三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
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三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
知识点讲解
1.五点法”作图原理
在确定正弦函数 y Sinx(x [0,2 ])的图像时，起关键作用的 5个点是
3
(0,0),( ,1),( ,0),( , 1),(2 ,0).
2 2
在确定余弦函数 y COSX(X [0,2 ])的图像时，起关键作用的 5个点是
3
(0,1),^-,0),( , 1),( ,0),(2 ,1).
2 2
2•三角函数的图像与性质
fnct£ns
y Sin X y GQSX
在0,2 上
的图像 1 A 2 一 1 Iy
O
1 X O 7 2 :
定义域 J J
值域(有界性) 1,1 1,1
最小正周期 (周期性) 2 2
奇偶性(对称性) 奇函数 偶函数
单调增区间 2k —,2k — k Z
2 2 2k ,2k k Z
单调减区间 3
2k —,2k ——k Z
2 2 2k ,2k k Z
对称轴方程 X k - k Z
2 XkkZ
对称中心坐标 k ,0 k Z k —,0 k Z
2
最大值及对应自
变量值 X 2k 2 时 SinXmaX 1 X 2k 时 GQSX maX 1 最小值及对应自
变量值 3
X 2k —时 SinXmin 1 X 2k 时 GQSX min 1
函数 正切函数 y tan x, X k
2
图像 I
I
4
I
i
I
定义 域 X | X k —, k Z
2
值域 (,)
周期 性 T
奇偶 性 奇函数，图像关于原点对称
单调 性 在(一k ,— k ),(k Z)上是单调增函数
2 2
对称 轴 无
对称
中心 k
—,0 (k Z)
2
ASin(wx )与 y ACoS(WX )(A 0, W 0)的图像与性质
(1) 最小正周期：T .
W
(2) 定义域与值域： y ASin(wx ) , y ACOS(WX )的定义域为 R 值域为[-A,A].
(3) 最值
假设A 0, W 0.
①对于 y ASin(wx )，
当WX — 2k (k Z)时，函数取得最大值A
当WX — 2k (k Z)时，函数取得最小值 A;
②对于 y ACOS(WX )，
当WX 2k (k Z)时，函数取得最大值A;
当WX 2k (k Z)时，函数取得最小值 A;
(4)对称轴与对称中心 假设A 0, W 0.
①对于 y ASin(wx )， 3. y 当 WXO k — (k Z),即卩 Sin(wx0 )
1时，y Sin(wx )的对称轴为X X0
当WXo k (k Z)，即Sin(WXo ) 0
时，y Sin(WX )的对称中心为(X0,0).
②对于y ACOS(WX )，
当WX0 k (k Z)，即卩 CQS(WXO ) 1
时， y CQS(WX )的对称轴为X X0
当WXo k (k Z)，即卩 CQS(WXO )
0时， y CQS(WX )的对称中心为(X0,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置 •正、余弦的对称中心是相应函数与 X轴交点的位
置.
(5)单调性.
假设A 0, W 0.
①对于y ASi n(wx )
WX [二 2k ,2 2k ](k Z) 增区间;
2
WX [ 2k
2 3
,2 2k ](k Z) 减区间.
②对于y
ACQS(WX )
WX [ 2k ,2k
](k Z) 增区间；
WX [2k ,2k
](k Z) 减区间.
(6)平移与伸缩
由函数y Sinx的图像变换为函数 y 2sin(2x —) 3的图像的步骤;
3
方法 (X X -2x -)
2 3 '先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们 想
欺负 ”(相一期一幅) 三角函数图像， 使之变形
y Sin X的图像 向左平移一个单位
3 y Sin (X
护图像 1
所有点的横坐标变为原来的 -
2
纵坐标不变
y Sin(2X捫图像 所有点的纵坐标变为原来的 2倍
横坐标不变 y 2Sin(2X 3)的图像 方法二： (XX Ξ 2x T).先周期变换，后相位变换，再振幅变换 向上平移3个单位 y 2 Si n(2x —) 3
y Si nx的图像 1
所有点的横坐标变为原来的 -
2 纵坐标不变 y sin 2x的图像 向左平移—个单位
6 y Si n2(x ) Sin (2x )的图像
6 2
向上平移3各单位
y 2 Si n(2x )的图像 y 2 Si n(2x ) 3
3 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即 想欺负”，但先伸缩后平移(先周期后
相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 X而言的,
即图像变换要看 变量X ”发生多大变化，而不是 角WX
移一个单位，得到的图像表达式是 y Sin 2(x ) Sin(2x ),而不是y Sin(2x )；再如，将
6 6 3 6
图像y Sin(X -)上各点的横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像表达式是
6
1 X 1
y Sin(—X ),而不是y Sin (X )•此点要引起同学们的的别注意 •
2 6 2 6
题型归纳及思路提示
思路提示
一般将所给函数化为 y ASin(WX )或y ACOS(WZ )， A 0.w O，然后依据
y Sin X, y CoSX的性质整体求解•
题型1 三角函数性质的应用
一、函数的奇偶性
例4.16函数y Sin(X )(0 )是R上的偶函数，贝U 等于( )
A. 0 B. — C. — D.
4 2
解析 因为函数y Sin(X )是R上的偶函数，所以其图像关于 y轴对称，有正弦函数的对称性知，当
X 0时，Sin 1 ,又0 ,所以 -.故选C.
2
评注 由y Sinx是奇函数和y cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
(1) 若 y ASi n(x )为奇函数， 则 k (k Z)；
(2) 若 y ASi n(x )为偶函数， 则 k
(k
2 Z)；
(3) 若 y ACOS(X )为奇函数, 则 k
(k
2 Z)；
(4) 若 y ACOS(X )为偶函数, 则 k (k Z)；
k
若y Atan(x )为奇函数，则 (k Z),该函数不可能为偶函数. 所有点的纵坐标变为原来的 2倍
横坐标不变
”变化多少•例如，函数y Sin2x的图像向右平 2
变式1已知a R,函数f (X) Sinx a(x R)为奇函数，则a等于( )
A.0 B.1 C.-1 D. 1 变式2 设 R ,则“ O ”是“f(x) CoS(X )(x R)为偶函数”的( )
),其中W 0 ,则f (x)是偶函数的充要条件是(
A. f (0) 1 B. f(0) 0 C. f (0) 1 D. f (0) 0
例 4.17 设函数 f(χ) Sin(2x -)(x R),则 f(x)是()
2
A. 最小正周期为 的奇函数
B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为一的奇函数
2
D. 最小正周期为一的偶函数
2
解析 f(x) sin(2x -) cos2x ,所以是最小正周期为 X的偶函数•故选B.
2 2 1
变式1 若函数f(χ) Sin X -(X R),则f(x)是( )
2
A. 偶函数且最小正周期为
B. 奇函数且最小正周期为
C. 偶函数且最小正周期为 2
D. 奇函数且最小正周期为 2
二、函数的周期性
T w.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不比哟啊条件
(2)函数 ASi n(wx ),y ACOS(WX )， y Ata n(wx )的周期均为T
(3)函数 ASi n(wx )b(b 0),y 2
ACOS(WX ) b(b 0)的周期均 T - 变式 3 设 f (x) Sin(WX
变式2 F列函数中，既是(0,—)上的增函数，又是以
2 为周期的偶函数的是(
A. y cos 2x B. y sin 2x c∙y COSX D.y Sin X
例4.18函数y Sin (2x )COS(2X
6 S)的最小正周期为(
A.—
2 B.—
4 C. 2 D.
解析 函数y Sin (2x
评注 —)Cos(2x
关于三角函数周期的几个重要结论: 1
) sin(4x 6 2 •故选A
(1) 函数 ASin (WX )b, y A COS(WX ) b, y A tan(wx 2
)b的周期分别为T
IWl
