南通市2010届高三第一次模拟考试

2010届南通市高三第一次模拟考试英语第一部分：听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What did the man say about his camera?A. He enjoyed using it.B. He left it at the airport.C. He forgot to bring it along.2. How does the woman feel?A. She is eager to attend the party.B. She is dissatisfied with Paul.C. She is angry with the man’s father.3. Where will the woman probably go for her holiday?A. The seaside.B. The countryside.C. The capital of the USA.4. What’s the man’s opinion about Mary Green?A. She is really an unlucky woman.B. What she says is not always true.C. Her stories are mostly believable.5. What do you know about the speakers?A. The woman likes scary movies very much.B. The man is going to see the movie.C. Neither of them enjoys scary movies.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

注意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共8页，包含选择题（第1题~第20题，共20题）、非选择题（第21题~24题，共4题）两部分。

本次考试满分为120分，考试时间为100分钟。

考试结束后，请将答题纸交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．请认真核对答题纸表头规定填写或填涂的项目是否准确。

4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

南通市2010届高三第一次模拟考试历 史一、选择题：本大题共20小题，每题3分，共60分。

以下各题中，只有一个备选项最符合题目要求。

1．战国时期，学术思想领域出现的“百家争鸣”A ．使儒家学说引领学术潮流B ．与学术下移同步进行C ．普遍重视礼乐的规范作用D ．导致中国社会的分裂动荡2．“凡厥衣冠（冠族华胄），莫非二品；自此以还，遂成卑庶”（《宋书•恩幸传序》）材料反映的选官制度A ．是汉朝选拔官吏的主要途径B ．扩大了官吏人才来源C ．门第出身决定官品大小D ．有利于加强中央集权3．下列瓷器在唐代已经出现的是A ．越窑青瓷B ．青花瓷C ．汝窑白瓷D ．粉彩瓷4．明清统治者实行“海禁”政策的出发点是A ．避免西方经济侵略B ．巩固自然经济基础C ．稳定国内统治秩序D ．缓和中外民族矛盾5．新文化运动时期，维新派诗人刘大白在《卖布谣》中说：“土布粗，洋布细，洋布便宜，财主欢喜。

土布没人要，饿倒哥哥嫂嫂”。

这反映了①洋布成为普通百姓的主要衣料②作者提倡使用国货③知识分子对民生的强烈关注④作者反对机器生产A ．②③B ．①④C ．①②D ．②④6．有学者提出“五四运动是第一次历史巨变的补课，又是第二次历史巨变的起点”的观点，实质指五四运动是A ．旧民主主义革命完成和新民主主义革命开始的标志B ．旧民主主义革命向新民主主义革命转变的开端C ．资产阶级专政向无产阶级专政过渡的开始D ．政治制度与思想文化由古代向近代转变的起点7．1927年到1936年，民族资本主义得到较快发展产生的影响是A ．民族资产阶级开始登上历史舞台B ．逐渐成为国民经济的主体C．为抗日战争胜利奠定了一定的物质基础 D．改变了中国贫穷落后的面貌8．严复《辟韩篇》：“秦以来之为君，正所谓大盗窃国者耳。

2010年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[5.5, 7.5)内的频率为________．2. 已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）3. 已知集合A={2, 7, −4m+(m+2)i}（其中i为虚数单位，m∈R），B={8, 3}，且A∩B≠⌀，则m的值为________．4. 在区间[0, 1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根的概率为________．5. 若函数f(x)={tanx,x≥0log2(−x)，x<0则f(2f(3π4))=________．6. 在区间[−a, a](a>0)内不间断的偶函数f(x)满足f(0)⋅f(a)<0，且f(x)在区间[0, a]上是单调函数，则函数y=f(x)在区间(−a, a)内零点的个数是________．7. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是________．8. 不等式x<2x−1的解集是________．9. 如图，点A、B在函数y=tan(π4x−π2)的图象上，则直线AB的方程为________．10. 双曲线x216−y29=1上的点P到点(5, 0)的距离是6，则点P的坐标是________．11. 已知数列{a n}为等差数列，若a5a6<−1，则数列{|a n|}的最小项是第________项．12. 在菱形ABCD 中，若∠B =60∘，AC =4，则CA →⋅AB →=________．13. 已知点P 在直线x +2y −1=0上，点Q 在直线x +2y +3=0上，PQ 中点为N(x 0, y 0)，且y 0>x 0+2，则y 0x 0的取值范围为________． 14. 数列{a n }满足：a 1=2，a n =1−1a n−1(n =2, 3, 4,…)，若数列{a n }有一个形如a n =Asin(ωn +φ)+B 的通项公式，其中A 、B 、ω、φ均为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π2，则a n =________．（只要写出一个通项公式即可）二、解答题（共9小题，满分130分）15. 已知向量m →=(sinA, 12)与n →=(3, sinA +√3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 16. 如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE // 平面BDF ；（2）求三棱锥D −ACE 的体积．17. 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事．设齐王的3匹马分别为A 、B 、C ，田忌的3匹马分别为a ，b ，c ，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A ，a ，B ，b ，C ，c ．两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．(1)如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；(2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A 马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线(√3k +1)x +(k −√3)y −(3k +√3)=0恒过定点F ．设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2+√3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(m, n)是椭圆C 上的任意一点，圆O:x 2+y 2=r 2(r >0)与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1:mx +ny =1和l 2:mx +ny =4的位置关系．19. 设数列{a n }是由正数组成的等比数列，公比为q ，S n 是其前n 项和．（1）证明√S n ⋅S n+2<S n+1；（2）设b n =415a n+3+45a n+1+25a n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较q 2S n 和T n 的大小．20. 已知函数f(x)=x 2−2acoskπ⋅lnx(k ∈N ∗，a ∈R ，且a >0)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若k=2010，关于x的方程f(x)=2ax有唯一解，求a的值．21. 如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB⋅DA．22. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP=√14，并求出二面角P−AB−A1的平面角的余弦值．23. 已知函数f(x)=ln2(1+x)−x21+x，g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x2−2x．（1）证明：当x∈(0, +∞)时，g(x)<0；（2）求函数f(x)的极值．2010年江苏省南通市高考数学一模试卷答案1. 0.32. 充分不必要3. −24. 125. 16. 27. 38. {x|x<−2或0<x<1}9. x−y−2=010. (8, ±3√3)11. 612. −813. −12<y0x0<−1514. √3sin(2π3n−π3)+1215. 解：（1）因为m→ // n→，所以sinA⋅(sinA+√3cosA)−32=0；所以1−cos2A2+√32sin2A−32=0，即√32sin2A−12cos2A=1，即sin(2A−π6)=1．因为A∈(0, π)，所以2A−π6∈(−π6,11π6)．故2A−π6=π2，A=π3；（2）由余弦定理，得4=b2+c2−bc．又S△ABC=12bcsinA=√34bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34×4=√3；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又A=π3；故此时△ABC为等边三角形．16. 证明：（1）设AC∩BD=G，连接GF．因为BF⊥面ACE，CE⊂面ACE，所以BF⊥CE．因为BE=BC，所以F为EC的中点．在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GF // AE．因为AE⊄面BFD，GF⊂面BFD，所以AE // 面BFD．（2）取AB中点O，连接OE．因为AE=EB，所以OE⊥AB．因为AD⊥面ABE，OE⊂面ABE，所以OE⊥AD，所以OE⊥面ABD．因为BF⊥面ACE，AE⊂面ACE，所以BF⊥AE．因为CB⊥面ABE，AE⊂面ABE，所以AE⊥BC．又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．又BE⊂面BCE，所以AE⊥EB．所以AB=√AE2+BE2=2√2，OE=12AB=√2．故三棱锥E−ADC的体积为V D−AEC=V E−ADC=13S△ADC⋅OE=13×12×2×2√2×√2=43．17. 解：记A与a比赛为(A, a)，其它同理(l)齐王与田忌赛马，有如下6种情况：(A, a)，(B, b)，(C, c)；(A, a)，(B, c)，(C, b)；(A, b)，(B, c)，(C, a)；(A, b)，(B, a)，(C, c)；(A, c)，(B, a)，(C, b)；(A, c)，(B, b)，(C, a)．其中田忌获胜的只有一种：(A, c)，(B, a)，(C, b)．∴ 田忌获胜的概率为P =16． (2)已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ， 则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ．后两场有两种情形：①若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：(B, a)，(C, b)或(B, b)，(C, a)．田忌获胜的概率为12．②若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：(C, a)，(B, b)或(C, b)，(B, a)．田忌获胜的概率也为12．∴ 田忌按c ，a ，b 或c ，b ，a 的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12． 18. 解：(1)(√3k +1)x +(k −√3)y −(3k +√3)=0⇔(√3x +y −3)k +(x −√3y −√3)=0，解{√3x +y −3=0x −√3y −√3=0得F(√3，0)． 设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，则由题设，知{c =√3a +c =2+√3于是a =2，b 2=1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）因为圆O:x 2+y 2=r 2(r >0)与椭圆C 有4个相异公共点， 所以b <r <a ，即1<r <2．因为点(m, n)是椭圆x 24+y 2=1上的点， 所以m 24+n 2=1，且−2≤m ≤2．所以√m 2+n 2=√34m 2+1∈[1,2]． 于是圆心O 到直线l 1的距离d 1=√m 2+n 2≤1<r ， 圆心O 到直线l 2的距离d 2=√m 2+n 2≥2>r ．故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．19. 证明：（1）由题设知a 1>0，q >0．(I)当q =1时，S n =na 1，于是S n ⋅S n+2−S n+12=na 1⋅(n +2)a 1−(n +1)2a 12=−a 12<0，(II)当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q ，于是S n ⋅S n+2−S n+12=a 12(1−q n )(1−q n+2)(1−q)2−a 12(1−q n+1)2(1−q)2=−a 12q n <0．由(I)和(II)，得S n ⋅S n+2−S n+12<0．所以S n ⋅S n+2<S n+12，√S n ⋅S n+2<S n+1．（2）方法一：b n =415a n+3+45a n+1+25a n =415a n q 3+45a n q +25a n ，T n =∑b k n k=1=∑(n k=1415a k q 3+45a k q +25a k )=415q 3S n +45qS n +25S n ， T n −q 2S n =S n 15(4q 3−15q 2+12q +6)，=S n 15(4q(q −2)2+(q −2)2+2)≥2>0，所以T n >q 2S ．方法二：T n =∑b k n k=1=∑(n k=1415a k q 3+45a k q +25a k )=415q 3S n +45qS n +25S n ， 由T nq 2S n =415q +45q +25， 因为q >0，所以415q +45q ≥2√415⋅45=815√3 （当且仅当415q =45q ，即q =√3时取“=”号），因为815√3+25=6+8√315>1， 所以T nq 2S n >1，即T n >q 2S ．20. 解：（1）由已知得x >0且f′(x)=2x −(−1)k ⋅2a x ．当k 是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0, +∞)上是增函数；当k 是偶数时，则f′(x)=2x −2a x =2(x+√a)(x−√a)x ．所以当x ∈(0,√a)时，f′(x)<0，当x ∈(√a, +∞)时，f′(x)>0．故当k 是偶数时，f(x)在(0,√a)上是减函数，在(√a, +∞)上是增函数．（2）若k =2010，则f(x)=x 2−2alnx(k ∈N ∗)．记g(x)=f(x)−2ax =x 2−2axlnx −2ax ，g′(x)=2x −2a x −2a =2x (x 2−ax −a)， 若方程f(x)=2ax 有唯一解，即g(x)=0有唯一解；令g ′(x)=0，得x 2−ax −a =0．因为a >0，x >0，所以x 1=a−√a 2+4a 2<0（舍去）， x 2=a+√a 2+4a 2．当x ∈(0, x 2)时，g′(x)<0，g(x)在(0, x 2)是单调递减函数；当x ∈(x 2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x 2, +∞)上是单调递增函数． 当x =x 2时，g ′(x 2)=0，g(x)min =g(x 2)．因为g(x)=0有唯一解，所以g(x 2)=0．则{g(x 2)=0g′(x 2)=0即{x 22−2alnx 2−2ax 2=0x 22−ax 2−a =0两式相减得alnx 2+ax 2−a =0，因为a >0，所以2lnx 2+x 2−1=0(∗)． 设函数ℎ(x)=2lnx +x −1，因为在x >0时，ℎ(x)是增函数，所以ℎ(x)=0至多有一解．因为ℎ(1)=0，所以方程(∗)的解为x 2=1，从而解得a =12． 21. 证明：连接OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90∘．所以∠OFC +∠CFD =90∘．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90∘．所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB ⋅DA ．所以DE 2=DB ⋅DA ．22. 解：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则C(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(0, 2, 2)，B 1(0, 4, 2)，AA 1→=(0,2,2)，BC →=B 1C 1→=(2,−2,0)．cos⟨AA 1→，BC →>=|AA 1→|⋅|BC →|˙=−4√8⋅√8=−12， 故AA 1与棱BC 所成的角是π3．（2）设B 1P →=λB 1C 1→=(2λ,−2λ,0)，则P(2λ, 4−2λ, 2)．于是AP =√4λ2+(4−2λ)2+4=√14⇒λ=12（λ=32舍去）， 则P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P(1, 3, 2)．设平面P −AB −A 1的法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AB →=0˙⇒{x +3y +2z =02y =0⇒{x =−2z y =0 故n 1→=(−2, 0, 1)．而平面ABA 1的法向量是n 2→=(1, 0, 0)，则cos <n 1→，n 2→>=|n 1→|⋅|n 2|→˙=√5，故二面角P −AB −A 1的平面角的余弦值是2√55． 23. 解：（1）g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x ， 则g′(x)=2ln(1+x)−2x ．令ℎ(x)=2ln(1+x)−2x ，则ℎ′(x)=21+x −2=−2x1+x ．当−1<x <0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(−1, 0)上为增函数． 当x >0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上为减函数． 所以ℎ(x)在x =0处取得极大值，而ℎ(0)=0，所以g′(x)<0(x ≠0)，函数g(x)在(0, +∞)上为减函数．当x >0时，g(x)<g(0)=0．（2）函数f(x)的定义域是(−1, +∞)， f′(x)=2ln(1+x)1+x −x 2+2x(1+x)2=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x (1+x)2，由（1）知，当−1<x <0时，g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x >g(0)=0， 当x >0时，g(x)<g(0)=0，所以，当−1<x <0时， f′(x)>0∴ f(x)在(−1, 0)上为增函数．当x >0时，f′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上为减函数． 故函数f(x)的单调递增区间为(−1, 0)，单调递减区间为(0, +∞)．故x =0时f(x)有极大值0．。

南通市届高三数学一调有答案This manuscript was revised by the office on December 22, 2012南通市2010届高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则U(M ∪N ) = ▲ ．2．复数21i(1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．3．设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a a b，+=a b ||=b ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ．5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ． 6．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有1nkk a=∑＝2n－1，则21nkk a=∑= ▲ ．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是 ▲ ． 8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ．9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；②若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥；③若,//m m n αβ=，则//n α且//n β；④若,m n m αβ⊥=，则n α⊥或n β⊥.其中假命题的序号是 ▲ ．（第8题/分（第9题图）11．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是())0,0，则PC ·PD 的最大值为 ▲ ．13．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k = ▲ ．【填空题答案】1．{4}； 2．12-; 3．2； 4．23-； 5．π；6．()1413n -； 7．12； 8．90； 9．10； 10．①③④ ；11．(21)-，； 12．4； 13．413()ii ViH k==∑； 14．0．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足32⋅=m n .（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：三角形ABC 为等边三角形．【解】（1）由32⋅=m n 得，3cos()cos 2A CB -+=， ……………………2分 又B =π-(A +C )，得cos(A -C )-cos(A +C )=32， ……………………4分 即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32，所以sin A sin C =34． ……………6分 【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4B =. ……………8分 于是231cos 144B =-=，所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0， 所以 1cos 2B =，故π3B =． ………………… 11分AB C DEF(第16由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b a c ac =+-，又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-，得a =c .因为π3B =，所以三角形ABC 为等边三角形. ………………… 14分 16．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．（1） 求证：AF ∥平面BCE ；（2） 求证：平面BCE ⊥平面CDE ． 【证明】（1）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE .取CE 的中点G ，连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∥ED ∥BA ， GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∥BG . ……………………4分 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以AF ∥平面BCE ． ……………………7分（2）因为AB ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF . ……………………9分 又AC =AD ，所以AF ⊥CD . ………………… 11分 而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE . 因为AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE . 因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE ． ………………… 14分 17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………6分 （2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小 【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =32 所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为322sin 22(3232)3232cos y PB PA ααα-=+==. ……………………6分 故所求函数关系式为()2sin π32320cos 4y ααα-=≤≤. ……………………7分（2）由（1）得22sin 132cos y αα-'=，令0y '=即1sin 2α=，又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=时，2sin 432cos y αα-=+取得最小值， ………………… 13分 此时π3266OP ==km ），即点P 在OA 上距O 6km 处. 【答】变电站建于距O 6km 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞6，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【解】（1）由离心率6e =226a b -=223a b =. ① ………………2分 OBCA P（第18题又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+. ② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G 与直线l 相切于点T=，得4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 1m =. ………………… 16分 （说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分） 20．（本小题满分16分）已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】 （1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f xg x m x x m x m x =+++=+∈>R ，当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分 当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒[]min ()2mf x f m ==-+这时， []min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩， ……………………8分 所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，. 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．……………… 10分（3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x --'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m=--<≤， 则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m=--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分附加题部分21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．AA ．选修4—1 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D . 求证：DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结OC ，所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠FAC ， 于是∠FAC =∠OCA ，所以OC 又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ，故DC 是⊙O 的切线． ………………… 10分B ．选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用 下所得的曲线方程．【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩，代入220000221x x y y -+=， 即22221x xy y ++=，所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=． ………………… 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标（本题满分10分）已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2πcos()24ρθ--=． （1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解】（1）224ρρ=⇒=，所以224x y +=；因为()2πcos24ρθ--=，所以()2ππcos cos sin sin244ρθθ-+=，所以222220x y x y +---=． ………5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为1x y +=． 化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，即()πsin4ρθ+= ………………… 10分D ．选修4—5 不等式证明选讲（本题满分10分）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mba mb mm++≤++.【解】因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mba mb mm ++≤++， 即证222()(1)()a mb m a mb +≤++， 即证22(2)0m a ab b -+≥， 即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb mm++≤++．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2（y ≤3）． …………………4分（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）． 由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰………………… 10分23．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BCBB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF（2）设AF =1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【解】 （1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.AC 1B 1A 1 F因为AC ＝2，∠ABC ＝90o ，所以AB ＝BC ＝2， 从而B (0，0，0)，A)00，，C ()00，B 1(0，0，3)，A 1)03，，C 1()03，D 3⎫⎪⎭，E 302⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以()123CA =，，设AF ＝x ，则F (2，0，x )，()()112222030CF x BF x B D ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，，，，，，，.12(00CF B D x ⋅=+⋅=，所以1.CF B D ⊥要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由1CF B F ⋅＝2＋x （x －3）＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．……………… 5分 （2）由（1）知平面ABC 的法向量为n1=（0，0，1）.设平面B 1CF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由100CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得020z z +=-=，，令z =1得)1=n ，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值1cos 〈〉==，n n ………………… 10分。