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闭区间上连续函数可积性的证明(材料详实)

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42闭区间连续函数整体性质的证明

42闭区间连续函数整体性质的证明

有
f(x)f(i)1M。
定理2、（最值性）若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f ( x ) 在 a , b 取到最小
值m 与最大值 M
，即在
a , b 上存在 x
1 与x
，使
2
f (x1) m 与 f (x2) M
且x a,b ，有mf(x)M。
证法 只给出取到最大值的证明。根据定理1，函数f ( x ) 在 a , b 有界。设
因此，他们的证明要应用§4。1中描述实数集连续性的定理。
定理1.（有界性) 若函数f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 有
界，即 M 0 , x a,b，有
f (x) M
证法 有已知条件得到函数有 f ( x ) 在 a , b 的每一点的某个领域有界。要将
n个开区间
k k,k kk a ,b ,k1,2, ,n
也覆盖闭区间 a , b ，且 x kk,kk a,b，有 f(x) f(k)1,
k 1 ,2 , ,n。
取 Mmaxf(1), f(2), , f(n)1。于是， x a ,b , i 1 ,2 ,3 , ,n
，且 xii,ii a,b，
在 a , b 也连续。根据定理1，存在 C 0，x a,b 有
1 C M f (x)
或
f (x) M 1 C
即M 不是数集 f(x)xa,b的上确界，矛盾。于是x2 a,b，使
f (x2) M。
定理3.（零点定理） 若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 连续，且
即函数
1 1 , 在x 1 x 2 一致连续。
f (x) 1 a ,1

定积分的存在性定理

定积分的存在性定理

第五章第二讲、定积分的存在性定理定理1.2. 设函数y =f (x) 为定义在闭区间[a,b]上的有界函数。

则f (x)在[a,b]上可积当且仅当对于∀ε> 0，可以找到区间[a,b]的一个分割T a =x <x <<x −<x =b，使得:0 1 n 1 n∑∑n f nx (M m ) xi i [x ,x ] [x ,x ] ii 1 i 1 i−1 i i−1 i=ω∆==−∆<ε这里∆=−，x x x −i i i 1 M[ ,]=sup [ ,] f (x)x x x x xi 1 i i 1 i−∈−及i 1 i i 1 i−∈−。

m[ ,]=inf [ ,] f (x)x x x x x由上面这个定理，我们可以得到定理2.1. 若函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积.，则函数| f (x) | 在区间[a,b] 上也可积。

证明：因为函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积，由定理1.2，对于∀ε> 0，可以找到区间[a,b]的一个分割T a =x <x <<x −<x =b，使得:0 1 n 1 n∑，这里n fi=ω∆x <ε1i i ∆=−，x x x −i i i 1i 1 i i 1 i−∈−及M[ ,]=sup [ ,] f (x)x x x x x−∈−，i M x x m x x1 1ω=−称为函数在区间fm[ ,]=inf [ ,] f (x)x x x x x[ i, i] [ i, i]i i i i −1 −1 [ , ]x −x 上i 1 i的振幅。

注意到ω| f| ≤ω f 总是成立的，故对上述分割我们有i i∑∑。

n f n fi=ω∆x ≤i=ω∆x <ε1 1| |i i i i于是，我们证得函数| f (x) | 在区间[a,b] 上可积。

证毕。

定理2.2. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积，则 f (x)±g(x) 也在区间[a,b] 上可积.证明：首先证明 f (x)+g(x) 在区间[a,b] 上可积。

连续可导可积可微的关系证明过程

连续可导可积可微的关系证明过程

连续可导可积可微的关系证明过程连续可导、可积和可微是数学中三个重要的性质，它们之间存在一定的关系。

本文将以连续可导、可积和可微的关系为主题，探讨它们之间的联系和区别。

我们来介绍一下这三个性质的定义。

连续可导是指函数在某一点处既连续又可导。

连续意味着函数在该点附近没有跳跃或间断，而可导则表示函数在该点处存在切线。

连续可导的函数在该点处的导数存在且有限。

可积是指函数在某一区间上的积分存在且有限。

可积函数在某一区间上的曲线下面积有限，可以用定积分来计算。

可积函数通常也是连续的，但并不总是连续可导的。

可微是指函数在某一点处的导数存在且有限。

可微函数在该点处的导数表示了函数在该点处的变化率。

可微函数必然是可导的，但可导函数不一定可微。

接下来我们来探讨连续可导、可积和可微之间的关系。

连续可导的函数一定是可积的。

这是因为连续可导的函数在某一点处的导数有界，这意味着函数在该点附近的变化不会太大，从而函数在该区间上的曲线下面积有限。

因此，连续可导的函数一定是可积的。

然而，可积的函数不一定是连续可导的。

举个例子，函数f(x) = |x|在x=0处不可导，但是在整个实数轴上都是可积的。

这是因为虽然函数f(x)在x=0处存在一个“拐点”，但是在其他地方函数是连续的。

可微的函数一定是连续可导的。

这是因为可微性是连续可导性的一个更强的条件。

可微函数在某一点处的导数表示了函数在该点附近的变化率，而连续可导函数在该点处的导数存在且有限，说明函数在该点附近的变化率是有界的。

然而，连续可导的函数不一定是可微的。

举个例子，函数f(x) = |x|在x=0处不可微，但是在整个实数轴上都是连续可导的。

这是因为在x=0处函数的导数发生了突变，从左边的导数为-1变为右边的导数为1，因此函数在x=0处的导数不存在。

连续可导、可积和可微是三个重要的性质，在数学中有着不同的定义和性质。

连续可导的函数一定是可积的，可微的函数一定是连续可导的，但可积的函数不一定是连续可导的，连续可导的函数也不一定是可微的。

闭区间上有有限个间断点的有界函数可积

闭区间上有有限个间断点的有界函数可积
△ ∫0 arctan xdx = x arctan x |1 0 − ∫0
1 1
x
2
dx =
△ I =∫
2 2 4 e − 2( −e 2 x cos x) | 0 2 π π π π 1 3 2 2 2 2 e − 2) . − 4∫04 e 2 x cos xdx = e + 2e 2 − 2 − 4 I , ∴I = ( 5 2 2 1 1 1 t2 1 x 1 △ dx = ln 2 − ln(1 + x )dx = x ln(1 + x ) | 0 − dt = . 0 0 2(1 + x ) 01+ t 2 6 8 1 1 0 x +1= t x +1 △ ∫ dx = 6 ∫ t 2 dt = 6 ∫ (t 6 − t 4 + t 2 − 1 + 1 2 ) dt −1 1 + 3 x + 1 01+ t 0 1+ t 7 5 3 76 π = 6[ t − t + t − t + arctan t ]1 0 = 6( − 105 + 4 ). 7 5 3
b
g (b)
π 1 π 1 − ln(1 + x 2 ) |1 − ln 2 . 0= 4 2 4 2 1+ x xdx π2 1 1 − 2 arcsin x = + 2 1 − x 2 arcsin x |1 △ ∫ (arcsin x) 2 dx = x (arcsin x) 2 |1 0 0 ∫0 0 2 4 1− x dx π 1 − ∫ 2 1 − x2 = − 2. 0 2 4 1− x
b
b − b
b
b

闭区间上连续函数的性质(77)

闭区间上连续函数的性质(77)

f (an ) 0,
f (bn ) 0 ，bn an
1 2n
(b
a)
(n 1, 2,3,...)
由单调有界准则，{an} 和 {bn} 都收敛。
再由
lnim(bn
an )
lim
n
1 2n
(b
a)
0,
存在
c (a,b)，使得
lim
n
an
lim
n
bn
c。
由连续性和不等式性，
f
(c)
lim
n
f
(an )
[a, b] such that f ( ) C
1.10 闭区间上连续函数的 性质 17
介值定理的几何解释
f (x)
M
C
m
a
b
C m C M [a, b] f ( ) C 1.10 闭区间上连续函数的 性质 18
介值定理的几何解释
f (x)
M
C
m
a
b
即函数 f(x) 的值域为 [m, M]。
介值定理实质是说明值域 f([a, b]) 是一个没有
1.1缝0 闭隙区间的上连连续函通数的区间
性质 19
定理 3（介值定理）
设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在[a, b] 上的最大 值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = C。
若 f (c1) 0, 则令 a2 c1, b2 b1, 有 f (a2 ) 0, f (b2 ) 0（图1）；
若 f (c1) 0, 则令 a2 a1, b2 c1, 仍有 f (a2 ) 0, f (b2 ) 0）（图2）；

高等数学：第1章 第十节 闭区间上连续函数的性质

高等数学：第1章 第十节 闭区间上连续函数的性质

也无最大值和最小值。
1x
（2）f (x) 一定要在闭区间上连续，即不能有间断点。
x 1 , 0 x 1,
y
例4 y 1 ,
x 1
x 3 , 1 x 2
1•
f (x) 在 I = [ 0 , 2 ] 上有定义，且 有界，但无最大值和最小值。
1 2x
（3）最大值或最小值不一定唯一。 y y
至少有一个不超过 4 的 且
根据零点定理 ,不妨设 a0 0,
令 f ( x) a0 x2n1 a1x2n a2n1 ,
则
f
(
x)
x 2n1 (a0
a1 x
a2n1 x 2n1
)
lim f ( x) , lim f ( x) ,
x
x
由零点定理的推广得 f (x) 在 ( , + ) 内至少有 一个零点。
个数 C ，至少存在一点 ( a , b ) , 使 f ( ) = C。
证明：设 (x) = f (x) – C 则 (x) 在 [ a , b ] 上连续，且 (a) = f (a) – C = A – C (b) = f (b) – C = B – C
y B C •• A
a 1 2
• 3 b x
则称 f ( x0 )为 f (x) 在 I 上的最大值（或最小值）
f ( x1) 为 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上的最大值,
f ( x2 ) 为 f ( x) 在闭区间 [a, b]
a x1
y y f (x)
x2 bx
上的最小值,
1 , x 0 例1 y sgn x 0 , x 0
因为
取点
则
可以任意小

函数在区间上连续是函数在区间上可积的什么条件

函数在区间上连续是函数在区间上可积的什么条件

函数在区间上连续是函数在区间上可积的什么条件在数学中，可积性是指对于给定的函数以及一个特定的区间，我们是否可以对该函数在该区间上进行积分。

具体来说，如果我们可以找到一个叫做积分的数值，用来表示函数在区间上的面积，那么我们称该函数在这个区间上是可积的。

在采用黎曼积分的情况下，函数在区间[a,b]上的可积性需要满足以下两个条件：1.有界性：函数在区间上的取值范围必须是有界的。

也就是说，存在两个实数M和N，使得函数的值在区间[a,b]上的每个点x处满足M≤f(x)≤N。

2.零点集的测度为零：如果函数f在区间[a,b]上的零点集（即函数在一些点上取值为零的集合）的测度为零，则函数在该区间上可积。

由于函数在[a,b]区间上连续的定义是其在区间上处处连续，因此连续函数的一个显然的特性是其在区间上的取值范围是有界的。

因此，连续函数的有界性条件总是满足的。

但是，连续函数并不一定满足零点集的测度为零的条件。

因此，连续性只是可积性的一个必要条件。

另一方面，连续函数在一个紧致区间上（例如区间[a,b]）是可积的。

这个结果是由黎曼引理得出的，它表明在紧致区间上连续的函数必然是可积的。

该引理的证明可以通过两个关键步骤得出：第一步，根据连续函数的性质，我们可以将紧致区间[a,b]分成许多小的子区间，并选择一个适当的划分，使每个子区间上的函数值与区间上的任意点的函数值的差小于一个给定的ε>0。

第二步，通过对这些子区间上的函数值差的绝对值进行估计，我们可以找到一个上界，将所有这样的差值相加，并将其乘以子区间的长度。

从而得到一个上界，用来衡量函数的变动和区间长度之间的关系。

综上所述，函数在区间上连续是函数在该区间上可积的一个必要条件，但不是充分条件。

要使函数在区间上可积，除了连续性之外，还需要满足有界性和零点集的测度为零的条件。

闭区间上连续函数的性质4-2

闭区间上连续函数的性质4-2

证 不妨设 f (a ) 0, f (b ) 0, 并设
E { x | x [ a , b ] , f ( x ) 0 }.
(E为图中x 轴上的红 线部分)从几何上看, E 的最大值就是函数的 零点. 证明如下：
Oa
b
y
x
因为 a E , 所以 E , 又 E 是有界的, 故由确 界定理, x0 sup E 存在，显然 a x0 b. 我们来否定下面两种情形: 1. 若 f ( x0 ) 0，则有 a x0 b. 由 f (x)在点 x0 是 连续的, 根据保号性, 存在 0 ( x0 b ), 使当
同时由 x0 sup E , 对上述存在 x1 , 使得
x0 x1 x0 , x1 E .
从而 f ( x1 ) 0, 也导致矛盾.
排除了上面两种情形后, 就推得 f ( x0 ) 0.
由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下 结论: 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续, 那么它的最大值 M 与最 小值 m 存在, 并且
由于已证得f在[a, b]上有界.故由确界原理, f ([ a, b])有上确界，
记为M . 以下证明 : [a, b], 使f ( ) M .
假设x [a, b] 都有f ( x) M , 令
1 g ( x) , x [a, b]. M f ( x)
则g ( x)在[a, b]上连续， 故g ( x)在[a, b]上有界.
显然 0.
由介值性条件不难证明：
当 | x x0 | 时 ,
| f ( x ) f ( x0 ) | .
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
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§6-3 闭区间上连续函数可积性的证明
函数)(x f 在区间],[b a 上的一致连续性，使得对于任意给定的正数ε，都有仅与ε有关的正数)(εδδ=，当把区间],[b a 划分为有限个长度都不超过δ的小 区间1[,](1)i i x x i n -≤≤时(图6-3)，
在每一个小区间],[1i i x x -上，函数的最大值i M 减去最小值i m 的差i ω(称为振幅)不会超过
ε，即)1(n i m M i i i ≤≤≤-=εω。

令
()
1
(P)n
i
i
i s m x ==
∆∑小和， 1
(P)n
i i
i S M x ==∆∑大和（）
则有
1
1
0(P)(P)()()n
n
i
i i i
i i S s M
m x x b a ε
ε==≤-=
-∆=∆=-∑∑
即
lim [(P)(P)]0n x S s ∆→-= (6-1)
正是有这个结论，我们才证明了闭区间上连续函数的可积性。

证 设)(x f 是闭区间],[b a 上的连续函数。

对于区间],[b a 的任何两个划分方法P '和
P ''，总有)P ()P (''≤'S s 。

为了说明这个结论,不妨认为0)(≥x f 。

如图6-4①，对于任意划分P '，小和)P ('s 对应的那些内接小矩形合起来含在曲边梯形AabB 内。

如图6-4②，对于任意划分P ''，大和)P (''S 对应的那些外接小矩形合起来能够覆盖住曲边梯形AabB 。

因此，总有)P ()P (''≤'S s 。

其次，因为所有可能的小和构成的集合{})P ('s 有上界)P (''S ，所以有最小上界σ,于是)P (''≤S σ；而因为对于所有可能的大和构成的集合{})P (''S 有下界σ，所以有最大下界σ， 于是σσ≤。

因此，有)P ()P (''≤≤≤'S s σσ。

特别，对于区间[,]a b 的任意划分P ，就有
图6-4
① O
a
A
B
x
x x '
' b i m
y
②
B
y A
x i i x x '
'''-1 O a
b
i
M · · · · · · b
a ] [ x
图6-3
1i i x x -
)P (P)(S s ≤≤≤σσ 或 )P (P)(0s S -≤-≤σσ
根据条件(6-1)，所以σσσ==(公共值)。

又因为
(P)P)(S s ≤≤σ， 1
(P)()(P)n
i
i
i s f x S ξ=≤
∆≤∑
所以有
()
1
()(P)(P)0
0n
i
i
n
i f x S s x
ξσ
=∆-≤-→∆→∑
即
1
lim
()n n
i
i
x i f x ξσ∆→=∆=∑()d b
a
f x x =⎰
这样，就证明了函数)(x f 在区间],[b a 上的可积性。

【注】函数在闭区间上连续是函数可积的充分条件,而不是必要条件。

在下一章中将证明,在有限区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的，甚至有的可积函数会有无限多个间断点。

习题和选解
1.设函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续。

用任意方法把区间[,]a b 划分成小区间：
01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=L L
证明
1
lim
()()()()d n n
b i
i
i
x a
i f g x f x g x x ξθ∆→=∆=∑⎰
其中111[,],[,],(1,2,,)i i i i i i i i i x x x x x x x i n ξθ---∈∈∆=-=L 。

注意，左端的和数．．．．．•••
∑不是积分和．．．．．！而称它为．．．．
“拟积分和”。

2.设函数()x t 和()y t 在闭区间[,]αβ上有连续的导数。

用任意方法把区间[,]αβ划分成小区间：01211i i n n t t t t t t t αβ--=<<<<<<<<=L L 。

证明
22
22
1
lim
()()()()n n
i i i t i x
y t x t y t t β
α
ξθ∆→=+=+⎰&&&&
其中111[,],[,],(1,2,,)i i i i i i i i i t t t t t t t i n ξθ---∈∈∆=-=L 。

左端的和数．．．．．•••∑也不是积分
和，也称它为“拟积分和”。

3.黎曼引理
（*）
若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则有
（*）
习惯上称这个结论为黎曼引理, 因为在证明其他许多有关结论时都要引用这个结论。