数学分析中的典型问题与方法1-49

第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。

2013，49（17）1引言集合覆盖问题是组合最优化和理论计算机科学中的一类典型问题，它要求以最小代价将某一集合利用其若干子集加以覆盖。

在现实生产生活中，集合覆盖问题有着众多应用场合，如物流配送、道路定向、工程调度、设施选址、VLSI 设计、网络安全等[1-2]。

遗憾的是，集合覆盖问题在算法复杂性上属于NP-困难问题[3]，即它不存在多项式时间精确算法，除非P=NP 。

因此，近似算法成为求解集合覆盖问题的一个有效途径，其中以Chvátal 的贪心算法[4-5]最为简洁。

后来，学者们又陆续提出过一些近似程度更好的近似算法[6]。

近似算法固然是多项式时间算法，但返回的往往不是最优解，这在许多实际领域当然是不能令人满意的。

事实上，在实际计算中，如果问题的规模相对较小，那么利用一般的线性规划或整数规划方法还是可以较为快速地得到其最优解的。

随着计算机科技的迅猛发展，特别是LINGO 、MATLAB [7-9]等高性能计算软件的成功研发与广泛应用，即便在问题的规模相当大时，人们也仍然能够迅速地求得其最优解。

2问题与模型设基集S ={e 1 e 2 e n }，S 1 S 2 S m 是S 的一族子集，若J Í{1 2 m }，且j ÎJS j =S ，则称{}S j j ÎJ为S 的一个集合覆盖。

问题：求S 的一个基数最小的集合覆盖，其中基数定义为集合中元素的数目。

事实上，{}S jj ÎJ为S 的一个集合覆盖，意指S 中的每一元素都至少含于某一集合S j (j ÎJ )中，即被S j“覆盖”住。

对每一子集S j (j =1 2 m )，引入决策变量：x j ={1 j ÎJ0 否则则可建立如下集合覆盖问题的0-1规划模型IP ：min åj =1mx j s.t.åj :e i ÎS jx j 1 i =1 2 nx j =0 1 j =1 2 m其中约束条件“åj :e i ÎS jx j 1 i =1 2 n ”确保S 中的每一元素e i 都至少被集合覆盖S j (j ÎJ )中的某一集合覆盖住。

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。

在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。

极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。

因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。

本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L' Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。

旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。

达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。

例1求极限limb -tanx b _sin X a -asin x解由于b-lanx b -sinxct -a b tanx b , b b-sinxta n x= -------------------------- r ------------------ sin x tan x sin x sin x所以, limx—0b -tanx b -sinxa _asin xb -tanx b b b -sinxa —a tan x.. □ -a二lim limx 0 tan x sin x x 2tan x sin x第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数y = f (x)在其定义域中的一点X)处极限也y r f (X o+也X)- f(X o)lim lim - —u0 .)x 匸J-：x存在，则称在X o处可导，称此极限值为f (X)在X-处的导数，记为f(X o).显然，f(X) 在X o处的导数还有如下的等价定义形式：f（X）- f（X-）X — X-F面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵=：b l n 二心b l n「- 2-b l n〉.例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设 f (0) = k，试证lim f(b)「f(a) = k.证明(希望把极限式写成导数定义中的形式)f(b) -f (a) b -a(拟合法思想：把要证的极限值 k 写成与此式相似的形式)0<f(b)-f(a) _k .：：： b |f(b)-f(O) b -a|b -a|| b -ka f(a)-f(O)b -a a因 a > 0-，a bb — a b — ab f(b)-f(0) a f(a)-f(O) b -a b b -a aab —a两式相减，可得又因f (0) =k ，故当a > 0 - b > 0 •时右端极限为零，原极限获证.1.2 L ' Hospital 法则本节主要总结了 L ' Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的 问题，并深入分析了使用L ' Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶 另外还指出L ' Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ' Hospital 法则L ' Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮 演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是 不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效 的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷 大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很 大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会旳有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为-未定型或未定型.事实上，未°°b > 0 ■，所以有b 0 a ，nnJlim 二=lim 竺x x, e'X二limHim 半X .； ： ,-0 .求lim x )0x m 0x0 (1 -cost)dt3x例 3 求极限 lim.x'.xf^dt ，其中0，f (x)为闭区间1.0,11上的连续函数.定型除以上两种类型外还有0.：二_：：, 1：, 00, ::0等类型. L ' Hospital 法则： 定理和若函数f 和g 满足：① lim f (x) = lim g(x) = 0 ；^Xo^^0② 在点X 的某空心邻域u 0(x 。

探讨数学分析中求极限的方法摘要：极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念 ,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具 ,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法 ,对学好高等数学是十分重要的。

极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法。

本文详细介绍了一些典型的极限计算方法 ,给出解题思路及相应技巧 ,并辅以典型的例题 ,最后还强调了求极限时的注意事项。

关键词：极限；类型；方法。

一、 利用函数连续性求极限由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。

由函数)(x f y =在x 0 点连续定义知，)()(lim 00x f x f x x =→。

例1 求)52(lim 22-+→x x x . 解 ∵52)(2-+=x x x f 是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。

即原式=2⨯2＋2⨯2－5=3 例2 求632lim 220++-→x x x x . 解 由于632)(22++-=x x x x f 在x=0处连续 所以2163632lim 220==++-→x x x x 例3 求1352lim 22+-+→x x x x分析 由于552225lim lim lim 2)52(lim 2222222=-+⨯=-+=-+→→→→x x x x x x x x 71231lim lim 3)13(lim 222=+⨯=+=+→→→x x x x x所以采用直接代入法解 原式=751235222)13(lim )52(lim 2222=+⨯-+⨯=+-+→→x x x x x二、利用无穷小的性质求极限我们知道无穷小的性质有：性质1：有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷。

性质2：在自变量同一变化的过程中无穷大量的倒数为无穷小。

国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间，对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总，发于此，肯定有很多遗漏，(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名，精确书名，编写作者....)。

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]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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各章习题选解（仅供参考） 第一章习题1. （√） 在一个有效容积为V 的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c 0流量为Q 的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤C B A k kk −→−−−←−→−321 且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数N B 是以下微分方程的解C RN dt dN P dt N d B BB =++22式中1031321k Qc C k k R k k k P ==++=证明：对A 、B 分别作质量衡算，有A ：)1(210dt dN N k N k Q c AB A =+- B ：)2(321dtdN N k N k N k BB B A =--由（2）得到：102(3)AA B dN k N c Q k N dt=+-（3）代入（2），得：210131232()(4)B BB dN d N k c Q k k N k k k dt dt -=+++令123130,,P k k k R k k C c Q =++==得22(5)B BB d N dN P RNC dt dt++=证毕。

2. 冬天的池塘水面上结了一层厚度为l 的冰层，冰层上方与温度为T w 的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。

当T w ＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。

已知水结冰的相变潜热为L f ，冰的密度为ρ，导热系数为k ，导温系数为α，求：1) 当气温T w 不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？2）当气温随时间变化时，设T w ＝T w (t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。

解：(1) 冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q ，该热量用于水结成冰。

2022年2月第8期Feb. 2022No.8教育教学论坛EDUCATION AND TEACHING FORUM类比法在“大学数学”教学中的应用崔海波（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021）［摘 要］ 类比方法是用已有的知识和已掌握的技能去解决新问题，从而加深学生对新知识的理解，促进学生对新规律的认识；找出问题、探究问题、解决问题，有助于思想、方法和技巧的开拓与延伸。

类比法对提高教学效果和培养学生的创新意识是十分必要的，也是课程改革所倡导的。

介绍类比式教学的基本概念，分别大学数学的基础学科和应用学科两类课程来以类比式教学方法的使用情况。

运用好类比式教学法将有助于学生加深对数学课程的认识，形成系统全面的知识体系。

［关键词］ 类比式教学；大学数学；基础数学；应用数学［基金项目］ 2019年度华侨大学中央高校基本科研业务费专项资金资助“流体—粒子模型的一些数学问题”（ZQN-701）［作者简介］ 崔海波（1986—），男，河南林州人，理学博士，华侨大学数学科学学院副教授，主要从事偏微分方程研究。

［中图分类号］ O175.24 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2022）08-0048-04 ［收稿日期］ 2021-06-21目前“大学数学”课程主要分为：基础数学和应用数学［1］。

基础数学主要包含数学分析、高等代数、泛函分析、解析几何等；应用数学主要包含数学物理方程、概率论、数理统计和拓扑学等。

大学数学的特点是教学内容繁多，概念抽象，逻辑性和技巧性强，学习时间相对集中，课时少节奏快，习题数量大。

在“大学数学”教学中，学生对于数学能力的培养往往仅局限在逻辑和计算层面上，这导致了学生的学习始终缺乏实践和创新意识。

因此教师在教学过程中应使用有效的教学方法和多样的教学形式，善于归纳总结，用已有的知识和已掌握的技能去解决新问题。

类比法在课堂上能帮助教师在有限的时间内将旧的知识点完美地迁移到一个新的问题。

论数学分析中的辩证法思想【摘要】数学中蕴涵着丰富的思想内涵，辨证思想是这些思想内涵中的重要组成部分。

本文从基本概念出发，深入研究数学中的辨证思想。

具体来说就是通过实例来讨论直与曲、连续与间断、有限与无限、数与形等辨证法思想在数学中的应用。

【关键词】数学；辨证思想；直与曲辨证思想是指以变化发展的视角认识事物的思维方式，通常被认为是与逻辑思维相对立的一种思维方式。

在逻辑思想中，事物一般是“非此即彼”或“非真即假”等等，而在辨证思想中，事物可以在同一时间里“亦此亦彼”、“亦真亦假”而无碍思维活动的正常进行。

辨证思想是一种世界观。

世界万物之间是互相联系，互相影响的，而辨证思想正是以世间万物之间的客观联系为基础而进行的对世界进一步的认识和感知，并在思考的过程中感受人与自然的关系，进而得到某种结论的一种思维。

辩证思想的本质是反应客观事物矛盾着的两方面的相对统一和相互转化，因此，辨证思想的要害是抓住对立面的联系、渗透和转化。

反映在数学中，就是应该重视事物的数量、形式和结构间的内在矛盾，自觉地有意识地运用辨证规律来解决问题。

数学中充满着矛盾、充满着辩证法。

古今数学家都把自然辨证法的思想作为研究数学的指导思想。

如果说古代数学中的辨证法是零乱、杂散的，那么近代数学就比较集中大量涉及及运动变化和辨证统一的哲学思想。

到19世纪70年代，数学与辨证法已成为一对不可分割的孪生姐妹，辨证法更是数学中不可缺少的必要因素。

1 直与曲的辨证关系直与曲是两个完全不同的数学概念。

从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程。

因此，直与曲的差别是明显的，那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系，能否在一定条件下互相转化呢？从数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面。

存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化。

篇一:数学分析学习指导(ⅲ)(未含附录)数学分析课程简要学习指导书数学分析(ⅲ)课程学习简要指导书(配套教材:《数学分析》华东师大数学系编)王石安编华南农业大学理学院应用数学系二○一二年八月1□课程的性质和任务数学分析是应用数学专业的一门重要基础课,它是一系列后继课程如微分方程,微分几何,复变函数,实变函数,泛函分析,概率论以及相关课程如普通物理,理论力学等不可缺少的基础。

学习这门课程的基本内容与方法对于培养学生的分析思维能力、学生的基本功与良好素质、培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法以及实际工作能力有着十分重要的作用。

其主要任务是通过教学与练习,要求学生掌握数学分析的基本概念,基本理论和基本方法和运算技能,并获得运用这些知识的能力。

□课程的内容和基本要求本课程学习数学分析(ⅲ)的基本知识,包括反常积分、多元函数的极限和连续性、多元函数微分学、隐函数定理及其应用、曲线积分、重积分及曲面积分等基本内容。

在教学上要求学生能掌握四个基本方面,即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。

在教学基本要求上分为三个档次,即熟练掌握、掌握和理解。

熟练掌握--基本概念明确,能联系几何与物理的直观背景,并能从正反两方面进行理解;基本理论较扎实,具有较好的推理论证和分析问题的能力;基本方法较熟练,具备较好的运算和解决应用问题的能力,并能较灵活地运用基本技巧。

掌握--对基本概念一般只要求能从正面理解;对基本理论一般要求能应用和了解如何证明;对基本方法一般要求能掌握运用,但不要求很熟练和技巧性。

理解--对基本理论只要求能应用,不要求掌握证明方法;对基本方法一般要求会做,不要求灵活技巧。

□对学生能力的培养的要求通过理论教学,使学生熟悉数学分析的研究内容,该学科解决问题的基本原则和方法,具备较高的理论水平和计算能力。

□学习材料1、基本教材《数学分析》(华东师范大学数学系编)高等教育出版社 2、辅导教材(1)《数学分析》(面向课程教材)上、下册,陈纪修、於崇华、金路编著,高等教育出版社数学分析课程简要学习指导书(2)中国科技大学编《数学分析》(上、中、下册) 3、参考书籍《数学分析习题集》(吉米多维(苏)著) 4、授课课件□学习方法从课堂启发式教学-> 个人自学,以学生本身为主,教师引导为辅。

Pure Mathematics 理论数学, 2022, 12(1), 20-26 Published Online January 2022 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm https://doi.org/10.12677/pm.2022.121003

文章引用: 王杰. Stolz公式及其在数列极限中的应用[J]. 理论数学, 2022, 12(1): 20-26. DOI: 10.12677/pm.2022.121003

Stolz公式及其在数列极限中的应用 王 杰 云南财经大学，云南 昆明

收稿日期：2021年11月28日；录用日期：2022年1月4日；发布日期：2022年1月11日

摘 要 本文的主要研究方向是讨论数学分析中的一个重要公式：Stolz公式。Stolz公式一般适用于*/∞型数列极限和0/0型数列极限的计算和证明问题。本文一开始给出了两种不同类型的Stolz定理，其次通过相关例题研究了Stolz公式在数列不定式极限中的应用。

关键词 Stolz公式，数列极限，应用

Stolz Formula and Its Application in Sequence Limit

Jie Wang Yunnan University of Finance and Economics, Kunming Yunnan

Received: Nov. 28th, 2021; accepted: Jan. 4th, 2022; published: Jan. 11th, 2022

Abstract The main research direction of this paper is to discuss an important formula in mathematical analysis: Stolz formula. Stolz formula is generally applicable to the calculation and proof of */∞type sequence limit and 0/0 type sequence limit. In this paper, two different types of Stolz theo-rems are given at first, and then the application of Stolz formula in the limit of infinitive series is studied by some examples.

Hilbert 23个数学问题在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。

他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。

这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。

他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

[01]康托的连续统基数问题。

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。

1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。

1963年，美国数学家科恩（P·Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。

因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。

在这个意义下，问题已获解决。

[02]算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。

希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。

根茨（G·Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

[03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M·Dehn）1900年已解决。

[04]两点间以直线为距离最短线问题。

此问题提的一般。

满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。

1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。