九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除教案 新人教版

九年级数学教案设计【篇一：九年级数学上册全册教案(人教版)】成都戴氏高考中考学校荣县校区初中数学李庚老师《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3）掌握a≥0，b≥0）；（a≥0，b0）（a≥0，b0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，成都戴氏高考中考学校荣县校区初中数学李庚老师达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）（a≥0）?及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点2 1．a≥0）是一个非负数的理解；对等式＝a（a≥0）（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3 问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相x等的点的坐标是___________．a问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是s2，那么s=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得s=二、探索新知很明显，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的. c算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，a≥0）?的式子叫做二次根式，“（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a0老师点评:（略）1 例1．下列式子，哪些是二次根式，x”称为二次根号．（x0）-、1（x≥0，y?≥0）． x?y分析方数是正数或0．；第二，被开解：二次根式有：x0）、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、11、． x?yx例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?1 解：由3x-1≥0，得：x≥ 31 当x≥ 3三、巩固练习教材p练习1、2、3．四、应用拓展1 例3．当x在实数范围内有意义？ x?1分析的≥0和1x?11中的x+1≠0． x?1?2x?3?0 解：依题意，得? ?x?1?03 由①得：x≥- 2由②得：x≠-131 当x≥-且x≠-1在实数范围内有意义． 2x?1例4(1)已知，求x的值．(答案:2) y2(2)若，求a2004+b2004的值．(答案:) 5五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材p8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）a．- bcd．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）1a．5 b． c．d．以上皆不对 5abcd．【篇二：初中数学教学设计案例】初中数学教学设计【篇三：初中数学教学设计优秀案例(一)】《二元一次方程》教学设计一、教材的地位与作用《二元一次方程》是九年义务教育人教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。

二次根式运算中常见错误及原因一、忽视公式适用的条件例1.计算：)9()16(-⨯-.错解：原式=)16(-×)9(-=（-4）×（-3）=12.正解：原式=144=12. 错因分析及解题指导：本题有两处错误：错误一：忽视了公式b a ab ⋅=成立的条件：0≥a ，0≥b ，错误二：因为负数没有平方根，所以)16(-、)9(-无意义，无法化简．正确做法是先计算被开方数，再化简．例2.化简：2)32(-.错解：原式=32-. 正解：原式=32. 错因分析及解题指导：本题错用了公式a a =2这一公式．我们在运用a a =2要注意对其中的a 的正负进行分类讨论.二、忽视结果的化简例3.计算：242⨯.错解：原式=48.正解：原式=34.例4.计算：2421332--. 错解：原式=2132421324=--. 正解：原式=2232422324=--. 错因分析及解题指导：以上两例都错在对结果的化简上，在进行运算时，出现48，21时要对它们进行化简，使被开方数不含分母和开得尽的因数．另外在计算例4时还会出现下面的错误：错解：原式=221124221124=--. 这一错误主要是书写不规范造成的，其中的2211应写成223. 三、与乘法运算律混淆例5.计算：21227⨯÷.错解：原式=33133=÷.正解：原式=212133⨯⨯=323. 错因分析及解题指导：本题错将乘法结合律用在乘除混合运算上了.对于这类同级运算，应该按从左到右的顺序进行计算，乘除混合运算通常先将除法转变为乘法再计算．四、与算术平方根的积运算混淆例6.计算：22247+.错解：原式正解：原式=57649+例7.计算：1691. 错解：原式=43116911691=+=+. 正解：原式=451625=. 错因分析及解题指导：本题错用了算术平方根的运算，将算术平方根的和的运算与算术平方根的积运算混淆了．这类问题正确的处理方法是先计算被开方数再化简，如果被开方数是带分数，先将带分数化为假分数再计算．五、与算术平方根的商运算混淆例8.计算：2818-.错解：原式=3-2=1.正解：原式=22223-=22. 错因分析及解题指导：本题错将根号内的因数与根号外的因数直接相除，本题正确做法是先将被开方数化简，再计算．。

二次根式的乘除说课稿15篇二次根式的乘除说课稿篇1一、说教材本节课选自人教版九年级数学上册第二十一章二次根式第一节的内容。

“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。

*是在第13章实数(13.1平方根;13.2立方根;13.3实数)的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质、和运算。

*内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也为以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容打下重要基础。

二、说学情学生已经学习了平方根(算术平方根)等有关知识，有了一定的知识基础和认识能力。

本课时及后面的知识的学习，对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有了更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续的学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究与思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。

三、说教学目标根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标：1.知识与技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范围和被开方数的取值范围2.过程与方法：根据条件处理问题的能力及分类讨论问题的能力3.情感态度价值观：严谨的科学精神四、说教学重点和难点教学重点：二次根式中被开方数的取值范围教学难点：二次根式的取值范围五、说教法教学活动的本质是一种合作，一种交流。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。

为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。

六、说学法新课程标准指出：学生是学习的主体。

要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位。

二次根式教案四篇二次根式教案篇11、知识与技能：了解二次根式的概念，能求根号内字母范围，理解二次根式的双重非负性，并能应用它解决相关问题。

2、过程与方法：进一步体会分类讨论的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过小组合作学习，体验在合作探索中学习数学的乐趣。

1、重点：准确理解二次根式的概念，并能进行简单的计算。

2、难点：准确理解二次根式的双重非负性。

课本第2— 3页一、课前准备(预习学案见附件1)学生在家中认真阅读理解课本中相关内容的知识，并根据自己的理解完成预习学案。

二、课堂教学(一)合作学习阶段。

教师出示课堂教学目标及引导材料，各学习小组结合本节课学习目标，根据课堂引导材料中得内容，以小组合作的形式，组内交流、总结，并记录合作学习中碰到的问题。

组内各成员根据课堂引导材料的要求在小组合作的前提下认真完成课堂引导材料。

教师在巡视中观察各小组合作学习的情况，并进行及时的引导、点拨，对普遍存在的问题做好记录。

(二)集体讲授阶段。

(15分钟左右)1. 各小组推选代表依次对课堂引导材料中的问题进行解答，不足的本组成员可以补充。

2. 教师对合作学习中存在的.普遍的不能解决的问题进行集体讲解。

3. 各小组提出本组学习中存在的困惑，并请其他小组帮助解答，解答不了的由教师进行解答。

(三)当堂检测阶段为了及时了解本节课学生的学习效果，及对本节课进行及时的巩固，对学生进行当堂检测，测试完试卷上交。

(注：合作学习阶段与集体讲授阶段可以根据授课内容进行适当调整次序或交叉进行)三、课后作业(课后作业见附件2)教师发放根据本节课所学内容制定的针对性作业，以帮助学生进一步巩固提高课堂所学。

四、板书设计课题：二次根式(1)二次根式概念例题例题二次根式性质反思：二次根式教案篇2一、内容和内容解析1.内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。

2.内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.二、目标和目标解析1.教学目标(1)利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;(2)会进行简单的二次根式的除法运算;(3) 理解最简二次根式的概念.2.目标解析(1)学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则;(2)学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.三、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的'根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.四、教学过程设计1.复习提问，探究规律问题1 二次根式的乘法法则是什么内容?化简二次根式的一般步骤怎样?师生活动学生回答。

二次根式的运算一、目标认知(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.(1)理解，及利用它们进行计算和化简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值X围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.四、经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.思路点拨：直接利用计算即可．解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy；(5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6 +；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01) 解：原式=4---=≈×≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=+=+=(x+1)+x-2+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.。

九年级上册数学导学案编辑：授课教师：21.2.2二次根式的乘除法小组：学生：授课时间： 2015 年月日星期【学习目标】1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

【学习重点】掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

【学习难点】正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

一、衔接知识回顾：（3分钟）1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：（1）38×（-46）（2）36ab⨯12ab3、填空：（1（2=________（3二、自学探究：（学生独立完成后，互相对正。

）（一）、探究。

1、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？2、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：。

把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：。

（二）、自主检测（5分钟独立完成）1、自学课本例题，仿照例题完成下面的题目：计算：（1（22、自学课本例题，仿照例题完成下面的题目：化简：（1（2三. 探究、合作、展示（5分钟完成后讨论展示）1、计算：（1）482 （2） x x 823 （3）16141÷ （42、计算：（1（2）710÷； （3）2343ab b a ÷四、归纳小结 （理解3分钟总结）1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

五、课后延伸阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：(1)=__________六、达标检测A 组选择题 （1）． A ．27．27C．7 （2的结果是（ ） A ．．．．B 组用两种方法计算：（1（2）346 【我还存在的疑惑】。

21．1 二次根式（1）第一课时一、教学目标: a ≥0）的意义解答具体题目．二、教学重难点: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 三、 教学过程:例1． 下列式子，哪些是二次根式，1xx>0）、、、1x y+（x ≥0，y•≥0）．例2． 当x四、应用拓展：例3．当x 11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知，求xy的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值．五、归纳小结：1a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、课后作业： （一）选择题：1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BC ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．15D ．以上皆不对 （二）填空题：1．形如________的式子叫做二次根式；面积为a 的正方形的边长为_____；负数______平方根．（三）综合提高题：1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．21.1 二次根式(2)第二课时一、教学目标：a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．二、教学重难点：1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．2．难点：a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出2=a（a≥0）．三、教学过程：例1 计算）21．）2 2．（2 3．2 4．（2四、应用拓展：例2 计算1．2（x≥0） 2．23．2 4．2例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7．七、课后作业：（一）选择题：1二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 （二）填空题1．（2=______． 2_______数．（三）综合提高题 1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2 (5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-521.1 二次根式(3)第三课时一、教学目标： （a ≥0）并利用它进行计算和化简．二、教学重难点：1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 三、教学过程： 例1 化简（1（2（3（4四、应用拓展：例2、填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1），则a 可以是什么数？（2），则a 可以是什么数？（3），则a 可以是什么数？（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业： 1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8． 七、课后作业：（一）选择题：1）． A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0）．AC．（二）填空题：1．=________．2．是一个正整数，则正整数m的最小值是________．（三）综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│21．2 二次根式的乘除（1）第四课时a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简二、教学重难点：a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．三、教学过程：例1．计算：（1（2（3（4例2．化简：（1（2（3（4（5四、巩固练习：教材P11练习全部五、应用拓展：例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2六、归纳小结：本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．七、布置作业：1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．八、课后作业：（一）选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．．9cm D．27cm2．化简） A．．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．C．³．（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题1．一个底面为30cm³30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21．2 二次根式的乘除（2）第五课时一、教学目标：a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及利用它们进行运算．二、教学重难点：1（a ≥0，b>0）（a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 三、教学过程：例1．计算：（1（2（3（4例2．化简：（1（2（3 （4 四、巩固练习： 教材P14 练习1．五、应用拓展：例3=x 为偶数，求（1+x 的值．六、归纳小结： a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．七、布置作业：1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9． 八、课后作业：（一）选择题： 1．的结果是（ ）A ．27．27C ．72．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”的结果是（ ）A ．2B ．6C ．13D（二）填空题：1．分母有理化2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题：1：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算：（1²（m>0，n>0）（2）（a>0）21.2 二次根式的乘除(3)第六课时一、教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．二、重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．三、教学过程：例1．(1)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．四、巩固练习：教材P14练习2、3五、应用拓展：例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算BAC+）+1）的值．六、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 七、布置作业：1．教材P 15 习题21．2 3、7、10．八、课后作业： （一）选择题：1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．A ．．3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A =±12C 2D ．4的结果是（ ） A ． B ． C ．．（二）填空题：1．化简=_________．（x ≥0） 2．a 化简二次根式号后的结果是_________．（三）综合提高题：1．已知a 正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且21.3 二次根式的加减(1)第七课时一、教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．二、重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 三、教学过程：例1．计算：（1（2例2．计算：（1）（2）+ 四、巩固练习：教材P 19 练习1、2． 五、应用拓展：例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23-（x ）的值．六、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．七、布置作业： 1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5． 八、课后作业：（一）选择题：1．以下二次根式：；（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．下列各式：①17=1，其中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 （二）填空题：1．在、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．（三）综合提高题：1 2.236-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．21.3 二次根式的加减(2)第八课时一、教学目标：运用二次根式、化简解应用题．二、重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．三、教学过程：例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？三、巩固练习：教材P19 练习3四、应用拓展：例3．若最简根式3aa、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、布置作业：1．教材P21习题21．3 7．七、课后作业：（一）选择题：1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式） A．．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．．．（二）填空题：1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）ACQPBA C2m1m4m D（三）综合提高题：1．n 是同类二次根式，求m 、n21.3 二次根式的加减(3)第九课时一、教学目标：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 二、重难点关键：重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 三、教学过程：例1．计算:（1）（2）（例2．计算：（1））（ （2）））四、巩固练习：课本P 20练习1、2． 五、应用拓展： 例3．已知x b a-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，六、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 七、布置作业： 1．教材P 21 习题21．3 1、8、9． 八、课后作业：（一）选择题1． ）．A ．203．23．23．2032 ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 （二）填空题：1．（-12+2）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a 2b-ab 2=_________．（三）综合提高题： 12．当时，的值．（结果用最简二次根式表示）第二十二章一元二次方程第十课时一、教学目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念。

新课** “二次根式的乘除” 教 学 案 例

学校名称： 五中 课程名称： 数学 内容主题：二次根式的乘除 教材版本： 人教版 教师姓名： 孟丽花

简介： 本节内容出自九年级上册第21章第2节，采用“先学后导---自主合作---问题评价”的教学模式，运用自主、合作、探究的教学方法，通过生生、小组、师生互动，从而突出重点，突破难点，完成教学目标。体现了学生是学习的主人，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力。 授课 年级 九年级 学 科 数学 主 题 二次根式乘除（1） 任课 教师 孟丽花 课型 问题解决课 课时 1 授课日期 教 材 分 析 本节内容“二次根式乘除”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本节主要学习二次根式乘除运算，它是二次根式相关内容的发展，又是后面运算的基础，本节起到承上启下的作用。

学 生 分 析

本节内容让学生先复习二次根式的有关知识，学生通过自学，与实际问题联系，教师作为引路人，学生自主、合作、交流，练习操作，掌握解方程的方法。计算个别学生需进行个性化指导。

设 计 理 念

新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式乘除知识研究。教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。

教 学 目 标

知识目标：1、会做简单的二次根式乘、除法运算，并在此基础上会比较两个二次根式的大小。 2、充分进行讨论、交流，得到二次根式的乘法法则，进而归纳出除法法则。 能力目标：能够深刻理解应用二次根式乘除运算并能熟练应用。 情感目标：要注意培养自己的自学探索能力及运算能力。