2020优化方案高考总复习文科数学学案及练习第六章数列第5讲数列的综合应用

课时规范练A 组 基础对点练1．(2018·东北三省四市模拟)等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前9项和是( C ) A ．9 B.10 C ．81D.902．(2018·福建质量检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( A ) A ．－2 B.－1 C ．1D.2解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1＋λ－(2n ＋λ)＝2n ，此时a n a n －1＝2n 2n －1＝2.当n ＝2时，a 2＝22＝4，所以a 2a 1＝44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 3．已知数列{a n }，定直线l ：y ＝m ＋32m ＋4x －m ＋92m ＋4，若(n ，a n )在直线l 上，则数列{a n }的前13项和为( C ) A ．10 B.21 C ．39D.784．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，则log 14a 1 010＝( D ) A.12 B.2 C ．－2D.－12解析：∵f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1， ∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋4.∵a 4，a 2 016是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点， ∴a 4，a 2 016是f ′(x )＝3x 2－12x ＋4＝0的两根． ∴a 4＋a 2 016＝4.∵a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列， ∴2a 1 010＝a 4＋a 2 016＝4， ∴a 1 010＝2， ∴log 14a 1 010＝－12.5．已知a n ＝32n －101(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( C )A ．99 B.100 C ．101D.1026．已知在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则n 的最小值为( B ) A ．60 B.62 C ．70D.72解析：S n ＝120n ＋n (n －1)2×(－4)＝－2n 2＋122n ， a n ＝120－4(n －1)＝－4n ＋124，因为S n ≤a n ，所以－2n 2＋122n ≤－4n ＋124， 化简得n 2－63n ＋62≥0， 即(n －1)(n －62)≥0，解得n ≥62或n ≤1(与n ≥2矛盾，舍去)． 所以n 的最小值为62.故选B.7．(2018·新疆检测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且a 1＝b 1＝1，a 4＝b 4＝－8，则S 5T 5＝ －2511 .解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 4＝－8，所以a 4－a 1＝3d ＝－9，所以d ＝－3.因为b 1＝1，b 4＝－8，所以b 4b 1＝q 3＝－8，所以q ＝－2.则S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5(a 4－d )＝－25，T 5＝b 1(1－q 5)1－q ＝1＋321－(－2)＝11，所以S 5T 5＝－2511. 8．(2018·沈阳质量监测)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，则a n ＝__2n －1__.解析：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n a n －a n －1＝2(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝(a 2－a 1)2n －1＝2n －1(n ≥2)．又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝2n －2，a n －1－a n －2＝2n －3，…，a 2－a 1＝1，累加得a n ＝2n －1(n ∈N *)．9．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 3，S 4成等差数列，则数列{a n }的公比为1＋52 .10．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)，则a 2 016的值为__4_031__.解析：根据题意，不妨设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (其中x ∈R )，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1， ∴a 2 016＝4 031.11．(2016·高考四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .解析：(1)由S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减，得a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1，得a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3， 所以a 3＝2a 2，故q ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1).由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝ 3.所以e21＋e22＋…＋e2n＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋q2n－1 q2－1＝n＋12(3n－1)．12．(2018·成都检测)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S4＝16，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.解析：(1)设数列{a n}的公差为d，因为a2＝3，S4＝16，所以a1＋d＝3,4a1＋6d＝16，解得d＝2，a1＝1，所以a n＝2n－1.(2)由题意，得b n＝1(2n－1)(2n＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.B组能力提升练1．设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{a n}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝(D)A．0 B.7C．14 D.21解析：∵f(x)＝(x－3)3＋x－1＝(x－3)3＋(x－3)＋2，而y＝x3＋x是单调递增的奇函数，∴f(x)＝(x－3)3＋(x－3)＋2是关于点(3,2)成中心对称的增函数．又∵{a n}是等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14＝7×2，∴f(a4)＝2，即(a 4－3)3＋(a 4－3)＋2＝2，解得a 4＝3， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21.故选D.2．(2016·高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( C ) A ．18个 B.16个 C ．14个D.12个解析：由题意，可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0,3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．故选C.3．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝( C ) A ．29 B.210 C ．211D.212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.故选C.4．(2018·福建检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝a 2n ＋1－a n ＋1，且a 2＝a 9，则所有满足条件的数列中，a 1的最大值为( B ) A ．3 B.6 C ．9D.12解析：当n ＝1时，2S 1＝a 22－a 2，即a 1＝12(a 22－a 2)．当n ≥2时，由⎩⎨⎧2S n ＝a 2n ＋1－a n ＋1，2S n －1＝a 2n －a n ，得2a n ＝a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1＋a n ，所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0，所以a n ＋1＝－a n 或a n ＋1－a n ＝1.从a 2到a 9的变换中，后一项要么是前一项的相反数，要么比前一项大1.若偶数次变号，则a 9＝a 2＋t ＝a 2，t ＝0，与t 为奇数个1或－1之和矛盾，此种情况不成立；若奇数次变号，则a 9＝－a 2＋t ＝a 2，其中t 为偶数个1或－1之和，所以t 最大为6，最小为－6，即a 2最大为3，最小为－3，所以当a 2＝－3时，a 1＝12(a 22－a 2)取得最大值6.故选B.5．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于__9__. 解析：依题意有a ，b 是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，则a ＋b ＝p ，ab ＝q ，由p ＞0，q >0，可知a ＞0，b ＞0.由题意可知ab ＝(－2)2＝4＝q ，a －2＝2b 或b －2＝2a ，将a －2＝2b 代入ab ＝4，解得a ＝4，b ＝1，此时a ＋b ＝5；将b －2＝2a 代入ab ＝4，解得a ＝1，b ＝4，此时a ＋b ＝5，则p ＝5，故p ＋q ＝9.6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…；依此类推．设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝ 14 .解析：由BC ＝22，得AB ＝a 1＝2⇒AA 1＝a 2＝2⇒A 1A 2＝a 3＝2×22＝1，由此可归纳出{a n }是以a 1＝2为首项，22为公比的等比数列，因此a 7＝a 1×q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 7．(2018·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，如果存在正整数n ，使得(m－a n )(m －a n ＋1)<0成立，则实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34 .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n ＝1时，a 1＝－12，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，n ＝1，－32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，n ≥2，即数列{a n }为－12，34，－38，316，－332，…，若存在正整数n ，使得(m －a n )·(m －a n ＋1)<0成立，则m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34.8．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn 为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 .解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1 ①，当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ②， ①－②，得2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ， 解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0，解得73≤k ≤125.9．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n≤S 1＋1S 1＝136；当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n≤S 2＋1S 2＝2512，故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.10．设f (x )＝x a (x ＋2)，且f (x )＝x 有唯一解，f (x 1)＝11 003，x n ＋1＝f (x n )(n ∈N *)．(1)求实数a 的值； (2)求数列{x n }的通项公式；(3)若a n ＝4x n－4 009，数列b 1，b 2－b 1，b 3－b 2，…，b n －b n －1是首项为1，公比为13的等比数列，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析：(1)由题意知xa (x ＋2)＝x 有唯一解，即方程ax 2＋(2a －1)x ＝0有唯一解x ＝0， ∴a ＝12.(2)由已知得x n ＋1＝2x nx n ＋2， ∴1x n ＋1＝1x n ＋12. 又f (x 1)＝11 003，即1x 1＝2 0052，∴1x n＝1x 1＋12(n －1)＝n ＋2 0042，∴x n ＝2n ＋2 004.(3)由(2)可得a n ＝2n －1，又b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋…＋(b n －b n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴c n ＝a n b n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－2n －13n .∵数列{2n －1}的前n 项和T 1＝1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n －13n 的前n 项和T 2＝13＋332＋…＋2n －13n ＝1－n ＋13n ，∴S n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＋n ＋13n .。

第五篇 数列及其应用专题5.04 数列求和及数列的综合应用【考试要求】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.【知识梳理】1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.【微点提醒】1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6. 3.裂项求和常用的三种变形(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )【教材衍化】2.(必修5P47B4改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0192 020，则项数n 为( ) A.2 018B.2 019C.2 020D.2 0213.(必修5P56例1改编)等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1243，q >0，S n 是其前n 项和，则S 6＝________.【真题体验】4.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A.9B.15C.18D.305.(2019·北京朝阳区质检)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________________.6.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.【考点聚焦】考点一 分组转化法求和【例1】 (2019·济南质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小.【规律方法】 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .考点二 裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝a n ＋12－n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n .【规律方法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和T n .考点三 错位相减法求和【例3】 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .【规律方法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n－qS n”的表达式.【训练3】已知等差数列{a n}满足：a n＋1>a n(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n＋2log2b n＝－1.(1)分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.考点四数列的综合应用【例4】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？【规律方法】数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.【训练4】已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝3a n a n＋1，试求数列{b n}的前n项和T n.【反思与感悟】1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.【易错防范】1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A.－24B.－3C.3D.82.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－4003.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( )A.9B.99C.10D.1004.(2019·德州调研)已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为() A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 0235.(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( )A.250B.200C.150D.100二、填空题6.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7.(2019·武汉质检)设数列{(n 2＋n )a n }是等比数列，且a 1＝16，a 2＝154，则数列{3n a n }的前15项和为________.8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为________.三、解答题9.求和S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0).10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <16.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *)，且S n 为{a n }的前n 项和，则() A.a n ≥2n ＋1 B.S n ≥n 2C.a n ≥2n －1D.S n ≥2n －112.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N 的大小关系是( )A.ω>NB.ω<NC.ω＝ND.不确定13.已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.14.(2019·潍坊调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n .(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列； (2)令b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【新高考创新预测】15.(多填题)已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝1，且a2，a5，a14成等比数列，{a n}的前n项和为S n，b n＝(－1)n S n，则a n＝________，数列{b n}的前n项和T n＝________.。

课时规范练27 数列的概念与表示基础巩固组1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )A.1,1,1,1,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,√2,√3,…,√n 2.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( )A.n 2n+1B.n 2n -1C.n 2n -3D.n 2n+33.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4(n ∈N *),则a n =( )A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n -24.已知数列{a n }满足a 1+a 2+…+a n =2a 2(n=1,2,3,…),则( )A.a 1<0B.a 1>0C.a 1≠a 2D.a 2=05.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,S n =n+12a n (n ∈N *),则S 10为( )A.50B.55C.100D.1106.已知数列{a n }的首项a 1=1,其前n 项和S n =n 2a n (n ∈N *),则a 9=( ) A.136 B.145 C.155 D.1667.在数列{a n }中,a 1=1,S n =n+23a n ,则a n = .8.数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则S 5= .9.在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=√3+a n1-√3a ,则S 2 019= .10.数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值.(2)对于n ∈N *,都有a n+1>a n .求实数k 的取值范围.综合提升组11.在数列{a n }中,若a 1=2,且对任意正整数m,k,总有a m+k =a m +a k ,则{a n }的前n 项和为S n =( )A.n(3n-1)B.n (n+3)2C.n(n+1)D.n (3n+1)2 12.给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )A.a n =2n 2+3n-1B.a n =n 2+5n-5C.a n =2n 3-3n 2+3n-1D.a n =2n 3-n 2+n-213.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n,则a 2 018= ( )A.22 018-1B.32 018-6C.12 2 018-72D.13 2 018-10314.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= .15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n,则a n = .创新应用组16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-a 22)(a 2a 4-a 32)(a 3a 5-a 42)…(a 2 015a 2 017-a 2 0162)=( )A.1B.-1C.2 017D.-2 01717.(2018衡水中学二调,10)数列{a n }满足a 1=43,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N *),且S n =1a 1+1a 2+…+1a n ,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2}D.{0,2}课时规范练27 数列的概念与表示1.C A 项中,数列1,12,13,14,…是递减数列,不符合题意;B 项中,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列,不符合题意;C 项中,数列-1,-12,-14,-18,…是递增数列又是无穷数列,符合题意;D 项中,数列1,√2,√3,…,√n 是有穷数列,不符合题意,故选C.2.B 由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n 2n -1. 3.A 当n ≥2时,由S n =2a n -4,得S n-1=2a n-1-4,两式相减得a n =2a n -2a n-1,a n =2a n-1.因此数列{a n }为公比为2的等比数列,又a 1=S 1=2a 1-4,则a 1=4,所以a n =4×2n-1=2n+1.4.D 根据条件S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =2a 2,S n-1=a 1+a 2+a 3+…+a n-1=2a 2,故两式做差得a n =0,故数列的每一项都为0,故选D.5.D 依题意S n =n+12(S n -S n-1),化简得S n S n -1=n+1n -1, 故S 10=S 10S 9·S 9S 8·…·S 2S 1·S 1=119×108×97×…×42×31×2=110. 6.B 由S n =n 2a n ,得S n+1=(n+1)2a n+1,所以a n+1=(n+1)2a n+1-n 2a n ,化简得(n+2)a n+1=na n , 即a n+1a n =n n+2, 所以a 9=a 9a 8·a 8a 7·…·a 2a 1·a 1=810×79×68×…×24×13×1=290=145. 7.n (n+1)2 由题设知,a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13a n-1. ∴a n a n -1=n+1n -1, ∴a n -1a n -2=n n -2,…,a 4a 3=53,a 3a 2=42,a 2a 1=3. 以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘,得a n a 1=n (n+1)2. ∵a 1=1,∴a n =n (n+1)2.8.121 由于{a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1, 所以S n+1+12=3S n +12,所以{S n +1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以S n +12=32×3n-1,即S n =3n -12,所以S 5=121. 9.0 ∵a 1=0,a n+1=√3+a n 1-√3a ,∴a 2=√31=√3,a 3=√3+√31-√3×√3=2√3-2=-√3, a 4=√3-√31+√3×√3=0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0.10.解 (1)由n 2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n ∈N *,∴n=2,3,∴数列中有两项a 2,a 3是负数.∵a n =n 2-5n+4=n-522-94,当n=2或n=3时,a n 有最小值,a 2=a 3=-2.(2)由a n+1>a n 知该数列是一个递增数列,又a n =n 2+kn+4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,即得k>-3.11.C 递推关系a m+k =a m +a k 中,令k=1,得a m+1=a m +a 1=a m +2,即a m+1-a m =2恒成立,据此可知,该数列是一个首项a 1=2,公差d=2的等差数列,其前n 项和为S n =na 1+n (n -1)2d=2n+n (n -1)2×2=n(n+1).12.C 当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C.13.A 由题意可得3S n =2a n -3n,3S n+1=2a n+1-3(n+1),两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3,即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1),结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2,则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A.14.3 由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3. 15.2n -1 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1),即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列, ∴a n +1=2·2n-1=2n ,∴a n =2n -1.16.B ∵a 1a 3-a 22=1×2-12=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1,a 3a 5-a 42=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-a 2 0162=1.∴(a 1a 3-a 22)(a 2a 4-a 32)(a 3a 5-a 42)·…·(a 2 015a 2 017-a 2 0162)=11 008×(-1)1 007=-1.17.A 对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得1a n -1−1a n+1-1=1a n,S n =1a 1+1a 2+…+1a n =1a 1-1−1a 2-1+1a 2-1−1a 3-1+…+1a n -1−1a n+1-1=3-1a n+1-1,由a n+1-a n =(a n -1)2≥0,a n+1≥a n ,a n 为单调递增数列,a 1=43,a 2=139,a 3=13381,其中S 1=1a 1,整数部分为0,S 2=3-94=34,整数部分为0,S 3=7552,整数部分为1,由于S n <3,故选A.。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第六章 数 列第05讲 数列的综合应用（练）1．（2019·北京高考模拟（理））《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为( ).(结果精确到0.1，参考数据: lg 20.3010=，lg30.4771=) A ．2.2天 B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为12，其前n 项和为A n ，则A n =1312112n⎛⎫- ⎪⎝⎭-.莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ．则B n 2121n -=- ，由题意可得：1312112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2121n-=-，整理得：2n +62n=7，解得2n =6，或2n =1（舍去）． ∴n=2lg 6lg 3log 61lg 2lg 2==+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等. 故选：C ．2．（2019·浙江高考模拟）已知数列的通项，若，则实数x 可以等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当时，此时当时，此时当时，此时当时，此时故选B.3．(浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考)已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】构造函数，所以在上递增，，可得，令，，，化为，，即，故选B.4.(浙江省2019届高考模拟卷（三)）已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.5．（2015年浙江文）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ， 3a ， 7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ， d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得， ()()()211126a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 6.（2019·江苏高考模拟）已知数列满足：，.若成等差数列，，，则=__________.【答案】1 【解析】 根据题意,数列满足：13a =, (n ⩾2)，则21232333a a =-=⨯-=，32232339a a =-=⨯+=， 432329315a a =+=⨯-=，其中134a a a 、、为等差数列的前3项， 又由{}n k a 是等差数列,且11k =， 则有233,4k k ==， 则=1.7.（2019·安徽高考模拟（理））已知数列中，，且，其中.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（方法一）由题意知，，，，…，，相加得：，其中.又，∴而符合上式，故，.（方法二）由题意知，，，进而，.（2）（方法一）由（1），，，于是，∴，，相减得：故.（方法二）由（1），，，于是 ，.8．（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）30-. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =，即2(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.9.（2019·广东高考模拟（理））已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n N ∈，且2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++< 【答案】(1) 21n a n =- (2)见证明 【解析】 （1）由1n n n a S S -11n n n n S S S S ---=11(2)n n S S n -=≥，所以数列{}nS 111S a ==为首项，以1为公差的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，即2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； （2）当2n ≥时，111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭， 所以123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+1111111122231n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝⎭313222n =-< 10. （2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N ∈，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++n nT S S S S ，证明：1n T ≥． 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 公比为q (1)q >，1244a a q ⇒⋅==，①因为21a +是1a 与3a 的等差中项，所以有221312(1)(1)10a a a a q +=+⇒+=②，由①②组成方程组为：1214(1)10a q a q ⋅=⎧⎨+=⎩，因为1>q ，所以方程组的解为：122a q =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为： 2n n a =；（Ⅱ）22log 2log n n n n nb a b b n ==⇒=⇒，(1)2n n n S +=， 1231111n n T S S S S =++++2222122334(1)n T n n =++++⨯⨯⨯⇒+111111112(1)2(1)2233411n n n T n ⇒=⨯-+-+-++-=-++1111120111212n n N n n n T *∈∴+≥∴<≤∴-≥∴≥++命题得证.1．（2019·广东高考模拟（文））已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=-D ．14n n a a b b -=-【答案】B 【解析】∵等差数列{a n }的公差为2，数列{b n }是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)n n b b -=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b ---------⋅--===-=-=⋅--． 故选：B ．2．（2019·福建高考模拟（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n n aS n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(0,1)C ．1(,1)2D ．21100m 2B x at ==【答案】D 【解析】因为2121n n a S n +=++，所以()2122n n a S n n -=+≥，因此()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，即()2211n n a a +=+，又{}n a 为正项数列，所以11n n a a +=+，故数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，()*n N ∈因此()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为*n N ∈，所以112n T ≤<. 故选D3.（2019·四川高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =1，2a =3，且1122,(2)n n n n S S S n +-+=+≥，若()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立，则实数λ的最小值为______． 【答案】332【解析】数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =1，2a =3，且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥， 所以：112n n n n n S S S S +--=+-，故：12(2)nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以12(1)n n n a a n +-=≥所以：112n n n a a ---=， 2112212,,2n n n a a a a ----=⋯-= ，则：1211222n n a a --=++⋯+，故：11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以：1232222nn S n =+++⋯-+=()22121n n ---122n n +=--，所以：21nn n S a n -=--，因为()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立，所以max 27()2nn λ-≥ 设272n nn c -=则111252792222n nn n n n n nc c +++----=-= 当4n ≤时1n n c c +>，当5n ≥时1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<<<><>即5332c λ≥=故λ的最小值为332． 故答案为：3324．（2019·浙江高三期末）在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的n ∈N *，都有2132n n n a a a ++=-.（Ⅰ）证明数列{}+1n n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的n ∈N *都有1nnS m a ≥+，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）13m ≤- 【解析】（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-．又11a =，23a =，所以2120a a -=≠，故2112n n n na a a a +++-=-. 所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列.所以12nn n a a +-=.所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-21222n =++++21n =-.（Ⅱ）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121n n +=---.所以12n n S b b b =+++223+1111111212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭+11=121n --.又因为对任意的*n N ∈都有1n n S m a ≥+，所以+11112121n n m ≤----恒成立， 即1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，13m ≤-. 5.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值.【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】 （1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去） 所以不小于的的最小值为6.（2019·天津高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【答案】(Ⅰ) 2n n na =；(Ⅱ)4. 【解析】(Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.1.（2019年浙江卷）设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为17122x =±，令17122a =±，则171102n a =±<，排除. 选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A2．（2017新课标全国I 理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A 【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设， 所以，则，此时， 所以对应满足条件的最小整数，故选A.3．（2018·天津高考真题（文））设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】 （I ）设等比数列的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II ）由（I ），有由可得，整理得解得（舍），或．所以n 的值为4．4.（2019·全国高考真题（理））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+.【解析】(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=， 所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n n n a b a b ++++=， 所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，()112n n n a b -+=， 因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-. (2)由(1)可知，()112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，()111222n n n n n n b a b a b n 轾=+--=-+臌.5. （2018年浙江卷）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列 {b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】 （Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n 项和为. 由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.6. （2019年浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为. 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：()1121211n n n a n C n n b n n n n n n n -===<=-+++-，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=。