山东省2021届高三数学新高考模拟试题卷二附答案解析

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

不要在试卷上作答。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。

A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。

A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。

则S占地球表面积的百分比约为（）。

A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。

A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。

山东省临沂市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A 种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A 种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 22A 34(A +1224)576C A =种.故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题. 2．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22- D ．22+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】解: )()())1111112ii i z i i i ---=====++-， 故选：C 【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.3．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．323D ．233【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 4．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42RA x x =-≤≤， ∴()()0,2RA B =.故选：D. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题. 5．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，知当7π3x ω=时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=时，π5π62x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ2662x x ωω+++=⨯， 即122π3x x ω+=. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+++=⨯，即238π3x x ω+=， ∴12310π5π233x x x ω++==，2ω=，所以最小正周期为：2ππ2T ==. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 6．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-=====11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。

2021年山东省百师联盟高考数学二轮联考试卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则（∁U A）∪B＝（）A．（1，2]B．[3，+∞）C．（﹣∞，1]∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）2．（5分）设复数z满足（﹣i）z＝2（i为虚数单位），则＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（）＝（）A．﹣16ln2B．16ln2C．﹣8ln2D．﹣32ln24．（5分）已知平面α，β，γ，直线m，n，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β5．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，a1＝2，4a8+2a12＝9a10，数列{b n}满足b n＝log2a n+n，则b2+b4+b6+b8+b10＝（）A．40B．55C．35D．606．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，钢架雪车，跳台滑雪，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有（）种A．180B．225C．200D．4008．（5分）已知双曲线C：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过点F2与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF2|＝2|BF2|，∠BAF1＝，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）2020年7月16日，国家统计局发布2020年上半年中国经济数据．数据显示，上半年，较2019年上半年全国人均消费支出10330元，下降约5.9%（不考虑价格因素），则下列说法正确的是（）A．2020年上半年较2019年上半年人均生活用品及服务消费支出减少了B．2019年上半年人均衣着消费支出和人均居住消费支出的总和超过了人均食品烟酒消费支出C．2020年上半年较2019年上半年人均居住消费支出减少了D．2020年上半年较2019年上半年人均教育文化娱乐消费支出比重降幅最大10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（）A．f（x）＝sin（2x+）B．函数f（x）在[，]上单调递减C．函数g（x）＝cos2x的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称11．（5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件B．若a＞b＞1，则log a2021＜log b2021C．若a＞b＞e（e为自然对数的底数），则a b＞b aD．若+＝1，则a+b≥912．（5分）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，如图，将△ABD沿BD翻折（点P为点A翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．△PBD的外接圆半径为2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC．存在某一位置，使得PB⊥CDD．若PD⊥DC，则此时三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若tan（π﹣α）＝4，则cos（2α+）＝．14．（5分）已知向量，满足＝﹣1，|，|﹣|＝，则向量与．15．（5分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝2axe x﹣（a﹣1）e2x+x2，x∈（﹣1，1），若f（x）有两个不同的零点．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①2a sin C＝c tan A；②2a cos B＝2c﹣b；③2cos2＝cos2A+1；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）求A的值；（2）若△ABC面积为，周长为5，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+n，数列{b n}满足b n＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P﹣ABCD中，P A＝2，AC与BD交于点O，且与P A，PC，N，Q三点，点E在线段PD上（1）证明：OE∥平面BMQN；（2）求直线NQ与平面P AB所成角的正弦值．20．（12分）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）过直线l′：x＝﹣2上一点M做抛物线C的两条切线，设切点为P，Q．求证：直线PQ过定点．21．（12分）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，否则获得2分，进行若干轮游戏，则游戏结束，可得到200元礼券，则游戏结束，可得到纪念品一份（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为p i，（初始得分为0分，p0＝1）．①证明数列{p i﹣p i﹣1}，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：+x2﹣x＞﹣．2021年山东省百师联盟高考数学二轮联考试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2021年山东省高三数学高考二模试题卷二第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，均为的子集，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．若复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．中，A ，B ，C 是的内角，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．实数x 、y 满足，则的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．55．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ． 6．在中，，，点满足，，则的长为（ ）A ．B ．C ．D ．67．设等差数列的前n 项和为，且，()()320152015120191a a -+-1=-，则下列结论正确的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，8．在探索系数，，，对函数图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正四棱锥底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）N R MN⊆RM N =R∅M N R z 12i i 2z⋅=z =1212-1i 2-1i 2ABC △ABC △π3A =1cos 2A =22326xy x +=22x y +7292()4,3A l 22231x y l ⎡⎣(⎡⎢⎣⎦,33⎛-⎝⎭ABC △9AC =60A ∠=︒D 2CD DB =AD =BC {}n a n S ()()3661201911a a -+-=20202020S =20156a a <20202020S =20156a a >20202020S =-20156a a ≤20202020S =-20156a a ≥A ωϕb ()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>A ωϕb ()sin f x x =()π2sin 213gx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π36121624S BCDE -A SBE -A ．B ．正四棱锥的外接球半径为C ．正四棱锥的内切球半径为D ．由正四棱锥与正三棱锥拼成的多面体是一个三棱柱10．一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，(即，，三点分别在三角形三边或顶点上)，则两三角形面积比的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A ．当轴时，B ．双曲线的离心率C ．D ．若为的内心，满足，则12．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ≥kx b+和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）A ．在内单调递增B ．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为C ．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D ．和之间存在唯一的“隔离直线”第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式的常数项是________．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是______．15．已知三棱锥，，，，则以点为球心， AS CD ⊥S BCDE -2a S BCDE -12a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭S BCDE -A SBE -ABC PQR P Q R ABC PRQABCS S △△14151617()2222:10,0x y C a b a b-=>>A B 1F 2F 122F F c =a b c P C B PA PB 1k 2k 2PF x ⊥1230PF F ∠=︒e =12k k I 12PF F △()1212IPFIPF IF F S S xS x =+∈R △△△12x =k b ()F x ()G x ()G x kx b≤+y kx b=+()F x ()G x ()()2f x x x =∈R ()()10g x x x=<()2ln h x e x =e ()()()m x f x g x =-x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x b 4-()f x ()g x k []4,1-()f x ()h x y e =-()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A BCD -5AB AD BC CD ====8BD =3AC =C为半径的球面与侧面的交线长为______．16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：的内角的对边分别为，若，______，求和．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件，若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件．．（1）求当时，销售量；当时，销售量；（2）试写出当广告费为千元时，销售量；（3）当，时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？19．（12分）如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M ，N 分别为，的中点． （1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份123456不“礼让行人”驾驶员人数120 105 100 85 90 80（1）请根据表中所给前个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起天内需完成罚款缴纳，记录月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为，若服从正态分布，求该月没能在天内缴纳人数．参考公式：，． ，，22ABD 5m =22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-sinsin 2B C b a B +=sin cos(π)6a Bb A =-ABC △,,A B C ,,a bc 22a b c +=A C a b n ()1n -2nb ()*n ∈N 1n =1a 2n=2a n n a 10a =4000b =ABCDEF ABCD 22AB CD ==60ABC∠=︒ACFE 2FB =EF AB MN ∥FCB AF FCB MAB MAC 476x y 5y ˆˆˆybx a =+56155XX()~8,9X N 14()()()112211ˆnniii ii i nnii i i x x y y x y nxyb x x x nx====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx=-()0.6826P Z μσμσ-<<+=()220.9544P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数，．（1）若对任意给定的，总存在唯一一个，使得成立，求实数的取值范围； （2）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，当轴时，（为坐标原点）． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．数 学答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．1．【答案】C 【解析】用图示法表示题意，如下图，故，故选C ．2．【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ． 3．【答案】C 【解析】若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，因为，所以，所以“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充分必要条件，故选C ． 4．【答案】B 【解析】由题意得，，因此，令，的对称轴为，开口向下，则在区间单调递增，所以当时，取得最大值4，故的最大值为，故选B ．5．【答案】C 【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离应小于等于半径，，即，解得，故选C ． 6．【答案】A 【解析】因为，所以，()330.9974P Z μσμσ-<<+=()32231f x ax ax =-+()()3042a g x x a =-+<051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦151,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()10f x g x =a 051,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1,2)i x i =()()()120f x f x g x ==a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>A B D (1,0)F C P Q P x PQ x ⊥//OP AD O C AP BQ M BP AQ N MFN ∠M N N =R13i 12+=2i 1z ⋅=11i 2i 2z ==-π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =π3A =1cos 2A =π3A =1cos 2A =223302y x x =-≥02x ∴≤≤()222211933222x y x x x +=-=--+()()219322x f x --+=()f x 3x =()f x []0,22x =22x y +22xy +4l l ()34y k x -=-340kx y k -+-=22231x y ()2,3()2,3340kx y k -+-=2233411k kk-+-∴≤+221k k -≤+33k -≤≤2CD DB =1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+设，则，得，即，因为，故解得，即，所以，故选A ．7．【答案】A 【解析】令，知在定义域内为递增函数，∴由题意知，即，又，知，关于原点对称，∴，而，故选A ．8．【答案】B 【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD 【解析】如图所示：A 选项：取中点连接，正三棱锥中，，，又，所以平面，则，又，所以，故A 正确；B 选项：设底面中心为，球心为半径为，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在上，所以， 因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，所以， 由，得，解得，故B 正确；C 选项：设内切球半径为，易求得侧面面积为， 由等体积法得，解得，故C 错；D 选项：取中点，连接，，，则和分别是和的二面角的平面角， 由，，故与互补，所以共面， 又因为，则为平行四边形，故，故正四棱锥与正三棱锥AB x =222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441379cos609999x x =+⨯⨯︒+⨯2291260x x +-=0x >6x =6AB =222212cos 6069269372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=3()2019f x x x =+()f x 6201511a a ->-20156a a <()()0f x f x 61a -20151a -620152a a +=20201202012020620151010()1010()2020S a a a a a a =++=+=+=π34422A 12A =BE H ,AH SHA SBE -AH BE ⊥SH BE ⊥AH SH H =BE ⊥SAH BE AS ⊥//BE CD AS CD ⊥1O O R 1O S OS OB R ==112O BO S a ==()22211OB O B O S OS =+-2222222R a a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22Ra =r 221π3sin 23Sa a =⋅=22212113432334a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅()624a r -=SE F AF DF BF BFD ∠BFA ∠D SE B --A SE B --()22222223321cos 2332a a aBF DF BDBFD BF DF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭222222233221cos 2332a a a AF BF BA AFD AF BF a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎛⎫⎪⎝⎭BFD ∠BFA ∠ASDE AS AE ED SD ===ASDE////AS ED BC S BCDE -拼成的多面体是一个三棱柱，所以D 正确，故选ABD ．10．【答案】AB 【解析】如图，有两种方式：（1）左图中为中点，设的直角边长，为的直角边长为，，在中，由正弦定理得，所以， 所以， 所以，所以． （2）右图中，在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以，综上：最小值为，最大值显然为1，故选AB ． 11．【答案】BCD 【解析】∵a ，b ，c 成等比数列，∴，如图，对于A ，当轴时，点P 为，，显然，即选项A 错误；对于B ，，， ∴，解得（负值舍去），即选项B 正确；对于C ，设，则，，所以，由点在双曲线上可得，代入，故C 正确；A SBE -R AB ABC △a PQR △x PQC α∠=QBR △πsin sin 4QR QB α=sin πsin 4x QB α=()sin cos cos sin πsin 4x a CQ QB αααα=+=+=+1π2sin 4x a α==⎛⎫+ ⎪⎝⎭214PRQ ABC S x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△QBR △ππsin sin 44QR QB α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 4πsin 4x QB α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()πsin 4cos 2cos sin πsin 4x a CQ QB x x αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=+=+()1tan 22cos sin x a ϕαα===+215PRQ ABCS x S a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭△△152b ac =2PF x ⊥2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭221212||1tan ||222b PF ac a PF F F F c ac ∠====1230PF F ∠≠︒222ac a b c ==-∴1ce a=>210e e --=12e ±=(,)P x y 1y k x a =+2y k x a =-21222+y y y k k x a x a x a =⋅=--(,)P x y 22222x a y a b-=22222212222222111212y b y b c k k x a a y a a ⎛====-=-= -⎝⎭对于D ，设圆I 的半径为r ，，， 即，由双曲线的定义知，，即，故选项D 正确，故选BCD ． 12．【答案】ABD 【解析】对于A ，， ，， 当时，，单调递增， ，在内单调递增，A 正确；对于B 、C ，设，的隔离直线为，则对任意恒成立，即对任意恒成立． 由对任意恒成立，得．①若，则有符合题意；②若，则有对任意恒成立，的对称轴为，，；又的对称轴为，，即，，，同理可得，，综上所述：，，B 正确，C 错误；对于D ，函数和的图象在处有公共点，若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，则恒成立，若，则不恒成立；若，令，对称轴为，在上单调递增， 又，故时，不恒成立；若，对称轴为， 若恒成立，则，解得1212IPF IPF IF F S xS S =+△△△212111||||||222r PF r PF x r F F ∴⋅=⋅+⋅⋅⋅1212||||||PF PF x F F =+12||||2PF PF a -=22a x c ∴=⋅1a x c e ===()()()21m x f x g x x x=-=-()212m x x x '∴=+()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x ''>()m x '∴()2233220m x m ⎛'∴>=+=-+= ⎝()m x ∴x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x y kx b =+21x kx b kx b x⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩(),0x ∈-∞2210x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩(),0x ∈-∞210kx bx +-≤(),0x ∈-∞0k ≤0k =0b =0k<20x kx b --≥(),0x ∈-∞2y x kx b =--02kx =<2140k Δb +∴=≤0b ∴≤21y kx bx =+-02b x k =-≤2240Δb k ∴=+≤2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩421664k b k ∴≤≤-40k ∴-≤<421664b k b ≤≤-40b ∴-≤<40k -≤≤40b -≤≤()f x ()h x x =∴()f x ()h x k(y e k x -=y kx e=-()()0f x kx e x ≥->0k =()200x e x -≥>0k<()()20u x x kx e x =-+>02kx =<()2u x x kx e ∴=-+(0u e e =-=0k <()()0f x kx e x ≥->0k >()u x 02kx =>()0ux ≥()(22340Δke k =-=-≤k =此时直线方程为，下面证明，令，则，当时，；当时，；当时，，当时，取到极小值，也是最小值，即， ，即，函数和存在唯一的隔离直线，D 正确，故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由，可得，因此，的展开式的常数项为，故答案为． 14．【答案】【解析】将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以，故答案为． 15．【答案】,【解析】作的中点，连接，，作的中点，连接，因为，所以，，所以，又，则， 设到边的距离为，则，解得， 2y ex e =-()2h x ex e ≤-()()222ln G x ex e h x ex e e x =--=--()()2e x eG x x-'=xe=()0G x '=0x e <<()0G x '<x e >()0G x '>∴x e =()G x ()()min 0G x G e ==()()20G x ex e h x ∴=--≥()2h x ex e ≤-∴()f x ()h x 2y ex e =-3()5552222211121121x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()521015521C 1C 1rrrr rr r R x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()22102101,155C 12C 1k rk k rr k r T x x x --++=⋅-⋅+⋅-⋅()()2821055C 12C 1krk k rr x x--=⋅-⋅+⋅-⋅2802100k r -=⎧⎨-=⎩45k r =⎧⎨=⎩()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()454555C 12C 13⋅-+⋅-=349A B C a b c A B C a {},A a {},B a {},C a b {},A b {},B b {},C b c {},A c {},B c {},C c 1164C C 24=1196C C 54=244549P ==495πBD E AE CE AE F CF AB AD BC CD ===AE BD ⊥CE BD ⊥223CE AE BC BE AC ==-==AF EF =333cos3032222CF CE =︒=⨯=<C AB h 2211222ABCAC S AB h AC AB ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭△39122h =>所以以点为球心，为半径作球与面相交构成一个圆，圆心为，设半径为，设球的半径为，所以，所以圆的周长为，．16．【答案】5，41【解析】（1）当时，，，，，，，所以需5次步骤后变成1； （2）若第5次步骤后变成1，则，，，或，当，，或；当时，，，所以的可能值是，的可能值的和是，故答案为5，41．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】选择见解析，，．【解析】（1）选择条件①，由及正弦定理知，，整理得，由余弦定理可得，又因为，所以，由，整理得， 因为，所以，从而，解得． （2）选择条件②，因为，所以， 由，得， 由正弦定理知． 又，，可得，又因为，所以，，故．，由，整理得， 因为，所以，从而，解得． （3）选择条件③，由及正弦定理知，，C ABD Fr R =2r===2πr =5m =15a =253116a =⨯+=38a =44a =52a =61a =61a =52a =44a =38a =138a =216a =132a =15a =31a =22a =14a =m {}4,5,32m 453241++=π3A =5π12C=()22sin sin sin sin sin B C A B C-=-()22b c a bc -=-222b c a bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()0,πA ∈π3A =2b c +=sin 2sin A B C +=23πB C =-2πsin 2sin 33πC C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭sin 2π6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4ππ6C -=5π12C =πA B C ++=π222B C A+=-sin sin 2B C b a B +=cos sin 2Ab a B =sin cos sin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==sin 0B >sin 02A >1sin 22A =()0,πA ∈π26A =π3A =2b c +=sin 2sin ABC +=23πB C =-2πsin 2sin 33πC C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭sin 2π6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4ππ6C -=5π12C =sin cos 6πa B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin sin sin c πos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又，从而，解得．又因为，所以．又由，得，由，得，整理得， 因为，所以，从而，解得． 18．【答案】（1），；（2）；（3）厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大． 【解析】（1）设表示广告费为0千元时的销售量，则，，所以；，所以． （2）设表示广告费为0千元时的销售量，则，由题：，相加得，即．（3）时，，设获利为，则有，欲使最大，则，，解得，故，此时，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点Q ，连接，，则，且，又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）由四边形为等腰梯形，且，， 可得，，所以，所以．sin 0B >31sincos cos sin 6π2A A A A ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭tan 3A =()0,πA ∈π3A =22a b c +=2sin sin 2sin A B C +=23πB C =-2π2sin sin 2sin 33πC C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2sin 2π6C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,662C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4ππ6C -=5π12C =132b a =274b a =1(2)2n n a b =-0a 0a b =102b a a -=132a b =2122b a a -=274a b =0a 0a b =102121222n n n b a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⋯⎪⎪-=⎪⎩0232222n nb b b b a a -=++++231(2)22222n n n b b b b a b b =+++++=-4000b =14000(2)2n n a =-n T 110100040000(2)10002n n n T a n n =⋅-=--n T 11n n nn T T T T +-≥≥⎧⎨⎩11114000(2)10004000(2)1000(1)22114000(2)10004000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧--≥--+⎪⎪∴⎨⎪--≥---⎪⎩55n n ≥⎧⎨≤⎩5n =7875n a =25719BC NQ FQ 12NQ AC ∥12NQ AC =12MF AC ∥12MF AC =MF NQ ∥MF NQ =MNQF MN FQ ∥FQ ⊂FCB MN ⊄FCB MN ∥FCB ABCD 22AB CD ==60ABC ∠=︒1BC =3AC =90ACB ∠=︒AC BC ⊥因为四边形为矩形，所以，所以平面，所以为直线与平面所成的角，即，所以． 因为，所以，所以．则可建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，，∴，， 设为平面的法向量，则，即，取，则为平面的一个法向量； 又为平面的一个法向量，所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）达到“理想状态”；（3）2人． 【解析】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算，，，，与之间的回归直线方程． （2）由（1）知，当时，，且，月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．（3）因为服从正态分布，所以， 该月没能在天内缴纳人数为人．21．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意知，，因为，所以由，解得或；由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和，ACFE AC CF ⊥AC ⊥FCB AFC ∠AF FCB 60AFC ∠=︒1FC =2FB =222FB FC CB =+FC BC ⊥C xyz -(3,0,0)A (0,1,0)B 3(,0,1)2M 3(,0,1)2MA =-(3,1,0)AB =-(,,)x y z =m MAB 00MA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 30230x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩23x =(23,6,3)=m MAB (0,1,0)=n MAC 657257cos ,||||571⋅〈〉====⨯m n m n m n MAB MAC 25719ˆ8124yx =-+1(12345)35x =⨯++++=1(1201051008590)1005y =⨯++++=12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()niii nii x x y y bx x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=y ∴x ˆ8124yx =-+ˆ8124yx =-+6x =ˆ8612476y =-⨯+=807645-=<6∴X ()~8,9X N ()2140.9544P X <<=1410.95449022-⨯=28,575⎛⎤-- ⎥⎝⎦162,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()61f x ax x -='514x -≤≤()0f x '<10x -≤<514x <≤()0f x '>01x <<()f x 0,1[)1,0-51,4⎛⎤⎥⎝⎦，，，，所以的值域为．又因为在上单调递增，所以的值域为． 问题转化为直线和曲线的图象只有一个交点， 结合图象，有，解得a 的取值范围是． （2）由（1）可知，问题转化为与曲线，二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有，解得a 的取值范围是．22．【答案】（1）；（2）是，定值为．【解析】（1）当轴时，点的横坐标代入椭圆的方程，可得点的纵坐标，由题意知，，， 又当轴时，，，得，且，，∴椭圆的标准方程为．（2）为定值，且定值为，理由如下：由（1）得，，，设，，，直线的方程为，联立方程可得，整理得，则，， 由，，三点共线可得，①，，，②5(11)f a -=-()01f =()11f a =-5251432a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x []1,15a -()g x 51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 335,24216a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦335,,24216a a y t t ⎡⎤=∈+-⎢⎥⎣⎦()51,4y f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎛⎫= ⎪⎝⎣⎭⎦31243515216a a aa ⎧-<+⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩28,575⎛⎤-- ⎥⎝⎦335,,24216a a y t t ⎡⎤=∈+-⎢⎥⎣⎦()y f x =51,4x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭31242535132216a a a ⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩162,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭2212x y +=π2PQ x ⊥P P x c =C P 2P b y a=1c =(,0)A a -(0,)D b OP x ⊥//OP AD 2b b a a∴=1b =222a cb -=2a ∴=C 2212x y +=MFN∠π2()2,0A -(0,1)D ()2,0B()11,Px y ()22,Q x y ()3,M t y PQ 1x my =+221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩()222210m y my ++-=12222my y m -+=+12212y y m -=+A P M 31122t x =++221112x y +=()()2211112222y x x x ∴=-=-+111122x x -∴=+③由，，④,，分别将，，将，， 设，同理可得，由，，，⑤由③⑤得，，为定值．112x y =B Q M =)(12122x xy y =111x my =+221x my =+)()2121212132m y y my y y y -++-+=12222m y y m -+=+12212y y m -=+3=-2t ∴=()4,N t y '2t '=B P N =341y y =-()()343421,21,10FM FN y y y y ∴⋅=-⋅-=+=2πMFN ∴∠=。

2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。

y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。

假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。

已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。

2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设f(z)=z，z1=3+4i，z2=−2−i，则f(z1−z2)等于()A. 1−3iB. −2+11iC. −2+iD. 5+5i2.集合A={x|2x−1x+1≤0}，集合B={x|y=√log12(1−x)}，则集合A∪B等于()A. [0,12] B. (−1,+∞) C. (−1,1) D. [−1,+∞)3.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，满足f(2)=1且对于定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么f(2)+f(4)的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为()A. 83B. 108C. 75D. 635.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3，则<a⃗−b⃗ ，b⃗ >=()A. 5π6B. π2C. π3D. π66.已知直线l：ax+y−2=0与⊙C：(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，则△ABC为钝角三角形的充要条件是()A. a∈(1,3)B. a∈(2−√3,2+√3)C. a∈(2−√3,1)∪(1,2+√3)D. a∈(−∞,2−√3)∪(2+√3,+∞)7.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A. f(x)=√3cos(x−π6)B. f(x)=√3cos(x+π6)C. f(x)=√3cos(x2−π6)D. f(x)=√3cos(x2+π6)8.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为()A. 8B. 10C. 12D. 14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x=1对称，则下列说法中正确的有()A. y=g(f(x)+1)为偶函数B. y=g(f(x))为奇函数C. y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D. y=f(g(x+1))为偶函数10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A. 直线B1D⊥平面A1C1DB. 二面角B1−CD−B的大小为π2C. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值D. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]11.已知实数a，b满足a2−ab+b=0(a>1)，下列结论中正确的是()A. b≥4B. 2a+b≥8C. 1a +1b>1 D. ab≥27412.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点(其中A在B的上方)，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.则()A. |PM|=|NQ|B. 若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2√2C. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|>|OQ|D. 若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|>|OQ|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知二项式(3√x−1x)n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______ ．14.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=AC，∠BAC=90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB=θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______ ．15. 已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =lnx +m 的切线，则实数k = ______ ，实数m =______ ． 16. 已知函数f(x)=(1+x2+x)2log−22x +1+2，x ∈R ，若∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2成立，则实数m 的范围为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)．(1)若{a n }为等差数列，S 11=165，a 3+a 8=28，求{a n }的通项公式；(2)若数列{S n }满足12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5，求S n ．18. 在平面四边形ABCD 中，AB =4，AD =2√2，对角线AC 与BD 交于点E ，E 是BD 的中点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)若∠ABD =π4，求BC 的长；(2)若AC =3，求cos∠BAD ．19. 近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710，其中对商品和服务均为好评的有80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求对商品和服务全好评的次数X 的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，∠ASD=90°，且SC=2．(1)证明：平面SAD⊥平面ABCD；(2)当四棱锥S−ABCD的体积最大时，求二面角B−SC−D的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)．(1)求椭圆C的方程；(2)设A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．22.已知函数f(x)=e x−ax−1，g(x)=kx2．(1)当a>0时，求f(x)的值域；−x恒成立，求k的取值范围．(2)令a=1，当x∈(0,+∞)时，f(x)≥g(x)ln(x+1)答案和解析1.【答案】D【解析】解：z1=3+4i，z2=−2−i，则z1−z2=5+5i，∵f(z)=z，则f(z1−z2)=z1−z2=5+5i．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.【答案】C(1−x)≥0}={x|0<1−x≤1}={x|0≤x<1}，【解析】解：∵A={x|−1<x≤12},B={x|log12∴A∪B=(−1,1)．故选：C．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，∴f(4)=2．∴f(2)+f(4)=1+2=3，故选：C．由f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)，可得f(4)=2，从而得到所求．本题考查抽象函数的应用，求出f(4)=2，是解题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60−48=12=3∴第三个n项的和为：12×1248∴前3n项的和为60+3=63故选D根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n项的和．解题的关键是利用等比数列每k项的和也成等比数列的性质．5.【答案】B，【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，| b⃗⃗⃗ |=1，且<a⃗，b⃗ >=π3∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√3，∴cos <a ⃗ −b ⃗ ，b ⃗ >=(a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ |a ⃗ −b⃗ |⋅|b ⃗ |=2×1×12−123×1=0，又因为向量的夹角θ∈[0,π]．∴<a ⃗ −b ⃗ ，b ⃗ >=π2， 故选：B ．根据已知条件求出|a ⃗ −b ⃗ |，再代入夹角计算公式即可求解．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：⊙C ：(x −1)2+(y −a)2=4的圆心为C(1,a)，半径r =2， 故点C 到直线l ：ax +y −2=0的距离为d =√a 2+1=√a 2+1，故AB =2√4−d 2=4√2aa +1，又CA =CB =2，因为△ABC 为钝角三角形，故AC 2+BC 2<AB 2，即4+4<16⋅2aa +1，化简可得a 2−4a +1<0， 解得2−√3<a <2+√3，当三点A ，B ，C 共线时，有a +a −2=0，即a =1，此时△ABC 不存在， 所以△ABC 为钝角三角形的充要条件是a ∈(2−√3,1)∪(1,2+√3). 故选：C ．利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出d ，再利用弦长公式求出AB ，然后结合△ABC 为钝角三角形，列出关于a 的不等式求解即可．本题考查了直线与圆位置关系的应用，涉及了点到直线距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为AC 2+BC 2<AB 2，属于中档题． 7.【答案】D【解析】解：由图知，A =√3，把点(0,32) 代入f(x)得，√3cosφ=32，∴cosφ=√32，∵φ∈(0,π)，∴φ=π6，∴f(x)=√3cos(ωx +π6)，把点(5π3,−√3)代入得，cos(5π3ω+π6)=−1，∴5π3ω+π6=π+2kπ，k ∈Z ，∴ω=12+65k ，k ∈Z ， ∵ω>0，∴ω=12， ∴f(x)=√3cos(12x +π6)， 故选：D ．根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，考查数形结合思想，属中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C31×2=6种安装方案，则有2+6=8种不同的安装方案，故选：A．根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+ x)，据此分析选项：对于A，对于y=g(f(x)+1)，g(f(−x)+1)=g(1−f(x))=g(f(x)+1)，则函数y=g(f(x)+1)为偶函数，A正确；对于B，对于y=g(f(x))，有g(f(−x))=g(−f(x))≠−g(f(x))，不是奇函数，B错误；对于C，g(x)图象关于直线x=1对称，则函数y=f(g(x))图象关于直线x=1对称，C正确；对于D，g(x)图象关于直线x=1对称，则g(1−x)=g(1+x)，对于y=f(g(x+1))，有f(g(−x+1))= f(g(x+1))，则f(g(x+1))为偶函数，D正确；故选：ACD．根据题意，由函数奇偶性的性质以及对称性依次分析选项，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和函数图象的对称性，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1=C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；在C中，∵A1D//B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C//平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值，故C 正确；在D 中，当点P 与线段B 1C 的端点重合时，异面直线AP 与A 1D 所成角取得最小值为π3， 故异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]，故D 错误，故选：AC ．直接证明直线B 1D ⊥平面A 1C 1D 判断A ；由正方体的结构特征判断B ；证明三棱锥P −A 1C 1D 的体积为定值判断C ；求出异面直线AP 与A 1D 所成角的最小值判断D ．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直、多面体的体积及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题． 11.【答案】AD【解析】解：实数a ，b 满足a 2−ab +b =0(a >1)， A .b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2≥2√(a −1)⋅1a−1+2=4，当且仅当a =2时取等号，因此正确；B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4≥2√3(a −1)⋅1a−1+4=2√3+4，当且仅当a =1+√33取等号，因此不正确； C .∵a >1，∴1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a2+2a=−(1a −1)2+1<1，因此不正确； D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).f′(x)=2x 2(x−32)(x−1)2，可得x =32时，函数f(x)取得极小值，即最小值． f(32)=(32)332−1=274，∴f(x)≥274，即ab ≥274，因此正确．故选：AD ．A .由验证可得：b =a 2a−1=a 2−1+1a−1=a +1+1a−1=a −1+1a−1+2，利用基本不等式即可判断出正误；B .2a +b =2a +a +1+1a−1=3(a −1)+1a−1+4利用基本不等式即可判断出正误；C .由a >1，可得1a∈(0,1)，1a+1b=1a+a−1a 2=−1a2+2a=−(1a−1)2+1>1，利用二次函数的单调性即可判断出正误； D .ab =a ⋅a 2a−1=a 3a−1，令f(x)=x 3x−1，(x >1).求出f′(x)，利用导数研究函数的单调性即可判断出正误． 本题考查了基本不等式、二次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12.【答案】AB【解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，k >0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1， ∴x M =x 1+x 22=1+2k 2，y M =k(x M −1)=2k ，直线MN 的方程为y =2k ，∵O ，P ，A 共线， ∴x P x 1=y P y 1，x P =x 1y P y 1=2x 1ky 1=y 122ky 1=y 12k，同理x Q =y22k ，x P +x Q =y 1+y 22k=y M k=2k 2，x M +x N =1+2k2−1=2k 2=x P +x Q ，∴x M −x P =x Q −x N ，即|MP|=|NQ|，A 正确； 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则|PQ|=13|MN|，y 1−y 22k=13(1+2k2+1)=13(2+2k 2)，y 1−y 2=4(k 2+1)3k，又y 1+y 2=2y M =4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2(x 1x 2−x 1−x 2+1)=−4， ∴y 1−y 2=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16k 2+16， ∴√16k 2+16=4(k 2+1)3k，解得k =2√2，(∵k >0)，B 正确；由k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，得x =k 2+2±2√k 2+1k 2，x 2=k2+2−2√k 2+1k 2，∴y 2=k(x 2−1)=2−2√k 2+1k，x Q =y 22k =1−√k 2+1k 2，又y Q =y M =2k ，∴|OQ|=(1−√k 2+1k2)2+(2k)2=√2+5k 2−2√k 2+1k 2，|PQ|=y 1−y 22k=2√1+k 2k 2，∴|OQ|2−|PQ|2=5k 2+2−2√k 2+1−4(1+k 2)k 4=(1+√k 2+1)(√k 2+1−3)k 4，当k >2√2时，|OQ|>|PQ|，C 错误；由图可知|NQ|≤1，而|OQ|≥y Q =2k ，只要0<k <2，就有|OQ|>1>|NQ|，D 错误，故选：AB ．设直线AB 的方程为y =k(x −1)，k >0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质，可判断A；若P，Q是线段MN的三等分点，则|PQ|=13|MN|，运用韦达定理和弦长公式，可得直线AB的斜率，可判断B；运用求根公式，求得Q的坐标，结合|OQ|2−|PQ|2的表达式，可判断C；由图可知|NQ|≤1，由|OQ|的范围和k的取值，可判断D．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】1215【解析】解：∵二项式(3√x−1x)n的展开式中，所有项的系数之和为2n=64，∴n=6．∴它的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅36−r⋅x3−3r2，令3−3r2=0，可得r=2，故二项式(3√x−1x)n的展开式的常数项为C62⋅34=1215，故答案为：1215．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．14.【答案】(10000√5+25000)m2【解析】解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，s△AOB=12×OA×OB×sinθ=10000sinθ；在三角形△AOB中，AB2=OB2+OA2−2OB×OA×cosθ=50000−40000cosθ，三角形△ABC为等腰直角三角形，∴s△ABC=12AB×AC=12AB2=25000−20000cosθ，所以“直接监管覆盖区域”面积为s△AOB+s△ABC=25000+10000sinθ−20000cosθ=25000+10000√5sin(θ−α)，其中tanα=2，当sin(θ−α)=1时，面积取得最大值为25000+10000√5，故答案为：25000+10000√5．由题意“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，列出关于θ的函数关系式，即可解决．本题考查了函数的应用，三角函数最值的求法，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】e 2【解析】解：对于y=e x，设切点为(n,e n)，因为y′=e x，故切线斜率k=e n，故切线方程为y−e n=e n(x−n)，由已知得切线过(0,0)，所以−e n=e n(−n)，故n=1，所以k=e．对于y=lnx+m，设切点为(c,lnc+m)，所以y′=1x ，因为切线为y=ex，得y′|x=c=1c=e，所以c =1e ，所以切点为(1e ,1)，代入y =lnx +m 得1=ln 1e +m ，所以m =2．故答案为：e ；2．根据y =kx 是y =e x 的过原点的切线，求出k 的值，然后再对y =lnx +m 设切点，求切线方程，利用切线方程为y =kx ，列方程求出m 的值．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及公切线的性质，同时考查了学生运用方程思想解题的意识，数学运算的能力，属于中档题． 16.【答案】m >2【解析】解：令g(x)=f(x)−1=(1+x2+x)2log−22x +1+1，则g(−x)=f(−x)−1=(1+x2−x)2log−22−x +1+1，而g(x)+g(−x)=log 21+2−22x +1−2×2x 2x +1=0，所以g(x)是奇函数，而(1+x2−x)2log在R 上单调递增，−22x +1+1在R 上单调递增，所以g(x)是在R 上的单调递增函数且为奇函数，而f(2sinθ⋅cosθ)+f(4−2sinθ−2cosθ−m)<2可变形成f(2sinθ⋅cosθ)−1<1−f(4−2sinθ−2cosθ−m)，即g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)=g(2sinθ+2cosθ+m −4)，由g(x)是在R 上的单调递增函数，则∃θ∈[0,π2]使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ<2sinθ+2cosθ+m −4成立， 即−m <2(sinθ+cosθ)−2sinθ⋅cosθ−4，设t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)，θ∈[0,π2]，则t ∈[1,√2]，2sinθ⋅cosθ=t 2−1，令ℎ(t)=2t −(t 2−1)−4=−t 2+2t −3=−(t −1)2−2，t ∈[1,√2]，则ℎ(t)的最大值为−2， 所以−m <−2即m >2．综上所述：实数m 的范围为m >2． 故答案为：m >2．构造函数g(x)=f(x)−1，然后研究该函数的单调性和奇偶性，将条件变形成g(2sinθ⋅cosθ)<−g(4−2sinθ−2cosθ−m)，利用奇函数和单调性可得不等式，将m 分离，利用换元法求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．本题主要考查函数恒成立问题，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了构造法和换元法的应用，属于中档题．17.【答案】(1)由题意可设等差数列的公差为d ， 则{11a 1+55d =1652a 1+9d =28，解得{a 1=5d =2，∴a n =2n +3； (2)当n =1时，12S 1=8，∴a 1=S 1=16， 当n ≥2时, 12S 1+122S 2+⋯+12n S n =3n +5,①12S 1+122S 2+⋯+12n−1S n−1=3n +2,② ①−②得，12n S n =3，∴S n =3⋅2n ， 当n =1时，S 1=16不适合上式， ∴S n ={16,n =13⋅2n ,n ≥2．【解析】(1)利用等差数列的性质解题； (2)求通项注意检验n =1时是否成立．本题考查了等差数列的性质，以及通项公式的求法，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理知，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD ， ∴8=16+BD 2−2⋅4⋅BD ⋅cos π4，化简得BD 2−4√2BD +8=0， 解得BD =2√2，∵E 是BD 的中点，∴BE =12BD =√2，在△ABE 中，由余弦定理知，AE 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cos∠ABD =16+2−2×4×√2×√22=10，∴AE =√10，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC =32AE =3√102， 由余弦定理知，cos∠BAC =AB 2+AE 2−BE 22AB⋅AE=16+10−22×4×√10=3√10，在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =16+(3√102)2−2×4×3√102×3√10=52，∴BC =√102．(2)∵AC =3，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE =2， ∵∠AEB +∠AED =π， ∴cos∠AEB =−∠AED ， 设BE =DE =x ， 则AE 2+BE 2−AB 22AE⋅BE=−AE 2+DE 2−AD 22AE⋅DE，即4+x 2−162⋅2x=−4+x 2−82⋅2x，解得x =2√2，∴BD =2BE =4√2，在△ABD 中，由余弦定理知，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=2×4×2√2=−√24．【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理求得BD =2√2，再在△ABE 中，由余弦定理可得AE =√10，进而得cos∠BAC 的值，然后在△ABC 中，再次利用余弦定理，即可得解；(2)由cos∠AEB =−∠AED ，结合余弦定理可求得BE 的长，再在△ABD 中，利用余弦定理，得解． 本题主要考查解三角形中余弦定理的运用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 2×2列联表如下：K 2=200(1600−2400)2140×60×120×80=1.587，1.587<2.706，所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好好评与题务好评有关． (2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4． 其中P(X =0)=(35)4=8154:P(X =1)=C 41(25)(35)3=21654;P(X =2)=C 42(25)2(35)2=21654;P(X =3)=C 43(25)3(35)=9654，P(X =4)=(25)4=1654，由于X ∽B(4,25).则E(X)=85．【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，期望，属于中档题． (1)列二联表，求K 2,再判断；(2)对商品和服务全好评的次数为随机变量可以是0，1，2，3，4． 求出对应的概率，列分布列，进而求E(X)=85．20.【答案】解：(1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，∵∠ADC =∠ABC =60°，且AD =DC ，又AD =CD =2，则△ACD 为正三角形，∴CO ⊥AD ，CO =√3， 又∵∠ASD =90°，∴△ASD 为直角三角形，∴SO =12AD =1， 在△ACS 中，CO 2+SO 2=SC 2，则CO ⊥SO ， 又AD ∩SO =O ，AD 、SO ⊂平面ADS ， ∴CO ⊥平面ADS ，又∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)∵∠ASD =90°，则点S 在以AD 为直径的圆上，且SO =1， 设点S 到平面ABCD 的距离为d ，∴V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ， 而S 矩形ABCD =2×12×2×2×sin60°=2√3， ∴当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大， 此时SO ⊥平面ABCD ，又由(1)可知CO ⊥AD ，如图建系，则B(√3,−2,0)，S(0,0，1)，C(√3,0，0)，D(0,1，0)， 则BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BS⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y +z =0m⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0，取x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,0，√3)， 设平面SCD 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅SC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3a −c =0n ⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,√3,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√7=2√77， 设二面角B −SC −D 的平面角为θ，经观察θ为钝角，则cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−2√77， 故二面角B −SC −D 的余弦值为−2√77．【解析】(1)取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，推导出CO ⊥AD ，CO ⊥SO ，从而CO ⊥平面ADS ，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD ．(2)设点S 到平面ABCD 的距离为d ，则V S−ABCD =13⋅S 矩形ABCD ⋅ℎ，当d 取最大值时四棱锥S −ABCD 的体积最大，此时SO ⊥平面ABCD ，建系，利用向量法能求出二面角B −SC −D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考相推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题． 21.【答案】解：(1)根据题意可得{c =√31a 2+(√32)2b 2=1， 解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线A 2M 的方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)， 直线A 1B 的方程为y =12x +1， 联立{y =k(x −2)y =12x +1，解得P(4k+22k−1,4k2k−1)， 联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 所以2x M =16k 2−44k 2+1，则x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1，即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)， 所以k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k，于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)， 直线A 2B 的方程为y =−12x +1，联立{y =−14k(x +2)y =−12x +1，解得Q(4k+22k−1,−22k−1)， 于是x P =x Q ， 所以PQ ⊥x 轴，设PQ 的中点为N ，则点N 的纵坐标为4k2k−1+−22k−12=1，所以PQ的中点在定直线y=1上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|．所以△BPQ为等腰三角形．【解析】(1)根据焦点为(−√3,0)，且过点(1,√32)，列方程组，解得a，b，进而可得答案．(2)设直线A2M的方程为y=k(x−2)(k≠0且k≠±12)，写出直线A1B的方程，在联立直线A2M与直线A1B的方程，解得P点坐标，联立直线A2M与椭圆的方程，结合韦达定理，可得M坐标，进而可得k A1M，再写出直线A1M的方程，直线A2B的方程，联立解得Q的坐标，推出x P=x Q，即PQ⊥x轴，进而可得PQ的中点为N纵坐标1，即可得出答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=e x−ax−1，所以f′(x)=e x−a，令f′(x)=0，解得x=lna，所以f(x)在(−∞,lna]上单调递减，在区间[lna,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(lna)=e lna−alna−1=a−alna−1，故函数f(x)的值域为[a−alna−1,+∞)；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x可变形为[f(x)+x]ln(x+1)≥kx2(x>0)，即(e x−1)ln(x+1)≥kx2，所以k≤(e x−1)ln(x+1)x2=e x−1xxln(x+1)=e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)，因为f(x)≥g(x)ln(x+1)−x对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=e x−1x，则m′(x)=(x−1)ex−1x2，令n(x)=(x−1)e x+1，则n′(x)=xe x，因为x>0，所以n′(x)>0，故n(x)在(0,+∞)上单调递增，所以n(x)>n(0)=0，故m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增，则m(x)>0(x>0)，又由(1)可知，当a=1，且x>0时，f(x)=e x−x−1的值域为(0,+∞)，即f(x)=e x−x−1>0，所以e x>x+1恒成立，即x>ln(x+1)，所以m(x)>m(ln(x+1))，即m(x)m(ln(x+1))>1，又k≤m(x)m(ln(x+1))对x∈(0,+∞)恒成立，所以k≤1，故实数k的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数判断函数f(x)的单调性，从而求出f(x)的最值，即可得到f(x)的值域；(2)当a=1时，f(x)=e x−x−1，将不等式f(x)≥g(x)ln(x+1)−x进行变形，最终化为k≤e x−1xe ln(x+1)−1ln(x+1)对x∈(0,+∞)恒成立，令m(x)=e x−1x，然后利用导数研究函数m(x)的单调性，结合(1)中的结论可推导出即x>ln(x+1)，从而得到m(x)m(ln(x+1))>1，即可求出k的取值范围．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的性质，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求得参数的取值范围，属于难题．。

2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共8题；共40分）1.复数frac{2- i}{1-3i}$$在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,3,6\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A∩(\complement_U B)=（）$A。

$\{3\}$ B。

$\{1,6\}$ C。

$\{5,6\}$ D。

$\{1,3\}$3.抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则 $p=$（）A。

1 B。

2 C。

$2\sqrt{2}$ D。

44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。

在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。

将地球看作是一个球心为O，半径$r$ 为6400km的球，其上点A的纬度是指$\angle OAB$ 与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为$S=2\pi r^2(1-\cos\alpha)$（单位：$km^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（）A。

26% B。

34% C。

42% D。

50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A。

$20+12\sqrt{3}$ B。

$28\sqrt{2}$ C。

$\frac{28\sqrt{2}}{3}$ D。

$56$6.某物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^2)$，下列结论中不正确的是（）A。

2021年山东省实验中高考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A．1B．0C．2D．﹣23．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A．28B．29C．30D．315．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c 的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．16．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A．48B．50C．98D．688．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（）A．2B．2log23C．4D．4log23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（二）一、单项选择题（每小题5分）．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|lnx≥0}，则（）A．A∪B＝B B．A∩B＝A C．（∁U A）∩B＝∅D．∁U B⊆∁U A2．已知复数z1＝﹣2+i，，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是（）A．B．C．5D．103．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知△ABC三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若，则|＝（）A．6B．8C．10D．125．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若对于任意的x∈R，g（x）≤|g（）|，则a的值可以为（）A．B．C．D．6．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为（）A．B．C．D．7．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}，，其中f（n）为最接近的整数，若{a n}的前m项和为20，则m＝（）A．15B．30C．60D．110二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知＜＜0，则下列结论一定正确的是（）A．a2＜b2B．C．lga2＞lgab D．|a|a＜|a|b10．已知双曲线C：＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则（）A．双曲线C的离心率为B．焦点到渐近线的距离为3C．点P到两条渐近线的距离之积为D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为311．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M，N分别为棱CC1，CB，CD 上的动点（点P不与点C，C1重合），若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A．存在点P，使得点A1到平面PMN的距离为B．用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C．BD1∥平面PMND．用平行于平面PMN的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为12．用符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[0.6]＝0，[2.3]＝2．设f（x）＝（1﹣lnx）（ax2+2lnx）有3个不同的零点x1，x2，x3，则（）A．x＝e是f（x）的一个零点B．x1+x2+x3＝2+eC．a的取值范围是（﹣，0）D．若[x1]+[x2]+[x3]＝6，则a的范围是[﹣，﹣）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为．14．如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB．O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD ＝米，则圆弧的长为米．15．请你举出与函数f（x）＝e2x﹣1在（0，0）处具有相同切线的一个函数．16．如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1与l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，给出下列四个命题：①“距离坐标”为（1，0）的两点间距离为2；②若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个；④若直线l1与l2的夹角是60°，则|OM|＝或|OM|＝．其中所有正确命题的序号为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①＝（cos B，2c﹣b），＝（cos A，a），且∥，②b＝a cos C+c sin A，③cos2A+cos A cos （C﹣B）＝sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）求A的值；（2）若a＝，△ABC的面积是，点M是BC的中点，求AM的长度．18．数列{a n}满足a1＝1，点（n，a n+a n+1）在函数y＝kx+1图象上，其中k为常数，且k≠0．（1）若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；（2）当k＝3时，求数列{a n}的前n项和S n．19．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数和方差s2；（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X服从正态分布N（μ，σ2），用作为μ的估计值，用s2作为σ2的估计值．随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21，2.71]的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼儿质量在[1.21，2.71]的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望．附：（1）数据t1，t2，…，t n的方差，（2）若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827；P （μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．20．如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点G为弧的中点，且C、E、D、G四点共面．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为，求直线DF与平面ABF 所成角的大小．21．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，M为C上的动点，其中M到F1的最短距离为1，且当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为k的动直线l过点F2，且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝cos x+﹣2，g（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式f（x）≥g（x）在x∈[0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（每小题5分）．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|lnx≥0}，则（）A．A∪B＝B B．A∩B＝A C．（∁U A）∩B＝∅D．∁U B⊆∁U A解：A＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，B＝{x|lnx≥0}＝{x|x≥1}，则B⫋A，A∪B＝A，A∩B＝B，（∁U A）∩B＝∅，故选：C．2．已知复数z1＝﹣2+i，，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是（）A．B．C．5D．10解：∵z1＝﹣2+i，∴＝，∴复数z1和z2所对应的两点的坐标分别为（﹣2，1），（1，2），两点间的距离为d＝．故选：B．3．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：根据题意，设与的夹角为θ，因为，所以，即，向量＝（1，），则||＝，则有，解得，又由0≤θ≤π，则θ＝，故与的夹角为；故选：D．4．已知△ABC三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若，则|＝（）A．6B．8C．10D．12解：抛物线x2＝8y的焦点F（0，2），准线方程为y＝﹣2，设A，B，C的纵坐标分别是y1，y2，y3，由，可得2﹣y1＝（y2﹣y1+y3﹣y2），化为y1+y2+y3＝6，由抛物线的定义可得，|＝y1+y2+y3+6＝6+6＝12．故选：D．5．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若对于任意的x∈R，g（x）≤|g（）|，则a的值可以为（）A．B．C．D．解：由函数的部分图象知，f（x）的图象过点（0，2），（，0），所以f（0）＝2sinφ＝2，可得sinφ＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（）＝2sin（ω+）＝0，解得ω+＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，又ω＞0，所以不妨当k＝1时，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x+），因为g（x）＝f（x﹣a）＝2sin[2（x﹣a）+]，所以g（）＝2sin[2（﹣a）+]＝2sin（﹣2a），又对于任意的x∈R，g（x）≤|g（）|，所以g（）＝2sin（﹣2a）＝±2，可得﹣2a＝kπ+，k∈Z，解得a＝kπ﹣，k∈Z，所以当k＝﹣1时，可得a＝．故选：C．6．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为（）A．B．C．D．解：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，基本事件总数n＝＝24，所表示的数字大于300包含的基本事件个数为：m＝＝21，则所表示的数字大于300的概率为P＝＝＝．故选：A．7．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．解：由题意得，所以当时，f（x t）有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为，故选：A．8．已知数列{a n}，，其中f（n）为最接近的整数，若{a n}的前m项和为20，则m＝（）A．15B．30C．60D．110解：由题意可得f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，f（6）＝2，f（7）＝3，f（8）＝3，f（9）＝3，f（10）＝3，f（11）＝3，f（12）＝3，...，可得依次为2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，...，因此a1+a2＝2×1＝2，a3+a4+a5+a6＝4×＝2，a7+a8+...+a12＝6×＝2，a13+a14+...+a20＝8×＝2，...，由20＝10×2，可得m＝2+4+6+8+...+20＝×10×（2+20）＝110．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知＜＜0，则下列结论一定正确的是（）A．a2＜b2B．C．lga2＞lgab D．|a|a＜|a|b解：因为＜＜0，则有b＜a＜0，对于A，因为b＜a＜0，所以a2＜b2，故选项A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以且，故，故选项B正确；对于C，因为b＜a＜0，所以a2＜ab，故lga2＜lg（ab），故选项C错误；对于D，因为|a|与1的大小关系不确定，故函数y＝|a|x的单调性不确定，故|a|a与|a|b的大小不确定，故选项D错误．故选：AB．10．已知双曲线C：＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则（）A．双曲线C的离心率为B．焦点到渐近线的距离为3C．点P到两条渐近线的距离之积为D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3解：双曲线C：＝1的a＝，b＝3，c＝2，则e＝＝2，故A错误；焦点（±2，0）到渐近线3x±y＝0，的距离为＝3，故B正确；设P（m，n），可得3m2﹣n2＝9，则点P到两条渐近线的距离之积为＝＝＝，故C正确；设P（m，n），可得3m2﹣n2＝9，又A（﹣，0），B（，0），可得k PA•k PB＝•＝＝＝3，故D正确．故选：BCD．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M，N分别为棱CC1，CB，CD 上的动点（点P不与点C，C1重合），若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A．存在点P，使得点A1到平面PMN的距离为B．用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C．BD1∥平面PMND．用平行于平面PMN的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为解：对于A：连接A1C1，BC1，A1B，BD，C1D，A1D，B1C，如图示：∵CP＝CM＝CN，∴MN∥BD，NP∥C1D，MP∥BC1，且平面MNP∥平面BC1D，又已知三棱锥A1﹣BC1D各条棱长均为，则三棱锥A1﹣BC1D为正四面体，故A1到平面BC1D的距离为：＝，∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，∴B1⊥A1C，同理可得C1D⊥A1C，且BC1∩C1D＝C1，∴A1C⊥平面BC1D，又∵A1C＝，∴A1到平面PMN的距离∈（，），且＜＜，故A正确；对于B：连接D1P并延长交DC的延长线于点Q，连接QM并将其延长与AD相交于点A′，如图示：∵CP＝CM，且CP∥DD1，CM∥AD，则＝＝，∴DA′＝DD1，故A′即为A，连接AD1，∴过点P，M，D1的截面为四边形AD1PM，由条件可知MP∥BC1，BC1∥AD1，且|MP|≠|AD1|，∴四边形AD1PM为梯形，故B正确；对于C：连接BD1，由A可知平面MNP∥平面BC1D，如图示：又∵B∈平面BC1D，D1∈平面BC1D，故BD1不平行于平面BC1D，故BD1∥平面PMN不成立，故C错误；对于D：在BB1上取点P1，过点P1作P1P2∥MP交B1C1于点P2，过P2作P2N1∥MN交C1D1于N1，以此类推，如图示：依次可得点N2，M1，M2，此时截面为六边形，根据题意可知：平面P1P2N1N2M1M2∥平面MNP，不妨设BP1＝x，则P1M2＝P2N1＝N2M1＝x，故P1P2＝N1N2＝M1M2＝（1﹣x），故六边形的周长为：3[x+（1﹣x）]＝3，故D正确；故选：ABD．12．用符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[0.6]＝0，[2.3]＝2．设f（x）＝（1﹣lnx）（ax2+2lnx）有3个不同的零点x1，x2，x3，则（）A．x＝e是f（x）的一个零点B．x1+x2+x3＝2+eC．a的取值范围是（﹣，0）D．若[x1]+[x2]+[x3]＝6，则a的范围是[﹣，﹣）解：令f（x）＝0，则1﹣lnx＝0或ax2+2lnx＝0，由1﹣lnx＝0解得x1＝e，故选项A正确；又f（x）有3个不同的零点，故ax2+2lnx＝0有两个不同的零点，即有两个不同的零点，不妨设这两个零点为x2，x3（x2＜x3），∴函数的图象与直线y＝a有两个不同的交点，由得，令g′（x）＝0，解得，易知g（x）在单减，在单增，且，作出g（x）的大致图象如下，由图象可知，，显然g（x）不关于对称，故，∴，选项B错误；又要使函数的图象与直线y＝a有两个不同的交点，则，注意到e不是此时的零点，∴ae2+2lne≠0，即，∴，选项C错误；又[x1]＝[e]＝2，[x2]＝1，∴[x3]＝3，∴3≤x3＜4，∴g（3）≤g（x3）＜g（4），即，选项D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为﹣320．解：∵的展开式中各项系数的和为（a+1）（1﹣2）6＝3，∴a＝2，故的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）6﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，令6﹣2r＝1，求得r无整数解．那么的展开式中的常数项为a××（﹣2）3＝2×20×（﹣8）＝﹣320，故答案为：﹣320．14．如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB．O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD ＝米，则圆弧的长为50π米．解：连结OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°﹣∠DOA＝180°﹣120°＝60°，在△OCD中，由正弦定理可得，，所以，解得，因为∠DCO＝∠COA，且0°＜∠COA＜120°，所以∠DCO＝∠COA＝45°，故圆弧的长为＝50π．故答案为：50π．15．请你举出与函数f（x）＝e2x﹣1在（0，0）处具有相同切线的一个函数y＝x2+2x，或y＝sin2x，或y＝2e x﹣2．解：函数f（x）＝e2x﹣1的导数为f′（x）＝2e2x，可得在（0，0）处切线的斜率为2，切线的方程为y＝2x，可取y＝x2+2x，其导数为y′＝2x+2，满足在（0，0）处的切线的斜率为2，y＝sin2x，其导数为y′＝2cos2x，满足在（0，0）处的切线的斜率为2，y＝2e x﹣2，其导数为y′＝2e x，满足在（0，0）处的切线的斜率为2，故答案为：y＝x2+2x，或y＝sin2x，或y＝2e x﹣2．16．如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1与l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，给出下列四个命题：①“距离坐标”为（1，0）的两点间距离为2；②若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个；④若直线l1与l2的夹角是60°，则|OM|＝或|OM|＝．其中所有正确命题的序号为③④．解：对于①，如图（1），P1（1，0），P2（1，0），|OP1|≥1，|OP2|≥1，则|P1P2|≥1+1＝2，故①错误；对于②，p＝q，则M在两直线l1，l2夹角的平分线上，如图（1）中l3，l4，故②错误；对于③，如图（2），若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，故③正确；对于④，建立如图（1）中平面直角坐标系，则l1：，l2：y＝0，设M（x，y），则p＝，q＝|y|，∴y＝±q，x＝，|OM|2＝x2+y2＝，则或，∴|OM|＝或|OM|＝，故④正确．故答案为：③④．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①＝（cos B，2c﹣b），＝（cos A，a），且∥，②b＝a cos C+c sin A，③cos2A+cos A cos （C﹣B）＝sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）求A的值；（2）若a＝，△ABC的面积是，点M是BC的中点，求AM的长度．解：选①：由m∥n得a cos B＝（2c﹣b）cos A，得sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，得sin（B+A）＝2sin C cos A，又sin（B+A）＝sin C，sin C≠0，所以，又0＜A＜π，所以．②因为，根据正弦定理得，所以，所以，所以．因为sin C≠0，所以，又0＜A＜π，所以．③因为cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C，所以cos A[﹣cos（B+C）+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，所以2cos A sin B sin C＝sin B sin C．因为B∈（0，π），C∈（0，π），所以sin B sin C≠0，所以，又0＜A＜π，所以．（2）在△ABC中，由，，得b2+c2﹣bc＝3．由△ABC的面积为，得bc＝2，所以b2+c2＝5．因为M是BC的中点，所以，从而，所以．18．数列{a n}满足a1＝1，点（n，a n+a n+1）在函数y＝kx+1图象上，其中k为常数，且k≠0．（1）若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；（2）当k＝3时，求数列{a n}的前n项和S n．解：（1）由a n+a n+1＝kn+1，可得a1+a2＝k+1，a2+a3＝2k+1，a3+a4＝3k+1，因为a1＝1，所以a2＝k，a3＝k+1，a4＝2k．又a1，a2，a4成等比数列，所以，则k2＝2k，又k≠0，故k＝2．（2）当k＝3时，a n+a n+1＝3n+1．当n为偶数时，S n＝（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+⋅⋅⋅+（a n﹣1+a n）＝；当n为奇数时，S n＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+⋅⋅⋅+（a n﹣1+a n）＝．综上所述，S n＝．19．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数和方差s2；（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X服从正态分布N（μ，σ2），用作为μ的估计值，用s2作为σ2的估计值．随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21，2.71]的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼儿质量在[1.21，2.71]的条数，利用（2）的结果，求ξ的数学期望．附：（1）数据t1，t2，…，t n的方差，（2）若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827；P （μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．解：（1），．（2）该鱼塘鱼儿质量X～N（μ，σ2），其中μ＝1.71，σ2＝0.25，所以．（3）由题意可知ξ～B（5000，0.8186），所以ξ的数学期望为E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点G为弧的中点，且C、E、D、G四点共面．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为，求直线DF与平面ABF 所成角的大小．【解答】（1）证明：连接CE，因为∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，即CE ⊥CG．因为BC∥EF，且BC＝EF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以BF∥EC，因此，BF⊥CG．因为BC⊥平面ABF，BF⊂平面ABF，所以BC⊥BF．又因为BC∩CG＝C，所以BF⊥平面BCG，又因为BF⊂平面BFD，所以平面BFD⊥平面BCG．（2）解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AF＝2，AD＝t，则A（0，0，0），B（0，2，0），F（2，0，0），D（0，0，t），G（﹣1，1，t），于是，，，．设平面BDF的一个法向量为，由，令z＝2，得．设平面ABG的一个法向量为，由，令z'＝1，得．由平面BDF与平面ABG所成的锐二面角的余弦值为，得，解得t＝2，即AD＝2．因为DA⊥平面ABF，所以∠DFA就是直线DF与平面ABF所成的角，在△ADF中，因为∠DAF＝90°，AD＝AF＝2，所以∠DFA＝45°，因此直线DF与平面ABF所成的角为45°．21．已知F1，F2分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，M为C上的动点，其中M到F1的最短距离为1，且当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为k的动直线l过点F2，且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．解：（1）设|F1F2|＝2c，则由题意可知，解得a＝2，c＝1，所以，故椭圆C的方程为．（2）为定值．证明：由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以．＝．所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，|AB|＝2a＝4，|PF2|＝c＝1，．综上，为定值．22．已知函数f（x）＝cos x+﹣2，g（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式f（x）≥g（x）在x∈[0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．解：（1），f'（x）＝x﹣sin x．令h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x．∵h'（x）≥0在R上恒成立，∴h（x）在R上单调递增．又∵h（0）＝0，∴当x＜0时，h（x）＜0；当x＞0时，h（x）＞0．即f'（0）＝0，当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，因此，f（x）的最小值为f（0）＝﹣1；（2）不等式f（x）≥g（x），即cos x+﹣2≥，等价于e bx﹣sin x+cos x﹣2≥0．设p（x）＝e bx﹣sin x+cos x﹣2，则由题意得p（x）≥0在x∈[0，+∞）内恒成立．p'（x）＝be bx﹣cos x﹣sin x，p'（0）＝b﹣1．①当b＜1时，p'（0）＜0，这时∃x0＞0，使当x∈（0，x0）时，p'（x）＜0，从而p（x）在[0，x0]上单调递减，又∵p（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，这与p（x）≥0在[0，+∞）内恒成立不符．②当b≥1时，对于任意的x≥0，bx≥x，从而e bx≥e x，这时p（x）≥e x﹣sin x+cos x﹣2．设q（x）＝e x﹣sin x+cos x﹣2，则q'（x）＝e x﹣cos x﹣sin x，设φ（x）＝e x﹣x﹣1，则φ'（x）＝e x﹣1．当x≥0时，φ'（x）≥0，∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增．又∵φ（0）＝0，∴当x≥0时，φ（x）≥0，即e x≥x+1．因此，q'（x）≥1﹣cos x+x﹣sin x≥0，∴q（x）在[0，+∞）上单调递增．又∵q（0）＝0，∴当x≥0时，q（x）≥0，从而p（x）≥0．综上，实数b的取值范围为[1，+∞）．。