概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点

常见分布的期望与方差的计算期望和方差是描述概率分布特征的重要统计量。

在统计学中，期望是对一个随机变量的全体取值的加权平均，而方差则是每个随机变量观察值与期望之间差异的平方的平均。

在本文中，我们将讨论几个常见分布的期望和方差的计算方法。

1.二项分布：二项分布用于描述多次独立的二元试验中成功次数的概率分布。

假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率。

那么其期望和方差分别为：期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布：期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.正态分布：正态分布是最为常见的连续型概率分布，许多自然现象都可以近似地用正态分布来描述。

假设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ为均值，σ^2为方差。

那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^24.均匀分布：均匀分布用于描述在一个区间内取值概率相等的随机变量。

假设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其中a为最小值，b为最大值。

那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/125.几何分布：几何分布用于描述独立重复进行的同一事件中首次成功所需的次数的概率分布，例如投掷硬币直到出现正面的次数。

假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其中p为每次试验成功的概率。

那么其期望和方差分别为：期望：E(X)=1/p方差：Var(X) = (1-p)/(p^2)以上是几个常见分布的期望和方差的计算方法。

通过了解和计算概率分布的期望和方差，我们可以更好地理解和描述随机变量的特点，从而进行更准确的统计分析和推断。

概率分布与期望值概率分布和期望值是概率论中两个重要的概念。

概率分布用于描述随机变量的可能取值及其对应的概率，而期望值则是用来衡量随机变量的平均值。

一、概率分布概率分布是指随机变量在不同取值下的概率。

常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布两种形式。

1.离散概率分布离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可列个值的情况。

常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

（1）伯努利分布伯努利分布是一种二项分布的特殊情况，当只有两个可能结果时，且成功与失败的概率分别为p和1-p时，随机变量X的概率分布为伯努利分布。

其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k), (k=0或1)（2）二项分布二项分布描述的是一系列独立重复的伯努利试验。

在每次试验中，随机变量X的取值为成功的次数，概率分布为二项分布。

其概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), (k=0,1,2,...,n)其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功的组合数。

（3）泊松分布泊松分布适用于描述独立事件在一段时间或一定空间内发生的次数的概率分布。

其概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。

2.连续概率分布连续概率分布是指随机变量可以取任意实数的情况。

常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布等。

（1）均匀分布均匀分布是指随机变量在一个区间内取值的概率是相等的情况。

其概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a), (a<=x<=b)其中，a和b分别表示区间的上下限。

（2）正态分布正态分布又被称为高斯分布，它是一种常见的连续概率分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ表示期望值，σ^2表示方差。

概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象规律性的数学学科，主要研究随机变量的分布、参数估计、假设检验、方差分析等内容。

下面是对概率统计中的一些重要知识点的总结：1. 随机事件与概率：随机事件是指试验中可能发生也可能不发生的结果，概率是描述随机事件发生可能性的数值。

概率由经典概率、几何概率和统计概率三类组成。

2. 随机变量与概率分布：随机变量是一个能随机变化的量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

概率分布指的是随机变量各个取值及其相应的概率。

3. 期望与方差：期望是统计量中的一个重要概念，描述了随机变量在一次试验中平均取值的大小。

方差则是描述随机变量取值分散程度的一个指标。

4. 大数定律与中心极限定理：大数定律指的是当样本容量足够大时，样本平均值会趋近于理论期望。

中心极限定理则是指当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。

5. 参数估计与假设检验：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值，可以分为点估计和区间估计。

假设检验则是通过样本数据来判断总体参数的假设是否成立。

6. 方差分析与回归分析：方差分析是根据不同因素对总体均值的影响进行推断的一种方法。

回归分析则是研究因变量与自变量之间关系的一种方法，可以进行线性回归和非线性回归。

7. 相关分析与统计推断：相关分析是研究两个变量之间关系的一种方法，可以通过计算相关系数来确定两个变量之间的线性关系强度和方向。

统计推断是利用样本数据对总体进行推断的一种方法，可以由样本推断出总体特征。

8. 非参数统计方法：非参数统计方法是在对总体分布形态不做假设的情况下，利用样本统计量进行推断的方法。

它包括了秩和检验、符号检验、分布自由检验等方法。

以上只是概率统计中的一部分重要知识点总结，概率统计的内容非常广泛，应用领域也十分广泛。

希望能够通过学习以上知识点，对概率统计有一个初步的了解。

概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。

下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。

一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。

- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。

2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。

- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。

3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。

- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。

- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。

4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。

- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。

5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。

- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。

二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。

- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。

2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。

- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。

3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。

- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。

4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。

- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。

5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。

概率论高数知识点总结大全1.概率的基本定义概率是指其中一事件在所有可能事件中出现的可能性大小。

事件的概率通常用P(A)表示，其中A为其中一事件。

概率的取值范围是0到1之间，概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件必定发生。

2.随机变量随机变量是指在随机现象中所能观测到的数值。

它有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值是一个区间。

3.概率分布概率分布是指随机变量取值的可能性及其对应的概率。

对于离散型随机变量，概率分布通常用概率质量函数（probability mass function）表示；对于连续型随机变量，概率分布通常用概率密度函数（probability density function）表示。

4.期望值期望值是随机变量的平均值，它表示了其中一事件发生的长期平均情况。

对于离散型随机变量，期望值的计算公式为E(X) = Σx P(X=x)；对于连续型随机变量，期望值的计算公式为E(X) = ∫x f(x) dx，其中f(x)是概率密度函数。

5.方差和标准差方差是随机变量分布与其期望值之间的差异程度，它的计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]。

标准差是方差的平方根，它度量了随机变量的变异程度。

6.协方差和相关系数协方差用于度量两个随机变量之间的线性相关程度，它的计算公式为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

相关系数是协方差的标准化形式，它的计算公式为ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差。

7.常见概率分布常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

8.大数定律和中心极限定理大数定律表明，随着样本规模的增大，样本平均值趋近于总体平均值；中心极限定理表明，当样本规模足够大时，样本平均值的分布接近于正态分布。

概率论方差知识点总结概率论是数学中的一个分支，研究随机事件发生的规律与概率。

在概率论中，方差是一个重要的概念，它用来衡量随机变量的离散程度。

方差的概念不仅在概率论中有着重要的地位，而且在统计学、金融学、工程学等领域也有着广泛的应用。

在本文中，我们将对概率论中方差的相关知识点进行总结和讨论。

一、概率论中的方差1. 随机变量的方差在概率论中，随机变量是指取值不确定的变量。

随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

对于一个离散型的随机变量X，其概率分布可以用概率质量函数f(x)来描述；对于一个连续型的随机变量X，其概率分布可以用概率密度函数f(x)来描述。

随机变量的方差是一个衡量随机变量离散程度的常数，它用来度量随机变量与其数学期望之间的平均偏离程度。

2. 方差的定义对于一个离散型的随机变量X，它的方差定义为：\[Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X=x_i)\]其中，\(x_i\)是随机变量X的一个取值，\(\mu\)是X的数学期望，\(P(X=x_i)\)是X取值为\(x_i\)的概率。

对于一个连续型的随机变量X，它的方差定义为：\[Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 \cdot f(x) dx\]其中，\(\mu\)是X的数学期望，f(x)是X的概率密度函数。

3. 方差的性质方差具有以下性质：1) 方差是非负的，即\(Var(X) \geq 0\)2) 如果随机变量X和Y相互独立，则\(Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)\)3) 对于任意实数a，有\(Var(aX) = a^2Var(X)\)4) 如果a和b是常数，则\(Var(aX + b) = a^2Var(X)\)二、方差的计算方法1. 方差的计算对于一个给定的随机变量X，要计算其方差，一般采取以下步骤：1) 计算X的数学期望 \(\mu\)2) 计算\((X - \mu)^2\)的期望值2. 方差的性质方差具有以下计算性质：1) 对于一个离散型的随机变量X，其方差计算公式为：\[Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X=x_i)\]2) 对于一个连续型的随机变量X，其方差计算公式为：\[Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 \cdot f(x) dx\]3) 对于一个常数a，有\(Var(aX) = a^2Var(X)\)4) 如果X和Y是相互独立的随机变量，则\(Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)\)三、方差的应用1. 方差在概率论中的应用方差在概率论中有着广泛的应用，常常用来衡量随机变量的离散程度。

概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差绪论：概率论中有六大常用的基本分布，大致可分成两类：离散型（0-1分布、二项分布、泊松分布），连续型（均匀分布、指数分布、正态分布）。

补充：在进入正文之前先讲一下期望和均值的一些区别：期望和均值都具有平均的概念，但期望是指的随机变量总体的平均值，而均值则是指的从总体中抽样的样本的平均值，即前者是理想的均值，而后者则是实际观测出来的数据的均值。

例如：对于一个六面的骰子，其期望E = （1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.5。

然后掷5次骰子，每次掷的点数分别为1,3,5,5,1，则平均值为（1+3+5+5+1）/ 5 = 3。

可以发现两者并不相等。

方差（variance）：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差度量了随机变量与期望（也可说均值）之间的偏离程度。

标准差为方差的开根号。

协方差（Covariance）：用于衡量两个变量之间的误差，而方差是协方差的特殊情况，即当两个变量相同的情况。

其公式如下：，表示含义为：E（∑（“X与其均值之差” * “Y与其均值之差”））当协方差为正时：表示两变量正相关（即同时变大变下）。

当协方差为负时：表示两变量负相关（即你变大，我变小，反之亦然）。

当协方差为0时：两变量相互独立。

相关系数：其公式如下，表示的含义为用X和Y的协方差除以X 和Y的标准差。

所以相关系数也可以看成协方差，一种剔除两个变量量纲影响，标准化后的特殊协方差。

正文：1、0-1分布已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中 0 < p< 1，则成X服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X） = p 方差D（X） = p（1-p）；2、二项分布n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X） = np 方差D（X） = np（1-p）；3、泊松分布表示单位时间内某稀有事件发生k次的概率，其公式为其中方差和期望均为，详细了解请☞戳4、均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布其中期望E（X） = （a+b）/ 2 ，方差D（X） = （b-a）^2 / 12。

2025年考研概率论知识点重点解析对于准备 2025 年考研的同学来说，概率论是数学考试中不可或缺的一部分。

掌握好概率论的知识点，不仅能够在考试中取得优异的成绩，也为后续的学习和研究打下坚实的基础。

下面，我们就来详细解析一下 2025 年考研概率论的重点知识点。

一、随机事件与概率这是概率论的基础部分。

首先要理解随机事件的概念，包括必然事件、不可能事件和随机事件。

对于概率的定义，要熟悉古典概型和几何概型的计算方法。

在计算概率时，要注意区分排列组合的运用。

互斥事件和对立事件是常考的知识点。

互斥事件指的是两个事件不能同时发生，而对立事件则是互斥事件的特殊情况，即除了这两个事件外，没有其他可能的结果。

条件概率也是重点之一，要掌握条件概率的计算公式以及乘法公式和全概率公式的应用。

二、随机变量及其分布随机变量是将随机试验的结果数值化，分为离散型随机变量和连续型随机变量。

对于离散型随机变量，要熟悉常见的分布，如二项分布、泊松分布等，掌握它们的概率质量函数、期望和方差的计算。

连续型随机变量则要重点掌握正态分布，理解正态分布的概率密度函数的性质，以及标准正态分布与一般正态分布的转换。

此外，均匀分布和指数分布也是常见的考点。

在求随机变量的函数的分布时，要掌握分布函数法和公式法。

三、多维随机变量及其分布这部分内容相对较难，需要理解多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的概念和关系。

对于二维正态分布，要掌握其性质和相关计算。

独立性是多维随机变量的重要概念，要能够判断两个随机变量是否独立，并利用独立性简化计算。

四、随机变量的数字特征期望和方差是最基本的数字特征，要熟练掌握它们的性质和计算方法。

对于常见分布的期望和方差，要能够直接运用公式计算。

协方差和相关系数用于描述两个随机变量之间的线性关系，要理解它们的定义和性质，以及与独立性的关系。

矩和中心矩也是可能考查的知识点，要了解它们的概念。

五、大数定律和中心极限定理大数定律说明了在大量重复试验中，随机变量的平均值趋近于期望值。

概率论八大分布的期望和方差
概率论是数学中一个很重要的分支，它通过概率来研究不确定性事件发生的规律。

其中，概率论8大分布描述了多次实验和事件中，可能出现的概率位置及其期望等统计量，被广泛用于对数据的拟合和预测。

首先说明的是正态分布，即平均数和方差成正比的分布，它的期望为μ，标准差为σ，因此它的方差为σ²。

接下来介绍的是指数分布，它是描述数据发生在某一时刻及其之前的分布，其期望是1/λ，方差也为1/λ²，其中λ>0。

三角分布是描述一个实验发生三次时的分布，其期望是a+b+c/3，方差为abcb/36。

威布尔分布的期望是α/(1+α)，方差为α/((1+α)²(1+2α))。

泊松分布是按概率论中常用的概率模型，其期望是λ，方差也为λ。

F比例的期望依赖于自由度的不同，给定两个自由度为m和n的差异，它的期望为m/n，方差为2m²n²/((m+n)²(m+n+2))。

相间分布是另一种概率模型，它描述了一个试验出现在某个位置的概率，它的期望为μ+σ/2，及其方差为(σ/2)²。

最后要介绍的是Gamma分布，它由α和β决定，其期望为αβ，方差为
αβ²。

以上是概率论8种分布的期望和方差。

科学家们利用这些概念，处理概率性事件作出合理的决策，从而取得成果。

从长远来看，熟悉概率论8大分布的期望和方差，对于科学家精确处理概率性问题有着至关重要的作用。

创卫人人有责
本文是关于初二叙事作文的创卫人人有责，感谢您的阅读！
创建文明城市不是高大上，创建文明城市就是要从点滴小事做起，聚“点滴小事”成“文明大事”。

3月15日下午，我们小区以“创建国家卫生县城、人人有责人人受益”为主题的创卫公益活动隆重举行。

创建国家卫生城市，我们一家都去当了志愿者。

3月15日上午8：30---12:00、下午13:30---18:00，我们一家与40名志愿者叔叔阿姨，在社工部主任的带领下，协助交警维护交通秩序、摆放整齐非机动车、劝阻行人抽烟、捡垃圾烟头、清除野广告、发放宣传创卫知识手册，用实际行动支持创卫工作。

创建文明城市关键是要从点滴小事做起。

事事文明了，人人文明了，文明城市创建才能成功。

为迎接创建卫生城市工作，进一步营造人人支持创建、个个参与创建的浓厚氛围，3月16日，我们市里消防支队组织志愿者开展道路卫生“大扫除”活动。

上午，志愿者们走出营区，清理道路两边草坪上的垃圾并对路边草坪进行浇水，清理草坪垃圾，志愿者们积极认真，哪怕是一片纸屑，一个烟头，一块塑料，都绝不放过，不知不觉一个小时过去了，道路旁边的草坪也变得清洁、干净，过路行人赞不绝口。

表现出了崭新的风貌，战士们深刻体会到“精神文明建设”不是一句口号，而是与自己的工作息息相关。

创建卫生城市不是过了这几天检查，而是为了卫生文明深入人心，从每时每刻做起，从我们身边做起，从小事做起………
本文来自于互联网，仅供参考和阅读。

概率分布的期望与方差的计算概率分布是概率论和统计学中的重要概念之一，用于描述随机变量的取值及其对应的概率。

期望和方差是概率分布的两个重要指标，用来描述随机变量的集中程度和离散程度。

本文将介绍概率分布的期望与方差的计算方法，并举例说明。

一、期望的计算期望是随机变量的平均值，用于表示随机变量的中心位置。

下面介绍几种常见概率分布的期望计算方法。

1. 离散型随机变量的期望计算对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ(xP(x))其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率。

举例：假设某公司的年度营业额X（单位：万元）服从以下概率分布：X | 10 | 20 | 30 | 40P(X) | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1则该概率分布的期望计算如下：E(X) = 10*0.2 + 20*0.3 + 30*0.4 + 40*0.1 = 24 (万元)2. 连续型随机变量的期望计算对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫(x*f(x))dx其中，f(x)为X的概率密度函数。

举例：假设某产品的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度函数为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0则该概率分布的期望计算如下：E(X) = ∫(x * λ * exp(-λx))dx，积分区间为0到∞利用积分计算方法可得E(X) = 1/λ二、方差的计算方差衡量了随机变量的离散程度，是随机变量与其期望之间差异的平方的期望。

下面介绍几种常见概率分布的方差计算方法。

1. 离散型随机变量的方差计算对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(x))其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率，E(X)代表X的期望。

举例：继续以上述年度营业额X的概率分布为例，其期望为24万元。

则该概率分布的方差计算如下：Var(X) = (10-24)^2 * 0.2 + (20-24)^2 * 0.3 + (30-24)^2 * 0.4 + (40-24)^2 * 0.1 = 136 (万元^2)2. 连续型随机变量的方差计算对于连续型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，f(x)为X的概率密度函数，E(X)代表X的期望。

概率论与统计学中的期望与方差概率论与统计学是数学中的两个重要分支，其中期望与方差是概率论与统计学中两个常用的统计指标。

本文将探讨期望与方差的定义、性质及其在实际问题中的应用。

一、期望在概率论中，期望是一个随机变量的平均值，也被称为随机变量的长期平均值。

对于离散型随机变量X，其期望的定义如下：E(X) = ΣxP(X=x)式中，x为随机变量可能取的值，P(X=x)为X取值为x的概率。

期望可以理解为将所有可能取值乘以对应的概率后相加得到的结果。

将期望定义推广到连续型随机变量时，需要使用积分来进行计算。

期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，有E(aX + b) = aE(X) + b。

这一性质使得期望在实际应用中具有很大的灵活性。

例如，在金融领域中，可以使用期望来计算股票投资的预期收益。

二、方差方差是对随机变量离散程度的度量，用于衡量随机变量与期望之间的偏离程度。

对于离散型随机变量X，其方差的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2P(X=x)式中，x为随机变量可能取的值，P(X=x)为X取值为x的概率。

方差可以理解为将每个值与期望之差的平方乘以对应的概率后相加得到的结果。

方差的计算方法也可以推广到连续型随机变量。

方差具有非负性质，即Var(X) ≥ 0，并且只有当X为确定值时，方差等于零。

方差越大，随机变量的取值就越不确定。

三、期望与方差的应用期望与方差在概率论与统计学中有着广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 投资决策：在金融领域中，期望被广泛用于计算证券的预期收益。

投资者可以根据期望的大小来决定是否进行投资。

而方差则可以用来衡量投资风险的大小，决策者可以通过比较不同投资组合的方差来选择合适的投资方案。

2. 生产管理：在生产过程中，期望与方差可以用来评估产品的质量稳定性。

期望可以用来衡量产品的平均质量水平，而方差则可以用来衡量产品质量的波动程度。

生产管理者可以通过降低方差来提高产品的一致性。

概率分布以及期望和方差上课时间:上课教师：上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布⑴两点分布如果随机变量X的分布列为X10P p q其中01p<<，1q p=-，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．X10P0.80.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．知识内容典例分析1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下.，如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即⎩⎨⎧=，当取到红球时，，当取到白球时，01X ，求随机变量X的概率分布．3、若随机变量X 的概率分布如下：X1P29C C -38C -试求出C ，并写出X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ．⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值；⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差．二 超几何分布将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mMN Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M MD X N N --=-．例题：一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，知识内容典例分析则取到新球的个数的期望值是．练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习3.在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．求ξη，的期望值及方差．三 二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X的分布列X1… k… nP00C nn p q111C n n p q- …C k k n kn p q- …C n n n p q由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n kk n k nn n n n n q p p q p qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，知识内容记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．二项分布的概率计算例题：已知随机变量ξ服从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827B ．6481C ．49D ．89练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）练习3.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到0.01）例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．典例分析练习1.一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习2.设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1．若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便，若中奖，则家具城返还顾客可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．例题：设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函数1t=-，其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正的常数，p eλ-试讨论飞机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设．他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13⑴设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列；⑵设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差 例题:已知(100.8)X B ，~，求()E X 与()D X ．练习1.已知~()X B n p ，，()8E X =，() 1.6D X =，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．100和0.8 练习 2.已知随机变量X服从参数为60.4，的二项分布，则它的期望()E X = ，方差()D X = ．练习3.已知随机变量X 服从二项分布，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，则二项分布的参数n ，p 的值分别为 ， ．练习4.一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是 ．例题：甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是121352，，．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．练习1.抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功． ⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X 的分布列及X 的数学期望与方差．练习2.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四 正态分布概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ知识内容x=μOyx是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线） 1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A ．2()21()2x r f x eσσ-=π B ．222π()2πx f x e -= C ．2(1)41()22x f x e-=πD ．221()2x f x e=π2.若正态分布密度函数2(1)21()()2x f x ex --=∈R π，下列判断正确的是（ ）A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布()01N ，的概率密度函数()2212πx f x e-=，下列说法不正确典例分析的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 最大值为12πC ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数D ．()f x 关于1x =对称 4.设ξ的概率密度函数为2(1)21()2x f x e--=π，则下列结论错误的是（ ）A ．(1)(1)P P ξξ<=>B ．(11)(11)P P ξξ-=-<<≤≤C ．()f x 的渐近线是0x =D ．1~(01)N ηξ=-， （二)求μσ,的取值以及概率例题：设2~()X N μσ，，且总体密度曲线的函数表达式为：22141()e2πx x f x -+-=，x ∈R ．⑴求μσ，；⑵求(|1|2)P x -<及(12122)P x -<<+的值．练习1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)2001()102x f x eπ--=，则下列命题中不正确的是（ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为10 （三）正态分布的性质及概率计算例题:设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<- ⑶(||)12()P a P a ξξ<=-< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=->练习1.已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12练习2.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，内取值的概率为0.4，则X 在()02，内取值的概率为 ． 练习3.已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤ A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 练习4.已知2(1)X N σ-，~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．无法计算 加强训练：1设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．2设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．3正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．4某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数的 ． （四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ-<<的值．(五）正态分布的3σ原则例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．练习1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？练习2.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习3.以()F x 表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（）A ．()()F F μσμσ+--B ．()()11F F --C ．1F μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2F μσ+练习4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． ⑴ 求甲答对试题数X 的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 课后练习1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．(1)-np pp p -B．np C．n D．(1)4、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白出1个球，得到黑球的概率是25．球的概率是79⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数ξ的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率．6.一个口袋中装有n个红球（5n≥且*n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p；⑵若5n=，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？7.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率，从B中摸出一个红球的概率为p．是13⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布．⑵若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸，求p的值．出一个红球的概率是258、一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而为硬币在5次抛掷中有3且与正面向上恰为2次的概率相同．令既约分数ij次正面向上的概率，求i j+．9、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第181920，，层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均，求至少有两位乘客在20层下的概率．为1311、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得()≤次红球的概率．k k n12、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13、若甲、乙投篮的命中率都是0.5p=，求投篮n次甲胜乙的概率．（1∈N，≥）n n14、省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人；⑶双方各出7人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m n≤）个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410．10.999⑴求一投保人在一年度内出险的概率p；⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）．⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率．23、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是2．3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．25、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1-分．⑴ 求拿4次至少得2分的概率；⑵ 求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中，11a =，(2345)k a k =，，，出现0的概率为13，出现1的概率为23．记12345a a a a a ξ=++++，当程序运行一次时， ⑴ 求3ξ=的概率；⑵ 求ξ的概率分布和期望．27、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2 min．3⑴求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；⑵求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望．。

概率论中的期望与方差概率论是一门研究随机现象的数学理论。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。

本文将围绕这两个概念展开阐述，并探讨它们在概率论中的应用。

一、期望的定义与性质期望是对随机变量的平均值的度量，反映了随机变量的平均水平。

设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的期望E(X)定义为∑[x·P(X=x)]。

期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。

期望在概率论中有着广泛的应用。

在统计学中，期望被用于描述样本均值的性质。

在金融领域，期望被用于计算资产收益的预期值。

在工程学中，期望被用于评估系统的性能。

二、方差的定义与性质方差用于衡量随机变量的离散程度。

设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的方差Var(X)定义为∑[(x-E(X))^2·P(X=x)]。

方差的算术平方根称为标准差。

方差的计算是概率论中的重要内容。

方差衡量了随机变量与其期望之间的差异程度，越大表示随机变量值的分散程度越大。

方差的应用包括金融学中的风险度量、质量控制中的异常度量等。

三、期望与方差的关系期望和方差是概率论中两个紧密相关的概念。

根据方差的定义可得，Var(X)=E[(X-E(X))^2]。

这说明方差是对随机变量离散程度的度量，同时也可以看作是随机变量与其期望之差的平方的期望。

期望和方差之间存在一定的关系。

例如，对于两个独立随机变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。

这个性质被称为方差的可加性。

另外，若常数a和b分别为aX和bY的系数，则Var(aX+bY)=a^2·Var(X)+b^2·Var(Y)。

四、期望与方差的应用期望和方差在概率论中有着广泛的应用。

以期望为例，它可以用于计算随机变量的平均值，进而评估随机事件的结果。

在统计学中，期望被用于估计总体参数，如样本均值是总体均值的无偏估计。

方差的应用也是多种多样的。

在金融学中，方差被用于度量资产的风险程度。

第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有xF(x) f (x)dx密度函数具有下面性质：f(X) 0f(x)dx 1离连随量系散续机的与型变关P(X x) P(x X x dx) f (x)dx。

积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) P k在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

连续型随机量的布密度则称X为连续型随机变量。

f (x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

0-1 分布 P (X=1)=P ，P (X=0)=q设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)称为随机变量 X 的分布函数, 本质上是一个累积函数。

P 在刃重贝努里试式验中:b)设事件a) A 可以得到概率落入区间事件,bA 发生率。

分布函数F(x)表示随机变量是随区变量，设为内的概率。

能取值为O,1,2， ，n 。

1. 0 F(x) 1, (5)八大分布) 巳项分布3 ° F(x 0) 随机变量, PX< k)； P°n(k)F(C 是单q 调不减的函数，即 F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,) F(x)，即F(x 则是右连续机变量5X 服从参X 数年衣) F(x)X 1 X 其时，有中 lim F(x) 1 ;P的X 二(项。

分对于离散记为xp;加 0.1，这泊松分布P(X则称随机变量者 P( ) °kk) —e , k!畫X 服从参数为 0, k 0,1,2,的泊松分布，记为 X ~ ()或超几何分布P(X k)C k o c n k kC M ?CN M f1 0,1,2 ,lC Nl min(M,n)随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M) °几何分布P(X k)k 1q P,k 1,2,3,，其中 pA0, q=1-p °随机变量X 服从参数为P 的几何分布，记为G(P)°设随机变量 X 的值只落在［a , 1 b ］内，其密度函数f(X)在［a , b ］上为常数— —，即b a均匀分布当aw X 1 <X 2W b 时，X 洛在区间1---aw Xw b(为，X 2 )内的概率为f (X) bJa其他X 2 X-i0, P(X 1 X X 2)' 1b aX k XX - B(n, P)。