2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练：(三) 含解析

第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y .根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1，设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |.易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4|5－1＝5－1.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20. ∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°. 连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A.52 B.52 C.62D ．3 (2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．答案 (1)C (2)D解析 (1)设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，焦距为2c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且不妨设m >n ，由m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 又∠F 1PF 2＝π3，∴4c 2＝m 2＋n 2－mn ＝a 21＋3a 22，∴a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1(22)2＋3e 2＝4，解得e ＝62，故选C. (2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，2QF k ＝cyb 2－2c 2， 由12F P QF k k ⋅＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m 答案 (1)C (2)A解析 (1)设OF 的中点为C ，则 AO →＋AF →＝2AC →，由题意得， 2AC →·OF →＝0，∴AC ⊥OF ，∴AO ＝AF ， 又∠OAF ＝90°，∴∠AOF ＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， ∴ba ＝tan 45°＝1， 则双曲线的离心率e ＝1＋(ba)2＝2，故选C.(2)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±m mx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．解 (1)∵A (－a,0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a )，B (x 1，y 1)， 令x ＝0，则y ＝2a ，∴C (0,2a )， ∴AB →＝(x 1＋a ，y 1)，BC →＝(－x 1,2a －y 1)，∵AB →＝613BC →，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝613(2a －y 1)，整理得x 1＝－1319a ，y 1＝1219a ，∵点B 在椭圆上，∴(1319)2＋(1219)2·a 2b 2＝1，∴b 2a 2＝34，∴a 2－c 2a 2＝34，即1－e 2＝34，∴e ＝12.(2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2＝4t ，∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12t ＝0y ＝kx ＋m ，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0，∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ， ∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t )＝0， 整理得m 2＝3t ＋4k 2t ，设P (x 1，y 1)则有x 1＝－8km 2(3＋4k 2)＝－4km 3＋4k 2， y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2，∴P (－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2)， 又M (1,0)，Q (4,4k ＋m )，∵x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，∴(1＋4km 3＋4k 2，－3m3＋4k 2)·(－3，－(4k ＋m ))＝0恒成立， 整理得3＋4k 2＝m 2.∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立，故t ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)， 得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ， 直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t.又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433B.233C ．3D ．2答案 A解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c. 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163， ∴(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限， 所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为43.押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ， 由题意可知|OE |＝a4，由OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为FP 的中点．由双曲线的性质，可知O 为FH 的中点， 所以OE ∥PH ，且|OE |＝12|PH |，故|PH |＝2|OE |＝a2.由双曲线的定义，可知|PF |－|PH |＝2a (P 在双曲线的右支上)， 所以|PF |＝2a ＋|PH |＝5a 2. 因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE .又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在△PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2，② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1. 因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3， 所以|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3 答案 D解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A ．2或233B.6或233 C ．2或 3 D.3或 6 答案 A解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 故选A. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 答案 B解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.故选B. 4．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A.463B.433C.863D.233 答案 C解析 由题意，可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝4， 又|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，所以，|BC →|＝2|AC →|.故|OC →|＝|AC →|.又AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →.故△OAC 为等腰直角三角形，|OC →|＝|AC →|＝2 2.不妨设点C 在第一象限，则点C 的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得2242＋22b 2＝1，解得b 2＝163. 所以c 2＝a 2－b 2＝42－163＝323，c ＝463. 故其焦距为2c ＝863. 5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F (34，0)， 因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94. 6．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且 PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1) 答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12， 所以12≤e ≤22.故选B. 二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ， 将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1， 其渐近线方程为y ＝±2x .8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.答案 2解析 由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F (p 2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p 4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故答案为 2.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________． 答案 11解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的右焦点坐标是(3,0)． 所以p 2＝3，所以p ＝6. 即抛物线的标准方程为y 2＝12x .设过点P (2,0)且斜率为1的直线l 的方程为y ＝x －2，联立y 2＝12x 消去y 可得x 2－16x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，所以弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x 1＋x 2＋p 2＝16＋62＝11.故填11. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 答案 2解析 延长F 2A 交PF 1于B 点，则|PB |＝|PF 2|，依题意可得|BF 1|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .又因为点A 是BF 2的中点．所以得到|OA |＝12|BF 1|，所以b ＝a . 所以c ＝2a .所以离心率为 2.三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2.(1)求曲线C 的方程；(2)过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB | 故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2，由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0) ∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32. ∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k. 又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．。

[80分] 12＋4标准练(三)1.已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.(0，＋∞) D.(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1， 解得y >0，所以全集U ＝(0，＋∞)，又P ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 2.“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件. 3.(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A.4.(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，当x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确.故选A. 5.已知x ，y 的取值如下表：对所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝1.03x ＋a ^，则a ^等于( ) A.1.30 B.1.13 C.1.65 D.1.80 答案 B解析 根据题意得x ＝4，y ＝5.25，将样本点中心(4，5.25)代入线性回归方程，可得a ^＝1.13. 6.(2019·汉中质检)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有( )A.12种B.22种C.28种D.30种 答案 C解析 由题意可分两种情况讨论：①甲可能在A 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有C 14＋C 24＋C 34＝14(种)分法； ②甲可能在B 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有C 14＋C 24＋C 34＝14(种)分法.一共有14＋14＝28(种)分法.7.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A.－4B.－1C.1D.4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB → ＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，AB →，AC →不共线，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.8.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入正整数n 的值为( )A.6B.5C.4D.3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得4≤n<5，所以输入n的值为4.9.把正方形ABCD沿对角线AC折起到△ACD′的位置，当以A，B，C，D′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD′和平面ABC所成角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°答案 C解析如图，当D′O⊥平面ABC时，三棱锥D′－ABC的体积最大.∴∠D ′BO 为直线BD ′和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △D ′OB 中，OD ′＝OB ，∴直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为45°.10.已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz 的最小值为( )A.3B.3(3＋1)2C.4D.2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号.又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z 22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.11.(2019·湖南长沙一中、常德一中等六校联考)已知函数f (x )＝ln x －ax＋a 在x ∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤e1－e ，－1B.⎣⎡⎭⎫e1－e ，1C.⎣⎡⎭⎫e1－e ，－1D.[－1，e)答案 C解析 ∵f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2，x ∈[1，e].当a ≥－1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，e]上单调递增，不合题意. 当a ≤－e 时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上单调递减，也不合题意.当－e<a <－1时，则当x ∈[1，－a )时，f ′(x )<0，f (x )在[1，－a )上单调递减， 当x ∈(－a ，e]时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，e]上单调递增， 又f (1)＝0，所以要使函数f (x )在x ∈[1，e]上有两个零点， 只需f (e)＝1－ae ＋a ≥0即可，解得e 1－e≤a <－1.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e1－e ，－1.12.椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 A解析 如图所示，右顶点B (1,0)，上顶点A (0，b )，左焦点F (－1－b 2，0)，线段FB 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22.线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b ，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12，把x ＝1－1－b 22＝m ， 代入上述方程，可得y ＝b 2－1－b 22b＝n .由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可得m ＋n <0， ∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b <0，化简得b <1－b 2， 又0<b <1，解得0<b <22. ∴e ＝c a ＝c ＝1－b 2∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.13.已知复数z 满足z (3＋4i)＝3－4i ，z 为z 的共轭复数，则|z |＝________. 答案 1解析 由题意得z ＝3－4i 3＋4i ＝(3－4i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－7－24i 9＋16＝－725－2425i ，∴z ＝－725＋2425i ，|z |＝⎝⎛⎭⎫－7252＋⎝⎛⎭⎫24252＝1.14.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________.答案 4解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A (－1，－2)处取得最大值，其最大值为 z max ＝2×(－1)－3×(－2)＝4.15.已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －3c )a ，则sin A －2cos C 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，32解析 由题意得b 2－c 2＝a 2－3ac ， 即a 2＋c 2－b 2＝3ac ， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以B ＝π6，由⎩⎨⎧0<A <π2，0<C ＝5π6－A <π2，得π3<A <π2，0<cos A <12. 因为sin A －2cos C ＝sin A ＋2cos(B ＋A )＝sin A ＋2⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝3cos A ，所以0<3cos A <32， 故sin A －2cos C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，32.。

高考小题标准练(十五)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(A∩B)为1.设全集U=R，若集合A={x|-1≤x≤5}，B={x|y=lg(x-1)}，则∁U( ) A.{x|1<x≤5} B.{x|x≤-1或x>5}C.{x|x≤1或x>5}D.{x|-1≤x≤5}【解析】选C.因为B={x|y=lg(x-1)}={x|x>1}.所以，A∩B=∩=，(A∩B)=.所以，∁U2.已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.依题意得==-1+i，故该复数在复平面内对应的点位于第二象限.3.下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是( )A.y=B.y=C.y=-sinxD.y=cos【解析】选B.+cos)(sin-cos)=-cosx且在上=为奇函数，但在上单调递增=-sin2x，该函数为奇函数，但在4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C的离心率为( )A. B. C.2 D.3【解析】选B.易知双曲线C的左焦点到渐近线的距离为b，则b=2a，因此双曲线C的离心率为e===.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=1，B=45°，cosA=，则b等于( )A. B. C. D.【解析】选C.因为cosA=，所以sinA===，所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=.由正弦定理=，得b===.6.数列{a n}满足：a n+1=λa n-1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{a n-1}是等比数列，则λ的值等于( )A.1B.-1C.D.2【解析】选D.由a n+1=λa n-1，得a n+1-1=λa n-2=λ.由于数列{a n-1}是等比数列，所以=1，得λ=2.7.若a，b∈R，命题p：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交；命题q：a>，则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由命题p可知，圆心到直线的距离d小于半径1，即d=<1，b2<a2+1，所以a2>b2-1，故p是q的必要不充分条件，选A.8.在x的展开式中，x的系数为( )A.36B.-36C.84D.-84【解析】选D.易知的展开式的通项为T r+1=()9-r=(-1)r，令=0，解得r=3，故的展开式中常数项为(-1)3=-84，故x的展开式中，x的系数为-84.9.函数f(x)=ln的图象是( )【解析】选B.因为f(x)=ln，所以x-=>0，解得-1<x<0或x>1，所以函数的定义域为(-1，0)∪(1，+∞)，可排除A，D.因为函数u=x-在(-1，0)和(1，+∞)上单调递增，函数y=lnu在(0，+∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(-1，0)和(1，+∞)上单调递增.10.已知实数x，y满足若当x=-1，y=0时，z=ax+y取得最大值，则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞，-2]B.(-2，-1]C.(2，4)D.[1，2)【解析】选A.画出满足条件的可行域(如图中阴影部分所示)，由题意知直线y=-ax+z经过点(-1，0)时，z取得最大值，结合图形可知-a≥2，即a≤-2.11.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2，由原点到直线bx-ay+2ab=0的距离d==a，得到a2=3b2，e==.12.已知函数f(x)=x2lnx+1，g(x)=kx，若存在x0使得f(x0)=g(x0)，则k的取值范围是( )A.(-∞，1]B.[1，+∞)C.(-∞，e]D.[e，+∞)【解析】选B.函数f(x)=x2lnx+1，g(x)=kx，若存在x0使得f(x0)=g(x0)，等价于方程x2lnx+1=kx 有正根，即方程k=xlnx+=h(x)有正根，可得h′(x)=lnx+1-，当x>1时，h′>0，h在上递增，当0<x<1时，h′<0，h在上递减，所以h在上有最小值h(1)=1，k的取值范围是.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.为了响应国家发展足球的战略，某市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X为10个同学的得分总和，则X的数学期望为________.【解析】由题意每个学生的得分服从二项分布X～B，其中n=10，p=0.6，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生X的数学期望为E=np=0.6×10=6，因此10个同学的数学期望是10E(X)=60.答案：6014.已知平面向量a，b满足：a=(1，-2)，|b|=2，a·b=-10，则向量b的坐标是________. 【解析】由题意知| a |=，设a与b的夹角为θ，则a·b=| a ||b|cosθ=10cosθ=-10，cosθ=-1，θ=π，又|b|=2| a |，因此b=-2a=(-2，4).答案：(-2，4)15.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a2+b2=c2+ab，4sinAsinB=3，则tan+tan+tan=________.【解析】由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，又a2+b2=c2+ab，则2abcosC=ab，cosC=，sinC=，又4sinA·sinB=3，因此sinAsinB=sin2C，即ab=c2，a2+b2-ab=ab，所以a=b=c，A=B=C=60°，故tan+tan+tan=.答案：16.若函数f(x)=(x∈R)(e是自然对数的底数)在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是________.【解析】f′(x)=-(x2-2x+a)e-x，由题意得当≤x≤e时，f′(x)≥0⇒x2-2x+a≤0在上恒成立.令g(x)=x2-2x+a，有得a≤2e-e2，所以a的取值范围是(-∞，2e-e2]. 答案：(-∞，2e-e2]。