第三节 曲面及其方程
一 曲面方程的概念
若一个三元方程
(, , )0F x y z = (1)
和曲面S 之间满足:
(1) S 上的任意点的坐标(, , )x y z 都满足(1)式;
(2) 如果一点P 的坐标(, , )x y z 满足(1)式, 则P 在S 上, 则称(1)式为S 的方程, 称S 为(1)式的图形.
例1 (球面的标准方程) 球心在点()0000, , M x y z 且半径为R 的球面的方程为
()()()
222
2000x x y y z z R -+-+-=.
若球心在原点, 则球面方程为
2222x y z R ++=.
例2 设有点()1, 2, 3A 和()2, 1, 4B -, 求线段AB 的垂直平分面的方程.
解 设点(), , M x y z 为所求平面上的任一点, 则AM BM =, 即
()()()
()()()
222
222
123214x y z x y z -+-+-=
-+++-,
于是得26270x y z -+-=, 此即所求.
例3 (球面的一般式) 方程
2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=
表示一个球面, 球心为, , 2
22D
E F P ??-
-- ???, 半径为
2221
42
r D E F G =
++-. 当2
2
2
40D E F G ++->时, 该球面为实球.
当2
2
2
40D E F G ++-=时, 该球面为点球, 即原方程表示一点
, , 2
22D
E F P ??--- ???.
当222
40D E F G ++-<时, 该球面为虚球, 即原方程无实轨迹.
例如, 在2
2
2
240x y z x y ++-+=中, 2D =-, 4E =, 0F =, 0G =. 于是球心为()1, 2, 0P -,半径为5r =
.
二 旋转曲面
平面上的一条曲线C 绕该平面上的一条直线l 旋转一周所形成的曲面S 叫做旋转曲面.
在yz 平面上的曲线(): , 0C f y z =绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
()
22, 0f x y z ±+=.
C 绕y 轴旋转所成的旋转面的方程为
()22, 0f y x z ±+=.
在zx 平面上的曲线(): , 0C f z x =绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
(
)
22, 0f z x y ±+=.
C 绕x 轴旋转所成的旋转面的方程为
()
22, 0f y z x ±+=.
在xy 平面上的曲线(): , 0C f x y =绕x 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
()
2
2,
0f x
y z ±+=.
C 绕y 轴旋转所成的旋转面的方程为
()
22, 0f x z y ±+=.
例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周, 所得的旋转面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角02παα??
<<
??
?
叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在原点O 、旋转轴为z 轴且半顶角为α的圆锥面的方程.
解 在yz 平面上, 直线L 的方程为cot z y α=. 于是所求圆锥面的方程为
22z x y α=±+, 令cot a α=, 则()2222z a x y =+为所求.
例5 将xz 平面上的双曲线22
221x z a c
-=绕x 轴旋转所生成的旋转面为
(
2
22
222
1y z x a c ±+-=, 即222
22
1x y z a c +-
=,绕z 轴旋转所生成的旋转面为(2
22
2
2
21x y z a c
±
+-=, 即2222
21x y z a c +-=. 将xy 平面上的椭圆22
221x y a b
+=绕y 轴旋转所生成的旋转面为
(2
22
2
2
21x z y a b
±
++=, 即2222
21x z y a b ++=.
例(补) 说明下列旋转面是怎样形成的: 2
2
z x y =+.
解 旋转面2
2
z x y =+的旋转轴是z 轴. 用平面0x =去截曲面2
2
z x y =+,
得yz 面上的抛物线2
z y =, 它即旋转面2
2
z x y =+的母线.
注 若用平面0y =去截曲面22
z x y =+, 可得xz 面上的抛物线2
z x =,
它也是旋转面22
z x y =+的母线.
三 柱面
平行于固定直线并沿固定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面. 固定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.
方程(), 0F x y =在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线为xy 面上的曲线(), 0F x y =.
方程(), 0G x z =在空间直角坐标系中表示母线平行于y 轴的柱面, 其准线为xz 面上的曲线(), 0G x z =.
方程(), 0H y z =在空间直角坐标系中表示母线平行于x 轴的柱面, 其准线为yz 面上的曲线(), 0H y z =.
特别注意: 不能说方程(), 0F x y =在空间直角坐标系中表示xy 面上的一条曲线, 而要说它表示一个曲面. 对(), 0G x z =和(), 0H y z =也是一样的.
例6 方程2
2
2
x y R +=表示母线平行于于z 轴的圆柱面,其准线是xy 面上的圆2
2
2x y R +=.
方程2
2y z =表示母线平行于于x 轴的柱面, 其准线为yz 面上的抛物线
22y z =. 该柱面称为抛物柱面.
方程0x z -=表示母线平行于于y 轴的柱面, 其准线为xz 面上的直线
0x z -=. 该柱面为一个平面.
四 二次曲面
三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.
(1) 椭圆锥面222
22x y z a b
+=
(2) 椭球面122
2222=++c
z b y a x (a 、b 、0c >). 其中a 、b 和c 称为椭球
面的半轴.
若a b =, 则122
2222=++c
z b y a x 成为
222
222
1x y z a a c ++=. 这是由xz 面上的椭圆22
221x z a c
+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面, 称为旋转椭球
面.
当a b c ==时, 此椭球面成为球面2
2
2
2
x y z a ++=.
例 (补) 求椭球面122
2222=++c
z b y a x 与各坐标轴的交点.
解 该曲面与x 轴的交点(), 0, 0x 满足222
222001x a b c
++=, 于是, x a =±.
故曲面与x 轴的交点为(), 0, 0a ±.
同理, 曲面与y 轴的交点为()0, , 0b ±,与z 轴的交点为()0, 0, c ±.
(3) 单叶双曲面222
2221x y z a b c
+-= (a 、b 、0c >).
若a b =, 则222
2221x y z a b c
+-=成为
222
222
1x y z a a c +-=. 它是由yz 面上的双曲线22
221y z a c
-=绕z 轴旋转而得的旋转面, 称为旋转单叶双
曲面.
(4) 双叶双曲面
222
222
:1
x y z
S
a b c
-+-= (a、b、0
c>).
(5) 椭圆抛物面
22
22
x y
z a b
+=
原点称为该椭圆抛物面的顶点.
(6) 双曲抛物面 (马鞍面)
22
22
x y
z a b
-=
原点称为双曲抛物面的鞍点.
作业 P.318 1——9, 10 (1),(2),(3), 11