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三角函数图像与性质知识点总结

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__________________________________________________ 函数图像与性质知识点总结

一、三角函数图象的性质

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,0)

π2，1 (π，0)

32π，－1 (2π，0)

(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)

2.三角函数的图象和性质

函数

性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

定义域 R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}

图象

值域 [－1,1] [－1,1] R __________________________________________________

__________________________________________________ 对称性 对称轴： x＝kπ＋π2(k∈Z)；

对称中心：

(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：

x＝kπ(k∈Z)

对称中心：

(kπ＋π2，0) (k∈Z) 对称中心：kπ2，0 (k∈Z)

周期 2π 2π π

单调性 单调增区间_[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)；

单调减区间

[2kπ＋π2,2kπ＋3π2] (k∈Z) 单调增区间

[2kπ－π，2kπ]

(k∈Z)；

单调减区间

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

单调增区间

(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)

4.求三角函数值域(最值)的方法：

(1)利用sin x、cos x的有界性；

关于正、余弦函数的有界性

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－__________________________________________________

__________________________________________________ 1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.

5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)

(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.

6、y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；

②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝最高点＋最低点2；

③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝2πω(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最__________________________________________________

__________________________________________________ 靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.

二、三角函数的伸缩变化

先平移后伸缩

sinyx的图象向左(>0)或向右(0)平移个单位长度

得sin()yx的图象()横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变

得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变

得sin()yAx的图象(0)(0)kkk

得sin()yAxk的图象．

先伸缩后平移

sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变

得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位

得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．

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高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结

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高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质

1. 正弦函数（sin）的图像性质：

- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；

- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；

- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：

- 周期性：cos函数的周期为2π；

- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；

- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：

- 周期性：tan函数的周期为π；

- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；

- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点

1. 基本正弦函数的性质：

- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；

- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。 2. 基本余弦函数的性质：

- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；

- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：

- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；

- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

三、反三角函数的图像性质

(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结

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ings in their being are g 三角函数的图像与性质

一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质

二、正切函数的图象与性质 函数y＝sin xy＝cos x

图

象

定义域RR

值域[－1,1][－1,1]

单调性递增区间：2,2()22kkkZ递减区间：32,2()22kkkZ递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)

递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)

最　值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；π2

x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1π2x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，ymin＝－1

奇偶性奇函数偶函数

对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)（含原点）

对称轴：x＝kπ＋，k∈Zπ2对称中心：(kπ＋，0)(k∈Z)π2

对称轴：x＝kπ，k∈Z（含y轴）

最小正周期2π2π

ing are good for so定义域{|,}2xxkkZ

值域R

单调性递增区间(,)()22kkkZ

奇偶性奇函数

对称性对称中心：（含原点）(,0)()2kkZ

最小正周期π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换

1. 由的图象得到()的图象xysin)sin(xAy0,0A

xysin方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1结果)sin(xyxysin操作横坐标变为原来的倍1向左平移个单位结果)sin(xy操作纵坐标变为原来的A倍结果)sin(xAy注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. ()的性质)sin(xAy0,0A（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；x（2）奇偶性：只有当取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： ，当时为奇函数，当时为偶函数；)sin(xAyk2k（3）最小正周期：2T

三角函数图像与性质知识点

三角函数图像与性质知识点

三角函数图像与性质知识点

三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。

一、正弦函数的图像与性质

正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。

正弦函数的图像具有以下性质：

1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。

二、余弦函数的图像与性质

余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。

余弦函数的图像具有以下性质：

1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的图像与性质

正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。它的定义域为实数集，值域为全体实数。正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。

正切函数的图像具有以下性质：

1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。 2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。

四、割函数与余割函数的图像与性质

割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。

三角函数的图象及性质知识点汇总

三角函数的图象及性质知识点汇总

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. 可修编 三角函数的图象与性质一、知识网络三、知识要点（一）三角函数的性质

1、定义域与值域

2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx； 偶函数：y＝cosx.

（2） 型三角函数的奇偶性

（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）

g（x）为偶函数

由此得 ；

同理， 为奇函数 .

（ⅱ） 为偶函数 ； 为奇函数 . .

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. 可修编 3、周期性

（1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinx，y＝cosx的周期为 ； y＝tanx，y＝cotx的周期为 .

（ⅱ） 型三角函数的周期

的周期为 ；

的周期为 .

（2）认知

（ⅰ） 型函数的周期

的周期为 ； 的周期为 .

（ⅱ） 的周期

的周期为； 的周期为 .

均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.

（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.

（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.

（3）特殊情形研究

（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；

（ⅱ） 的最小正周期为 ； .