高数D10习题课

1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物 线 线 例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯 量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标 平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型 曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域 为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多 性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可 以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、 计y x 2 , ∫

lim
t 0
t (t 2) sinπ t
lim
t 0
t
(t 2) πt
2 π
19
(3) lim 1 x
x0 1 x
cot x
lim (1 2x )cot x x0 1 x
1
ln
(1
2x 1 x
)
~
2x 1 x
e
lim (
x0
cos sin
x x
2x 1 x
)
e2
复习: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
A
则
f (x) M , x (, )
X O X x
13
例4. 设 f (x) 在
对任意的
使
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
即
故由零点定理知 , 存在
使
即
14
例5. 设 f (x) 在
上连续, 且 a c d b , 证明:
(3)
lim
x0
1 x 1 x
cot x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
2( x 1 x)
2
无穷小
有界
18
(2) lim 1x2
x1 sinπ x
令t x 1
lim
t 0
t (t 2) sinπ (t1)
解:
注意此项含绝对值
lim
x0
2 1

2 x2 y2 a2
4
2d 2a2
x2 y2 a2
原式 a4 2 a2.
4
4
例 2 计算 I x ln( y 1 y2 )dxdy，其中，D由 y 4 x2，
D
y 3x，x 1所围成(如图所示).
y
y 4 x2
解：令 f (x, y) x ln( y 1 y2 )，
e z dv 2 ezdv
上
1
2 [
dxdy]e z dz
0
D(z)
2 1 (1 z2 )e zdz 2. 0
18
解 x2 y2 d
D
a(1cos )
2 2 d
0
a
r rdr
2
2 a3[(1 cos )3 1]d
30
a3 ( 22 ).
92
17
例：计算 e z dv，：x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
D
x2d
y2
2
dx
1
xx 2
1 x
y2
dy
D
2
(
1
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(
x3
x)dx
9
.
1
4
13
例 计算 y x2 d，其中，D：1 x 1，0 y 1.
D
解 先去掉绝对值符号，如图
y x2 d
D
D1
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
1
x2
1
1
dx ( x2 y)dy dx ( y x2 )dy

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds