2016届高考数学大一轮复习 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性课时提升练 文 新人教版

1 课时提升练(六)

函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1．(2015·西安检测)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )

A．－13 B.13 C.12 D．－12

【解析】 由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，

即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.

又f(x)的定义域应关于原点对称，

即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝13.

【答案】 B

2．(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f23π6＝( )

A.12 B.32

C．0 D．－12

【解析】 ∵f(x＋π)＝f(x)＋sin x，

∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.

∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．

∴f(x)是以2π为周期的周期函数．

又f23π6＝f4π－π6＝f－π6.

f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6，

∴f5π6＝f－π6－12.

∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，

∴f23π6＝f－π6＝12.故选A.

【答案】 A

3．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图2­3­1所示，下列说法正确的是( ) 2

图2­3­1

①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；

②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；

③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；

④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．

A．①③ B．②④

C．①② D．③④

【解析】 由图象可知，图象关于原点对称，周期为4，故y＝f(x)应满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)．①②正确．

【答案】 C

4．(2014·大纲全国卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )

A．－2 B．－1

C．0 D．1

【解析】 因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.

因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，

所以f(x＋8)＝f(x)，

即函数f(x)的周期为8，

故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1.

【答案】 D

5．(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )

A．奇函数 B．偶函数

C．增函数 D．周期函数

【解析】 函数的图象(图象略)在两个整数之间都是斜率为1的线段(不含终点)，故选D.

【答案】 D

6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A．f(－25)

C．f(11)

D．f(－25)

【解析】 ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，

得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

∴f(－1)

【答案】 D

二、填空题

7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

【解析】 ∵f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴ln(1＋e3x)＋ax＝ln(1＋e－3x)－ax，

∴ln(1＋e－3x)－ln(1＋e3x)＝2ax，

即ln1＋e－3x1＋e3x＝2ax，

∴1＋e－3x1＋e3x＝e2ax，

∴1＋e－3x＝e2ax＋e(2a＋3)x对x∈R恒成立，

∴ 2a＋3＝0，2a＝－3或 2a＝0，2a＋3＝－3(舍去)．

∴a＝－32.

【答案】 －32

8．(2014·课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．

【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞) 4 上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，

由f(x－1)>0，得－2

即－1

【答案】 (－1,3)

9．设a为常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x＋a2x＋7，若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．

【解析】 f(0)＝0，故0≥a＋1⇒a≤－1；

当x>0时，f(x)＝9x＋a2x－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，

又a≤－1，故a≤－87.

【答案】 －∞，－87

三、解答题

10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝x(0

【解】 (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

有f(x＋1)＝f(1－x)，

即有f(－x)＝f(x＋2)．

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，

故有f(－x)＝－f(x)．

故f(x＋2)＝－f(x)．

从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

即f(x)是周期为4的周期函数．

(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.

x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.

故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.

x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，

f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.

从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.

11．定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．

(1)判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；

(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意 5 x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

【解】 (1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)＝0，

令a＝b＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，所以k＝0.

证明：由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝x，b＝－x，

则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，

即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)因为f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.

所以f(mx2－2mx＋3)>3＝f(2)对任意x∈R恒成立．

又f(x)是R上的增函数，所以mx2－2mx＋3>2对任意x∈R恒成立，

即mx2－2mx＋1>0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，显然成立；

当m≠0时，由 m>0，Δ＝4m2－4m<0，

得0

所以实数m的取值范围是[0,1)．

12．(2014·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0)，

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．

【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝x2，由f(－x)＝f(x)可知，函数是偶函数．

当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)．

∵f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－1，∴f(a)≠f(－a)，又a≠0，∴f(a)≠－f(a)，

∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

综上所述：a＝0时，f(x)为偶函数；

a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)由f(1)＝2可知1＋a＝2，即a＝1，

所以f(x)＝x2＋1x.

由f′(x)＝2x－1x2可知，当x≥2时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．