高等数学 函数

教师：接下来，我们学习第一节映射与函数中的函数。

一、函数 （板书）1. 函数的概念 （板书） 定义 设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为y =f (x ), x ∈D ,其中x 称为自变量， y 称为因变量, D 称为定义域， 记作D f ， 即D f =D 。

函数值f (x )的全体构成的集合称为函数f 的值域，记作R f = f (D )={y| y =f (x ), x ∈D }.2. 函数的两要素 （板书）构成函数的两个重要因素：定义域及对应法则 .如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（熟记）3. 常见函数 （板书）（1） 函数 2y = 定义域D =(-∞, +∞)，值域W ={2}（2） 绝对值函数：⎩⎨⎧<-≥==00 ||x x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f =[0, +∞)。

（3） 符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f ={-1, 0, 1}。

（4） 取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数，称为x 的整数部 分, 记作[ x ]，例如0]75[=, 1]2[=, [π]=3。

把x 看作变量，函数y = [ x ]即为取整函数。

其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z 。

（5） 分段函数:老师：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

符号函数和取整函数都是分段函数。

例：狄利克雷函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩当是有理数时当是无理数时 4. 函数的几种特性 （板书）（1） 函数的有界性设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使得f (x )≤K 1对任一x ∈X 都成立, 那么称函数f (x )在X 上有上界，K 1称为函数f (x )在X 上的一个上界。

大一高数函数详细知识点函数是数学中的重要概念，是现实世界中各种关系的抽象表达。

在大一的高数课程中，函数是一个核心内容，掌握了函数的基本概念和性质，对于后续学习以及应用数学都具有重要的意义。

本文将详细介绍大一高数中函数的知识点，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、函数的定义和性质1. 定义：函数是一个将自变量和因变量之间的对应关系表示出来的规则。

通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的关系。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量所有可能取值组成的集合，值域是因变量的所有可能取值组成的集合。

3. 一一对应：如果函数中的每一个x值对应唯一的y值，且每一个y值也对应唯一的x值，则称这个函数是一一对应的。

4. 奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是偶函数。

5. 函数的增减性：如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数是增函数；如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则称函数是减函数。

二、常见的基本函数类型1. 线性函数：线性函数的表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。

线性函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。

2. 幂函数：幂函数的表达式为y=x^a，其中a为常数。

幂函数的图像关于y轴对称，当a为正数时，函数是递增的；当a为负数时，函数是递减的。

3. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。

指数函数的图像为一条曲线，当a大于1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。

4. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为常数且大于0且不等于1。

x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
•o
x
无理数点 有理数点
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
1,
x
3
sin x , x
,
3
则( )=_________，( ) =_________.
6
3
3、不等式 x 5 1的区间表示法是_________.
4、设 y x 2 ,要使 x U ( 0, ) 时， y U ( 0,2) ,
须 __________.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性.
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l) f ( x)恒成立.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
l
3l
2
2
2
2
四、反函数
y
函数 y f ( x)
y
反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
D
x0
x
D
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
x
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数

高等数学常用公式大全1.微分学公式：- 导数的定义：若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)=lim(x→x0)⁡(f(x)-f(x0))/(x-x0)-基本导数公式：- (1) 常数函数的导数：d(C)/dx = 0，其中C为常数- (2) 幂函数的导数：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，其中n为实数- (3) 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x- (4) 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x- (5) 三角函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，d(cot(x))/dx = -csc^2(x)，d(sec(x))/dx = sec(x)*tan(x)，d(csc(x))/dx = -csc(x)* cot(x)2.积分学公式：- 不定积分的性质：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx，∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中f(x)和g(x)是可积函数，k是常数-基本积分公式：- (1) 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C，其中n不等于-1- (2) 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数- (3) 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C- (4) 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C，∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C，∫sec(x) dx = ln，sec(x)+tan(x)， + C，∫csc(x) dx = ln，csc(x)-cot(x)， + C3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，分别称为系数函数和非齐次项函数。