人教新课标A版必修2： 2.1.1 平面(共21张PPT)

[解] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又∵AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线． 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R 三点共线．
平面的基本性质
公理
பைடு நூலகம்
内容
如果一条直线上的
公理1
两__点__在一个平面内， 那么这条直线在此平
面内
过不__在__一__条__直__线__上__的 公理2 三点，有且只有一个
平面
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那 么它们有且只有一条
________________ 过该点的公共直线
图形
符号
_A__∈__l _，_B__∈__l ， 且_A_∈__α__， _B_∈__α___⇒l⊂α
[提出问题]
平面的基本性质
问题 1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺 的边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上． 问题 2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自 行车？
提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条
直线上．
问题 3：两张纸面相交有几条直线？
提示：一条．
[导入新知]
[解] (1)点 P∈直线 AB； (2)点 C ∉直线 AB； (3)点 M∈平面 AC； (4)点 A1∉平面 AC； (5)直线 AB∩直线 BC＝点 B； (6)直线 AB⊂平面 AC； (7)平面 A1B∩平面 AC＝直线 AB.

a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450 注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把 被遮住的部分画成虚线．
一、平面
4.表示法：
A
B
ห้องสมุดไป่ตู้
C
平面ABC
A
D
B
C
平面AC或平面BD 或平面ABCD
二、用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： 以点作为元素，直线、平面都是由点构成的集合.
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. （即这条直线上的所有的点都在这个平面内）.
α
A
B
三、公理
观文察图字片，语你能得言到什：么结公论？理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此
平面内(即这条直线上的所有的点都在这个平面内). 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即这条直线上的所有的点都在这个平面内).
两条相交直线能确定一个平面吗？ 两条平行直线能确定一个平面吗？
推论: ①一条直线和直线外一点能确定一个平面； ②两条相交直线能确定一个平面； ③两条平行直线能确定一个平面.
．
B
．A ．C
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面
是否只相交于一点 B ？为什么？
B
B
观察图片，你能得到什么结论？ P
图形
Aa
Aa
A
A Ab
a
符号语言
Aa
Aa
A
A
文字语言(读法)
点在直线上
点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
图形
a

首页
探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
证明点共线 【例2】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如
图. 求证:P,Q,R三点共线. 思路分析:证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得 P,Q,R共线.也可以证明Q点既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在 平面APR与平面α的交线PR上. 证法一:∵AB∩α=P, ∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面 ABC, 明目标、知重点
首页
探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
证法二:(辅助平面法)∵l1∩l2=A, ∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B, ∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. ∴平面α和β 重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 明目标、知重点
明目标、知重点
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课前预习案
课堂探究案
用一个希腊字母 α,β,γ 等来表示,如上图①中的平面记为平 面α 用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线 (2) 的顶点)来表示,如图①中的平面记为平面 AC 或平面 BD 记 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线 法 (3) 的顶点)来表示,如图①中的平面记为平面 ABC 或平面 BCD 等 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的顶点)来 (4) 表示,如图①中的平面可记为平面 ABCD (1)
①确定平面 的依据;②
证明点、线 共面
明目标、知重点
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文字语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
图形语言 符号语言
β
P ·
l
α
p
且p
p
l
l
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
二、点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α
（2）集合关系： A a, A, a ,
图形
符号语言 文字语言(读法)
A a A a 点在直线上
D1 A1
A
C1 B1
C B
1、平面的概念
桌面 黑板面 海面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
2、平面的画法
通常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
练习:画一个相交平面
β
如果一个平面被另一个平面挡
住则这遮挡的部分用虚线画出
来.
α
3、平面的表示法
D
C
α
A
B
①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表 示如平面α、平面β、平面γ；

几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中抽 象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉， 数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念 课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的 交线，另外两条直线分别在这两个平面 内，再证明这两条直线相交于一点，由 公理3判断这个交点在公共交线上，即 三线共点.
课后练习 课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么

5. 平面与平面的位置关系及其表示。
C. 研读教材P41-P43: 1. 理解教材P43“公理化方法”的作用；
2. 平面基本性质的三条公理及其作用。
3. 借助几何“点线面体”的维度升降再
理解平面的三个公理。
1. 方法：点线面体，升维降维； 2. 空间点、直线、平面之间的位置关系； 3. 平面基本性质的三个公理。
此ppt下载后可自行编辑
高中数学课件
平面
A. 研读教材P40-P41： 1. 平面的概念； 2. 平面的画法； 3. 平面的命名。
B. 研读教材P41：
1. 为何教材描述几何中点、直线、平面之间的位置关系采用 了集合的相关符号“属于”或“包含”？ 2. 点与直线的位置关系及其表示； 3. 点与平面的位置关系及其表示； 4. 直线 P BC Q，AC R. 求证：P、Q、R三点共线。
A C B R

Q
P

(2)公理2
不在一条直线上 ①文字语言: 过_________________的三点, 有
且只有一个平面.
②符号语言: A、B、C三点不共线⇒存在唯一 的α使A、B、C∈α. ③图形语言:
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
④三个推论:
推论1: 经过一条直线和直线外一点有且只有 一个平面. 推论1亦可说成, 直线及其外一点确定一个平 面.
(4)4个平面重叠பைடு நூலகம்来比3个平面重叠起来厚.
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
【解】
题号 结论及理由
(1) (2) (3) (4) 错误. 因为平面是无限延展的. 正确. 除了用平行四边形表示平面外, 有时 也用矩形、圆等表示平面. 错误. 平面是不可度量的, 无大小, 无面积. 错误. 平面不可度量, 无厚薄.
做一做 2.三点可确定平面的个数是( A. 0 B. 1 )
C. 2
D. 1或无数个
解析: 选D.当三点不共线时, 可确定一个, 当 三点共线时, 可确定无数个.
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
典题例证·技法归纳
题型探究 题型一
例1
平面的概念
判断下列说法是否正确, 并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形; (2)矩形可以表示平面; (3)平面ABCD的面积为10 cm2;
栏目 导引
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
做一做 1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面 不能记为( A. 平面MN )
B. 平面NQ
C. 平面α D. 平面MNPQ 答案: A
栏目 导引

通过本节课的学习，你有哪些收获？
知识
方法
思想
课后作业 必做：
（1) P43练习：1，2，4 (2) P51习题2.1A组：1,2
选做：如图是一个正方体表面的展开图, 如 果将它还原为正方体, 那么 AB, CD, EF, GH 这四条直线相互是什么位置关系?
CA
G DB
HE
问题1：观察图片中的房屋，有你熟悉的 空间几何体吗?
D A
D A
C B
C B
2.1.1平面及其基本性质
问题2:（1）生活中有哪些例子给了我们 直线形象？（2）直线有哪些基本特征？ （3）怎么表示直线？
图形语你言认：为，什么是平面？
A
B
符号语言：直线AB，或者直线a. 直线的特征:①直的；②向两边无
A
EH
题是否正确, 正确的在
括号内划“√”, 错误的划 “×”.
(1) 平面 a 与平面 b 相交, 它们只有有限
个公共点.
()
(2)三点确定一个平面.
()
(3) 经过两条相交直线有且只有一个平面.
()
(4) 经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有
一个平面.
()
课堂小结
用表示平面的平面图形的顶点字母表示（如 下面的图形）.
a
A
b
平面a
B
D E
C F
平面b
当一个平面的一部分被另一个平面遮住时, 应把被遮部分的线段画成虚线.
a
l
b
画如图的平面与平面相交时, ① 注意画 好交线, ② 注意画好被遮部分.
数学实验1：用手指头将一块明信片平衡地 摆放在空间某一位置，至少需要几个手指 头？
直线的“直”

代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
平面
平面
A
B
平A 面BCD
平面 AC
平面 BD
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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பைடு நூலகம்
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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2.线与线、线与面的位置关系 直线a与b相交于点A:
A

b

a
表示为：
ab A
直线l在平面内：

l
表示为： (不在呢?)： l
l

课堂探究
直线l在平面 外： (I) (II)
A
l
lL


表示为： l //
表示为： l α = A
课堂探究
平面 与平面 相交于直线l：
l

表示为：
课堂探究
1.平面的概念
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物 体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的． 桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象
课堂探究
2、平面的画法：
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板 面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
课堂探究
(1)水平放置的平面
(2)垂直放置的平面
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
课堂探究
(3)两个相交平面的画法：
①先画两平面基本线
②画两平面的交线 ③分别作三条线的平行线 ④把被遮部分的线段画成 虚线或不画，其他为实线
α β
被遮挡的线用虚线 表示
课堂探究
3.平面的表示方法
(1)平面是无限延展的 （常用平面的一部分表示平面） (2)常用平行四边形表示，如图所示
典型例题
例4 下列命题正确的是（ D ） A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
课堂小结
1.平面的概念；
2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形 语言和符号语言。