构造量子MDS码

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由GRS码构造新的量子MDS码

因此 Fq*2= α0 × α1 × × αs 是 s +1个子群的直积。
( ) 设 γ i
α = piki i
，则 ord
γi
=
pti −ki i
，设 Γi
=γ i
以及
( ) ( ) Γi =1,γi ,
, γ 。 piti−ki −1 i
piki −1
则有 αi
∪ =
α
t i
γi
对任意的 i = 0,1,
由GRS码构造新的量子MDS码
陈硕，唐西林华南理工大学数学学院，广东广州
收稿日期：2020年8月29日；录用日期：2020年9月18日；发布日期：2020年9月25日
摘要
量子MDS码的构造如今变得越来越重要。本文我们对
q2
−
1
作素数分解并讨论了q的奇偶性，在有限域
F q
2
上构造了4类新的量子MDS码。这些量子MDS码参数更灵活，最小距离大。此外，我们通过L1-forms和
别定义为：
n
n
∑ ∑ u, v E = uivi ， u, v H = uiviq
i =1
i =1
假设 C 是 Fqn 中一个长度为 n 的线性码，则 C 的厄米特对偶码定义为：
{ } C⊥H = u ∈ Fqn : u, v H = 0对任意的v ∈ C
如果 C 满足 C ⊆ C⊥H ，则 C 被称为厄米特自正交码。若 C 的参数为 [n, k, d ] ，则当 d = n − k +1 时，
q − ((n, K, d )) 。一个长度为 n，维数为 qk ，极小距离为 d 的量子码的 q 元量子码则记为
n, k, d

一类新的q元量子MDS码

一类新的q元量子MDS码牛刚;亓延峰【摘要】量子纠错码在量子信息处理和量子计算中有着重要的应用.q元量子MDS 码是一类重要的最优量子纠错码,此类量子码的参数满足相应的量子Singleton界.构造q元量子MDS码具有重要的理论和应用意义.但构造码长q+1的q元量子MDS码是比较困难的,许多码长(q+1)(q-1)/m的q元量子MDS码,其中m整除q+1或q-1,已经被构造出来.在HE Xiangming等构造出的q元量子MDS码的基础上,给出了几类q元量子MDS码的具体实例,这些量子MDS码具有码长(q+1)(q-1)/m,其中m整除(q+1)(q-1),但m不整除q-1,也不整除q+1.【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2016(036)005【总页数】5页(P95-98,102)【关键词】量子纠错编码;量子MDS码;Hermitian内积【作者】牛刚;亓延峰【作者单位】杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018;杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】TN911.22量子码已经发展成为计算科学、通信、物理和数学的前沿领域.同经典的码一样，一个q元量子码具有3个参数：码长、码字数和最小距离.一个具有码长为n，码字数为K的q元量子码Q是qn维Hilbert空间(Cq)⊗n的一个K维子空间.令k=logqK，则码长为n，最小距离为d的量子码被记为[[n,k,d]]q.参数为[[n,k,d]]q 的q元量子码可检查出d-1位错误，纠正(d-1)/2位错误.量子码的一个重要问题是：如何构造尽可能大的最小距离的量子码.很多量子码可以通过CSS结构或者CSS变形结构被构造出来[1-12].达到量子Singleton界k=n-2d+2的量子码称为q元量子极大距离可分码(简称量子MDS码).构造好的量子纠错码在理论和应用中有着非常重要意义[5,7,13-16].很多q元量子MDS码可以使用不同的方法构造出来[5,7,13,14]，其中一个重要方法是Hermitian自正交码方法，即使用一个定义在有限域Fq2上关于Hermitian内积自正交的线性MDS码构造出一个q元量子MDS码.已知的一些关于MDS线性码结果可以使用，从而利用Hermitian正交码方法使用Reed Solomon码[9,14,17]、循环码[7,9]、negacyclic码[16]、constacyclic码[18-19]构造出相应的q元量子MDS码.当q为奇素数的方幂时，构造具有较大最小距离而且码长q+1<n<q2-1的量子MDS码是困难的.一些码长n=(q2-1)/m的q元量子MDS码已经被构造出来[18-19]，其中m满足m|q-1或者m|q+1，这些q元量子MDS码大都利用Hermitian正交码方法由线性MDS码构造得到.文献[20]构造出更为一般情况下的量子MDS码，即码长n=(q2-1)/m的量子MDS码，其中m满足，mq-1,mq+1，此文直接给出具有Hermitian内积自正交向量组成的生成矩阵，得到具有Hermitian内积下自正交的线性MDS码，由此构造出来几类q元量子MDS码.本文主要从参考文献[20]的最后一类q元量子MDS码出发，考虑此类q元量子MDS码的相关参数，给出了一些新的量子MDS码.本节将给出一些基本定义和性质，以及现有的q元量子MDS码的结果.令q为一个奇素数的方幂，Fq表示具有q个元素的有限域.1.1 线性码设Fq2为具有q2个元素的有限域，为Fq2的n维向量空间.一个具有参数为[n,k,d]q2的线性码C是指有限域Fq2上n维向量空间中最小距离为d的k维子空间，其中最小距离d为不同码字之间的Hamming距离的最小值.线性码C满足Singleton界：k≤n-d+1.如果C达到Singleton界，即k=n-d+1，则称此线性码C为极大距离可分码，简称MDS码.给定向量空间中的任意两个向量X=(x1,x2,…,xn)，Y=(y1,y2,…,yn)，定义Hermitian内积为.如果〈X,Y〉=0，则称这两个向量Hermitian正交.定义,∀Y∈C}为线性码C的对偶码，如果C⊆C⊥H，则称C为一个Hermitian自正交码.1.2 量子MDS码如何构造q元量子MDS码最近成为研究热点.比较常用的构造q元量子MDS码方法是Hermitian方法，见如下定理.定理1.1[2] 如果存在一个有限域Fq2上参数为[n,k,d]q2的MDS码C，而且C⊆C⊥H,则可构造出一个q元量子MDS码[[n,2k-n,≥d]]q.通过这个定理，可由Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic 码这些经典的MDS码构造出很多q元量子MDS码，此外选择具有较大最小距离d的Hermitian自正交MDS码，便可以得到具有较大最小距离的q元量子MDS 码.文献[20]直接给出具有Hermitian正交线性MDS码的生成矩阵，再给出了几类q元量子MDS码.如下引理给出了如何使用相互Hermitian正交的行向量组成的生成矩阵产生Hermitian自正交码.引理1.1[20] 令v1,…,vn为交换群中n个非零元素，假设gl=(g1l,…,gnl)(1≤l≤k),g1,…,gk为中k个线性无关的向量且，则可通过以g1,…,gk行向量组成的生成矩阵产生一个Hermitian自正交码[n,k]q2.由引理1.1，只要给出一些相互Hermitian正交的行向量，便可以由这些行向量组成的生成矩阵给出Hermitian自正交码.要使用此方法构造q元量子MDS码，还需要Hermitian自正交码达到Singleton界，即需要Hermitian自正交的MDS 码.文献[20]采用了类似多项式码的构造方法，考虑Fq2上所有次数小于某个数值的多项式，然后使用这些多项式在Fq2的生成元幂次上的赋值来给出Hermitian自正交的MDS码，通过此方法使用Hermtian自正交码可以得到q元量子MDS 码，文献[20]的一些结果放在如下两个定理中.定理1.2[14-15] 设q为一个奇素数幂，偶数m为q-1的一个因子，则存在参数为[[n,n-2d+2,d]]q的量子MDS码q，其中n=(q2-1)/m，最小距离d满足2≤d≤(q+1)/2+(q-1).定理1.3[20] 设q为一个素数幂，偶数m1为q-1的因子，奇数m2为q+1的因子，则存在[[n,n-2d+2,d]]q的量子MDS码，其中n=(q2-1)(1/m1+1/m2+1/m1m2)，d满足2≤d≤(q-1)/2+min{(q-1)/m1+1,(q+1)/2m2}.本节在文献[20]的q元量子MDS码结果上给出了一些新的量子MDS码.文献[20]给出了一类q元量子MDS码，此类q元量子MDS码具有参数[[n,n-2d+2,d]]q，其中码长n=(q2-1)/m，m满足，mq-1，mq+1.首先给出此类q元量子MDS码，研究这些q元量子MDS码的参数条件，并给出了几类满足此类q元量子MDS码的参数组，从而可以进一步给出这类新的q元量子MDS码.下面两个引理是文献[20]给出一类q元量子MDS码参数满足的条件和性质.引理2.1[20] 偶数m1与奇数m2互素，则存在无限个素数q使得m1整除q-1，m2整除q+1.引理2.2[20] 存在无限个正整数数对(m1,m2)满足以下条件：1)m1是一个偶数，m2为一个奇数，gcd(m1,m2)=1；2)(m1+m2-1)整除m1m2，令m=m1m2/(m1+m2-1)，且gcd(m,m1)>1，gcd(m,m2)>1.由引理2.1和引理2.2知，满足这两个定理的条件的参数m和q具有无限多个，这两个定理并没有给出这些参数的具体实例.如下定理给出了由这些参数所决定的一类q元量子MDS码.定理2.1[20] 设q为一个素数幂，(m1,m2)为满足引理2.1和引理2.2的数对，则存在q元量子MDS码[[n,n-2d+2,d]]q，其中码长n=(q2-1)/m，最小距离d 满足不整除q-1，也不整除q+1.满足引理2.1和引理2.2的参数对m和q可以给出相应的q元量子MDS码，由引理2.2满足条件的参数m有无限个，由引理2.1给定参数m，有无限多个q满足条件，从而m和q的选取的无限性，可以得到无限个此类q元量子MDS码.通过研究引理2.1和引理2.2中参数对m和q满足的条件，给出如下5类满足引理2.1和引理2.2的数对(m,q)：1)m1=k,m2=a(k-1),m=ak/(a+1),q=bk2-(b+2)k+1，其中q为奇数幂，k为偶数，a为奇数；2)m1=ak,m2=k+1,m=a(k+1)/(a+1),q=bk2+(b+2)k+1，其中q为奇数幂，k 为偶数，且(a+1)|(k+1),a|(bk+b+2)；3)m1=2k,m2=ak+1,m=2(ak+1)/(a+2),q=2(ab-a2)k2+2bk+1，其中q为奇数幂，a,k为正整数；4)m1=4k,m2=8k2-6k+1,m=4k-2,q=32ak3+8(2-3a)k2+4(a-3)k+1，其中q为奇数幂，a,k为正整数；5)m1=akt,m2=(akt-1)(ak-1),m=kt-1(ak-1),q=2at+1k2t-2(a+at)kt+1，其中q 为奇数幂，t≥2,a,k,t均为正整数，且akt,ak均为偶数.这5类参数对(m,q)可以由相关的整数变量给出.给出相关变量的值，就可以确定数对(m,q)，每一类都可以给出无限个参数对(m,q).一般情况下，通过多项式变换f:k→f(k)求得更多的数对(m1,m2)，其中多项式f(k)∈Z[X]，从而得到更多的参数对(m,q).由定理1.2和定理2.1，可得到相应的q元量子MDS码[[n,n-2d+2,d]]q，其中码长为n=(q2-1)/m.在上面给出的5类参数中，取定变量的值，得到相应的5类具体的参数组：1)k=8,a=3,b=1,m1=8,m2=21,m=6,q=41,n=280；2)k=8,a=2,b=6,m1=16,m2=9,m=6,q=449,n=33 600；3)k=8,a=1,b=1,m1=16,m2=9,m=6,q=17,n=48；4)k=2,a=5,m1=8,m2=21,m=6,q=881,n=129 360；5)k=2,a=3,t=2,m1=12,m2=55,m=10,q=769,n=59 136.将这些参数组应用到定理1.2和定理2.1，得到相应的q元量子MDS码，具体见表1和表2.量子MDS码有很强的纠错能力，可以相对容易地编码和译码，具有很强的实用性.构造较大最小距离的q元量子MDS码是量子码中一个重要的问题.本文在文献[20]的基础上，研究了一类q元量子MDS码的构造方法和相关参数，可以给出5类这种量子MDS码的参数组，从而得到具体的最小距离大于q/2的q元量子MDS 码.这些具体参数的量子MDS码可以方便地应用于量子通信中.如何构造更多量子MDS是量子码理论和实际应用研究的热点.【相关文献】[1]ALY S A,KLAPPENECKER A, SARVEPALLI P K. On quantum and classical BCH codes[J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2007,53(3):1183-1188.[2]ASHIKHMIN A, KNILL E. Nonbinary quantum stabilizer codes[J].Information Theory, IEEE Transactions on, 2001,47(7):3065-3072.[3]ASHIKHMIN A, LITSYN S. Foundations of quantum error correction[J]. AMS IP STUDIESIN ADVANCED MATHEMATICS, 2007, 41: 151 -185.[4]ASHIKHMIN A, TSFASMAN M A, LITSYN S. Asymptotically good quantum codes[J].Physical Review A,2000, 63(3):222-224.[5]BIERBRAUER J, EDEL Y.Quantum twisted codes[J]. Journal of Combinatorial Designs, 2000, 8(3): 174-188.[6]FENG K, LING S, XING C. Asymptotic bounds on quantum codes from algebraic geometry codes[J].Information Theory, IEEE Transactions on, 2006,52(3):986-991.[7]GRASSL M, BETH T, ROETTELER M. On optimal quantum codes[J]. International Journal of Quantum Information, 2004, 2(1): 55-64.[8]LA GUARDIA G G. Constructions of new families of nonbinary quantum codes[J]. Physical Review A, 2009, 80(4): 3383-3387.[9]LA GUARDIA G G. New quantum MDS codes[J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2011,57(8):5551-5554.[10]LA GUARDIA G G,PALAZZO R. Constructions of new families of nonbinary CSS codes[J]. Discrete Mathematics, 2010, 310(21): 2935-2945.[11]HAMADA M. Concatenated quantum codes constructible in polynomial time: Efficient decoding and error correction[J].Information Theory, IEEE Transactions on,2008,54(12):5689-5704.[12]CALDERBANK A R, RAINS E M, SHOR P W, et al.Quantum error correction via codes over GF(4)[J].Information Theory,IEEE Transactions on,1996,44(4): 1369-1387.[13]FENG K. Quantum codes [[6, 2, 3]]p and [[7, 3, 3]]p (p ≥ 3) exist[J]. Information Theory，IEEE Transactions on, 2002, 48(8):2384-2391.[14]JIN L,LING S,LUO J,et al.Application of classical Hermitian self-orthogonal MDS codesto quantum MDS codes[J].Information Theory,IEEE Transactions on, 2010,56(9):4735-4740.[15]JIN L,XING C. A construction of new quantum MDS codes[J].Information Theory,IEEE Transactions on,2014,60(5):2921-2925.[16]KAI X,ZHU S. New quantum MDS codes from negacyclic codes[J].Information Theory,IEEE Transactions on,2013,59(2):1193-1197.[17]JIN L,XING C. Euclidean and Hermitian self-orthogonal algebraic geometry codes and their application to quantum codes[J].Information Theory,IEEE Transactionson,2012,58(8):5484-5489.[18]CHEN B,LING S, ZHANG G.Application of constacyclic codes to quantum MDS codes[J]. Information Theory,IEEE Transactions on,2015,61(3):1474-1484.[19]KAI X,ZHU S, LI P. Constacyclic codes and some new quantum MDS codes[J]. Information Theory,IEEE Transactions on, 2014,60(4):2080-2086.[20]HE X, XU L,CHEN H. New q-ary Quantum MDS Codes with Distances Bigger thanq/2[J]. arXiv preprint arXiv:1507.08355,2015.。

一种基于伪循环MDS码的准循环LDPC码构造方法

证明令 β 为 x n − α 的一个根，则 β q +1 = α 。 2 同时对等式两边取 q − 1 次幂，得到 β q = β 。所以，由 x n − α 分解的因式是度数为 2 的最小多项式，且个数为 n/2=(q+1)/2。证毕推论 2[13] 当 q 为奇数时，可在 x n − α 对应的并且这 i 个因二次因式中选出 i(1 ≤ i ≤ (q+1)/2)个，式对应的 2i 个根存在等比数列的连续形式。 2 证明因为 β q −1 = 1 , x n − α 的根服从公比为 β q −1 的等比数列。所以，对应 x n − α 分解因式的指数形式可写为 [1, q ],[1 − (q − 1), q + (q − 1)],[1 − 2(q − 1), q
1
引言
低密度奇偶校验 (LDPC) 码 [1] 是一种逼近香农限的线性分组码。它已应用于 IEEE802.16e, DVB-S2 等标准，并有望成为第 4 代移动通信的信道编码方案。目前，众多学者对 LDPC 码的构造进行了大量研究。他们主要采用随机搜索或结构化构造等方法来构造性能优异的 LDPC 码。其中，结构化构造的准循环 LDPC 码因实现复杂度低，受到业循环界的广泛关注：如利用有限域上的拉丁方阵[2]、
显然，上述根的连续对，可表示一个公比为 β q −1 的等比数列。根据推论 1 得， x n − α 可分解为二次因式。因此，对于某正整数 i，一个标准因式含有 2 β 1−i (q −1) 和 β q[1−i (q −1)] 两个根。因为 β q = β ，则 β q[1−i (q −1)] = β q +i(q −1) 。所以， β 1−i(q −1) + β q +i (q −1) 必须为域 GF(q)中的一个元素，其负数为其对应最小多项式中变量 x 前面的系数。它满足 [β 1−i (q −1) +β q +i (q −1) ](q −1) = 1 。证毕则 x n − α = x n − 1 可分推论 3[13] 当 q 为 2s 时，解为 1 个度数为 1 的因式和 q / 2 = 2s −1 个度数为 2 的因式。此时， x n − 1 的根可表示为 β −q / 2 , ", β −2 , β −1,1, β, β 2 , ", β q / 2 。令 β 为 GF(q 2 ) 的本原元，定义推论 4[14] α = β q +1 。可得出以下结论： (1) x q +1 − α = 0 的根不存在于 GF(q)中，但都存在于 GF(q 2 ) 中； (2) x q +1 − α = 0 的根可以写成 β 1+(q −1)i 的形式，其中 i=0,1, " ,q； (3)如果 b 是 x q +1 − α = 0 的根，则 b 对应的最小多项式是一个在 GF(q)中不可约二项式，这个二项式的根为 b 和 bq 。证明 (1)假设 b 是 GF(q)中的一个元素，且在等式 x q +1 − α = 0 中成立。那么 α = bq +1 = b 2 ，这与 α 是 GF(q)中的本原元矛盾。故等式的根不在 GF(q) 中。而利用结论(2)可知，其所有根位于 GF(q 2 ) 中。 (2) 显然，给出的根的形式满足等式 x q +1 − α

量子信息编码与量子纠错技术

量子信息编码与量子纠错技术量子信息编码与量子纠错技术在量子通信和量子计算领域发挥着重要作用。

量子信息编码是一种用于保护和传输量子信息的技术，而量子纠错技术则是一种用于修复和恢复由于干扰和噪音引起的量子信息错误的方法。

本文将重点探讨这两种技术的原理、应用和发展前景。

一、量子信息编码在传统的经典通信中，我们可以通过增加冗余信息来检测和校正传输过程中引入的错误。

然而，在量子通信中，传统的错误校正码无法直接应用，因为在量子系统中，信息是以量子态的形式传输的。

因此，量子信息编码技术的发展变得尤为重要。

量子信息编码的目标是保护和传输量子态，以便在通信过程中尽量减少错误的引入。

常见的量子信息编码方法包括量子纠缠态编码、盖茨操作编码和纠缠核编码等。

量子纠缠态编码是一种利用纠缠态的性质来编码和保护量子信息的方法。

纠缠态编码可以增加传输的信息量，并提供了一种高效的防止错误的方法。

例如，利用纠缠态编码可以实现对单比特错误和双比特错误的纠正。

盖茨操作编码是一种利用量子盖茨操作进行编码和保护量子信息的方法。

通过在发送端和接收端之间进行一系列的盖茨操作，可以将传输的信息编码成一组纠错码。

在接收端，通过对接收到的数据进行逆盖茨操作，可以恢复原始的量子态。

纠缠核编码是一种结合了量子纠缠态和盖茨操作编码的方法。

纠缠核编码可以同时进行纠错和编码操作，以提高数据的传输速率和保护能力。

二、量子纠错技术量子纠错技术是一种用于修复和恢复因干扰和噪音引起的量子信息错误的方法。

在量子通信和量子计算中，由于量子系统对干扰和噪音十分敏感，传输过程中的错误是不可避免的。

因此，研究开发有效的量子纠错技术对于实现可靠的量子通信和计算至关重要。

量子纠错技术的基本原理是在传输过程中通过纠错码检测错误，并使用纠错操作来修复错误。

常见的量子纠错码包括Steane码、Shor码和Gottesman码等。

Steane码是一种常用的量子纠错码，可以纠正任意单比特错误。

利用立方图的线图构造量子纠错码

，
ｃｏｄｅｓ，ＢＣＨｃｏｄｅｓ，ＲＳｃｏｄｅｓａｎｄＲｅｅｄ — Ｍｕｌｌｅｒｃｏｄｅｓ．Ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｔｏｏｅｓａｎｄａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｑｕａｎｔｕｍｃｏｄｅｓｉｓ
ｔａｔｉｏｎ．Ｍａｎｙｇｏｏｄｑｕａｎｔｕｍｅｒｒｏｒ ‘ ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇｃｏｄｅｓｈａｖｅｂｅｅｎｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｕｓｉｎｇｃｌａｓｓｉｃａｌｌｉｎｅａｒｃｏｄｅｓｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ，Ｈａｍｍｉｎｇ
ｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，４９（６）：１６ — １８．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｎｔｕｍｅｒｒｏｒ — ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇｃｏｄｅｓｐｌａｙａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｎｏｔｏｎｌｙｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｂｕｔａｌｓｏｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｐｕ．
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
利用立方图的线图构造量子纠错码
钱建发，张莉娜’
ＱＩＡＮＪｉａｎｆａ，ＺＨＡＮＧＬｉｎａ

mds参数

mds参数
MDS（多维缩放）的参数通常包括以下几点：
1.距离度量：这决定了在创建新的空间时如何测量原始数据点之间
的距离。

常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离等。

2.维度数：这是新创建空间的维度数。

通常，我们希望这个数值尽
可能小，以简化问题，但过小的维度数可能会导致丢失重要的结构信息。

3.算法类型：这决定了如何计算新的空间中的点。

常见的算法类型
包括迭代和全局。

4.初始中心点：在迭代类型的算法中，这决定了开始时点的位置。

通常，我们会随机选择初始中心点，但在某些情况下，我们可能会选择具有某些特性的点作为初始中心点。

5.收敛条件：这决定了算法何时停止。

常见的收敛条件包括达到最
大迭代次数或满足某个收敛条件。

6.距离阈值：在某些情况下，我们可能只关心距离某些点非常近的
点。

在这种情况下，我们可以设置一个距离阈值，只有当两个点之间的距离小于这个阈值时，它们才会被考虑在计算中。

7.权重：这可以是一个固定的值，也可以是原始数据点的属性值。

如果数据点的重要性不同，我们可以给它们赋予不同的权重。

这些参数的选择对于结果有很大的影响，需要根据具体的问题和数据来调整。

一类量子码的组合构造

一类量子码的组合构造郭冠敏;李瑞虎;郭罗斌;王君力【摘要】利用满足一定嵌套关系的2个q2-元线性码,给出一种构造自正交码的组合方法,并由各成分码的参数确定出所构造的新自正交码的维数和对偶距离下界.进一步用q2-分圆陪集理论讨论码长n=q2+1的常循环BCH码.刻画满足所需嵌套关系的2个q2-元常循环BCH码的定义集合、设计距离和参数,从而由常循环BCH码构造出码长2n的q2-元自正交码和q-元量子码.这一方法可得到许多距离d＞q+1的量子码,而这样参数的量子码是用已知的构造方法不能获得的.方法和结果对于构造更多参数良好的量子码以及给出最优量子码的距离下界都具有借鉴作用.【期刊名称】《空军工程大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(019)002【总页数】5页(P106-110)【关键词】Hermitian自正交码;常循环码;q2-分圆陪集;量子码【作者】郭冠敏;李瑞虎;郭罗斌;王君力【作者单位】空军工程大学基础部,西安,710051;空军工程大学基础部,西安,710051;空军工程大学基础部,西安,710051;空军工程大学基础部,西安,710051【正文语种】中文【中图分类】O157.4量子纠错码是量子计算、量子通信等量子信息处理可靠运行的保障,构造具有良好参数的量子纠错码则是量子纠错码中最重要的研究内容。

文献[1～7]先后建立了q-元(二元和非二元)加性量子纠错码与自正交(或对偶包含)经典线性码的联系,创造出量子码的3种构造方法:CSS构造法,Steane构造法和Hermitian构造法。

Hermitian构造法则是其中最有效、使用最多的构造方法。

依据上述3种构造方法,利用经典线性码构造量子纠错码首先要解决经典线性码的自正交性(或对偶包含)问题,文献[8～11]先后讨论了二元和非二元循环(及其推广)码类的对偶包含判定条件,再深入研究其中特殊码类BCH码和常循环BCH码的对偶包含判定条件,以及用对偶包含码确定所构造量子纠错码的参数,并构造出一些具有较好参数的量子纠错码,而直接使用特殊码类来构造较好参数的量子码,对码长需要严格限制,且所构造的量子码的距离相对码长来说比较小。

基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码

一个码字 c = ( c0 , c1 , , cn−1 ) 可以用一个多项式 c ( x ) = c0 + c1 + + cn−1 x n−1 表示。很容易验证一个在长度的 η-constacyclic 码是商环 Fq 2 [ x ]
x n − η 的理想，并且 xc ( x ) 对应 c ( x ) 的 η-constacyclic 移位。而且，如果
知， C =
) 0} 称为集合 C 的定义集合。易 { j ∈ Ω g (ω =
C j 和 dim ( C )=
j∈Ω
n − Z 。此外，我们也定义 C ⊥ H 的定义集合 Z ⊥ H=
{ j ∈ Ω −qj ( mod rn ) ∉ Z } 。
那么 C ⊥ H ⊆ C 当且仅当 Z ( −qZ ) = 其中 −qZ =− 码，并且其定义集合为 Z ⊆ Ω ， ∅， { qz ( mod rn ) z ∈ Z } 。
些码长为 n =
(
)
2. 预备知识
参数为 [ n, k , d ]q 2 的线性码 C 是指有限域 Fq 2 上 n 维向量空间中最小距离为 d 的 k 维子空间，其中最小距离 Singleton 界，即 k = n − 2d + 2 ，则称此线性码 C 为极大距离可分码，简称 MDS 码。给任意两个向量 = X 令 q 为一个奇素数的方幂。设 Fq 2 为具有 q 2 个元素的有限域， Fqn2 为 Fq 2 的 n 维向量空间，一个具有
d 为不同码字之间的 Hemming 距离的最小值，线性码 C 满足 Singleton 界： k ≤ n − 2d + 2 。如果 C 达到
x2 , , xn ) , Y ( y1 , y2 , , yn ) ∈ Fqn ，定义 ( x1 ,=

【国家自然科学基金】_循环对称_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
动应变初始剪应力冗余度光电性质交通荷载不对称下标逆变换下标变换 sonogashira偶联反应 rh精炼装置 plateaued函数 payword itrf
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

六类纠缠辅助量子MDS码的构造

( ) n, 2k − n + c, d;c
的 EAQEC 码，其中 c = rank
q
HH ∗
。
引理 2.5 [5] C 为有限域 Fq 上带参数为 [n, k, d;c]q 的 EAQEC 码，如果 d ≤ (n + 2) 2 ，则 C 满足纠缠
辅助 Singleton 界： n + c − k ≥ 2(d −1) 。如果对于 d ≤ (n + 2) 2 ，C 满足 n c − k= 2(d −1) ，则 C 称为
张琳雪，唐西林
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
据引理 2.7
{ } =c Z ∩ (−q= Z ) ( j, k ) 1+ rj ≡ −q (1+ rk )(mod rn), 0 ≤ j, k ≤ δ
=
( j, k )

j + qk
≡ − q +1(mod
r
n),0 ≤
j, k
≤
δ

.

DOI: 10.12677/pm.2019.95087
Open Access
1. 引言
在量子信息和量子计算中，非常重要的任务就是构造好的量子纠错码。近年来，诸多研究者通过经
( ) 典纠错码来构造量子纠错码(见[1] [2] [3])。一个参数为 n, k, d q q 元量子码 Q 是 Hillbert 空间 Cq ⊗n 的一

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ord rn q 2 = m ，引理 4：设 r 是 q + 1 的正因子，设 gcd ( q, n ) = 1 ， 0 ≤ x, y , z ≤ n − 1 。 η ∈ Fq*2 ， ord (η ) = r 。 m 1) Cs 是对称陪集当且仅当存在 t ≤ 使得 x ≡ xq 2t +1 ( mod rn ) 。 2 m 2) 如果 C y ≠ C z ， C y , Cz 形成一对不对称陪集当且仅当存在 t ≤ 使得 y ≡ yq 2t +1 ( mod rn ) 或者 2
写成多项式 c ( x ) = c0 + c1 x + + cn −1 x n −1 并且看成商环
(x
n
− η 是商环 R 的一个理想。易
)
n
成式并且 dim ( c )= n − k ，其中 k = deg ( g ( x ) ) 。假设 gcd ( n, q ) = 1 。ω 是个 rn 次本原单位根属于 Fq 2 的某些扩域中使得 ω n = η 。令 ξ = ω r ，那么 ξ 是
Meifang Zhao1, Pengfei Guo2*
1 2
Mathematics Institute, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong College of Computational Science, Zhongkai University of Agriculture and Engineering, Guangzhou Guangdong
th th th
Received: Mar. 5 , 2019; accepted: Mar. 20 , 2019; published: Mar. 28 , 2019
Abstract
Quantum MDS codes are an important class of quantum codes. In this paper, we construct new q2 + 1 q2 + 1 − 2d + 2, d , the integer d belongs to [ 2, 18m + 4] and is even if , quantum MDS code 53 53 q
}
3. 量子 MDS 码构造
q2 + 1 q2 + 1 和s = ，对于 ∀j ∈ Ω= 2 53 ( q + 1) n 1) Cs = {s} 和 C ( q +1)= s + ； n s+ 2 2
引理 7 [2]：给定 r= q + 1 ，设 n =
DOI: 10.12677/mp.2019.92013 116
Modern Physics 现代物理,2019, 9(2), 114-119 Published Online March 2019 in Hans. /journal/mp https:///10.12677/mp.2019.92013
q2 + 1 q2 + 1 , − 2d + 2, d Constructing 53 53 q Quantum MDS Code
线性码 C 的 Hermitian 对偶码定义为：C ⊥ H = 交码；当 C = C ⊥ H 时， C 叫做自对偶码。么 c′ =
{x ∈ F
q2
( x, y ) =
0, ∀y ∈ C 。当 C ⊆ C ⊥ H 时，C 叫做自正
}
定义 1 [9]： Fq 2 上码长为 n 的线性码 C 称为常循环码是指对 η ∈= Fq*2 ，如果 c
= q 106m + 23 and the integer d belongs to
[ 2, 18m + 4]
and is even if = q 106m + 83 .
Keywords
Conjugate Orthogonal, Quantum MDS Codes, Constacyclic Codes
2) 如果 i, j , k ∈ T ，那么 Ci 不是偏斜非对称的和 C j , Ck 不是成对非对称陪集。
{ω
1+ ir
定理 6 ： ( η − 常循环码 BCH 界 [4]) 设 C 是 Fq 2 码长为 n 的 η − 常循环码，生成式 g ( x ) 的根包括
(
)
i1 ≤ i ≤ i1 + d − 2 ，那么 C 的最小距离 ≥ d 。
摘
要
量子 MDS 码是一类重要的量子码。本文利用常循环码和 Hermitian 构造理论构造一种新的量子 MDS 码
= q 106m + 83 时，整数d在区间 [ 2, 18m + 4] 且为偶数。
q2 + 1 q2 + 1 , − 2d + 2, d ，其 = 中 q 106m + 23 时，整数 d 在区间 [ 2, 18m + 4] 且为偶数；其中 53 53 q
= R Fq 2
(x
n
知 C 是主理想，由 x − η 的单项式因子生成，即 C = ( g ( x ) ) ， g ( x ) x − η 。 g ( x ) 称为 η − 常循环码的生
n
− η 中的元素，则 C 是 η − 常循环码的充要条件为 = C Fq 2
)
( c0 , c1 , , cn −1 ) ∈ C
Open Access
1. 引言
量子纠错码在量子信息理论和量子计算机发展进程中有着重要地位。与经典编码理论一样，量子理论中的一个主要问题是构建具有最佳可能最小距离的量子编码。许多量子编码已经通过使用经典方法构建出来了具有 Euclidean 或 Hermitian 自正交性的纠错码[1]-[7]。设 q 是一个素数的幂，码长为 n 和码字个数为 K 的 q 元量子码 Q 是指一个 q n 维希尔伯特空间
则 C⊥ ∏ j∈T ( x − ω j ) ，
H
的生成式为 = g ⊥H ( x )
那么 C ⊥ ∏ j∈Ω \T ( x − ω − qj ) 。
H
⊆C
⊥ 当且仅当 g ( x ) g H ( x ) 。因此，我们有如下引理：
T −q = {−qs mod rn s ∈ T } 。
引理 3：设 C 是码长为 n 的 q 2 元常循环码且定义集为 T 。那么 C ⊥ H ⊆ C 当且仅当 T T − q = ∅ ，其中
2. 基本概念与预备知识
下面在有限域 Fq 2 上定义 Hermitian 内积：
2
首先，介绍一些基本概念[8]。令 q 为一个奇素数的幂， Fq 2 记为有 q 2 个元素的有限域. ，则 x 和 y 的 Hermitian 内积为 ( x, y ) = ∑ i =1 xi yi ，其中
n
设x =
(
)
( )
(
)
由这个引理可以得出下面引理：那么 C ⊥ H ⊆ C 等价条件为：引理 5：设 r 是 q + 1 的正因子，设 C 是码长为 n 的 q 2 元常循环码且定义集为 T ， η ∈ Fq*2 ， ord (η ) = r 。
−q
1) T T − q = ∅ ，其中 T
= {−qs mod rn s ∈ T } 。
q2 + 1 q2 + 1 , − 2d + 2, d 量子MDS码构造 53 53 q
赵梅芳1，郭鹏飞2*
1 2
华南理工大学数学学院，广东广州仲恺农业工程学院计算科学学院，广东广州
收稿日期：2019年3月5日；录用日期：2019年3月20日；发布日期：2019年3月28日
个 [ n, 2k − n, ≥ d ] q 量子码。设 C 的生成式为 = g ( x)
C j = j , jq 2 , , jq
{
{1 + ir 0 ≤ i ≤ n − 1} 对于 ∀j ∈ Ω ，集合 C
2 ( k −1)
∏ i =1 ( x − ω1+ir ) 。
n −1
} ( mod rn ) ， k 是满足 j ≡ jq
x2 , , xn ) , y ( y1 , y2 , , yn ) ∈ Fqn ( x1 ,= yi = yiq 。如果 ( x, y ) = 0 ，则称 x ， y 正交。
C 的非零码字 c 的最小 Hamming 重量。
经典的 q 2 元线性码 C 是 Fq 2 上的 n 维向量空间 Fq 2 的一个 k 维子空间，记为 [ n, k , d ] q 2 , cn − 2 ) ∈ C 。
( c0 , c1 , , cn −1 ) ∈ C ，那
当 η = 1 时， C 为循环码；当 η = −1 时， C 为负循环码。
DOI: 10.12677/mp.2019.92013 115 现代物理
赵梅芳，郭鹏飞
= 如果把码字 c
j
表示包含 j 模 rn 的 q 2 − 分圆陪集，即
2k
( mod rn ) 的最小正整数。 T=
) 0} 称为 { j ∈ Ω g (ω =
j
⊥H 定理 2 [2] [5]：(Hermitian Construction)如果 C 是一个 [ n, k , d ] q 2 线性码使得 C ⊆ C ，那么存在一
关键词
共轭正交，量子MDS码，常循环码
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/

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