高一数学培优拔高讲义第五讲

高一年段数学培优教材第五讲 平面向量（1）一、基础知识：1．向量的运算： 加法：;AB BC AC +=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y +=++减法：;AB AC CB -=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y -=--实数与向量的积： 向量a λ与a的关系； 设(,),a x y =则(,)()a x y R λλλλ=∈||||||||a a a λλ==⋅22||a a a a =⋅=向量的数量积： ||||c o s (a b a b θθ⋅=⋅⋅ 是a 与b 的夹角）； 设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212a b x x y y ⋅=+2．向量的关系： ①不等关系： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ||||||a b a b ⋅≤⋅（注意等号的条件） ②设1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠则a b ⇔,a b λ=12210a b x y x y ⇔-=12120;0a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⊥⇔+=3．平面向量的基本定理：如果12,e e是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数,λμ，使12a e e λμ=+。

相关结论：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，且120e e λμ+=，则0λμ==点O 、A 、B 、C 在同一平面内，A 、B 、C 共线的充要条件是：(1)OA xOB yOC x y =++=4．常用公式：22222()2()()a b a a b b a b a b a b ±=±⋅++⋅-=-ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心， 则10;();02AB BC CA AM AB AC GA GB GC ++==+++=二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。

第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

高一数学提高班讲义三、基础自测1. 用列举法表示不等式组10,221x x x +≥⎧⎨+>-⎩的整数解的集合__________________.2. 已知集合2{|560}p x x x =-+=，则p 的所有子集是_____________________.3. 一次函数3+=x y 与32+-=x y 的图象的交点组成的集合为 .4. 已知集合2{3,21,4},M a a a =---且M ∈-3，则实数a 的取值集合是__________.5. 设{}2|690M x ax x =-+=是含一个元素的集合，则a 的值为 .四、典例剖析例1 已知集合2{|60,}P x x x x R =+-=∈，{|10,}S x ax x R =+=∈,若P S ⊆,求实数a 的取值集合.【习题01】已知2{|320}A x x x =-+=,{|20}B x ax =-= ，且AB A =，求实数a 组成的集合C ．例 2.【延安市2018届高三高考模拟】全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0类型二：求集合交集、并集或补集中的元素例3.【2015新课标】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A. 5B.4C.3D.2【变式1】已知集合{32,},{|10}A x x n n N B x x ==+∈=≤，则集合A B 中的元素个数为_______.【变式2】已知集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则集合A B 中元素的个数为_______.2.已知集合{}{}2|31,|20A x x B x x x =-<<=-≤，则AB = 例4．设全集，，，则集合（ ）A.B. C. D.【例5】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C AB =={}(){}1,A 3UC B =，则集合B =（ ） A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【标题01】数集和点集区分不清【习题01】已知集合2{|1,}M y y x x R ==+∈ ,{|1,}N y y x x R ==+∈，则M N =（ ）A ．(0,1),(1,2) B．{(0,1),(1,2)} C．1y ≥ D．{y |y 1}≥【习题01针对训练】已知集合{(,)|10}A x y x y =+-=，2{(,)|1}B x y y x ==-，则A B = .【标题02】对集合表示的函数的定义域和值域区分不清【习题02】集合{}22x y x M -==，{}12-==x y y N ，则=N M .【习题02针对训练】若集合{A x y ==，{}22B y y x ==+，则A B =（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．()2,+∞【标题03】集合运算的结果表示错误或者不规范【习题03】集合(){}(){}2,,22A x y y x B x y y x x ====-+，，A B = .【习题03针对训练】已知集合{|}A x y x Z ==∈，{y|y 2x 1x A}B ==-∈，则A B ＝_____类型三：已知集合关系求参数的值或范围进行集合的交、并、补运算时忽略了空集 例6.已知{}{}26,23A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆。

第25讲诱导公式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解诱导公式的推导方法；2．掌握诱导公式，并能灵活应用；3．借助公式进行运算，培养数学运算素养；通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.知识点1诱导公式1、诱导公式二：角πα+与角α的终边关于原点对称sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把α看作是锐角，则πα+是第三象限角，函数名不变，符号为πα+的终边在第三象限时的三角函数值的符号.2、诱导公式三：角α-与角α的终边关于x 轴对称sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则α-是第四象限角，函数名不变，符号为α-的终边在第四象限时的三角函数值的符号.3、诱导公式四：角πα-与角α的终边关于y 轴对称sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z∈【记忆规律】把α看作锐角，则πα-是第二象限角，三角函数名不变，符号为πα-的终边在第二象限时的三角函数值的符号/4、诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈【记忆规律】（1）把α看作锐角，则2πα-是第一象限角，2πα-的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα-的余弦函数值等于α的正弦函数值，函数值均不变号；（2）把α看作锐角，则2πα+是第二象限角，2πα+的正弦函数值等于α的余弦函数值；2πα+的余弦函数值等于α的正弦函数值的相反数.知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2、诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为02π 的角求值公式二将02π 的角转化为0π 的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将2ππ 的角转化为02π 的角求值公式五实现正弦函数与余弦函数的互相转化公式六知识点3诱导公式常用方法1、用诱导公式进行化简时的注意点（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．3、利用诱导公式求值与求角解题策略（1）条件求值问题的策略①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．4、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算16πcos 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】A【解析】由诱导公式可得，16π16ππππ1cos cos cos 5πcos πcos 333332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【变式1-1】（23-24高一上·安徽合肥·月考）23πtan6=（）A ．B ．C D 【答案】B【解析】23ππππtantan 4πtan tan 6666⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:B.【变式1-2】（23-24高一下·广西桂林·月考）()3πcos sin π2θθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（）A ．2sin θ-B ．0C ．cos sin θθ-D ．cos sin θθ-+【答案】A【解析】()3ππcos sin πcos sin 2sin 22θθθθθ⎛⎫⎛⎫-++=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·陕西渭南·月考）14π20π11πsin cos tan 336⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】126--【解析】14π20π11ππππsin cos tan sin 5πcos7πtan 2π336336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππ11sincos tan 33622=-+=-+---故答案为：126--.考点二：利用诱导公式给值求值例2.（23-24高一下·江西南昌·期末）已知π1sin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（）A ．13-B ．13C ．D 【答案】A【解析】由诱导公式可得3π1sin cos 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，又()1cos πcos 3αα+=-=-，故选：A.【变式2-1】（23-24高一上··月考）若π1cos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（）A ．B ．12-C ．2D ．12【答案】B【解析】由π1cos =22α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1sin 2α=，所以()1sin παsinα2+=-=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·月考）已知α为钝角，且3sin 5α=，则()cos 3πα+=（）A ．35-B ．35C ．45D ．45-【答案】C【解析】因为22sin cos 1αα+=，且3sin 5α=，所以22916cos 1sin 12525αα=-=-=，因为α为钝角，所以4cos 5α=-，所以()4cos 3πcos 5αα+=-=.故选：C.【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知α为第二象限角，若2023π1sin ,24α⎛⎫-=⎪⎝⎭则tan α=（）A ．BC ．D 【答案】A【解析】由()2023π1sin cos cos 24ααα⎛⎫-=--=-=⎪⎝⎭，则1cos 4α=-，由α为第二象限角，则sin α=，所以sin tan cos ααα==.故选：A.考点三：利用互余互补关系求值例3.（23-24高一上·福建福州·月考）如果α，β满足παβ+=，那么下列式子中正确的个数是（）①sin sin αβ=；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=-；④cos cos αβ=；⑤tan tan αβ=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为παβ+=，所以sin sin(π)sin αββ=-=，故①正确，②错误；cos cos(π)cos αββ=-=-，故③正确，④错误；tan tan(π)tan αββ=-=-，⑤正确．故选：C【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】C【解析】因为π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππ4cos cos sin 62533ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C 【变式3-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）π1ππ2πsin ,,sin 64233θθθ⎛⎫⎛⎫+=-<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A ．14-B ．14C．4-D．4【答案】D【解析】∵2ππππsin sin cos 3626θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ,23θ-<<则πππ,362θ-<+<且π1sin 064θ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，∴πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=.故选：D【变式3-3】（23-24高一下·广东茂名·月考）若3π1sin 83x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，则πcos 8x ⎛⎫+=⎪⎝⎭.【答案】13【解析】因为3πππ882x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ3π3π1cos cos sin 82883x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：13.考点四：诱导公式综合化简求值例4.（23-24高一下·广西梧州·月考）化简求值：(1)3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；(2)7π19πtansin 46π15πcos tan34+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】(1)1；(2)1-【解析】（1）()3πsin(2π)cos(3π)cos sin()(cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin cos αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----.（2）ππ7π19πππ1tan 2πsin 3πtansintan sin 146464621ππ1π15πππcos tan 1cos tan cos tan 4π3423434⎛⎫⎛⎫-+++---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一下·广西桂林·月考）在平面直角坐标系中，角α的终边经过点(3,4)--．(1)求sin α，cos α的值；(2)求9π3πsin()cos()cos()222sin(2π)sin(π)πααααα+⋅-⋅-+-⋅+的值．【答案】(1)4sin 5α=-，3cos 5α=-；(2)35【解析】（1） 角α的终边经过点(3,4)--，∴5r ===，∴4sin 5y r α==-，cos 53x r α==-；（2）9π3πsin()cos()cos()cos sin (sin )222cos sin(2π)sin(π)(sin π35)(sin )ααααααααααα+⋅-⋅-+⋅⋅-==--⋅⋅-=+-．【变式4-2】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知α是第三象限角，且()()()()cos πcos π1π3sin tan 2πsin π2ααααα-+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求2sin 3sin cos ααα+的值；(3)角β的终边与角α关于x 轴对称，求()()3πsin π2sin 2πcos cos 5π2ββββ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的值.【答案】(3)411【解析】（1）()()()()()()()()2cos πcos πcos cos 11πcos tan sin tan 3sin tan 2πsin π2ααααααααααα-+--===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,因为α是第三象限角，所以tan 0α>，所以tan α=（2）2sin 3sin cos ααα+222sin 3sin cos sin cos ααααα+=+22tan 3tan tan 1ααα+==+（3）因为α是第三象限角，且tan α，角β的终边与角α关于x轴对称，则tan β=所以3πsin(π)2sin sin 2cos tan 22π2sin cos 2tan 12cos cos(5π)2ββββββββββ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭==----⎛⎫+++ ⎪⎝⎭411==.【变式4-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()()3π5πcos sin 22πcos sin π3f θθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅--.(1)若()14f θ=，求tan θ的值；(2)若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求4πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)答案见解析；(2)16【解析】（1）()()3π5πcos sin 2sin cos 222cos πsin cos sin π3f θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭==-⋅--，又因为()14f θ=，所以12cos 4θ-=，即1cos 8θ=-，所以θ为第二或第三象限角，当θ为第二象限角时，sin 8θ==，sin tan cos θθθ==-，当θ为第三象限角时，sin θ==sin tan cos θθθ==；（2）ππ12cos 663f θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π1cos 66θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4ππsin sin 33θθ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由πππ632θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4πππππ1sin sin sin cos 332666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5.（2024高一上·全国·专题练习）求证：()()2πcos 2sin 2πcos 2πsin 5πsin 2ααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】左边()πcos 2sin 2πcos πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅--⎡⎤⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭()sin sin cos cos αααα=⋅--⎡⎤⎣⎦2sin sin cos sin cos ααααα=⋅⋅==右边，故原式成立.【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：ππsin(5πcos()sin()2213πcos(3π)cos()sin(4π)2θθθθθθ--+=--+--）.【答案】证明见解析【解析】左边sin(5πsin cos cos(π)sin [sin(4π)]θθθθθθ--=---）sin(πsin cos sin 1cos sin (sin )sin θθθθθθθθ---==-=--）右边，故原式得证.【变式5-2】（23-24高一上·全国·课后作业）求证：23ππ2sin cos 122312cos π2θθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝sin cos sin cos θθθθ+-.【答案】证明见解析【解析】∵左边＝()2222cos sin 112sin cos 12sin cos sin θθθθθθθ⋅----=--()()()2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-++=-+--sin cos sin cos θθθθ+=-＝右边．∴原式成立．【变式5-3】（22-23高一下·江西吉安·期末）求证：当2k =或3时，3tan(π)tan(π)sin cos(2π)sin[(21)π]cos k k k k αααααα-+=-++.【答案】证明见解析【解析】当2k =时，左边=23tan(2π)tan(2π)tan tan tan sin cos(4π)sin(5π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；当3k =时，左边=23tan(3π)tan(3π)tan tan tan sin cos(6π)sin(7π)cos (sin )cos sin cos ααααααααααααα-+-⋅===-+⋅-；综上，2k =或3k =有原等式恒成立.考点六：三角形中的诱导公式应用例6.（23-24高一下·河南安阳·月考）在ABC 中，给出下列四个式子：①()sin sin A B C ++；②()cos cos A B C ++；③()sin 22sin 2A B C ++；④()cos 22cos 2A B C ++.其中为常数的是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】①因为在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin sin πsin sin sin 2sin A B C C C C C C ++=-+=+=；②因为在ABC 中，πA B C ++=，()()cos cos cos πcos cos cos 0A B C C C C C ++=-+=-+=；③()()()sin 22sin 2sin 2sin 2sin 2πsin 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 2π2sin 2sin 2sin 20C C C C =-+=-+=；④()()()cos 22cos 2cos 2cos 2cos 2πcos 2A B C A B C C C ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()cos 2π2cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C =-+=+=.故选：B.【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）（多选）若角,,A B C 是ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（）A ．cos()cos ABC +=-B ．tan()tan B C A +=C ．cossin 2A CB +=D ．sincos 22B C A+=【答案】AD【解析】对于A ：()cos()cos πcos A B C C +=-=-，故A 正确；对于B ：()tan()tan πtan B C A A +=-=-，故B 错误；对于C ：ππcos cos cos sin 22222A C B B B +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：ππsinsin sin cos 22222B C A A A +-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【变式6-2】（22-23高一上·江苏扬州·月考）已知A ，B ，C 是ABC 的内角，下列等式中错误的是（）A ．()22sincos 1A B C ++=B ．ππsin cos 44A A-+=C ．()cos cos A B C +=D ．tantan 122A B C+⋅=【答案】C【解析】在ABC 中，πA B C ++=.对于A ，2222sin ()cos sin cos 1A B C C C ++=+=，A 正确；对于B ，πππ 442A A -++=，ππsin cos 44A A-+∴=，B 正确；对于C ，cos()cos(π)cos A B C C +=-=-，C 错误；对于D ，πsin cos π222tan tan tan tan tan tan 1π2222222sin cos 222C C A B C C C C C C C ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭⋅=-⋅=⋅=⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：C.【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·月考）在ABC 中，已知25sin cos 224C C +=，则tan 2A B +=.【答案】33【解析】因为25sincos 224C C +=，即251cos cos 224C C -+=，解得1cos 22C =，又π022C <<，所以23sin 1cos 222C C =-=，所以π1sinsin cos32222tan π233cos cos sin2222A B C C A B A B C C +-+=====+-.故答案为：33一、单选题1．（23-24高一下·四川遂宁·月考）cos120= （）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】()1cos120cos 18060cos602=︒-︒=-︒=-.故选：B2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】D【解析】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】D【解析】由诱导公式可得()()1sin 3πsin πsin 3ααα+=+=-=，故π1cos sin 23αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故选：D.4．（23-24高一上·北京东城·期末）若1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【答案】C【解析】因为1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==，则()cos πcos αα-=-，故选：C.5．（23-24高一下·江西南昌·月考）若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．D ．13-【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5πππ1sin sin πsin 6663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.6．（23-24高一上·重庆·期末）已知π5sin 65x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．5±B C D ．5±【答案】B 【解析】因为πππ632x x -++=，所以ππππ5cos sin sin 32365x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.二、多选题7．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）（多选题）下列诱导公式正确的是（）A ．sin(3π)sin αα+=B ．7πsin cos22αα+⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．5πcos 2sin 22αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．cos(9π3)cos3αα-=【答案】BC【解析】对于A ，sin(3π)sin(π)sin ααα+=+=-，故A 项错误；对于B ，7πππsin sin sin cos 222222αααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，5ππcos 2cos 2sin 222ααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，cos(9π3)cos(π3)cos3ααα-=-=-，故D 错误.故选：BC.8．（23-24高一上·新疆伊犁·月考）在ABC 中，下列关系不成立的是（）A ．()cos cos ABC +=B ．()sin sin A B C +=C ．sinsin 22A B C +=D ．coscos 22A B C+=【答案】ACD【解析】()()cos cos πcos A B C C +=-=-，A 选项错误.()()sin sin πsin A B C C +=-=，B 选项正确.ππsinsin sin cos 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，C 选项错误.ππcoscos cos sin 22222A B C C C +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：ACD 三、填空题9．（23-24高一下·北京·月考）计算()cos300sin 330tan 675︒︒︒--+=.【答案】1-【解析】()cos 300sin 330tan 675︒︒︒--+()()()cos 360sin 360tan 720603045︒︒︒︒︒︒++----=cos sin n 6030t 5a 4︒︒︒=--111122=--=-.故答案为：1-10．（23-24高一上·湖南·期末）化简：()()()()πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.【答案】tan α-【解析】原式()()sin cos sin sin tan cos cos sin cos ααααααααα-⋅-⋅-==-=-⋅⋅.故答案为：tan α-.11．（23-24高一下·广西梧州·月考）已知π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】23【解析】因为π1cos 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππππ1sin sincos 62333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2πππ1cos cos πcos 3333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π2π112sin cos 63333x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：23.四、解答题12．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知3sin 5α=-，且α是第三象限角.(1)求cos α，tan α的值；(2)求()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】(1)答案见解析；(2)1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，且α是第三象限角，所以4cos 5α==-，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-；（2）由（1）知：()()()()3sin πcos sin π2cos 2020πtan 2020πααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-22sin cos 16cos cos tan 25ααααα-===-.13．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求sin α，cos α，tan α的值；(2)求()()()()3πcos tan πsin 2π2sin 7πcos πααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+的值．【答案】(1)sin α=，cos α=，tan 2α=-；(2)12-【解析】（1）因为πsin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，又因为22sin cos 1αα+=且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以sin tan cos 3ααα==-.（2）()()()()()()()23πcos tan πsin 2πsin tan sin 12tan sin 7πcos πsin cos 2ααααααααααα⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭==-=--+-.。