巧用权方和不等式证明不等式

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．2025届新高考数学一轮复习推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.2设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.85(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥1641.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．16已知a>0，b>0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x+91-2x0<x<12的最小值．18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y的最小值为19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sinθ+8cosθ的最小值为.21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1x2+8y2的最小值.22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为。

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。

内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。

权方和不等式专题研究“权方和不等式”是 80年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是Holder 不等式的特例。

在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。

故在此对其做专题研究。

一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用引理1：1110,01,i nnni i i i i i i i a a i a λλλλ===>>=≥∑∑∏若且则证明：()ln (0,)f x x =+∞因函数在上是凹函数1:0,0ni i i i Jensen a λλ=>>=∑由不等式对且1a(当 111:ln ln ln i n n ni i i i i i i i a a λλλ===⎛⎞⎛⎞≥=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∏有j i a a =等号成立)()ln (0,)f x x =+∞又在上单调增11:i nni i i i i a a λλ==≥∑∏故有(等号在j i a a =时取得)引理2： （Holder 不等式） 110,0(1,2),11i i a b i n p p q>>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=>若且 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎞⎛≤⋅⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑∑∑则⎞⎟⎠证明：11111111p qi i i i n n p q n n p q p q i i i i i i i i a b a b p qa b a b ====+≥⎛⎞⎛⎞⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑1由引理易知: 11212111111()(111np p p p p p i i i n n n p q n n pq p q i i i i i i i i a ba a ab b b p qa b a b =====++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+)n ≤+=⎛⎞⎛⎞⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑故11111:n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎞⎛≤⋅⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑∑∑此即⎞⎟⎠q i b （当p i a λ=时取等号）注1：引理1实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。

权方和不等式已知m by ax =+，求y d x c +的最小值或已知m ydx c =+，求by ax +的最小值（其中，m d c b a ,,,,都是正常数，y x ,是正变量），应是基本不等式应用中的最复杂问题，一般采用下面方法求解：先把待求式乘以mm，然后把分子上的m 用条件式代换，展开后“一次性”运用基本不等式求最值．此法足够严谨（因为只运用了一次基本不等式），足够巧妙（因为常数恒等代换），就是有点麻烦．还有无更简法？当然！但这需一个著名的不等式加持，不卖关子了，下面就让这个不等式粉墨登场．二维一权形式：设0,,,2121>b b a a ，则21221222121)(b b a a b a b a ++≥+，当且仅当2211b ab a =时，等号成立． n 维m 权形式：设0),,,3,2,1(0,>=>m n i b a i i ，则≥++++++++m nm n m m m m mm b a b a b a b a 1313212111mn m n b b b b a a a a )()(3211321+++++++++ ，当且仅当i i b a λ=时，等号成立．它叫权方和不等式．为了便于大家认识和理解它，下面给大家爆三个料：①其中的m 叫做这个不等式的权；②这个不等式常被用来求若干分式和的最小值，各个分式的特点是分子比分母次数大1，特别地，解决本文开头提到的所谓难题简直易如反掌；③这个不等式是正宗国货，湖南理工学院杨克昌教授具有自主知识产权（上个世纪80年代初，杨教授把它命名为权方和不等式）．但它与著名的赫尔德（Holder ）不等式和柯西（Cauchy ）不等式关联密切，可用赫尔德证明，是柯西不等式的推广（分式形式），所以它骨子里还是个“老外”．例1 （广东省韶关市2020-2021学年高一期中）已知正数n m ,满足22=+n m ，则nm 21+的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12分析：为了运用题设给的定值，需先对待求式进行等价凑配，再运用权方和不等式（以下简称“小权”）求解．解：42)22(222212=++≥+=+n m n m n m ，当且仅当nm 222=即m n 2=即21,1==m n 时，等号成立．所以nm 21+的最小值为4．选A ．变式1 （江西省宜春市2022届高三月考）设120<<m ，则mm -+1241的最小值为（ ） A ．23 B ．109 C ．43 D ．59分析：本题的定值条件是一个隐含条件，即12)12(=-+m m ，发现此点后易求解．解：因为120<<m ，所以4312)21(12412=-++≥-+m m m m ，当且仅当m m -=1221即4=m 时，等号成立．所以mm -+1241的最小值为43．选C ．变式2 （山东新高考质量测评联盟2021届高三联考）已知341<<m ，则mm 34312-+-的最小值是（ C ）A ．923+B ．63+C ．926+D ．12变式3 （安徽省庐巢七校联盟2020届高三联考）若正实数y x ,满足1=+y x ，则yx 114++的最小值为（ D ） A ．744 B ．527 C ．314 D ．29 变式4 （浙江省诸暨市2020届高三期末）已知0,>b a ，1=+b a ，则12121+++b a 的最小值是（A ）A ．59 B ．C ．57 D ．5221+变式5 （天津市滨海新区2020届高三月考）已知正实数a 、b 满足1a b +=，则2241a b a b+++的最小值为（ C ）A ．13B ．11C ．10D ．9变式6 （浙江省“山水联盟”2021届高三开学考试）已知0,0>>b a 且12=+b a ，则ba b ++821的最小值为______．分析：需瞄准题设定值，对待求式进行等价凑配．解法一：因为0,0>>b a ，所以=++b a b 821225)2(2)41(2216212=++≥++b a b a b ，当且仅当ba b 22421+=即b a 3=即51,53==b a 时，等号成立． 解法二：因为0,0>>b a ，所以=++b a b 821225222228212=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥++b a b a b ，当且仅当ba b +=2222即b a 3=即51,53==b a 时，等号成立． 611所以b a b ++821的最小值为225． 例2 （天津市河北区2020届高三一模）已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则aa b b 2122+++的最小值为 ．分析：分式的分子分母都有变量，故我们想方设法把两个分式拆开，减少变量出现的次数，并且尽量配出b a +，剩下交给“小权”．解：=+++a a b b 212232221)21(121112*********+=++++≥+++=++++-=++++-b a a b a a b b a a b b ，当且仅当a b 211=+时（注：b a ,的值实在不好求，就不强求了），等号成立． 所以a a b b 2122+++的最小值为3222+． 变式1 （河北省衡水中学2020届高三九调）设n m ,为正数，且2=+n m ，则2311++++n n m 的最小值为（ D ）A ．23 B ．35 C ．47 D ．59 变式2 （重庆市2020届高三二诊）已知0,>b a ，22=+b a ，则ba b 1+的最小值为 ．分析：两种解法：一是先用条件式把ab中的b 消掉，然后把所得式拆开，最后“小权”上；二是先用条件式把ab中的a 消掉，然后凑配，换元（换元纯属为了使式子结构特征更明显，并非必须），最后运用基本不等式求解.解法一：因为0,>b a ，所以12212)21(21221211112212+=-++≥-+=-+=+-=+b a b a b a b a a b a b ，当且仅当b a 221=时，等号成立．所以ba b 1+的最小值为12+．解法二：因为0,>b a ，所以bb b b b b a b 111211221+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+，令t b =-11，则0>t ，所以原式121212121+=+∙≥++=t tt t ，当且仅当t t =21时，等号成立．所以ba b 1+的最小值为12+． 变式3 （山东省滕州市2021届高三期中）设0,0>>b a 且12=+b a ，则ba a a ++21的最小值为（ ） A ．4B ．122+C ．314D ．5分析：仿变2，也是两种解法，其中在解法一中，用到了在齐次分式中分离常数的策略．解法一：因为0,0>>b a ，所以214221)1(211)1(21-++=+--=+-+b a b b a b b a 122212)22(2+=-+++≥b a ，当且仅当1222+=b a 时，等号成立． 所以ba a a ++21的最小值为122+．选B ．解法二：因为0,>b a ，所以b a aa ++21a a a -+=121≥+-+-=-+=1112111121aaa a1221112112+=+-∙⎪⎭⎫⎝⎛-aa ，当且仅当11211-=-a a 时，即223,12-=-=b a 等号成立． 所以ba aa ++21的最小值为122+．选B ． 变式4 （天津市静海区第一中学2021届高三期末）已知0≥>y x ，则yx y x y x x -+++4的最小值是_____．分析：也有两种解法：一是把待求式凑配成积为定值的形式，需较高技巧；二是先把两分式分子分母同除以x ，从而将待求式化为以xy为元的函数，进而 “小权”出招. 解法一：因为0≥>y x ，所以=-+++y x y x y x x4=-+++-++y x y x y x y x y x )]()[(2yx y x y x y x -+++-+)(22 222)(222+=-+∙+-+≥y x y x y x y x ，当且仅当yx yx y x y x -+=+-)(2即y x )223(+=时，等号成立． 所以yx y x y x x-+++4的最小值为222+． 解法二：因为0≥>y x ，所以yx y x y x x -+++4xy x yx y -+++=1114，令t x y =，则0≥t ，所以原式222111)22(112141211411142+=--+++≥--++=----+=-+++=t t t t t t t t t t ，当且仅当tt -=+1212即y x )223(+=时，等号成立．所以yx y x y x x-+++4的最小值为222+． 例3 （河南省漯河市2022届高三期末）已知正实数y x ,满足111=+y x ，则1413-+-y y x x的最小值是_____ ．分析：根据条件式的特点，对待求式作如下变换：前一个分式的分子分母同除以x ，后一个分式的分子分母同除以y ，随即就能发现可用“小权”求解.解：=-+-1413y y x x347112)23(1141132+=--+≥-+-y x y x ，当且仅当y x 112113-=-时，等号成立． 所以ba aa ++21的最小值为347+． 变式 （山西省大同市2021届高三模拟）已知R y x ∈,且满足322=+y x ，则22)2(4)2(1y x y x -++的最小值是_____．分析：为了利用条件式中的定值，应把待求式的二次分母视为一次的，分子视为二次的，然后用“小权”求解.解：22)2(4)2(1y x y x -++53)(59)2()2()21(22222=+=-+++≥y x y x y x ，当且仅当22)2(2)2(1y x y x -=+时，等号成立．所以22)2(4)2(1y x y x -++的最小值为53． 例4 （山东省枣庄市2021届高三质检）已知0>>b a ，则ba b a a -+++14的最小值为__________． 分析：有两种解法：一是用“小权”解，但不能一蹴而就，先用“小权”把后两项转化，然后再用基本不等式扫尾；二是把a 配成)(21)(21b a b a -++，然后用基本不等式求解.两种解法繁简相当. 解法一：因为0>>b a ，所以2329229)12(142=∙≥+=-++++≥-+++aa a ab a b a a b a b a a ，当且仅当b a b a -=+12且a a 29=即233==b a 即22,223==b a 时，等号成立． 所以ba b a a -+++14的最小值为23． 解法二：因为0>>b a ，所以≥-+-++++=-+++ba b a b a b a b a b a a 1)(214)(2114 231)(2124)(212=-∙-++∙+b a b a b a b a ，当且仅当b a b a +=+42且ba b a -=-12即22,223==b a 时，等号成立． 所以ba b a a -+++14的最小值为23． 变式1 （山东省泰安市泰山国际学校2021届高三月考）已知正数d c b a ,,,满足1=+b a ，1=+d c ，则dabc 11+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．24D ．33分析：先运用基本不等式和1=+b a ，把待求式中的ab 消去，然后上“小权”.解：因为1=+b a ，所以9)12(141211122=++≥+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+dc d c d c b a d abc ，当且仅当b a =且d c 12=即31,32,21====d c b a 时，等号成立． 所以dabc 11+的最小值为9．选B ． 变式2 （山东省2021届高三大联考）已知正实数y x ,满足17191=+++y y x x ，则yx 11+的最小值为（）A ．161B ．1C ．2D ．16分析：先用“小权”得出“y x 9+”与“y x 11+”的关系，然后把条件式中的“y x 9+”换为“yx 11+”，解不等式即得yx 11+的最小值. 解：因为y x y x y x y x 9169)31(991112+=++≥+=+，所以yx y x 11169+≥+，当且仅当y x 931=即y x 3=时，等号成立．令0,11>=+t t y x ，则17191=+++yy x x 可化为t t 1617≥-，整理得016172≤+-t t ，解得161≤≤t ，所以yx 11+的最小值为1．选B ． 小结：以上四个例题及其变式，大都是在已知整式定值的条件下求分式最值的问题，运用“小权”解答时，一个需要注意的共性问题就是把分子拆成定值，把分母凑配成定值.下面上一个承上启下的变式，即已知分式为定值求整式最值问题.变式3 （天津市2021届高三模拟）已知正实数n m ,满足291212=+++n m n m ，则n m 2+的最小值是 ．分析：两种解法：一是常规解法，先在条件式的两边同乘以n m 2+，然后运用基本不等式把条件式化为关于n m 2+的一元二次不等式，解之即得n m 2+的最小值，变式2也可用此法求解；二是仿变式2用“小权”解.解法一：依题意得)2(29121)2()2(2n m n m n m n m +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++，整理得025)2(29)2(2=++++-+n m m n n m n m ，因为22=∙≥+nm m n n m m n ，当且仅当n m m n =即n m =时，等号成立．所以029)2(29)2(2≤++-+n m n m ，解得3223≤+≤n m ，所以n m 2+的最小值是23． 解法二：因为)2(29)2(2)21(44211212n m n m n m n m +=++≥+=+，当且仅当n m 4221=即n m =时，等号成立．令0,2>=+t t n m ，则t t 2929+≥，整理得09922≤+-t t ，解得323≤≤t ，所以n m 2+的最小值是23． 例5 （河北省石家庄二中2020-2021学年高二月考）已知正数y x ,满足118=+yx ，则y x 2+的最小值是（ ）A ．18B ．16C ．8D ．10分析：参照待求式，运用“小权”转化条件式，使其中出现待求式，进一步转化即可获解．解：y x y x y x y x 2182)222(2281812+=++≥+=+=，所以182≥+y x ，当且仅当y x 2222=即y x 4=即3,12==y x 时，等号成立．所以y x 2+的最小值是18．选A ．变式1 （天津市和平区2021届高三期末）已知0,>n m ，且312121=+++n m ，则n m 2+的最小值为________．分析：两种解法：一是先凑配待求式，然后用基本不等式求解；二是凑配条件式，然后用“小权”求解.孰繁孰简？大家自己体会.解法一：因为0,>n m ，所以=⎪⎭⎫⎝⎛++++++=++2121)]2(2)2[(362n m n m n m269222)2(2233222)2(233+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∙+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=n m m n n m m n ，当且仅当222)2(2++=++n m m n 即)2(22+=+n m 时，等号成立．所以2632+≥+n m ，即其的最小值为263+．解法二：因为0,>n m ，所以62)21()2(22212121312+++≥+++=+++=n m n m n m ，当且仅当)2(2221+=+n m 即)2(22+=+n m 时，等号成立． 所以2632+≥+n m ，即其的最小值为263+．变式2 （山东省淄博市2021届高三教学质量摸底检测）若正实数y x ,满足xy y x =+3，则y x 43+的最小值是（ C ）A ．12B ．15C ．25D ．27变式3 （广东省珠海市2020届高三上学期期末）已知0,,>z y x ，且191=++zy x ，则z y x ++的最小值为（D ）A ．8B ．9C ．12D ．16例6 已知正数y x ,满足1=+y x ，则2281yx +的最小值是________． 分析：根据“小权”的特点，待求式的分母是二次的，则在运用“小权”时，分子的次数应转化为三次的．解答本例，需运用二权“小权”.解：因为27)()21(812322=++≥+y x y x ，当且仅当y x 21=即32,31==y x 时，等号成立． 所以2281yx +的最小值是27． 变式 已知正实数c b a ,,满足1=++c b a ，则222811cb a ++的最小值为________． 解：因为64)()211(81123222=++++≥++c b a c b a ，当且仅当c b a 211==即b a c 22==即41,21===b a c 时，等号成立．所以222811cb a ++的最小值是64．。