02投影梯度法

JordanLectureNote-3：梯度投影法Jordan Lecture Note-3：梯度投影法在这⼀节，我们介绍如何⽤梯度投影法来解如下的优化问题：\begin{align} \mathop{\min}&\quad f(x)\nonumber\\\mathop{s.t.}&\quad \mathbf{A}_1 x\leq b_1\nonumber\\&\quad \mathbf{A}_2x= b_2\label{equ:originalModel}\end{align}其中x\in\mathbb{R}^n,\mathbf{A}_1\in\mathbb{R}^{m_1\times n},b_1\in\mathbb{R}^{m_1},\mathbf{A}_2\in\mathbb{R}^{m_2\times n},b_2\in\mathbb{R}^{m_2}，并且假设\left[\begin{array}{lcr}\mathbf{A}_1\\\mathbf{A}_2\end{array}\right]为⾏满秩矩阵。

定义：1. 矩阵\mathbf{P}\in\mathbb{R}^{n\times n}，若\mathbf{P}^\prime=\mathbf{P},\mathbf{P}^2=\mathbf{P}，则称\mathbf{P}为投影矩阵。

2. 设\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}为⾏满秩矩阵，则\mathbf{A}的零空间为L_{\mathbf{A}}=\{x\in\mathbb{R}^n|\mathbf{A}x=0\}，对应的正交空间为L_{\mathbf{A}}^{\perp}=\{\mathbf{A}^\prime y|y\in\mathbb{R}^m\}。

对\forall x\in\mathbb{R}^n进⾏正交分解使x=x_1+x_2,x_1\in L_{\mathbf{A}},x_2\in L_{\mathbf{A}}^{\perp}，则x_1=\mathbf{P_A}x，其中\mathbf{P_A}=\mathbf{I}-\mathbf{A}^\prime (\mathbf{A}\mathbf{A}^\prime)^{-1}\mathbf{A}称为\mathbf{A}的投影矩阵。

Projected Gradient Descent（投影梯度下降）是一种优化算法，用于解决约束优化问题。

它的基本思想是在满足约束条件的可行解集合中，寻找使得目标函数最小化的解。

投影梯度下降的公式解析如下：
假设我们的目标函数为f(x)，x 是我们想要优化的变量，我们的约束条件是x 必须满足C。

我们的目标是在满足约束C 的情况下，找到使f(x) 最小的x。

投影梯度下降的算法步骤如下：
1. 首先，我们选择一个初始点x0，这个点可以是随机生成的，也可以是根据一些启发式方法得到的。

2. 然后，我们计算函数在当前点的梯度，即∇f(x0)。

3. 我们将当前的点x0 向梯度的反方向移动一小段距离，距离的大小由学习率ε 控制。

这个距离是我们在梯度方向上所做的“小跳跃”。

4. 然后，我们将新的点投影到约束集合C 上。

投影的意思是我们找到一个新的点x1，使得它满足约束条件C，并且它离我们原来的点x0 的距离尽可能地小。

这个新的点x1 就是我们的新解。

5. 我们重复步骤2-4，直到达到停止条件为止。

停止条件可以是
目标函数的值已经足够小，或者我们已经达到了预设的最大迭代次数。

这就是投影梯度下降的基本算法步骤。

在每一步迭代中，我们都会试图在满足约束条件的可行解集合中找到一个可以使目标函数最小化的解。

package XU;import Jama.Matrix;/** 通用性说明：* 当目标函数不同时，程序需修改的地方如下* 1、函数getFunction_xy中的f* 2、求梯度的函数getGradient* 3、线性约束方程组系数矩阵A* 4、线性约束方程组矩阵b* 5、可行点，初始可行点最好多项选择择几个不同的去求最值，以防止求出的只是区域极值而不是全域最值*/public class Rosen {//实现返回函数的代数式，在最优化目标函数的表达式变化时，在这个函数中改即可，防止在进退法和黄金分割法中更改public static double getFunction_xy(double x,double y){double f=0;f=Math.pow(x,2)*y*(4-x-y);return f;}//求梯度,注意不同的目标函数，梯度不一样，此函数不具有通用性public static double[] getGradient(double[] Xi){double[] Gradient=new double[Xi.length];Gradient[0]=Xi[0]*Xi[1]*(8-3*Xi[0]-2*Xi[1]);Gradient[1]=Math.pow(Xi[0],2)*(4-Xi[0]-2*Xi[1]);/*System.out.println();System.out.println("梯度为：");for(int i=0;i<Xi.length;i++)System.out.print(Gradient[i]+",");System.out.println();*/return Gradient;}public static void main(String[] args){double[] Minf=new double[3];//线性约束方程组系数矩阵Adouble[][] A={{-1,-1},{1,0},{0,1}};//线性约束方程组矩阵bdouble[] b={-6,0,0};//存储可行点double[] Xi={2,2};Minf=getMminf(A,b,Xi);System.out.println(Minf[0]+","+Minf[1]+","+Minf[2]);}//以下为各种不需修改的功能函数/*功能：解决二元非线性函数在线性约束条件下的极值问题〔投影梯度算法〕* 注意以下几点〔二元情况下〕：* 1、可行点Xi一定为两个元素的向量* 2、矩阵A1的大小是变化的，行数是不定的，但列数一定为2。

投影收缩算法求解单调变分不等式的研究一、介绍两种求解单调变分不等式的投影收缩算法；求解单调变分不等式的投影收缩算法是一种常用的数值优化方法，它可以求解一组单调变分不等式的最优解。

其中，最常用的有两种：梯度投影算法和拉格朗日投影算法。

梯度投影算法是一种基于梯度的投影收缩算法，它以梯度下降的方式求解单调变分不等式。

它的基本思想是：首先，计算出每个变量的梯度，然后，根据梯度的方向，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新梯度，直到满足单调变分不等式的最优解。

例如，假设我们有一个单调变分不等式，其中有两个变量x和y，梯度投影算法首先会计算出每个变量的梯度，然后根据梯度的方向，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新梯度，直到满足单调变分不等式的最优解。

拉格朗日投影算法是一种基于拉格朗日函数的投影收缩算法，它以拉格朗日函数的最小值为目标，求解单调变分不等式的最优解。

其基本思想是：首先，将每个变量的拉格朗日函数作为最优化目标函数，然后，根据拉格朗日函数的梯度，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新拉格朗日函数，直到满足单调变分不等式的最优解。

例如，假设我们有一个单调变分不等式，其中有两个变量x和y，拉格朗日投影算法首先会将每个变量的拉格朗日函数作为最优化目标函数，然后根据拉格朗日函数的梯度，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新拉格朗日函数，直到满足单调变分不等式的最优解。

总之，求解单调变分不等式的投影收缩算法是一种非常有效的数值优化方法，它可以有效地求解一组单调变分不等式的最优解。

它的两种常用的算法：梯度投影算法和拉格朗日投影算法，都是基于梯度的投影收缩算法，但是它们的实现方式有所不同，前者以梯度下降的方式求解，而后者以拉格朗日函数的最小值为目标，求解单调变分不等式的最优解。

它们都可以有效地求解一组单调变分不等式的最优解，但是前者更适合于复杂的优化问题，而后者更适合于简单的优化问题。

二、分析两种投影收缩算法的优势和劣势；投影收缩算法是一种用于解决优化问题的算法，它可以将复杂的优化问题转化为更容易求解的问题。