： (1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边与角关系：sinA ＝cos B ＝，cos A ＝sinB ＝，tanA ＝； (4)sin 2A ＋cos 2A ＝1四、解直角三角形的应用常用知识 1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角 2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝________a cbc a b坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i ＝tan α 坡度越大，α角越大，坡面________ 3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角习题解直角三角形聚焦考点☆温习理解 一、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc余切：tanA ＝∠A的对边∠A 的邻边＝ab二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：(1)三边关系：a2＋b2＝c2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边与角关系：sinA＝cos B＝，cos A＝sinB＝，tanA＝；(4)sin2A＋cos2A＝1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________ 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝bacbcab【举一反三】(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan∠CAD 的值（ ）A.B.C. D.考点典例二、锐角三角函数的计算【例2】在△ABC 中，如果∠A 、∠B 满足|tanA-1|+（cosB-）2=0，那么∠C= 【举一反三】 在△ABC 中，若|cosA-|+（1-tanB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．105° 考点典例三、解直角三角形【例3】在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC 的长．【举一反三】如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AB 的长．考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。
