【配套K12】[学习]2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介优化

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精品K12教育教学资料 四 柱坐标系与球坐标系简介

[课时作业]

[A组 基础巩固]

1．点A的柱坐标是2，π6，7，则它的直角坐标是( )

A．(3，1,7) B．(3，1，－7)

C．(23，1,7) D．(23，1，－7)

解析：∵ρ＝2，θ＝π6，z＝7，∴x＝ρcos θ＝3，y＝ρsin θ＝1，z＝7，∴点A的直角坐标是(3，1,7)．

答案：A

2．若点M的直角坐标为(2,2,22)，则它的球坐标为( )

A.2，5π4，π4 B.4，π4，π4

C.4，π4，3π4 D.4，3π4，3π4

解析：由坐标变换公式得，r＝x2＋y2＋z2＝4，由rcos φ＝z＝22得cos φ＝22，所以φ＝π4，又tan θ＝yx＝1，点M在第Ⅰ卦限，所以θ＝π4，所以M的球坐标为4，π4，π4.

答案：B

3．若点P的柱坐标为2，π6，3，则P到直线Oy的距离为( )

A．1

B．2

C.3 D.6

解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝2，π6，3，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcosπ6＝3，可得P到直线Oy的距离为6.

答案：D

4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为(

)

A.2，3π4，1 B.2，π4，1

C.2，5π4，1 D.2，7π4，1

解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为2，5π4，1. 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 答案：C

5．已知点P1的球坐标为4，π2，5π3，P2的柱坐标为2，π6，1，则|P1P2|＝( )

A.21 B.29

C.30 D．42

解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，

则 x1＝4sin π2cos 5π3，y1＝4sin π2sin 5π3，z1＝4cos π2，得 x1＝2，y1＝－23，z1＝0.

故P1(2，－23，0)，

设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，

故 x2＝2cos π6，y2＝2sin π6，z2＝1，得 x2＝3，y2＝1，z2＝1.

故P2(3，1,1)．

则|P1P2|＝－32＋－23－2＋－2＝21.

答案：A

6．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为2，π3，5，则|OM|＝________.

解析：∵(ρ，θ，z)＝2，π3，5，

设M的直角坐标为(x，y，z)，

则x2＋y2＝ρ2＝22，

∴|OM|＝ x2＋y2＋z2＝ 22＋52＝3.

答案：3

7．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝______，tan θ＝______.

解析： 精品K12教育教学资料

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如图所示，

tan φ＝x2＋y2z＝53，

tan θ＝yx＝2.

答案：53 2

8．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为2，2π3，5，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.

解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．

因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，

所以PN⊥直线Oy.

所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝ρcos 2π3＝1，

所以|OM|＝ρ2＋z2＝22＋52＝3.

在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，

所以|MN|＝|PM|2＋|PN|2＝52＋12＝6.

答案：3 6

9．已知点P的球坐标为4，3π4，π4，求它的直角坐标．

解析：由变换公式得：

x＝rsin φcos θ＝4sin3π4cosπ4＝2.

y＝rsin φsin θ＝4sin3π4sinπ4＝2.

z＝rcos φ＝4cos 3π4＝－22.

它的直角坐标为(2,2，－22)．

10．已知点M的柱坐标为2，π4，1，求M关于原点O对称的点的柱坐标． 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 解析：M(2，π4，1)的直角坐标为

 x＝2cosπ4＝1，y＝2sinπ4＝1，z＝1，

∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．

(－1，－1，－1)的柱坐标为：

ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝2.

tan θ＝－1－1＝1，又x<0，y<0.∴θ＝5π4.

∴其柱坐标为2，5π4，－1

∴M关于原点O对称点的柱坐标为2，5π4，－1.

[B组 能力提升]

1．球坐标系中，满足θ＝π4，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r，φ，θ)的轨迹为( )

A．点 B．直线

C．半平面 D．半球面

解析：由于在球坐标系中，θ＝π4，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故射线OQ平分∠xOy，由球坐标系的意义，动点P(r，φ，θ)的轨迹为二面角x­OP­y的平分面，这是半平面，如图．

答案：C

2．已知点P的柱坐标为2，π4，5，点B的球坐标为6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )

A．P(5,1,1)，B364，324，62

B．P(1,1,5)，B364，324，62

C．P364，324，62，B(1,1,5) 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 D．P(1, 1,5)，B62，364，324

解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则

x＝2cosπ4＝2×22＝1，

y＝2sinπ4＝1，z＝5.

设点B的直角坐标为(x′，y′，z′)，则

x′＝6sinπ3cosπ6＝6×32×32＝364，

y′＝6sinπ3sinπ6＝6×32×12＝324，

z′＝6cosπ3＝6×12＝62.

所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为364，324，62.

答案：B

3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C16，π2，5，则此长方体外接球的体积为________．

解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R，则有

(2R)2＝16＋25＋36＝77，

所以R＝772，V球＝43πR3＝7777π6.

答案：7777π6

4．已知球坐标系中，M4，π6，π3，N4，π3，π6，则|MN|＝________.

解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，

由 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，得 x＝4sin π6cos π3＝1，y＝4sin

π6sin π3＝3，z＝4cos π6＝23.

∴M的直角坐标为(1，3，23)， 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 同理N的直角坐标为(3，3，2)，

∴|MN|＝－2＋3－32＋3－2

＝25－23.

答案：25－23

5.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．

解析：点C1的直角坐标为(1,1,1)，

设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，

由公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z及 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，

得 ρ＝ x2＋y2，tan θ＝yxx及 r＝ x2＋y2＋z2，cos φ＝zrr，

得 ρ＝ 2，tan θ＝1及 r＝ 3，cos φ＝33，

结合题图得θ＝π4，由cos φ＝33得tan

φ＝2.

∴点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.

6．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy，以原点指向北极点的方向为z轴正方向，本初子午线(0°经线)所在平面为坐标平面xOz，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，已知地球半径为R，点A的球坐标为R，π4，π3，点B的球坐标为R，π4，5π6，求：

(1)A，B两地之间的距离；

(2)A，B两地之间的球面距离． 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 解析：(1)由于球坐标(r，φ，θ)的直角坐标为(x，y，z)＝(rsin φcos θ，rsin φsin

θ，rcos φ)，

所以A，B点的直角坐标分别为

24R，64R，22R，－64R，24R，22R，

所以A，B两地之间的距离为|AB|＝

2＋64R2＋6－24R2＋22R－22R2＝R.

(2)由上述可知，在△OAB中，|OA|＝|OB|＝|AB|＝R，得∠AOB＝π3，

所以A，B两地之间的球面距离为AB＝π3R.