高考数学一轮复习《解三角形》教案

解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。

二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。

[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。

[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。

[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。

222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满 足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状 （1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

第六节 正弦定理、余弦定理[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC 中，假设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，那么 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .3．内角和公式的变形(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C . 4．角平分线定理：在△ABC 中，假设AD 是角A 的平分线，如图，那么AB AC ＝BDDC.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，假设sin A ＞sin B ，那么A ＞B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，任意三个元素可求其他元素． ( )(4)当b 2＋c 2－a 2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，△ABC 为钝角三角形．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编1．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，那么b＝( )A ．2B ．1 C. 3D. 2D [由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC 中，假设a ＝18，b ＝24，A ＝45°，那么此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定B [∵b sin A ＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即b sin A ＜a ＜b . ∴此三角形有两解．]3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状为．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于． 23 [因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B ＝1，所以 B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.]考点1 利用正、余弦定理解三角形问题 解三角形的常见题型及求解方法(1)两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝csin C，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A －b sinB ＝4c sinC ，cos A ＝－14，那么bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .①求A ；②假设2a ＋b ＝2c ，求sin C . (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.应选A.](2)[解] ①由得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．[教师备选例题](2018·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .b sin A ＋a cosB ＝0，那么B ＝.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.] 2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，那么BC ＝.9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，在△ADC 中，72＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos α，①在△ABD 中，42＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos(π－α)，②①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(2019·某某模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋a ＋22－a ＋422a a ＋2，即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原那么(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．[解](1)由条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt△ACD 中，cos C ＝ACCD，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin∠DAB ＝ 3.(1)假设一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)假设三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)假设求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．[教师备选例题]△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°. (1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin∠ACB ＝33，所以sin∠ACB ＝12，∠ACB ＝30°或150°，又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝105°，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ACsin∠ADC ， 所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－150°＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝33＋12. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，那么△ABC 的面积为．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)假设△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.考点3 判断三角形的形状 判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．][母题探究]1．(变条件)本例中，假设将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． [解]∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．(变条件)本例中，假设将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，那么△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形word- 11 - / 11 C ．等边三角形 D ．钝角三角形C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c.所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以△ABC 是等边三角形．]2．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设a sin B ＋bsin A＝2c ，那么△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A sin B＋sin B sin A ≥2sin A sin B ·sin B sin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．应选C.]。

高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。

在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。

本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。

一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。

(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。

3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。

二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。

2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。

(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。

三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。

(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。

2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。

(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。

(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。

四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。

2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。

3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。

通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。

4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sin A＝____，sin B＝__________，sin C＝__________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝__________；cos B＝__________；cos C＝__________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．A．4 3 B．2 3 C. 3 D.322．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A．5海里/时B．5 3 海里/时C．10海里/时D．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解请做演练巩固提升1 二、三角形形状的判定【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例2－2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；3．当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用． 请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答．2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键． 请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件． 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________． 3．(福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.4．(陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb2＋c2－2bc·cos A c2＋a2－2ca·cos B a2＋b2－2ab·cos C①2R sin A2R sin B2R sin C②a2R b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin Cb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2．上方下方基础自测1．B 解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2 3.2．B 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，OO′BO＝tan 30°，OO′AO＝tan 15°，∴BO＝3OO′，AO＝(2＋3)OO′.∵AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.5．2 3 解析：由cos C＝13，得sin C＝223，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×32×b×223＝43.∴b＝2 3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝34.方法二：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.【例1－2】解：(1)因为tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，即sin Ccos C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos C sin B，即sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin C cos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cos C＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12ac sin B＝6＋28ac＝3＋3，又asin A＝csin C，即a22＝c32，得a＝22，c＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B＝cos A·sin C，∴b＝b2＋c2－a22bc·c.∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A.【例2－2】解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【例3】解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A)＝4sin A co s A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】 解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.2．等边三角形 解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形． 3. 2 解析：如图：由正弦定理得ACsin B ＝BCsin A ，即ACsin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sinB ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t ≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。

了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。

芯衣州星海市涌泉学校解三角形〔1〕一、课前检测1.设函数.sin )32cos()(2x x x f ++=π〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最大值和最小正周期；〔Ⅱ〕设C B A ,,为ABC ∆的三个内角，假设31cos =B ，41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin 的值. 解：〔Ⅰ〕x x x f 2sin )32cos()(++=π 22cos 13sin 2sin 3cos2cos x x x -+-=ππ……4分 .2sin 2321x -=……5分 所以函数)(x f 的最大值为231+,最小正周期为π.7分 〔Ⅱ〕41sin 2321)2(-=-=C C f ，所以，23sin =C ，9分因为C 为锐角,所以.3π=C …10分又因为在ABC ∆中，31cos =B ，所以332sin =B ，所以……11分 C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=.6322233121232+=⨯+⨯=13分 2.函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如下列图.〔Ⅰ〕求,ωϕ的值； 〔Ⅱ〕设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间. 解：〔Ⅰ〕由图可知πππ=-=)42(4T ,22==T πω，………2分 又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=- πϕ<||2πϕ-=∴，…4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π…6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =…9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即 (Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……13分 3.α为锐角，且tan()24πα+=.〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求sin 2cos sin cos 2αααα-的值. 解：〔Ⅰ〕1tan tan()41tan πααα++=-，…………2分 所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-， 所以1tan 3α=.……………5分 〔Ⅱ〕2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--= 2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.……8分 因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，………10分又α为锐角，所以sin α=，所以sin 2cos sin cos 2αααα-=.………12分 二、知识梳理〔一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1．角与角关系：A+B+C=π，由A ＝π－〔B ＋C 〕可得：1〕sinA ＝sin 〔B ＋C 〕，cosA ＝－cos 〔B ＋C 〕．2〕222C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．2．边与边关系：a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ，a －b<c ，b －c<a ，c －a>b ．3．边与角关系：1〕正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin === 变式有：①C B A cb a sin :sin :sin ::=； ②C Rc B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===； ③CB A c b aC c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===； ④C B A c b a sin :sin :sin ::=。

高中数学解三角形教案
一、教学目标：
1. 了解三角形的定义和性质；
2. 掌握解三角形的方法；
3. 能够运用解三角形的知识解决实际问题。

二、教学重点：
1. 三角形的定义和性质；
2. 解三角形的方法。

三、教学内容：
1. 三角形的定义和性质
2. 解三角形的方法
3. 实例分析
四、教学步骤：
1. 师生互动导入：通过实际例子引入三角形的定义和性质，例如让学生观察周围的物体，
找到其中的三角形并进行分类，引导学生讨论三角形的定义和性质。

2. 教学讲解：讲解三角形的定义和性质，包括三角形的内角和为180度、三边之和大于第三边等性质，引导学生理解三角形的基本概念。

3. 解三角形的方法：介绍解三角形的方法，包括余角、角平分线、作图等方法，讲解每种
方法的应用场景和步骤。

4. 实例分析：通过实际例子进行分析和讨论，引导学生运用解三角形的方法解决实际问题，加深对知识的理解和应用能力。

五、教学评价：
教师可通过课堂练习、作业和小测验等方式进行教学评价，检验学生对三角形的理解和解
题能力。

六、拓展延伸：
师生可通过课外探究、实验等方式拓展三角形的相关知识，激发学生的学习兴趣，提高学
生的综合能力。

七、教学反思：
教师应及时总结本节课的教学效果，结合学生的表现和反馈，不断优化教学方法，提高教学质量。

高三一轮复习：解三角形中的最值,范围问题一、教材分析：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。

而三角形中的最值问题又是一个重点。

处理这个最值问题解决方法主要有两种，分别是建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。

这两种方法对学生的思维训练而言是很有价值的。

二、学情分析：授课对象为高三文科平行班学生。

本课之前，学生已经学习了三角函数和正弦余弦定理有关内容，但是本课综合性强，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，学生学习方面比较困难。

因此在教学过程中必须调动学生积极思考和留下给学生独立思考的时间。

我采用与新课标要求相一致的新的教学方式，即互动式的教学与多变式教学相结合的方法，带领学生主动参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦，在师生互动、生生互动中实现教学任务和目标。

三、教学重难点：重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用。

难点：掌握解三角形中处理不等关系的两种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值四、教学过程（一）解三角形公式回顾1.正弦定理：，其中为外接圆的半径2.余弦定理：3.面积公式： S =12ab sinC =12bcsinA =12ac sinB2sin sin sin a b c R A B C===R ABC V 2222cos a b c bc A =+-（二）例题精讲已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）求sinB+sinC 的取值范围；[设计意图]： 本题将引导学生利用三角恒等变换和三角函数图像解决取值范围问题。

是对三角函数知识的一个巩固。

试题分析：（1）由，得，题目中边角共存，利用正弦定理化为纯角问题可得(2) 介绍求解三角形取值范围的第一种解法，用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，把角的变量个数减少，这种思路也是多元取值范围问题的常用方法。

图二abc CBA图一cabA BC某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习解三角形教案理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在Rt ABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。

（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC 中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B 、C的对边。

（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanCsin； cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R；；；；；a：b：c=（4）、余弦定理：=-2bccosA; =-2accosB;-2abcosC;余弦定理变形：cosA= ; cosB=; cosC=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinC=bcsinA=casinB（3）、=2=（4）、=；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。

5、实际问题中的应用。

（1）、仰角和俯角：（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。

（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。

第三章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ． (2)公式3[小题体验]1．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案D2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35答案B3．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案1．21．注意易混概念的区别象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx．[小题纠偏]1．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝( )A ．513B ．1213C ．512D ．－513答案A2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 答案四 一考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．给出下列四个命题①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<0解析选C ∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π． 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，即tan α2>0一定成立，故选C ．3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析所有与45°有相同终边的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°． 答案－675°或－315°4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上，则角β的集合S ＝____________________． 解析如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°， 所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为 S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}， 所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}． 答案{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 解析选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1．3．扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2． 解析由弧长公式l ＝|α|r ，得 r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π． 答案360π[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三 三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有 (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________．解析∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6， ∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23． 答案－23角度二三角函数值的符号判定 2．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．角度三三角函数线的应用3．函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 解析∵3－4sin 2x >0， ∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32．利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． 答案⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) [通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |． 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55． 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B ．2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析选B 设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a ．∴sin α＝3a r ＝－35．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝3．4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案(－1，3)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析因为sin θ＝y42＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8． 答案－8二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3．2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tanα＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43解析选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝x x 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2．4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 解析选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角．5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样． 6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°． 答案217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527， ∴α＝5π6．∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518．答案5189．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________． 解析如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cosπ4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4．答案⎝⎛⎭⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．(2)法一∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1． 法二∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ． 2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．所以y ＝－1＋1－1＝－1． 3．已知sin α＜0，tan α＞0． (1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ． (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α．2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______． 答案－452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为________．答案21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________．132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________． 答案(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2解析选C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．2．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2．3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________． 解析tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33．34．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________．解析∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α) ＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3．答案 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析选D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2． ∴sin 2α－sin αcos α ＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25． 2．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105． 答案－105[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125 C ．512D ．－512解析选D 法一因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512．法二因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512．故选D ．2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析选B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29．又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝－23．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45 B ．45C ．35D ．－35解析选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45．2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3．3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α的值为( ) A ．45B ．－45C ．2D ．－12解析选A 由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45．故选A ． 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________． 解析∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43． 答案－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12．∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12． 答案12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34．又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45． 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析选D ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13． 3．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析选B ∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1．∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3． 4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 解析选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13， ∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1．5．计算cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C ．32D ． 3解析选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3．6．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________． 解析∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25．答案－257．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________．解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ． 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55．答案558．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________． 解析原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334．答案－3349．求值sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°． 解原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2． 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值 (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α．解由已知得sin α＝2cos α． (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16．(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85．三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．解析sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912．答案9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值． 解(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x ． (2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1．第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)．[小题体验]1．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最小正周期为________．答案6π2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22． 答案－22考点一 三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z ． 答案⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________． 解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2．∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2． 答案⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法](1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3．2．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________． 解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤2．∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1． ∴函数的值域为[－1,1]． 答案[－1,1][由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22．∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22．∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22．考点三 三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有 (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性． [锁定考向][题点全练]角度一三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π解析选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π．故选B ．角度二三角函数的对称性2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4．当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－ 3 cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析选D ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|<π2，∴θ＝π3．角度三三角函数的单调性4．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 解析由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4． 答案⎣⎡⎦⎤0，π4 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32． 答案32[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析选B 由函数的最小正周期为π，排除C ；由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选B ． 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为____________． 解析由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______． 解析如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π．答案⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A ．2．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D ．3．下列各点中，能作为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心的点是( ) A ．(0,0) B ．⎝⎛⎭⎫π5，0 C ．(π，0)D ．⎝⎛⎭⎫3π10，0解析选D 由x ＋π5＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π2－π5(k ∈Z)，当k ＝1时，x ＝3π10，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心的点是⎝⎛⎭⎫3π10，0，故选D ． 4．(2017·湖南六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎡⎭⎫0，π2的单调递增区间是________． 解析化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3． 答案⎣⎡⎦⎤0，π35．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______． 解析函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C ．⎣⎡⎦⎤π，3π2 D ．⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D ．2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D ．34解析选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34． 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B ．4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0， 得|φ|的最小值为π6．5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析选A 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A ． 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k ．又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3． 答案2或37．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________． 解析由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z ． 答案⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________． 解析由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2．又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12．答案5π129．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值． 解(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ． 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2．(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32． 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学检测)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫π6，2π3B ．⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C ．⎝⎛⎭⎫π2，π D ．⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析选B ∵x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ， 结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π6，故选B ． 2．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合． 解(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ． (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6．第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法[小题体验]1．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案D2．函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 答案23 4π －π43．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______．答案⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，01．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|．[小题纠偏]1．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为________．答案142．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移______个单位长度．答案π6考点一 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6． (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6． 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6．(3)由数据作出的图象如图所示。