专题05 图形的计算与证明问题(原卷版)

专题05 多边形 平行四边形（难点）一、单选题1．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（ ）A ．六边形B ．七边形C ．八边形D ．九边形【答案】A【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出(3)n -条对角线，可组成()2n -个三角形，依此可得n 的值．【解析】解：设这个多边形是n 边形，由题意得，24n -=，解得：6n =，即这个多边形是六边形，故选：A【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n 的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n ．2．如图，ABCD Y 的对角线AC BD ，相交于O ，EF 过点O 与AD BC ，分别相交于E ，F ，若824B C ，O E ，A B ===，那么四边形EFCD 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A 【分析】根据平行四边形的对边相等得：48CD A B ，A D B C ====，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：A OE @V COF V ，根据全等三角形的性质，得：2OF OE ==，CF AE =，故四边形EFCD 的周长为16CD E F A D ++=．【解析】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，48∥C D A B ，A D B C ，O A O C ，A D B C ，\=====E A O FC O ，A E O C FO \Ð=ÐÐ=Ð，在AOE △和COF V 中，EAO FCO AEO CFO OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，AOE \@△COF V ，2OF OE \==，CF AE =，\四边形EFCD 的周长为482216C D E F E D FC C D E F A E E D C D A D E F +++=+++=++=++´=，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．3．已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB CD ∥；②AB CD ＝；③BC AD ∥；④BC AD ＝．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ）A ．6种B ．5种C ．4种D ．3种【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可构成①③；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可构成②④；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可构成①②或③④，一共有4种组合，故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．4．如图，正五边形ABCDE ，BG 平分ABC Ð，DG 平分正五边形的外角EDF Ð，则G Ð＝（ ）A ．45°B ．54°C ．60°D ．64°【答案】B 【分析】先求出正五边形的一个外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG 中，利用四边形内角和求出G Ð．5．如图，E 是ABCD Y 的边AB 上的点，Q 是CE 中点，连接BQ 并延长交CD 于点F ，连接AF 与DE 相交于点P ，若23cm APD S =V ，27cm BQC S =V ，则阴影部分的面积为（ ）2cmA ．24B ．17C ．13D ．10【答案】B 【分析】连接EF ，如图，先根据平行四边形的性质得到AB CD =，AB CD ∥，再证明BEQ FCQ ≌V V 得到BE CF =，则可判定四边形BCFE 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到2214cm BEF BQC S S ==V V ，接着证明四边形ADFE 为平行四边形，所以23cm PEF APD S S ==V V ，然后计算BEF PEF S S +V V 得到阴影部分的面积．【解析】解：连接EF ，如图，Q 四边形ABCD 为平行四边形，AB CD \=，AB CD ∥，BEC FCE \Ð=Ð，Q Q 是CE 中点，EQ CQ \=，在BEQ V 和FCQ V 中，BQE FQC EQ CQBEQ FCQ Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA BEQ FCQ \≌V V ，BE CF \=，BE CF ∥Q ，\四边形BCFE 为平行四边形，2214cm BEF BQC S S \==V V ，AB BE CD CF -=-Q ，即AE FD =，AE FD ∥Q ，\四边形ADFE 为平行四边形，23cm PEF APD S S \==V V ，\阴影部分的面积()214317cm BEF PEF S S =+=+=V V ．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，AB 和CD 平行于x 轴，点A 在函数5y x =-上，点B 、D 在函数8y x=上，点C 在y 轴上，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【分析】作AE x ^轴于E ，BF x ^轴于F ，DH x ^轴于H ，由平行四边形的性质可得()····ABCD S AB AE DH AG AE OF BF CD DH =+=++平行四边形，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．【解析】解：作AE x ^轴于E ，BF x ^轴于F ，DH x ^轴于H ，∵四边形ABCD 为平行四边形，AB 和CD 平行于x 轴，∴AB CD AB CD ∥，=，∴()·ABCD S AB AE DH =+平行四边形··AB AE AB DH=+()··AG BG AE CD DH=++···AG AE OF BF CD DH=++588=++21=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．7．如图，在ABCD Y 中，60BCD Ð=°，6DC =，点E 、F 分别在AD BC ，上，将四边形ABFE 沿EF 折叠得四边形A B FE ¢¢，A E ¢恰好垂直于AD ，若52AE =，则B F ¢的值为（ ）A ．3B ．1C ．12D28．如图，EF 过ABCD Y 对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，则：①OE OF =；②图中共有4对全等三角形；③若4AB =，6AC =，则214BD <<；④ABC ABFE S S =四边形V ；其中正确的结论有（ ）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③9．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若56AB BC ==，，则CE CF +的值为（ ）A ．11+B ．11C ．11或11D ．11+或1【答案】D【分析】根据平行四边形面积求出AE 和AF ，有两种情况，求出BE DF 、的值，求出CE 和CF 的值，相加即可得出答案．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴56AB CD BC AD ====，，①如图：5翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B¢，恰好BE B E¢^，若点F为BC上一点，则B F¢的最短距离是（）A ．1B C D 【答案】C 【分析】由折叠的性质，可得2BCB ACB ¢Ð=Ð，AEB AEB ¢Ð=Ð，BC B C ¢=，由BE B E ¢^和15ADE Ð=°，可得30DAE Ð=°，由平行四边形和折叠的性质可求得60BCB ¢Ð=°，连接BB ¢，易知BB C ¢△是等边三角形，继而可得60B BC ¢Ð=°，然后根据平行四边形和折叠的性质可求得，利用勾股定理可求得2BB ¢=，由垂线段最短可知，当B F BC ¢^时，B F ¢最短，然后根据勾股定理即可求得答案.【解析】解：由折叠的性质，可得：2BCB ACB ¢Ð=Ð，AEB AEB ¢Ð=Ð，BC B C ¢=，∵BE B E ¢^，∴90BEB ¢Ð=°，∴45AEB ¢Ð=°，∵15ADE Ð=°，∴30DAE Ð=°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ，∴30ACB DAC Ð=Ð=°，∴260BCB ACB ¢Ð=Ð=°，如图，连接BB ¢，作B F BC ¢^，二、填空题11．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______．【答案】9或10或11n-×°求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原【分析】先根据多边形的内角和公式()2180来多边形的解．【解析】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：()21801440n-×°=°\=10n又Q截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，\原多边形的边数为9或10或11．【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．12．边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画______条对角线．13．如图，在ABCD □中，E ，F 分别在边BC ，AD 上，有以下条件：①AF CF =；②AE CF =；③BEA FCE Ð=Ð．若想使四边形AFCE 为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）．【答案】③【分析】①和②都不能证得四边形AFCE 是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∠B =∠D ，AD ∥BC ，AD =BC ，如果添加①AF CF =，点E 的位置无法确定，无法判定四边形AFCE 的形状；如果添加②AE CF =，四边形AFCE 可能是平行四边形或是等腰梯形；如果③BEA FCE Ð=Ð，则AE //CF ，∵AF ∥CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形，故③正确，故答案为：③．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．14．在平面直角坐标系中，()()()1132231A B C m m -+，，，，，，点D 在直线1y =-上，若以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为______15．如图，在等边ABC V 中，5cm =BC ，射线AG BC P ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t ，当t =________s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．16．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，四边形AOBC 是平行四边形，点B 的坐标为()3,2，点C 的坐标为()1,4，点A 在第二象限，反比例函数()0ky x x=<的图象恰好经过点A ，则k 的值为______．17．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在边AB 上，EF AC ^，垂足为F ，AE AC =，32AF FC =，3BAD D Ð=Ð，四边形ABCD 的面积为28，则线段AD 的长为___________．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．18．四边形ABCD为平行四边形，已知AB BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE 沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出键．三、解答题19．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数？并求出该多边形共可以引出几条对角线？20．如图，ABC V 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，将AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AF ，连接FD 并延长交AB 的延长线于点E ，连接BF ，CF ，CE ．(1)求AEF Ð的度数；(2)求证：四边形BECF 为平行四边形．【答案】(1)30°(2)见解析【分析】（1）根据等边三角形性质得30BAD CAD Ð=Ð=°，再根据旋转性质证出ADF △是等边三角形，最后根据三角形内角和定理求解即可；（2）根据含30°角直角三角形和等边三角形的性质得出ED DF =，BD DC =，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．【解析】（1）解：ABC QV 是等边三角形，AD BC ^，BD CD \=，30BAD CAD Ð=Ð=°，又AD Q 绕点A 逆时针旋转60°得到AF ，AD AF \=，60DAF Ð=°，ADF \V 是等边三角形，60AFD \Ð=°，306090BAF BAD DAF ÐÐÐ\=++°=°=°，906030AEF а-°\==°；（2）证明：Q 在Rt V AEF 中，30AEF Ð=°，Ð的变化情况，解答下列问题．21．观察每个正多边形中a(1)将下面的表格补充完整：正多边形的边数3456…∠α的度数…10°(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的21aÐ=o？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．故答案为：60°，45°，36°，30°，18；（2）解：不存在，理由如下：假设存在正n 边形使得21a Ð=°，得180()21na Ð=°=°，解得：487n =，又n 是正整数，所以不存在正n 边形使得21a Ð=°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握多边形的内角和(2)180n =-´°．22．在平面直角坐标系中，O 为原点，30BAO Ð=°，点()0,1B ，点E 是边AB 中点，把ABO V 绕点A 顺时针旋转，得ADC △，点O ，B 旋转后的对应点分别为D ，C ．记旋转角为a ．(1)如图①，当点D 恰好在AB 上时，求点D 的坐标；(2)如图②，若60a =°时，求证：四边形OECD 是平行四边形．（2）证明：延长OE△中，点在Rt AOB\==，OE BE AE\△是等边三角形，BOEÐOE OB\=，BOE\四边形OECD 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握平行四边形的判定和旋转的性质是解题的关键．23．综合与实践【问题情境】（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB Ð，ABC Ð的平分线,AE BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，则EF 的长为__________；【知识拓展】（2）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．【综合运用】（3）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点E ，F 在C ，D 中间，且点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求AD AB的值．【解析】解：【问题情境】（1）∵DAB Ð，ABC Ð的平分线,AE BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，∴,DAE BAE ABF CBF Ð=ÐÐ=Ð，∵四边形ABCD 是平行四边形，8AB =，5AD =，∴,5,8AB CD AD BC AB CD ====∥,∴,DEA BAE ABF CFB Ð=ÐÐ=Ð，∴,DEA DAE CBF CFB Ð=ÐÐ=Ð，∴5,5AD DE CB CF ====,∴2EF AD CF CD =+-=，故答案为：2；【知识拓展】（2）①如图①所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD AB =，5BC AD ==，AB CD ∥，∴DEA BAE Ð=Ð，∵AE 平分DAB Ð，∴DAE BAE Ð=Ð，∴DEA DAE Ð=Ð，∴5DE AD ==，同理：5B C C F ==，∵点E 与点F 重合，∴10AB CD DE CF ==+=；②如图②所示：∵点E 与点C 重合，∴5DE AD ==，同（2）得：AD DE =，∵点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等，同（2）得：AD DE CF ==，∵DF FE CE ==，∴23AD AB =综上所述，AD AB 的值为13或2324．如图一次函数y kx b =+与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于(1,6)A ，(,2)B n 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式(2)求AOB V 的面积．(3)根据图象直接写出m kx b x+>时,x 的取值范围;(4)已知点(0,5)P ,设点D 是坐标平面内一个动点,当点A ,B ,P ,D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点D 的坐标.（3）解：观察函数图象可知，当另外，当0x<时，直线y象的上方，综上可知，当mkx bx+>时，Q (0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B \1362(,)22E ++，即(2,4)E ，\点D 的横坐标为2204´-=，纵坐标为\点D 的坐标为(4,3)；当平行四边形ABDP 中PB 为边，PA Q (0,5)P ,(1,6)A ，(3,2)B \0156(,)22E ++，即111(,)22E ，\点D 的横坐标为12322´-=-\点D 的坐标为(2,9)-；综上，点D 的坐标为(2,1)或(4,3)【点睛】本题考查求反比例函数解析式、求一次函数解析式、根据图象求不等式的解集、平行四边形的性质等，第4问有一定难度，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．25．如图1，ABC V 中，AB AC =，D 为AB 上一点，DE BC ∥交AC 于点E ．(1)求证：BD CE =．(2)如图2，过C 作CF AB ∥交DE 延长线于F ，G 为AE 上一点，AG BD =，连接DG 、FG ．求证：DG FG =．(3)如图3，在（2）的条件下，若45A Ð=°，Ð=ÐDGC B ，2EG =，求AB 的长．∴AD AE =，∴BD CE =；（2）证明：由（1）得：AD AE =，∵CF AB ∥，DE BC ∥，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴BD CF =，∵BD CE =，AG BD =，∴AG CE CF ==，∴AE CG =，∴AD CG =，∵CF AB ∥，∴A FCG Ð=Ð，∴ADG CGF V V ≌，∴DG FG =；（3）解：如图，过点D 作DP CG ^于点P ，过点F 作FQ CG ^于点Q ，则90FGQ GFQ Ð+Ð=°，∵ADG CGF V V ≌，∴ADG FGC Ð=Ð，∵CF AB ∥，∴45A FCG Ð=Ð=°，∵CE CF =，∴67.5CEF CFE AED Ð=Ð=Ð=°，∵AB AC =，∴67.5B Ð=°，∵Ð=ÐDGC B ，26．如图，在ABCD Y 中，3,4,,,AB BC AC AB E F ==＞为对角线AC 上的两点，且,AE CF EM BC =^于点M ，FN AD ^于点N ，连结,EN FM ．(1)求证：四边形EMFN 是平行四边形．(2)当EN AC ^时，3AC EF =，求AC 的长．(3)在（2）的条件下，连结MN ，将四边形MCDN 沿,M N 翻折，C ，D 的对应点分别为,C D ¢¢，当C D ¢¢与ABCD Y 的一边平行（或重合）时，求AE 的长．AGC \△是等腰直角三角形设CG AG x ==，则4BG =-由勾股定理()2249,x x -+=∴,,MC MC MN CC ¢¢=^ MCC Ð∴,CC AB ¢^∴90MCC B MC C ¢¢Ð+Ð=°=Ð∴,B MC B MB MC MC ¢¢Ð=Ð==∴43122BH CM -===，∴22CE =，∴232222122AE +=+-=27．如图，点P 是ABCD Y 内一点，9045BPC BAD PCD Ð=°Ð-Ð=°，(1)如图1，求证：PB PC =；(2)如图2，若 8AB PC ==，且 13ABP PCD S S =V V ：：，求ABCD Y 的面积；(3)如图3，将PBA △绕点P 旋转至PCE V 处，过D 作DF EP ^，交EP 延长线于F ，若75AB PAB =Ð=°，，直接写出PF PD 的值为 ．。

专题05 高分必刷题-几何图形初步重难点题型分类（原卷版） 专题简介：本份资料包含《几何图形初步》这一章除压轴题题之外的全部重要题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含九类题型：正方体的展开图、立体图形的三视图、直线射线线段的概念、算术方法求线段长度、方程方法求线段长度、角的概念与单位换算、折叠中的角度计算、算术方法求角度、方程方法求角度。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：正方体的展开图1.（长郡）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是( )A .B .C .D .【解答】解：A 、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；B 、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；C 、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；D 、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．故选：C ．2.（长梅）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是__________.【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．3.（中雅）如图所示，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该是__________.【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“京”与“你”相对，面“迎”与面“北”相对，“欢”与面“空白”相对．故答案为：欢．4.（西雅）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“爱”字所对应的面相对的面上标的字是( )A.我B.的C.祖D.国你迎欢京北【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”与“的”是相对面；故选：B．题型二：立体图形的三视图5.（雅礼）如图所示是由一些相同的小正方体构成的立体图形从正面、左面、上面看到的形状图，那么构成这个立体图形的小正方体的个数是个。

专题05 全等之手拉手模型精练一．手拉手之等边类1．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（）A．55°B．50°C．45°D．60°2．如图，△ABC，△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm，3cm，B，C，D三点在同一条直线上，下列结论：①AD＝BE；②△CFG为等边三角形；③CM=137cm；④CM平分∠BMD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE 于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④4．已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC＝∠ADE＝α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB＝BC＝kAC，AD＝ED＝kAE，则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC＝（用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC＝（用α表示）．5．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．6．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C 与C′重合）的图形．（1）操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据，进而得到线段BE＝AD，依据．（2）操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；②求∠APB的度数．（3）若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．二．手拉手之等腰类7．如图，已知D为等腰Rt△ABC的腰AB上一点，CD绕点D逆时针旋转90°至ED，连接BE，CE，M为BE的中点．则当tan∠EDA=12时，DMBC=．8．（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠DOC＝50°，连接AC，BD交于点P，且AC交OB于点E．①ACBD的值为；②∠APB 的度数为；（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝30°，连接BD，交AC的延长线于点P，且AC交OB于点E．请计算ACBD的值及∠APB的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点P，若OC＝1，OA=√5，请直接写出点D与点P重合时BD的长．9．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2√2，∠BAC＝90°．点D是BC边上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90°到AE，连接CE．（1）求证：CD+CE=√2CA．（2）如图2，连接DE，交AC于点F．①求证：CD•CE＝CF•CA；②当△CEF是等腰三角形时，请直接写出BD的长．11．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为．三．手拉手之四边形12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD=14BC，请求出OC的长．13．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．14．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE ＝DG ；②BE ⊥DG ；③DE 2+BG 2＝2a 2+2b 2，其中正确结论是 （填序号）15．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A ．2.5B ．√5C ．32√2D ．2 16．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是AB 边的中点，以AE 为边作正方形AEFG ，连接DE ，BG ．（1）发现①线段DE 、BG 之间的数量关系是 ；②直线DE 、BG 之间的位置关系是 ．（2）探究如图2，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）应用如图3，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转一周，记直线DE 与BG 的交点为P ，若AB ＝4，请直接写出点P 到CD 所在直线距离的最大值和最小值．四．手拉手之综合 类17．如图，等边△ABC 的边长为6，点D 在边AB 上，BD ＝2，线段CD 绕C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接DE 交AC 于点F ，连接AE ．下列结论：①四边形ADCE 面积为9√3；②△ADE 外接圆的半径为2√213；③AF ：FC ＝2：7；其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③18．已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为5，BE ＝AF ，∠BAD ＝120°，则下列结论正确的有几个（ ）①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE ＝∠AFC ；④若AF ＝2，则GFEG =23．A ．1B ．2C ．3D ．419．【特例感知】（1）如图1，△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°，点C 在OA 上，点D 在BO 的延长线上，连接AD ，BC ，线段AD 与BC 的数量关系是 ；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD 绕着点O 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB ＝8，点C 是线段AB 外一动点，AC ＝3√3，连接BC ．①若将CB 绕点C 逆时针旋转90°得到CD ，连接AD ，则AD 的最大值是 ； ②若以BC 为斜边作Rt △BCD （B ，C ，D 三点按顺时针排列），∠CDB ＝90°，连接AD ，当∠CBD ＝∠DAB ＝30°时，直接写出AD 的值．20．在Rt △AOB 和Rt △COD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，直线AC 与BD 交于点M ．（1）如图1，若∠OAB ＝∠OCD ＝45°，求BD AC 的值； （2）如图2，若∠OAB ＝∠OCD ＝α，求BDAC 的值（用含α的式子表示）；（3）若∠OAB ＝∠OCD ＝30°，OD ＝2，OB ＝4，将三角形OCD 绕着点O 在平面内旋转，直接写出当点A 、C 、D 在同一直线上时，线段BD 的长．21．【问题探究】如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（1）如图2，锐角△ABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，连接BD 、CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由；【拓展应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC=√2，BC＝3，则CD长为；（3）如图4，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，3√3）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为．22．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在线段BC上（不与点B、点C 重合）运动，以AP为腰在AB上方作等腰直角△P AD，DE⊥AC于点E，且与AB交于点M．（1）求证：△AMD≌△PCA；（2）如图2，DM交AP于点N，连接PM，证明：PM+2AE＝DM；（3）当PC＝2BP时，猜想PM与EN的数量关系并证明．。

专题05多项式乘多项式压轴四大类型题型一：多项式乘积不含某项求字母的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题题型三：多项式乘多项式与图形面积问题题型四：多项式乘多项式与规律探究问题题型一：多项式乘积不含某项求字母的值【典例1】（2023春•江都区期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．（1）求m与n的值．（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式1-1】（2023秋•黑龙江期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（）A．0B．2C．D．﹣2【变式1-2】（2023秋•德惠市校级月考）如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．【变式1-3】（2022秋•洮北区期末）已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值题型二：多项式乘多项式化简求值问题【典例2】（2023秋•镇赉县校级期末）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中x＝﹣1，y＝．【变式3-1】（2022秋•城关区校级期末）先化简，再求值．（a2b﹣2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a ﹣b），其中，a＝0.5，b＝﹣1．【变式3-2】（2022秋•万州区校级期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．【变式3-3】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．题型三：多项式乘多项式与图形面积问题【典例3】（2022春•江北区期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是，S1﹣S2的值为；（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？【变式3-1】（2022春•乾县期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．（1）通道的面积是多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？【变式3-2】（2022春•中原区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B 放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：（1）正方形A，B的面积之和为．（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形个．（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．【变式3-3】（2023春）我们知道多项式的乘法，可以利用图形的面积进行解释，如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示．（1）请你写出图3所表示的一个等式：；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．题型四：多项式乘多项式与规律探究问题【典例4】（2023春•渠县校级期末）探究应用：（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C、（4﹣x）（16+4x+x2）D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝．【变式4-1】（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【变式4-2】（2023秋•宁津县期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（）A．128B．256C．512D．10241．已知一个长方形，若它的长增加6cm，宽减少2cm，则面积保持不变；若它的长减少3cm，宽增加2cm，则面积仍保持不变．这个长方形的面积为（）A．12B．24C．36D．722．暑假，小颖所在的生物小组参观了太原植物园，植物园共收集植物3000多种，来自五大洲的20多个国家．在“热带温室”馆中一块长方形土地被分成6块，种植着不同的花卉，六块地的长和宽如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的表示该长方形土地面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（）A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，74．计算：（3a+2b）（a﹣2b）＝．5．（2023春•滁州期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）若满足|S2﹣S1|＜n≤2023的整数n有且只有2个，则m的值是．6．（2023秋•博兴县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的各项系数．例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项（a+b）5的系数，此三角形称为“杨辉三角”．若根据“杨辉三角”的特征写出（a+b）10的展开式，则其第三项的系数为．7．如果计算（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x的一次项，求m的值．8．（2022秋•秦安县期中）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2项和x3项，求m，n 的值．9．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图2．长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）E．（1）图1中长方形的面积S1＝；图2中长方形的面积S2＝；比较S1S2（选填“＜”、“＝”或“＞”）；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，并求出这个常数．10．（2022春•二七区校级期中）探究应用：（1）计算（a+3）（a2﹣3a+9）＝；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝．（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：（请用含a，b的字母表示）．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A．（a+3）（a2+3a+9）B．（m+2n）（4m2﹣2mn+n2）C．（5+x）（25﹣5x+x2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x+5y）（9x2﹣15xy+25y2）＝．11．（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．12．【阅读理解】在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7．【知识应用】关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题：（1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值；（2）若A﹣mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解；（3）某同学在计算A﹣2B时，把A﹣2B看成了2A﹣B，得到的结果是2x2﹣4x﹣3，求出A﹣2B的正确值．13.（2023春•淮安期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．。