2.3公式法求解一元二次方程1

1 / 32.3用公式法求解一元二次方程【学习目标】1．知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；（2）会用求根公式解简单数字 系数的一元二次方程。

2．能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。

3．情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。

【学习过程】一、旧知复习1．用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2．用配方解一元二次方程的步骤是什么？二、讲授新知问题1：用配方法解一元二次方程一般式)0(02≠=++a c bx ax总结：1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：___________________________问题2． 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，2 /3 我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

问题3．根的判别式：三、例题精讲例1．用公式法解下列方程：（1）0232=++x x（2）4722=-x x ；（3） 4x -12 = 5x 2（4）2441018x x x ++=-四、课堂巩固练习1．用公式法解下列方程：（1）2x 2+x-1＝0（2）x(x-6)=6 （3）2x 2-7x+3＝03 / 3（4）3x 2-9x+12＝0 （5） 9x 2+6x+1＝0 （6） x 2-23x+3＝0五、拓展与延伸1．解关于x 的方程),0(0)(22222n m mn mn x n m mnx >≠=++-。

§2.3用公式法求解一元二次方程（1）
【学习内容】用公式法求解一元二次方程（P41-P43页）
【学习目标】1、能够正确的导出一元二次方程的求根公式；2、能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况正确；3、熟练的使用求根公式解一元二次方程。

对子间等级评定：
对子间提出的问题：
1、 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)7252=+x x ; （2）0202542=++x x ； （3）(3x+1)(x+2)=-4
2、用公式法解下列方程：
（1）2x 2-4x-1=0; (2)5x+2=3x 2; (3)(x-2)(3x-5)=1
（4）x x 2
352.02=+ （5）212308
x x -+=
3、知一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)如果k 是符合条件的最大整数，
4、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
5、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
今天我知道了：
我发现了：
我学会了：
【教师寄语】《新课堂，我展示，我快乐，我成功》-------。

第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程⑵【课标要求】能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

【教材分析】课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。

本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模。

【学情分析】学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用公式法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。

这些为本节进一步用公式法解一元二次方程提供了基础。

学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。

【学习目标：】知识与技能：学会列一元二次方程解决简单的实际问题，正确熟练地解一元二次方程；过程与方法：通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；情感与态度：通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。

【教学重点：】学会列一元二次方程解决简单的实际问题，正确熟练地解一元二次方程。

【教学难点：】设计方案。

【教学过程：】一、课前预习：阅读教材P44页——45页内容：1、记住一元二次方程的求根公式，根的判别式；2、学习小明和小亮的设计方案，设计出自己的方案；3、完成“随堂练习”。

二、课内检测如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少51cm2，求原正方形的边长。

22.2.3公式法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．（二）能力培养点通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学设想1．重点：运用公式法解一元二次方程．2．难点：正确确定系数和准确运用公式．3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片2．多媒体课件撷英：http：//【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程（1）用配方法解2x2-8x-9=0．（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）2．课前热身（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x 2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2解得x 1=2+2x 2=2-2． 引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）； 二次项系数化为1得x 2+b a x+c a =0； 移项x 2+b a x=-c a；• 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a即（x+2b a ）2=2244b ac a-． （2）师生互动互动1师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac •≥0•，•那么b 2-4ac<0时会怎样呢？生：当b 2-4ac<0ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，•也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a =所以x=-2b a =2a 即x=2b a-ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．互动2P34例6解下列方程：①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（•1）•把方程化为一般形式，•确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．互动3请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）•当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）•配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）•公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．4．达标反馈选择题：（1）用公式法解方程4x 2+12x+3，得到 （A ）A ．B ．C ．D ． （2）关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B ）A ．有两个正实数根B ．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C ．有两个负实数根D ．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是（C ）A ．k>-14B ．k ≥-14C ．k>-14且k ≠2D ．k ≥-14且k ≠2 （2）解答题：①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16；2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹0.009x 2-3x+6=0；⑺4y 2-）．【答案】 ⑴52，-13⑵± 4②求关于x 的一元二次方程m 2-2m+m （x 2+1）=x 的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】 m ，-1，m 2-m③不解方程，判别下列方程的根的情况．⑴2x 2+3x-4=0； ⑵16y 2+9=24y ； ⑶5（x 2+1）-7x=0．【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根5．学习小结（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b 2-4ac •值的情况可以判别方程根的情况．当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b 2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x 的方程x 2+2（a+1）x+（a 2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a 的值．链接二：根据求根公式b 2-4ac ≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．（1）设x 1、x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①11x +21x ；②2111x x +1211x x ；③（x 1-x 2）2；④x 13+x 23． （2）已知关于x 的方程2x 2-（4m-3）x+m 2-2=0，根据下列条件，分别求出m •的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．2．巩固练习（1）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2x2=8； ②12x 2+7x+1=0；③x 2--1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx 2-（3m 2+2）x+6m=0（m ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=-2②x 1=-13，x 2=-14 ③ ④x=-14 ⑤x 1=2m ，x 2=3m （2）用公式法解下列方程．①2x 2-5x+2=0； 2；③2mnx 2+2m 2x=n 2x+mn （mn ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=12 ②x=2③x 1=2n m ，x 2=-m n （3）求证：方程（x-a ）（x-a-b ）=1有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a ．【答案】 略（4）已知关于x 的方程2x 2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c 和x 的值．【答案】 c=498，x=-74（5）关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是什么？【答案】 k>-1且k ≠0（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；③0.2x 2-5=32x ； ④4（y 2+0.99）=2.4y ；⑤12x 2； ⑥t 2+15）． 【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根7．求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，•所以原方程有两个不相等的实数根．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法3．公式法解一元二次方程公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________六、资料下载已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？已知方程ax 2+bx+c=0，变形为x 2+b a x+c a=0，变形为 （x+2b a ）2=2244b ac a- 依求根公式得它的两根为x 1，x 2＝2b a-± 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．可以算出：x 1+x 2=-b a ；x 1·x 2=c a （根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．例1 已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．解法一 设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-65， ∴x 1=-35， 又-35＋2＝－15k -，∴k-1=-5（-35+2）， k -1=-7，k=-6， 答：方程的另一根是-35，k 的值是-6． 解法二 ∵2是方程5x 2+（k-1）x-6=0的根．∴5×22+（k-1）×2-6=0k=-6又设方程的另一个根是x 2，则2x 2=-65，x 2=-35， 答：方程的另一个根是-35，k 的值是-6． 例2 已知方程2x 2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求参数m 和两个根．解 ∵x 1-x 2=1，∴（x 1-x 2）2=1，（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，（12m-）2－12m+×4=1整理，得m2-10m-11=0，（m-11）（m+1）=0，∴m1=11，m2=-1，当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，解得x1=2，x2=3，当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．解∵3x1-x2=4，∴3（x1+x2）-4x2=4，∵x1+x2=-3，∴3×（-3）-4x2=4，x2=-134，将x2=-134代入原方程，得（-134）2＋3×（-134）+m=0m=－13 16．。

2.3用公式法解一元二次方程说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学上册第二章《2.3用公式法解一元二次方程》。

我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明.一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。

通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。

一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。

（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。

数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。

解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。

情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。

（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。

难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。

学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。

三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习——课时小结——布置作业。

2.3 用公式法求解一元二次方程【学习目标】1．理解求根公式的推导过程和鉴别公式．2．使学生能娴熟地运用公式法求解一元二次方程．3．经过由配方法推导求根公式，培育学生推理能力和由特别到一般的数学思想． 【学习要点】求根公式的推导和公式法的应用．【学习难点】理解求根公式的推导过程及鉴别公式的应用．情形导入 生成问题1．方程 3x 2－ x ＝ 2 化成一般形式后，式中 ( C )A ． a ＝ 3， b ＝－ 1， c ＝ 2B ． a ＝2， b ＝ 1，c ＝－ 2C ． a ＝ 3， b ＝－ 1， c ＝－ 2D ． a ＝ 3， b ＝ 1， c ＝－ 2 2．用配方法解以下方程：(1)x 2－x － 1＝ 0；(2)2x 2－ 4x ＝ 11＋ 5 1－ 566解： (1)x 1＝ 2 ，x 2 ＝ 2 ； (2)x 1＝ 1＋ 2 ， x 2＝ 1－ 2 .自学互研 生成能力知识模块一研究一元二次方程的求根公式先阅读教材 P 41－ 42“议一议”前方的内容，而后达成下边的问题：1．对于一元二次方程ax－ b ± b 2－ 4ac2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠ 0)，当 b 2－4ac ≥ 0 时，它的根是： x ＝2a．2．用求根公式法解一元二次方程x 2－2x ＝ 8 时，应先把方程化成一般形式为x 2－2x － 8＝ 0，再计算出 b 2－4ac ＝ 36．最后利用公式求得方程的两个根为x 1＝ 4， x 2＝－ 2．研究：用配方法解方程：ax2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠0)．剖析： 前方详细数字已做了好多，我们此刻不如把a 、b 、c 也当作详细数字，依据配方法的解题步骤推下去．2a ≠ 0，所以方程两边同除以2b c.配方，得：2＋ b x ＋解：移项，得： ax ＋ bx ＝－ c ，由于a ，得： x ＋ x ＝－a xaab 2b2b 2 2－ 4ac2＞ 0，当 b 2－4ac ≥ 0 时，b2－ 4ac2－ 4ac＝－ c＋，即 ＝b2，∵ a ≠0，∴ 2≥ 0.∴x ＋ b ＝ ± b2aa 2ax ＋ 2a4a 4a 4a2a2a－ b ± b 2－ 4ac－ b ＋ b 2－ 4ac－ b － b 2－ 4ac即 x ＝，∴ x 1＝ 2a， x 2 ＝ 2a . 2a概括总结： 由上可知，一元二次方程ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠ 0)的根由方程的系数 a 、 b 、c 而定，所以： (1) 解一元二次方程时，能够先将方程化为一般形式ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0，当 b 2 － 4ac ≥ 0 时，将 a 、 b 、 c 代入式子x ＝－ b ± b 2－ 4ac，便可求出方程的根； (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程2a的方法叫公式法； (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．知识模块二用公式求解一元二次方程自学自研教材 P 42 例题．解： (1)这里 a ＝ 1 ， b ＝－ 7， c ＝－ 18.∵ b 2－ 4ac ＝ ( － 7)2－ 4× 1× (－ 18) ＝ 121＞ 0，∴ x ＝7±121＝ 7± 11，2×1 2即： x 1＝ 9， x 2＝－ 2； (2) 将原方程化为一般形式，得： 4x 2－ 4x ＋1＝ 0.这里 a ＝ 4， b ＝－ 4， c ＝ 1.∵ b 2－ 4ac ＝( －4)2 －（－ 4） ±0 ＝1，即： x 1＝ x 2 ＝1. － 4× 4× 1＝ 0，∴ x ＝2× 4 2 2用公式法解以下方程，依据方程根的状况你有什么结论？(1)2x 2－ 3x ＝ 0；(2)3x 2－ 2 3x ＋ 1＝ 0；(3)4x 2＋ x ＋ 1＝ 0.解： (1)x 1＝ 0，x 2＝3； (2)x 1＝x 2＝3； (3) 方程无实数根．23概括总结： (1) 当＝ b 2 － 4ac ＞ 0 时，一元二次方程ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠0) 有两个不相等的实数根，即 x 1＝－ b ＋ b 2－4ac－ b － b 2－ 4ac时，一元二次方程ax 2＋bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0)有两个相等实， x 2＝； (2)当 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0 2a2ab22数根即 x 1＝ x 2＝－ 2a ； (3)当＝ b － 4ac ＜ 0 时，一元二次方程ax ＋ bx ＋ c ＝0(a ≠ 0)没有实数根．对应练习达成教材 P 43 随堂练习第 2、 3 两题． 知识模块三一元二次方程根的鉴别式及其应用阅读教材 P 42“议一议”部分内容，理解并掌握一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0)的根的鉴别式 b 2－ 4ac 的值与方程根的状况，并达成教材P 43 随堂练习第 1 题．沟通展现 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和经过“自主研究、合作研究”得出的“结论”展现在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次经过小组间就上述疑难问题互相释疑．2．各小组由组长一致分派展现任务，由代表将“问题和结论”展现在黑板上，经过沟通“生成新知”．知识模块一一元二次方程2－b ± b 2 －4ac 2－4ac ≥ 0) ax ＋ bx ＋ c ＝0(a ≠ 0)，求根公式 x ＝ 2a(b知识模块二 用公式求解一元二次方程2检测反应达成目标1．以下一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(A )A ． x 2－3x ＋ 1＝0B ．x 2 ＋1＝ 0C ． x 2－ 2x ＋ 1＝ 0D ． x 2＋ 2x ＋ 3＝ 02．把一元二次方程x 2＝ 3(2x － 3)化为一般形式是 x 2－ 6x ＋9＝ 0， b 2－4ac ＝ 0，则该方程根的状况为有两个相等的实数根．3．方程2x2－5x＝7的两个根分别为x1＝7， x2＝－ 1．24．已知对于x的一元二次方程(k－1)x2－ 2x＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根，务实数k 的取值范围．解：由 b2－ 4ac＝ 4－ 4(k－ 1)＝ 8－ 4k＞ 0，且 k－ 1≠ 0，解得： k＜2，且 k≠1．课后反省查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在疑惑：________________________________________________________________________。

第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程【学习目标】知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；(2)会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。

能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。

情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。

【学习重点】用求根公式解简单数字系数的一元二次方程【学习过程】一、前置准备：1.利用配方法快速解下列两个方程：x2+2x-35=0 5x2-15x-10=02.通过对配方法解一元二次方程的学习，你认为利用配方法解方程的关键是什么？步骤呢？。

二、自学探究：利用配方法推导一元二次方程的求根公式若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），你觉得应如何利用配方法求解？（1）ax2+bx+c=0（a≠0）方程的两边同时除以a可得到：。

（2）把上式中的常数项移项可得：（3）如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的？。

（4）配方后可得：。

（5）思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？结论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当时，它的根是：x= 。

式子称为求根公式，用解一元二次方程的方法称为公式法．．．。

三、合作交流：1、上面我们利用了推导出了解一元二次方程的另外一种方法：。

2、你认为利用求根公式解一元二次方程的关键是什么？与同学交流一下的想法。

3、利用公式法解方程的一般步骤：（1）（2）（3）（4）。

四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。

五、例题解析：例1 利用公式法解方程x2-7x-18=0分析：此方程中哪些数字相当于ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的a 、b 、c ？试写出解方程的完整过程。

六、当堂训练：1、用公式法解下列方程：（1）x 2+2x-35=0 （2）5x 2-15x-10=0(3)9x 2+6x+1=0 (4)16x 2+8x=32、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。

§2．3 公式法授课教师：课时安排 1课时教学内容及教法分析公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程序化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教学重点一元二次方程的求根公式．教学难点求根公式的条件：b2-4ac≥0教学方法讲练相结合教具准备多媒体课件教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入课题[师]前面我们学习了利用配方法解一元二次方程．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片)1．用配方法解方程2x2-9x+8=0[生]解：，2x 2-9x+8=0 两边都除以2，得移项，得；．配方，得．两边分别开平方，得[师]同学们做得很好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．Ⅱ．讲授新课[师]刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)呢?大家可参照解方程2x 2-9x+8=0的步骤进行．[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得x 2+ ac x a b +=0． [生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0．好，接下来该如何呢?[生丙]移项，得x 2+ac x a b -= 配方，得x 2+22)2()2(ab ac a b x a b +-=+,(x+22244)2a ac b a b -=. [师]这时，可以直接开平方求解吗?[生丁]不，还需要讨论．因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244aac b -≥0．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可．因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2244aac b -. 大家来想一想，讨论讨论：±2244a ac b -=±a ac b 242-吗? ……[师]当b 2-4ac ≥0时， x+a b 2=±2244a ac b -=±||242a ac b - 因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果： ±aac b 242- 所以x+ab 2=±a ac b 242-, x=-ab 2±a ac b 242- =aac b b 242-±- 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是 x=aac b b 242-±- [师]由此我们可以看到：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

第二章 一元二次方程周周测62.3 用公式法求解一元二次方程1．方程x 2－4x ＝0中，b 2－4ac 的值为( )A ．－16B ．16C ．4D ．－42．方程x 2＋x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52 C ．－1＋ 5 D.－1＋523．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．x 2－x ＋1＝0D ．x 2－x －1＝04. 一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5. 若关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k≤16. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜5B ．k ＜5，且k≠1C ．k≤5，且k≠1D ．k ＞57. a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为08. 用求根公式法解得某方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( )A．b＝0 B．c＝0 C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝09. 若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx－k的大致图象是( )A B C D10．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．11．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为__________．12. 已知等腰三角形的一腰长x满足方程x2－12x＋31＝0，其周长为20，则腰长x的值为________．13. 已知一元二次方程(m－3)x2＋2mx＋m＋1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．14. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长10 m)，另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为23 m.(1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到40 m2；(2)你能设计一个面积为50 m2的鸡场吗？请说明理由．15. 已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．答案：1---9 BADBD BBAB10. 011. x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5212. 6＋ 513. (1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4(m－3)(m ＋1)＞0，解得m ＞－32，∴m ＞－32且m≠3. (2)当m 在取值范围内取最小正偶数，即m ＝2时，方程是－x 2＋4x ＋3＝0，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－7.14. (1)设鸡场的宽为x m ，则另一边长为(23－3x)m ，依题意得x(23－3x)＝40，解得x 1＝5，x 2＝83，当x ＝5时，23－3x ＝8<10；当x ＝83时，23－3x ＝15>10，不符合题意，舍去．∴鸡场的宽为5 m ，就能使该鸡场的面积达到40 m 2.(2)不能，理由：依题意得x(23－3x)＝50，整理得3x 2－23x ＋50＝0，∵b 2－4ac ＝529－600＝－71<0，∴该方程无解，∴不能设计出面积为50 m 2的鸡场．15. (1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC 不成立，∴要使△ABC 是等腰三角形，则AB 与AC 其中一条边与BC 相等，即方程必有一根为5，∴52－5(2k ＋1)＋k 2＋k ＝0，解得k ＝4或k ＝5，经检验k ＝4或k ＝5符合题意，则k 的值为4或5.第三章检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃P (A )、P (B )、P (C )，则P (A )、P (B )、P (C )的大小关系正确的是( B )A ．P (C )＜P (A )＝P (B ) B ．P (C )＜P (A )＜P (B )C ．P (C )＜P (B )＜P (A )D ．P (A )＜P (B )＜P (C )2．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( B )A ．0 B.13 C.23 D ．1 3．如图，2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是(D )A.12B.25C.37D.474．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( C )A.12B.712C.58D.345．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( A )A.118B.136C.112D.1156．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( D )A.14B.34C.13D.12,第6题图) ,第7题图)7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( C )A.1925B.1025C.625D.5258．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b )在第二象限的概率是( B ) A.16 B.13 C.12 D.23 9．从长为10 cm ，7 cm ，5 cm ，3 cm 的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是( C )A.14B.13C.12D.3410．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( D )A.34B.13C.23D.12二、填空题(每小题3分，共18分)11．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其他都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为__47__． 12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有__460__尾鲫鱼．13．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有__4__个．14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是__12__． 15．袋中装有4个完全相同的球，分别标有1，2，3，4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为__12__． 16．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖．突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是__16__． 三、解答题(共72分)17．(10分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．解：画树状图：P (都是蓝色)＝26＝1318．(10分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，，再随机摸取一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．解：(1)14(2)这个游戏公平，理由如下 ：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8个，P (B )＝816＝12，两次摸出纸牌上数字之和为奇数与和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平19．(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A (x ，y )的所有情况；(2)求点A 落在第三象限的概率．解：(1)列表：－7 －1 3－2 (－7，－2) (－1，－2) (3，－2)1(－7，1) (－1，1) (3，1) 6(－7，6) (－1，6) (3，6) 可知，点A 共有9种情况 (2)由(1)知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第三象限(事件A )共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况，∴P (A )＝2920．(10分)分别把带有指针的圆形转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．解：(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是612＝12(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－12＝12，两人获胜的概率相同，所以游戏公平 21．(10分)现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者交赞助费5元．活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止)．若指针最后所得的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖．此次活动所集到的资助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活．(1)分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；(2)若此项活动有2 000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生．解：(1)P (一等奖)＝136；P (二等奖)＝19；P (三等奖)＝16 (2)(136×20＋19×10＋16×5)×2 000＝5 000，5×2 000－5 000＝5 000，即活动结束后至少有5 000元用于资助贫困生22．(10分)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．(1)下列事件是必然事件的是( A )A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A )，请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．解：(2)依题意可画树状图：(直接列举出6种可能结果也可)符合题意的只有两种情况：①乙丙甲，②丙甲乙，∴P (A )＝26＝1323．(12分)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．解：(1)①画树状图得：∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：416＝14；②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为：816＝12 (2)23。