导数在函数中的应用

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

班级 小组 姓名 使用时间 2015年 5月 7日 编号第

课

题 导数在函数中的应用及优化问题 编制人 张 怡

审核人 孙延海

考纲要求 1.利用导数解决生活中的优化问题.

2.导数与方程、函数零点、不等式知识综合应用.

教 学 过 程

再现型题组 1. 已知函数Rxaaxxaxxf,2131)(23，其中0a

（1）求函数)(xf的单调区间；

（2）若函数)(xf在区间)0,2(内恰有两个零点，求a的取值范围.

2.从边长为cmcm1610的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为

A.312cm B. 372cm C. 3144cm D. 3160cm

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巩固型题组 【例1】设函数)0,(12)(22tRxtxttxxf.

（1）求)(xf的最小值)(th；

（2）若mtth2)(对t∈(0, 2)恒成立，求实数m的取值范围.

【例2】某产品每件成本为6元，每件售价为x元（116x），年销量为u万件，若已知u8585与2)421(x成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

（1）求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润. 山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

提高型题组 【练1】已知函数)()(2aaxxexfx,其中a是常数.

（1）当1a时，求曲线)(xfy在点))1(,1(f处切线方程；

（2）若存在实数k，使得关于x的方程kxf)(在),0[上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

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§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

2009------2010学年高一数学必修3导学案 使用时间2010.2 编制人：阮雪剑 张春鑫 审核人： 领导签字： 班级： 小组 ： 姓名： 组内评价： 教师评价：

建立数学模型 导数在实际问题中的应用

学习目标：

掌握导数在解决实际问题中的应用

学习重点难点：

掌握导数在解决实际问题中的应用．

自主学习：

一、知识再现：

利用导数求函数极值和最值的方法

二、新课探究：

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

三、例题解析：

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

箱高602xhcm，解法一：设箱底边长为xcm，则得箱子容积

260)(322xxhxxV )600(x． 23()602xVxx )600(x 令 23()602xVxx＝0，

解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3

导数在函数中的应用

一、知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

条件 f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

形如山峰

形如山谷

极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值

极值点 x0为极大值点 x0为极小值点

3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

二、例题精讲 + 随堂练习

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )

(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )

解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.

(3)函数的极大值也可能小于极小值.

(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )