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不等式证明的常用方法

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不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

故选B点评 基本不等式是解本题的切人点，解题的关键是创造出使不等式成立的条件．【 例 4 】 设n x x x ,,,21 都是正数，证明：≥++++-1221322221x x x x x x x x n n n n x x x +++ 21。

证明 因为+∈R x x 21,，12221222122x x x x x x x =⋅≥+…………………（*）同理,223322x x x x ≥+…，n n n n n n x x x x x x x x 2,2112121≥+≥+--将这n 不等式两边相加得：+++++-1221322221x x x x x x x x n n n （n x x x +++ 21）≥2（n x x x +++ 21） ∴ ≥++++-1221322221x x x x x x x x n n n n x x x +++ 21。

点评（*）式的构造为全题的得证辟开了道路，这种根据待证式的特点巧妙构式以便应用基本不等式的方法也是常用技巧．证明本题时，分段应用了基本不等式，然后整体相加（乘）得出结论，这是证明不等式的基本技巧． 【例5】（2004年全国高考题）已知数列}{n a 为等比数列，162,652==a a 。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；设n S 是数列}{n a 的前n 项和，证明1212≤⋅++n n n S S S （Ⅰ）解：设等比数列}{n a 的公比为q ，则⎩⎨⎧==1626411q a q a 解之得：3,21==q a ∴数列}{n a 的通项公式为132-⋅=n n a（Ⅱ）证明 由（Ⅰ）知132-⋅=n n a ，∴1331)31(2-=--=n n n S ∴113231332213231)33(2122222122222212=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++n n n n n n n n n n n n n S S S 点评（Ⅱ）中不等式的证明实质上是利用基本不等式对不等式进行放缩．【例6】若0>>b a ，证明：3)(1≥-+bb a a证明 ∵0>>b a ∴0>-b a ，0)(1>-bb a ∴3)(1)(3)(1)()(13=-⋅⋅-≥-++-=-+bb a b b a b b a b b a b b a a当且仅当=-=b a b bb a )(1-即1,2==b a 时等号成立。

点评 为应用基本不等式 ⑤ ，这里根据题目的特点，将 a 分拆成两个正数 a －b 与 b ，恰到好处．在应用基本不等式时，一定要注意所要求的条件．对原形不具备基本不等式的条件的，只有作适当的恒等变形至符合条件后方可应用基本不等式．在应用基本不等式时要注意去套着公式用、凑着公式用、逆着公式用、变着公式用，逐步掌握运用公式的技巧． 【 例 7 】 （ 2001 年全国高考题）已知n m ,是正整数，且n m <<1证明：m n n m )1()1(+>+证明 由n 元均值不等式可得个个m n m m n n n n -⋅⋅⋅⋅+⋅⋅++=+111)1()1)(1()1(n nm nm n n m )1(])1([+=-+-<∴mn n m )1()1(+>+点评 此问题是二项式不等式，经过配凑(n －m)个1相乘后运用n 元均值不等式，优化了解题过程．这就说明，学习数学要准确深刻地理解题意，随机应变，而不应将数学解题模式化．三、综合法利用题设条件和已知不等式作基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式，这种方法称为综合法．综合法的证题思路是“由因导果”．【例8】已知c b a >>，证明：0411≥-+-+-ac c b b a 证明 ∵c b a >> ∴0,0>->-c b b a∴cb b ac b b a -⋅-≥-+-11211 而2]2)()([))((c b b a c b b a -+-≤--4)(2c a -=∴c a c a c b b a -=-≥-⋅-2)(4112∴c a c b b a -≥-+-411即0411≥-+-+-ac c b b a 点评 这里根据待证式的结构特点发现，将前两式的分母做和以抵消b 是解题的切人点，再根据公式2)2(b a ab +≤即可得证． 【例9】设b a ,是不等得两正数，且2233b a b a -=-，证明：341<+<b a 证明 ∵2233b a b a -=- ∴))(())((22b a b a b ab a b a +-=++- 则)(22b a b a b ab a ≠+=++………………………………（*） ∵>+2)(b a )0(22>⋅+=++b a b a b ab a 又0>+b a ∴1>+b a由ab b a ab b a 4)(2222>+⇒>+∴=+2)(b a ab b a ab b ab a ++=+++224)(2b a b a +++<即34)(432<+⇒+<+b a b a b a ∴341<+<b a点评 用综合法证明不等式，要掌握拆项、配方等技巧，还要“由 因导果”，揭示条件与结论之间的因果关系及不等式两端的差异与联系． 四、分析法从待证的不等式出发，逐步分析使这个不等式成立的条件，直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可断定原不等式成立，这种方法称为分析法，分析法的证题思路是“执果索因”．【例10】已知0>>b a ，证明：bb a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<- 分析本题用比较法和综合法均有一定的困难，不妨用分析法来 “逆推”．证明 ∵0>>b a ∴0>-b ab b a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<-⇐bb a ab b a a b a 4)(24)(22-<-+<-⇐222)2()()2(bb a b a ab a -<-<-⇐bb a b a ab a 220-<-<-<⇐b ba a ba 2120+<<+<⇐1210+<<+<baa b⇐baa b <<<10⇐b a a b <<1∴bb a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<- 点评 分析法在表述时常用“⇐”即不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止．【例11】设实数y x ,满足10,02<<=+a x y ，证明：812log )(log +≤+a yxa a a 证明：要证812log )(log +≤+a yxa a a ，因为10<<a ，只要证812a a a yx ≥+又y x y x a a a +≥+2，故只要证≥+yx a 81a 即要证812≤+y x ⇔41≤+y x ∵02=+x y ，即要证0412≥+-x x ，即要证04114)1(2≤⨯⨯--，而04114)1(2=⨯⨯--∴原不等式成立。

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不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。

对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。

首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。

通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。

2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。

例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。

3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。

通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。

无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。

在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。

此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。

不等式的证明方法

不等式的证明方法

不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。

证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。

1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。

当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。

具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。

2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。

例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。

3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。

例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。

4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。

具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。

5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。

它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。

一个不等式的七种证明方法

一个不等式的七种证明方法

一个不等式的七种证明方法证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立.(2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd .故命题得证. 分析三:用比较法证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0,∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |,可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法证法五:不妨设⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==ββααsin cos ,sin cos 2211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量).则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+⋅+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法证法六:(1)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)=0时,原不等式显然成立.(2)当(a 2+b 2)(c 2+d 2)≠0时,欲证原不等式成立, 只需证| 2222dc b a bd ac +⋅++|≤1.即证|22222222dc d ba b dc c ba a +⋅+++⋅+|≤1,注意到(22b a a +)2+(22b a b+)2=1与(22d c c +)2+(22d c d +)2=1和cos 2x +sin 2x =1的结构特征很类同,不妨设22ba a+=cos α, 22dc c +=cos β,则22ba b +=sin α,22dc d +=sin β,故|22222222dc b a bddc ba ac+⋅++++|=|cos αcos β+sin αsin β| =|cos （α-β）|≤1 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析七:用构造函数法(判别式法)证法七:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式Δ =b 2-4ac ≤0的结构特征很类似,由此不妨构造函数, f (x )=(a 2+b 2)x 2+2(ac +bd )x +(c 2+d 2)=(a 2x 2+2acx +c 2)+(b 2x 2+2bdx +d 2) =(ax +c )2+(bx +d )2显然不论x 取任何实数,函数f (x )的值均为非负数,因此,(1)当a 2+b 2≠0时,方程f (x )=0的判别式Δ≤0, 即［2(ac +bd )］2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2)≤0, 即(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)故ac +bd ≤|ac +bd |≤))((2222d c b a ++(2)当a 2+b 2=0时,原不等式显然成立. 分析八:用构造复数法证法八:待证不等式的结构特征与复数的模相似设复数Z 1=a+bi,Z 2=c+di 则有|z 12又。

不等式证明方法大全

不等式证明方法大全

不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。

目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。

二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。

三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。

四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。

五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。

六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。

七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。

以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。