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中学不等式证明方法探究摘要不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。
本文通过对不等式的进一步研究，同时在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。
关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． 1、比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。
中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等]4[.在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A ＞B ，B ＞C 则A ＞C 告诉我们要证明A ＞C 时就可以先把A 缩小B ，再把B 缩小为C ，从而证明A ＞C ；同样A 放大为B ，再把B 放大为C ，可以证明A ＜C ．例１ 求证：１＋)(213121+∈<+++N n n n ．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母 n 1 ＝)1(21222--=-+<n n n n n ,每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明: n 1＝)1(21222--=-+<n n n n n ， ∴21＜2（2－１）， ),23(231-<……),21(211---<-n n n n 1＜2（1--n n ）． 以上各式相加，得１＋21＋…n 1＜2n －１＜2n ．所以原不等式成立． 【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{}n a ,n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n L 求证：<+2)1(n n n a ＜.2)1(2+n 分析: 注意到左边的式子2)1(+n n 是前ｎ个自然数的和，与n a 比较只须缩小为１﹑2﹑3……n 即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放弃，于是转而联想到关系式2)1()1(+<+n n n n ，右边的不等式证明，由此可证得．证明 由于 n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n >2322321n ++++=1+2+3+…+n=2)1(+n n 又由2)1()1(+<+n n n n ＜212+n 有n a ＝)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n ＜++++ 272523212+n ＜2)1()]12(7531[212+=++++++n n 综上所述<+2)1(n n n a ＜2)1(2+n ． 【评注】放缩法的基本思路: ,,.a b b c a c >>⇒>[3]技巧与方法:(1) 适当添上或舍去某些项,例:22131()()242a a ++>+;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子或分母,如:211111(1)(1)1k k k k k k k<<=-+--放大缩小切记适度. (2) 判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．例 已知z y x ,,是实数，且满足条件222870660x yz x y z yz x ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩ 求证：１.9≤≤x证明 由已知等式得：yz =782+-x x(z y +)=-+=662x yz 782+-x x +6x-6=2x -2x+1=(x-1)2于是z y ,是方程t ()1(2+-±t x 782+-x x )=0的两个实根△＝(x-1)2－４（782+-x x ）＞０解得１.9≤≤x【评注】本题可以将原方程组变形得到的表达式和z y yz +,再把x 看作常数写成关于t 的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3) 换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．例1 设a ,b ∈R +且a +b =1.求证：22)1()1(b b a a +++≥225. 证明： a +b =1可设：a =θ2sin ,b =θ2cos又222y x +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 则 22)1()1(bb a a +++ ≥2)11(21ba b a +++ ＝(21θ2sin ＋θ2cos ＋222)cos 1sin 1θθ+ ＝225)41(21)2sin 41(2122=+≥+θ． 例2 设a ,b >0，求证：33b a +＋3332a b a <-． 证明：设33b a +＝m,n b a =-33,则33n m +=2a于是要证的不等式等价于3)(n m +＜4（33n m +）只要证：4（33n m +）－0333223>---n mn n m m而33m +3n 22333mn n m --=3)(3)(22m n n n m m -+-=3(m-n)(m 2-n 2)=3(m-n)2(m +n )>0∴m n m (4)(3<-)22n - 成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若;(sin ,cos ,122为参数）可设θθθ===+b a b a(2)若为参数）；可设θθθ(sin ,cos ,122r b r a b a ==≤+(3)对于θθθcos 1sin 1cos ,1,12=≤≤≤-x x x 知，可设或由 或θsin =x ;(4)若知由C b A C B A xyz z y x tan tan tan tan tan tan ,=++=++,,tan A x ==y ).(tan ,tan π=++=C B A C z B(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:||1||2121n n x x x x x x ++++++≤||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++ 分析:要证不等式的每一项结构都是x x +1的形式,于是可以构造函数)(x f =x x +1 证明: 构造函数)(x f =xx +1 )1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 当x 021>≥x 时,显然)()(21x f x f <所以函数)(x f 当0≥x 时是增函数||||||||2121n n x x x x x x +++≤+++L L Q ∴||12121n n x x x x x x +++++++ ≤||||||1|||||||112121n n n x x x x x x x ++++++++++ ≤ ||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.。
证明基本不等式的方法基本不等式是数学中极为重要的不等式之一，它可以直接由基本的数学性质和运算法则推导得出。
以下是我详细描述基本不等式的证明方法，以及一些相关的例子和应用。
基本不等式可以表述为：对于正实数a和b，有ab≥2√(ab)，即a乘以b大于等于2乘以a和b的平方根。
首先，我们知道一个数的平方根是非负的，即√(ab)≥0，因此我们可以得出一个结果：2√(ab)≥0。
由此可见，当a和b相等时，等式成立。
例如，当a=b=1时，1*1=2√(1*1)，等式两边都为1，等式成立。
接下来，我们来考虑当a和b不相等时的情况。
这时我们可以假设一个数x，使得x=√a/√b（注意，这里假设了b不等于0）。
根据这个假设，我们可以得出√a=x√b。
将这个结果代入到基本不等式中，得到：ab≥2√(ab)ab≥2√a√b （将√ab代换成x√b）ab≥2(x√b)√b （将√a代换成x√b）ab≥2xb*bab≥2x(b^2)由于a和b是正实数，因此b的平方b^2也是正实数。
而x是我们自己假设的一个数，通过合适的选择，我们可以使2x(b^2)等于a*b。
这样基本不等式就成立了。
这个证明方法的关键在于假设一个适当的数x，使得√a=x√b，从而将原始不等式转化为x的方程，然后通过解这个方程得到基本不等式。
下面是两个具体的示例应用，展示了基本不等式的实际用途：例1：证明当a+b=2时，a*b≤1根据我们的假设，可以令x=1/√b。
那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=1、将这个结果代入到a+b=2中可以得到1+b=2，从而b=1、因此，我们可以得到a*b=1*1=1，满足a*b≤1例2：证明当a+b=1时，(a^2+1)(b^2+1)≥8/9首先，我们假设x=√a/√b，那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=b。
这时，a+b=1可以变为2a=1，从而得到a=b=1/2将这个结果代入到(a^2+1)(b^2+1)中可以得到(1/4+1)(1/4+1)=5/4、因此，我们可以得到(a^2+1)(b^2+1)=5/4，满足(a^2+1)(b^2+1)≥8/9总结一下，我们通过假设一个适当的数x，并将√a=x√b代入到基本不等式中，转化为一个关于x的方程。
不等式证明使用技巧不等式证明是高中数学中的一个重要内容，掌握不等式证明的技巧对于解题和提升数学水平都有很大的帮助。
下面我将介绍一些常用的不等式证明技巧。
一、代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。
我们可以先假设不等式成立，然后进行推导得出结论。
如果得到的结论与原不等式一致，就证明了不等式的成立。
例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge q 9$。
我们可以假设$a\leq b\leq c$，然后代入得到：$a^2+b^2+c^2=2a^2+(b^2-a^2+c^2)\geq 2a^2=2(a\cdot a)\geq2(ab)$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\fra c{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3(\frac{1}{ab})=\frac{3}{ab}$。
然后，将两个不等式代入原不等式得到：$(2ab)(\frac{3}{ab})=6\geq 9$。
由此可见，原不等式成立。
二、放缩法放缩法是另一种常用的证明不等式的方法。
我们可以通过放缩不等式的各个部分来改变不等式的形式，从而得到更容易证明的形式。
例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$。
我们可以通过放缩的方法，将不等式的各个部分放缩至一个更容易证明的形式。
我们注意到，$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$。
然后，我们可以通过平方展开和放缩的方法，得到：$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3$。
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
不等式证明中的几种新颖方法
以下是 8 条关于不等式证明中的新颖方法：
1. 放缩法简直太神奇啦！比如说，要证明
1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)，咱就可以通过巧妙地放大或缩小一些项
来达到目的。
这就好像建房子，一点一点把合适的材料放上去就能建成稳固的大厦呀！
2. 构造函数法真的是绝了！像证明x²+5>2x+3 ，咱可以构造函数
f(x)=x²-2x+2 ，通过研究函数的性质来得出不等式的结论，这多像给不等
式穿上了一件量身定制的衣服！
3. 数学归纳法也很厉害的哟！比如要证明一个关于 n 的不等式，先证
明当 n=1 时成立，然后假设 n=k 时成立去推出 n=k+1 时也成立。
这就像爬楼梯，一步步稳稳地往上走！“嘿，这不就证明出来啦！”
4. 利用均值不等式来证明，哇哦，那可太好用啦！例如证明
(a+b)/2≥√(ab) ，这就像是给不等式找了个平衡的支点！
5. 换元法也有意思呀！把复杂的式子通过换元变得简单明了，再去证明。
就好像把一团乱麻理清楚，然后就能看清它的真面目啦！“哇，原来这么简单！”
6. 反证法也超棒的呢！先假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原来的不等式是对的。
这不是和找错一样嘛，找到错的就知道对的在哪啦！
7. 排序不等式更是一绝！在一堆乱序的数中找到规律证明不等式，就像在一堆杂物中找到宝贝一样让人惊喜！
8. 柯西不等式也是很牛的哦！通过它独特的形式来证明不等式，真的是让人眼前一亮呀！“哇塞，还有这种神奇的方法！”
我觉得这些新颖的方法就像是一个个神奇的工具，能让我们在不等式的证明中如鱼得水，轻松搞定各种难题！。
活用“两根式”巧解不等式一湖北团风中学..,秦红安一对于二次函数()=ax2+bx+c(a-7~O),如果方程厂(_z)一0的两个实根为321, X2,那么二次函数,()可写成,()一n(一-z)(～),这就是二次函数的”两根式”.灵活地运用二次函数的两根式,可以巧妙地解决一些不等式问题.售l已知二次函数厂(_z)一,+ax+b(a,bER).(1)若方程厂()=0有两个非整数实根,且这两实根在相邻两整数之间,试证明:存在整数k,使得J厂(是)I≤÷.(2)若方程厂()一.有两个非整数实根.且两实根不在相邻两整数之间,请你探求当n,b满足什么条件时,一定存在整数k,使得『厂(是)I≤÷成立.解:(1)设方程厂(_z)一O的两实根分别为a,,且m<a<m-f-1,<m+l(mE z).则有_厂(z)一.+nz+6一(x--a)(x--p).则I厂(m)JI厂(+1)J—I(m--a)(m--f1)IJ(+l--a)(+1一I一(a--m)(+1--a)(flm)(+1口)~(a--m+m+l--a).(fl--m+r~+l--f1).=(吉).(专).=({)....必有I厂()j≤{或『厂(m+1)I≤{.故在题目的条件下,存在整数k=m或k—+1,使I厂(是)i≤1成立.(2)设<口<+1,当p<时,则I厂()ll厂(+1)I—I(m--a)(m--II(+1--a)(m+1一I(a--m)(+1一(m--f1)(+1--a)~[(a--m)(m+1--f1)-F(m--f1)(m+l--a)].=()=().(由韦达定理).53●贵阳市息烽q-学李志忠两角和的正切公式tan(“+一用较广,其变形:tam+ta+tan(a+tan口ta邴一tan(a+p)在解题中也有重要作用.懿tan70.,tan50.一~r3tan70.tan50.的值是().Bc.13.一分析:...tan(70.--5O.)tanl20.一,..tan70.+tan50.一~/tan70.tan50.=tan120.一一.故选D.伪2(2002年春季高考题)在△ABC中,已知角A,B,C成等差数列,求tanA+tan+tantan导的值.’分析:因A,B,C成等差数列,故2B=A+C.从而得B=60....A~C一120..即A十百C一60....tan(A十C)一tan60.一厄..由变形公式tan+tan导+tantan一tan6o.一.啻唾已知△ABC中,”,b,f分别是角A,B,C所对应的边,且n一4.6+(一5,ta【nA+tanB+一?tanAtanB,求△lABC的面积.分析:I,ItanA+tanB+一,/gtanAtanB,..tal+tanBVStaI以tanB一一√而一一tan120.,..可认为tan120.一tan(A,B),A+B一120..从而C=60..于是由余弦定理可得c一16-cbz--4b.37.b”5,代人得6一号...s,J,:吉inC--3~/3.4(责任编辑韩可立)C因O<z<z1<z2,故z1一z>O.1+n(x--x~)>O..z1(z)>0,由此得(z)<1...当z∈(O,z1)时,z<厂(z)<z1.(责任编辑韩可立)活返厢两角和的芷切公贰。
不等式证明的几种方法刘丹华余姚市第五职业技术学校摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。
通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。
关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题引言证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。
有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。
下面介绍几种证明不等式的方法。
一、构造法构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。
当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。
构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。
（一） 、构造方程证明不等式某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。
例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，222212x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤，23o y a ≤≤， 203z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得22221()2a y z y z a --++= ⇒ 22222()2202a y a z y z az --+-+= 因为 y R ∈， 所以 224()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤所以 203z a ≤≤同理可证： 203x a ≤≤， 203y a ≤≤.（二） 、构造函数证明不等式根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。
例2 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c<<+++. 证明： 从结论形式看，各项均具有1MM+的形式，于是可构造函数 ()1x f x x=+， 易证 ()f x 在R +上为增函数 因为a ，b ，c 为ABC ∆的三边所以 a b c <+ 所以 ()()f a f b c <+ 即111111a b c b c b c a b c b c b c b c+<=+<++++++++++. 又如： 求证111a b a b a bab+≤+++++ 可用类似方法证明。
不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。
例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。
2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。
该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。
例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。
由此可知，不等式不成立。
3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。
通过反证法证明。
例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。
假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。
通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。
4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。
例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。
通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。
例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。
5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。
例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。
以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。
在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。
巧用两根式证明不等式以二次函数及一元二次方程的两根满足条件为背景的不等式证明题，在全国高考和一些省市高考中都出现过，在各地模拟试题也屡见不鲜，这些题目的特点是：方法独特，变形技巧多，变换方法灵活，要求学生有较强的思维转换能力和运算能力，难度大，在此将对一些典型题的解法作讲析。
【例1】（97全国）设二次函数)0(2)(>++=a c bx ax f x ， 方程0)(=-x x f 的两个根21,x x 满足a x x 1021<<<．(1) 当),0(1x x ∈时，证明；1)(x f x x <<;(2)设函数)(x f 的图象关于直线x =x 0对称，证明210x x <．简析：从本题条件易联想到一元二次方程的实根分布和根与系数的关系，难达到证明的目的。
【解答】(1) 设f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c =a (x －x 1)(x －x 2)∴ f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)+x∵ ax x x 1021<<<<．∴ x －x 1<0, x －x 2<0, a >0且ax 2<1∴ f (x )－x >0 ∴f (x )>x又 f (x )－x 1=a (x －x 1)(x －x 2)+ x －x 1=(x －x 1)(ax －ax 2+1) ∵ ax 2<1 ∴－ax 2+1>0 ∴ax －ax 2+1>0又 x －x 1<0 ∴f (x )－x 1<0 ∴f (x )<x 1 故 x < f (x )< x 1(2) f (x ) 图象对称轴为x =x 0=－2ab又∵x 1+x 2=－ab 1-∴－a b = x 1+x 2－a 1， ∴x 0=21(x 1+x 2－a 1)∴x 0－2x =aax 212-<0 ∴x 0<2x 1【评析】巧设二次函数的两根式，得f (x )的解析式，以根的分布作条件，用比较法证明不等关系，方法简单，思路清晰，难点在于学生不清楚),0(1x x ∈中x 的常量角色，不习惯字母运算。
【例2】 已知二次函数f (x )=x 2+ax +b (a , b ∈R ) ⑴若方程f (x )=0无实根，求证：b >0⑵若方程f (x )=0有两实根，且两实根是相邻两整数，求证：f (－a )=41(a 2－1)⑶若方程f (x )=0有两非整数实根，且这两实根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得：|f (k )|≤41.【解答】(1) 由△=a 2－4b <0 得 b >4a 2≥0, ∴b >0(2) 由|x 1－x 2|=b 4a 2-=1得b =41a 2- ∴ f (－a )=a 2－a 2+b =41a 2- (3) 设m <1+<<m βα,m ∈z, f (x )=(x －βα-x )(),则{0)(0)1(>>+m f m f∴ |f (m )|·|f (m +1)|=|（m －α）(m －β)（m +1－α）(m +1－β）|=[(α－m )(m +1－α)]·[(β－m )(m +1－β)]≤(21)2·(21)2=161 ∴| f (m )|≤41或|f (m +1)|≤41故存在整数k ，使得：|f (k )| ≤41【评析】第（1）、（2）问考查一元二次方程根与系数关系，较容易。
第（3）问很抽象，把根的范围符号化，巧设求根式，利用实根分布和基本不等式使问题得证。
例3．已知函数f (x )=31x 3 +21(b －1)x 2+cx (b 、c 为常数).(1) 若f (x )在x =1和x =3处取得极值,试求b 、c 的值； (2) 若f (x )在x ∈(－∞,x 1)、(x 2,+∞)上单调递增且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减,又满足x 2－x 1＞1,求证：b 2＞2(b +2c )；(3) 在(2)的条件下,若t ＜x 1，试比较t 2+b t+c 与x 1的大小,并加以证明.【解答】 (1) f ’(x )=x 2+(b －1)x +c依题意, 1和3是方程x 2+(b －1)x +c=0的两根,∴ 1－b =1+3=4, c=1×3=3,即b =－3, c=3(2) 由题意知,当x ∈(－∞,x 1)、(x 2,+∞)时, f ’(x )＞0； 当x ∈(x 1,x 2)时, f ’(x )＜0.所以x 1、x 2是方程x 2+(b －1)x +c=0的两根,则x 1+x 2=1－b , x 1x 2=c.∴b 2－2(b +2c)= b 2－2b －4c=[1－(x 1+x 2)]2－2[1－(x 1+x 2)]－4x 1x 2=(x 1+x 2)2－1∵x 2－x 1＞1, ∴(x 1+x 2)2－1＞0 ∴b 2＞2(b +2c). (3)在(2)的条件下,设x 2+(b －1)x +c=(x －x 1)(x －x 2)即x 2+bx +c=(x －x 1)(x －x 2)+ x所以(t 2+b t+c)－x 1=(t －x 1)(t －x 2)+t －x 1=(t －x 1)(t+1－x 2)∵x 2＞1+x 1＞1+t, ∴1+t －x 2＜0.又0＜t ＜x 1 ∴t －x 1＜0.∴(t －x 1)(t+1－x 2)>0, 故t 2+b t+c ＞x 1.【解法2】. 令g (x )=x 2+bx +c, 则g ）（1x =x 1, ∵x 2－x 1>1,∴212x x +－x 1>21即：－21b -－x 1>21 ∴ x 1<－2b, ∴t<x 1<－2b, 而g (x )在(－∞,－2b)上单调递减。
∴g (t)>g )x 1（ 即b 2+b t+c>x 1【评析】：以三次函数作背景，通过导函数对应的方程转化为一元二次方程根与系数关系，化系数为根表示，利用根所满足条件使问题得证。
例 4. （1）设x 1,x 2是函数f (x )=3ax 3+x a x 222b - )0(>a 的两个极值点，且|x 1|+|x 2|=2. (1) 证明： 0<a ≤1；（2）证明：|b |≤934；（3）若函数h (x )=f ’(x )－2a (x －x 1), 证明：当x 1<x <2，且x 1<0时，|h (x )| ≤4a 。
【解答】（1）f ’(x )=ax 2+bx －a 2 ∵x 1,x 2是方程f ’(x )的两个极值点∴x 1,x 2是方程f ’(x )=0的两个实数根a >0, ∴x 1x 2= －a <0 x 1+x 2=ab-∴|x 1|+|x 2|=| x 1－x 2|==+a a b 4222 ∴b 2=4a 2－4a 3≥0 ∴0<a ≤1（2）设g (a )=4a 2－4a 3, 则g ’(a )=8a －12a 2=4a (2－3a ) 由g ’(a )>0 得 0<a <32,由g ’(a )<0 得 32<a ≤1∴g ’(a )在(0, 32)单调递增，在(32,1)单调递减，∴g (a ) 的最大值2716=（3）h (x )=f ’(x )－2a (x －x 1)=a (x －x 1)(x －x 2－2) ∴|h (x )|= a |x －x 1|·|x －x 2－2|≤ a （221)22--+-x x x x又 ∵x 1 x 2<0, x 1<0 x 2 >0 ∵x 1 < x <2 ∴x －x 1>0 x －x 2－2 <0∴|x －x 1|+|x －x 2－2|=x －x 1－x +x 2+2=x 2－ x 1+2=4 ∴|h (x)|≤4a【分析】第（1）问求导后，利用一元二次方程根与分数的关系，得a 的范围，第（2）问构建b 关于a 的函数，导数法求得b 的范围。
第（3）问是难点，恰好要用到一元二次函数两根式来证明不等式。
以上这些题目的共同特点都是已知一元二次方程的两根范围，要证明与两根直接相关的不等式。
其解题方法一般是设一元二次函数的两根式，通过因式分解，利用根的范围，合理变形，或运用基本不等式，使问题得证。
【跟踪训练】1．已知f (x )=1－(x －a )(x －b )，并且m ,n 是方程f (x )=0的两根，则实数a ,b ,m ,n 的大小关系可能是________。
【解析】方程f (x )=0, m ,n 可看作f (x )与x 轴交点的横坐标，a , b 可看作g (x )=－(x －a )(x －b )与x 轴交点的横坐标，所以，a ,b ,m ,n ，可以排列成m <a <b <n 的形式。
2．（2007·山东）设二次函数f (x )=x 2+ax +a , 方程f (x )－x =0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1，(1)求实a 的取值范围(2)试比较f (0)·f (1)－f (0)与161的大小，并说明理由。
【解答】（1）令g (x )=f (x )－x =x 2+（a －1）x +a ,则由题意可得.2230,223,223,11,0.0)0(,0)1(,1210,0-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<<->⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆a a a a a g g a 或故所求实数a 的取值范围是（0，3－22）.（2）【解法1】f (0)·f (1)－f (0)=g (0)·g (1)=2a 2, 令h (a )=2a 2. ∵ 当a >0时h (a )单调递增 ∴ 当0<a <3－22时 0<h (a)<h (3－22)=2(3－22)2=2(17－122)=2·.161,161212171)0()1()0(<-∙<+f f f 即【解法2】依题意可设g (x )=(x －x 1)(x －x 2),则由0<x 1<x 2<1得f (0)f (1)－f (0)=g (0)g (1)=x 1x 2(1－x 1)(1－x 2) =［x 1(1－x 1)］［x 2(1－x 2)］<.161,1612121)0()1()0(222211<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+f f f x x x x 故3．设f (x )=x 2+bx +c,方程f (x )－x =0的两实根为x 1，x 2，且x 2－x 1>2。
