第二节古典概型错误!古典概型（１）特点：１试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性．２每个结果发生的可能性相等，即等可能性．（２）概率公式：P（A）＝错误!＝错误!.１．在计算古典概型中试验的所有可能结果数和事件发生结果数时，易忽视他们是否是等可能的．２．概率的一般加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）—P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0．[试一试]１．从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B P＝错误!＝错误!.２．从１,２,３,４,５,6六个数中任取３个数，则取出的３个数是连续自然数的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 取出的三个数是连续自然数有４种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P＝错误!＝错误!.古典概型中试验发生结果个数的探求方法（１）枚举法：适合给定的试验结果个数较少且易一一列举出的．（２）树状图法：适合于较为复杂的问题的试验结果数的探求，注意在确定结果数时（x，y）可以看成是有序的，如（１,２）与（２,１）不同．有时也可以看成是无序的，如（１,２）（２,１）相同．[练一练]从集合A＝{２,３，—４}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{—２，—３,４}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 依题意k和b的所有可能的取法一共有３×３＝9种，其中当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k＞0，b＜0，一共有２×２＝４种，所以所求概率为错误!.错误!考点一古典概型１．一袋中装有大小相同，编号分别为１,２,３,４,５,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取２次，则取得两个球的编号和不小于１５的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 试验所有结果为（１,１），（１,２），…，（１,8），（２,１），（２,２），…，（8,8），共6４种．两球编号之和不小于１５的情况有三种，分别为（7,8），（8,7），（8,8），∴所求概率为错误!.２．（２0１３·温州调研）一个袋子中有５个大小相同的球，其中有３个黑球与２个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 共有（黑１，黑２）、（黑１，黑３）、（黑１，红１）、（黑１，红２）、（黑２，黑３）、（黑２，红１）、（黑２，红２）、（黑３，红１）、（黑３，红２）、（红１，红２）１0个结果，同色球为（黑１，黑２）、（黑１，黑３）、（黑２，黑３）、（红１，红２）共４个结果，∴P＝错误!＝错误!.３．（２0１３·深圳第一次调研）一个袋中有４个大小相同的小球，其中红球１个，白球２个，黑球１个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．（１）求连续取两次都是白球的概率；（２）假设取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为４分的概率是多少？解：（１）连续取两次的结果有：（红，红），（红，白１），（红，白２），（红，黑）；（白１，红），（白１，白１），（白１，白２），（白１，黑）；（白２，红），（白２，白１），（白２，白２），（白２，黑）；（黑，红），（黑，白１），（黑，白２），（黑，黑），共１6个．连续取两次都是白球的结果有：（白１，白１），（白１，白２），（白２，白１），（白２，白２），共４个，故所求概率为错误!＝错误!.（２）连续取三次的结果有：（红，红，红），（红，红，白１），（红，红，白２），（红，红，黑）；（红，白１，红），（红，白１，白１），（红，白１，白２），（红，白１，黑），…，共6４个．因为取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为４分的结果如下：（红，白１，白１），（红，白１，白２），（红，白２，白１），（红，白２，白２），（白１，红，白１），（白１，红，白２），（白２，红，白１），（白２，红，白２），（白１，白１，红），（白１，白２，红），（白２，白１，红），（白２，白２，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），共１５个．故所求概率为错误!.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出试验可能结果的总个数n；第二步：求出事件A所包含的结果个数m；第三步：代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：１古典概型与平面向量相结合；２古典概型与直线、圆相结合；３古典概型与函数相结合.角度一古典概型与平面向量相结合１．（２0１３·济南模拟）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m，n），b ＝（１，—３）．（１）求使得事件“a⊥b”发生的概率；（２）求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解：（１）由题意知，m∈{１,２,３,４,５,6}，n∈{１,２,３,４,５,6}，故（m，n）所有可能的取法共３6种．使得a⊥b，即m—３n＝0，即m＝３n，共有２种：（３,１）、（6,２），所以事件a⊥b的概率为错误!＝错误!.（２）|a|≤|b|，即m２＋n２≤１0，共有（１,１）、（１,２）、（１,３）、（２,１）、（２,２）、（３,１）6种使得|a|≤|b|，其概率为错误!＝错误!.角度二古典概型与直线、圆相结合２．连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线３x—４y＝0与圆（x—a）２—（y—b）２＝４相切的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 连掷骰子两次总的试验结果有３6种，要使直线３x—４y＝0与圆（x—a）２＋（y—b）２＝４相切，则错误!＝２，即满足|３a—４b|＝１0，符合题意的（a，b）有（6,２），（２,４），共２种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P＝错误!.角度三古典概型与函数相结合３．（２0１４·安徽省级示范高中一模）设a∈{２,４}，b∈{１,３}，函数f（x）＝错误!ax２＋bx＋１．（１）求f（x）在区间（—∞，—１]上是减函数的概率；（２）从f（x）中随机抽取两个，求它们在（１，f（１））处的切线互相平行的概率．解：（１）f′（x）＝ax＋b，由题意f′（—１）≤0，即b≤a，而（a，b）共有（２,１），（２,３）（４,１），（４,３）四种，满足b≤a的有３种，故概率为错误!.（２）由（１）可知，函数f（x）共有４种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．∵函数f（x）在（１，f（１））处的切线的斜率为f′（１）＝a＋b，∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有（２,３），（４,１）这１组满足，∴概率为错误!.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为试验结果个数，求出m、n的值．然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．错误![课堂练通考点]１．（２0１３·江南十校联考）第亚运会于１１月１２日在中国广州举行，运动会期间从来自A大学的２名志愿者和来自B大学的４名志愿者中随机抽取２人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 记２名来自A大学的志愿者为A１，A２,４名来自B大学的志愿者为B１，B２，B３，B４.从这6名志愿者中选出２名的结果有：（A１，A２），（A１，B１），（A１，B２），（A１，B３），（A１，B４），（A，B１），（A２，B２），（A２，B３），（A２，B４），（B１，B２），（B１，B３），（B１，B４），（B２，B３），（B２，２B４），（B３，B４），共１５种．其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0１４·亳州高三质检）已知集合M＝{１,２,３,４}，N＝{（a，b）|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x２＋１有交点的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! Ｄ．错误!解析：选C 易知过点（0,0）与y ＝x ２＋１相切的直线为y ＝２x （斜率小于0的无需考虑），集合N 中共有１6个元素，其中使OA 斜率不小于２的有（１,２），（１,３），（１,４），（２,４），共４个，由古典概型知概率为错误!＝错误!.３．我们把日均收看体育节目的时间超过５0分钟的观众称为“超级体育迷”．已知５名“超级体育迷”中有２名女性，若从中任选２名，则至少有１名女性的概率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝１,２,３，b j 表示女性，其中j ＝１,２．记“选出的２名全都是男性”为事件A ，“选出的２名有１名男性１名女性”为事件B ，“选出的２名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含（a １，a ２），（a １，a ３），（a ２，a ３），共３个结果，事件B 包含（a １，b １），（a １，b ２），（a ２，b １），（a ２，b ２），（a ３，b １），（a ３，b ２），共6个结果，事件C 包含（b １，b ２），共１个结果．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有１名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为错误!＝错误!.４．（２0１３·南京模拟）在集合A ＝{２,３}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{１,２,３}中随机取一个元素n ，得到点P （m ，n ），则点P 在圆x ２＋y ２＝9内部的概率为________．解析：点P （m ，n ）共有（２,１），（２,２），（２,３），（３,１），（３,２），（３,３），6种情况，只有（２,１），（２,２）这２个点在圆x ２＋y ２＝9的内部，所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１３·江西高考）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A １，A ２，A ３，A ４，A ５，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．（１）写出数量积X 的所有可能取值；（２）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：（１）X 的所有可能取值为—２，—１,0,１． （２）数量积为—２的有2OA ·5OA ，共１种；数量积为—１的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA ，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA ，共４种； 数量积为１的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA ，共４种． 故所有可能的情况共有１５种． 所以小波去下棋的概率为P １＝错误!；因为去唱歌的概率为P ２＝错误!，所以小波不去唱歌的概率P ＝１—P ２＝１—错误!＝错误!.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．（２0１３·惠州模拟）从{１,２,３,４,５}中随机选取一个数为a ，从{１,２,３}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 从{１,２,３,４,５}中选取一个数a 有５种取法，从{１,２,３}中选取一个数b 有３种取法．所以选取两个数a ，b 共有５×３＝１５种取法．满足b >a 的取法共有３个．因此b >a 的概率P ＝错误!＝错误!.２．高三（４）班有４个学习小组，从中抽出２个小组进行作业检查．在这个试验中，所有可能结果个数为（ ）Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．6Ｄ．8解析：选C 设这４个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的所有可能结果有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．３．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W １，W ２，W ３，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为错误!１，错误!２，错误!３.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为（W，W２，W３），（错误!１，W２，W３），（W１，错误!２，W３），（W１，W２，错误!３），（错误!１，错误!１，W３），（错误!１，W２，错误!３），（W１，错误!２，错误!３），（错误!１，错误!２，错误!３）．有两个A ２的情况为（错误!１，W２，W３），（W１，错误!２，W３），（W１，W２，错误!３），共３种，从而其概率为P＝错误!.４．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成１000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为错误!＝错误!.５．（２0１４·浙江联考）一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为１，两个编号为２，三个编号为３．现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于４的概率是________．解析：列举可知，共有３6种情况，和为４的情况有１0种，所以所求概率P＝错误!＝错误!.１２２３３３１２３３４４４２３４４５５５２３４４５５５３４５５666３４５５666３４５５666答案：错误!6．（２0１４·宣武模拟）曲线C的方程为错误!＋错误!＝１，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P（A）＝________.解析：试验中所有可能结果个数为３6；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m＞n，又只剩下一半情况，即有１５种，因此P（A）＝错误!＝错误!.答案：错误!7．某种零件按质量标准分为１,２,３,４,５五个等级．现从一批该零件中随机抽取２0个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：（１）在抽取的２0（２）在（１）的条件下，从等级为３和５的所有零件中，任意抽取２个，求抽取的２个零件等级恰好相同的概率．解：（１）由频率分布表得0．0５＋m＋0．１５＋0．３５＋n＝１，即m＋n＝0．４５．由抽取的２0个零件中，等级为５的恰有２个，得n＝错误!＝0．１，所以m＝0．４５—0．１＝0．３５．（２）由（１）得，等级为３的零件有３个，记作x１，x２，x３；等级为５的零件有２个，记作y１，y２.从x１，x２，x３，y１，y２中任意抽取２个零件，所有可能的结果为（x１，x２），（x１，x３），（x１，y１），（x１，y２），（x２，x３），（x２，y１），（x２，y２），（x３，y１），（x３，y２），（y１，y２），共１0种．记事件A为“从零件x１，x２，x３，y１，y２中任取２件，其等级相等”．则A包含的可能结果有（x１，x２），（x１，x３），（x２，x３），（y１，y２），共４种．故所求概率为P（A）＝错误!＝0．４．8．将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0,１,２,３,４,５）和一个正四面体（四个面分别标有数字１,２,３,４）同时抛掷１次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋b i.（１）若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；（２）求事件“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a２＋（b—6）２≤9”的概率．解：（１）A＝{6i,7i,8i,9i}．（２）满足条件的所有可能结果的个数为２４．设满足“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a２＋（b—6）２≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝１时，b＝6,7,8满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝２时，b＝6,7,8满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝３时，b＝6满足a２＋（b—6）２≤9．即B为（0,6），（0,7），（0,8），（0,9），（１,6），（１,7），（１,8），（２,6），（２,7），（２,8），（３,6）共计１１个结果．所以所求概率P＝错误!.第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１３·陕西高考）有7位歌手（１至7号）参加一场歌唱比赛，由５00名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0（１）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0抽取人数6（２）在（１）中，若A，B两组被抽到的评委中各有２人支持１号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选１人，求这２人都支持１号歌手的概率．解：（１）由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0抽取人数３699３（２）记从A１２３１２B组抽到的6个评委为b１，b２，b３，b４，b５，b6，其中b１，b２支持１号歌手．从{a１，a２，a３}和{b１，b２，b３，b４，b５，b6}中各抽取１人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共１8种，其中２人都支持１号歌手的有a１b１，a１b２，a２b１，a２b２共４种，故所求概率p＝错误!＝错误!.２．已知集合P＝{x|x（x２＋１0x＋２４）＝0}，Q＝{y|y＝２n—１，１≤n≤２，n∈N＋}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x′，y′），且x′∈M，y′∈M，试计算：（１）点A正好在第三象限的概率；（２）点A不在y轴上的概率；（３）点A正好落在区域x２＋y２≤１0上的概率．解：由集合P＝{x|x（x２＋１0x＋２４）＝0}可得P＝{—6，—４,0}，由Q＝{y|y＝２n—１,１≤n≤２，n∈N＋}可得Q＝{１,３}，则M＝P∪Q＝{—6，—４,0,１,３}，因为点A的坐标为（x′，y′），且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为（—6，—6），（—6，—４），（—6,0），（—6,１），（—6,３），…，（３,３），共２５种．（１）点A正好在第三象限的可能情况为（—6，—6），（—４，—6），（—6，—４），（—４，—４），共４种，故点A正好在第三象限的概率P１＝错误!.（２）点A在y轴上的可能情况为（0，—6），（0，—４），（0,0），（0,１），（0,３），共５种，故点A不在y轴上的概率P２＝１—错误!＝错误!.（３）点A正好落在区域x２＋y２≤１0上的可能情况为（0,0），（１,0），（0,１），（３,１），（１,３），（３,0），（0,３），（１,１）．共8种，故点A落在区域x２＋y２≤１0上的概率P３＝错误!.３．（２0１４·莱芜模拟）中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为１,２,３,４,５的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．（１）共有多少个可能结果？并列举出来；（２）求所抽取的两名记者的编号之和小于１7但不小于１１或都是男记者的概率．解：（１）共有３6个结果，列举如下：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（１,7），（１,8），（１,9），（２,３），（２,４），（２,５），（２,6），（２,7），（２,8），（２,9），（３,４），（３,５），（３,6），（３,7），（３,8），（３,9），（４,５），（４,6），（４,7），（４,8），（４,9），（５,6），（５,7），（５,8），（５,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），（8,9），共３6个．（２）记事件“所抽取的记者的编号之和小于１7但不小于１１”为事件A，即事件A为“x，y∈{１,２,３,４,５,6,7,8,9}，且１１≤x＋y＜１7，其中x＜y”，由（１）可知事件A共含有１５个结果，列举如下：（２,9），（３,8），（３,9），（４,7），（４,8），（４,9），（５,6），（５,7），（５,8），（５,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），共１５个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x＜y≤５”，包含：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５），共１0个．故P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!.。
第二节 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相等． (2)概率公式：P(A)＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.：3.一个判定标准：试验结果有限且等可能．4.两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一 简单古典概型的概率例题【例1】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．【答案】D 【解析】由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 15×1＝5个．所求概率为545＝19.：【例2】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．【答案】 35【解析】相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类：第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为A ，则P (A )＝A 44A 33A 66＝15.第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为B ，①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为2C 13A 33A 33. ②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为A 33A 23A 22， ∴P (B )＝2C 13A 33A 33＋A 33A 23A 22A 66＝25，∴P ＝P (A )＋P (B )＝15＋25＝35练习题【练1】甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )．】【答案】C 【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为13.【练2】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )．【答案】B 【解析】从袋中任取两球有C 26＝15种，满足两球颜色为一白一黑的有C 12C 13＝6种，概率等于615＝25.【练3】从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是( )．【答案】B 【解析】从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率为：P ＝410＝25.题型二 古典概型与互斥、对立事件的概率综合问题例题【例3】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．~【解析】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，共有C 13C 13C 12＝18种，用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则包含的结果共有C 13C 12＝6种，因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N 包含C 13＝3个基本事件，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.练习题【练4】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解析】(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是【X 的数学期望EX ＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2) 设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. 题型三 古典概型与统计的综合问题例题【例4】是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见下表：日均值k (单位：微克) 空气质量等级 k ≤35一级、35<k ≤75 二级k >75超标某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5P724 2140 740 1120天的日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求出甲、乙两居民区日均值的样本平均数，并由此判断哪个小区的空气质量较好一些； (2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天空气质量超标的概率． 【解析】(1)甲居民区抽测的样本数据分别是37,45,73,78,88；乙居民区抽测的样本数据分别是32,48,65,67,80.!故x 甲＝37＋45＋73＋78＋885＝，x 乙＝32＋48＋65＋67＋805＝.则x 甲>x 乙．由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．(2)由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的3天的样本数据为a ，b ，c ，超标的2天为m ，n .则从5天中抽取2天的所有情况为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(m ，n )，基本事件数为10.记“5天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，可能结果为：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，基本事件数为6.则P (A )＝610＝35.练习题【练5】某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4.(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上；(2)估计成绩在85分以上学生的比例； (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率． 样本频率分布表【解析】(1)样本的频率分布表：(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，估计成绩在85分以上的学生比例为1050＝15.￥(3)[40,50)内有2人，记为甲、A .[90,100)内有4人，记为乙、B 、C 、D .则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B )，(甲，乙，C )，(甲，乙，D )，(甲，B ，C )，(甲，B ，D )，(甲，C ，D )，(A ，乙，B )，(A ，乙，C )，(A ，乙，D )，(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，C ，D )．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B )，(甲，乙，C )，(甲，乙，D )． 所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ＝312＝14.题型四 正难则反法求古典概型的概率例题【例5】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )．【答案】B 【解析】[一般解法] 第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25.[优美解法] 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法．语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法．而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25，故选B.|练习题【练6】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率． 【解析】(1)设A 、B 、C 分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”的事件．由题设条件，知⎩⎪⎨⎪⎧P A·[1－P B ]＝14，PB ·[1－PC ]＝112，PA·P C ＝29，解之得⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝13，PB ＝14，PC ＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”的事件，则P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56，故从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为56一、选择题1．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为 ( )．【答案】A 【解析】由题意知，基本事件有A 242＝12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P ＝112.2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )．【答案】C 【解析】基本事件有C 25＝10个，同色球的有C 23＋C 22＝4个概率为410＝25. 3．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )．【答案】A 【解析】(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12. 4．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )． A ．12B ．18C ．24D ．32【答案】B 【解析】设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.5．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三种数字，每人则可喊0,5,10,15,20五种数字， 当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )．A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定【答案】A 【解析】两人共有9种出数的方法，其中和为10的方法有3种，和为15的方法有2种，故甲胜的概率要大，应选A.6.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为( )．【答案】C 【解析】由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14. 二、填空题7.在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．【答案】13【解析】由题意得到的P (m ，n )有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x 2＋y 2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.8．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的概率是________．【答案】712【解析】∵m ，n 均为不大于6的正整数，∴当点A (m ，n )位于直线y ＝x 上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的点A (m ，n )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A (m ，n )的基本事件总数为6×6＝36，故所求概率为2136＝712.9．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e >5的概率是________． 【答案】16【解析】e ＝1＋b 2a 2>5，∴b >2a ，符合b >2a 的情况有：当a ＝1时，b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为636＝16. 10．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．【答案】23【解析】根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12C 233＝23. 三、解答题11．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．【解析】(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5,1所大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15.12.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩x n7076727072(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．【解析】(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90，这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩共有C 25＝10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为.13.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)． (1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； (2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．【解析】(1)若编号为n 的球的重量大于其编号．则n 2－6n ＋12>n ，即n 2－7n ＋12>0. 解得n <3或n >4.∴n ＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P ＝46＝23. (2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有C 26＝15种．设编号分别为m 与n (m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m ≠n )球的重量相等，则有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n )(m ＋n －6)＝0.∴m ＝n (舍去)或m ＋n ＝6.满足m ＋n ＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．由古典概型，所求事件的概率为215.14．某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．(1)求抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率； (2)若抽到的女教师的人数为ξ，求P (ξ≤2)．【解析】由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况：①若甲和乙都不被抽调，有C 48种方法；②若甲和乙中只有一人被抽调，有C 12C 38种方法，故从10名教师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C 48＋C 12C 38＝70＋112＝182.这就是基本事件总数．(1)记事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且恰有2名男教师，2名女教师”为A ，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是C 25；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有C 12种，男教师的抽取方法有C 26种，抽调的方法数是C 12C 26.故随机事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师”含有的基本事件的个数是C 25＋C 12C 26＝40.根据古典概型概率的计算公式得P (A )＝40182＝2091.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4，所以P (ξ≤2)＝1－P (ξ>2)＝1－P (ξ＝3)－P (ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女教师乙，这时取法为C 23C 15种，也可以不含女教师乙，这时有C 33C 16种，故P (ξ＝3)＝C 23C 15＋C 33C 16182＝21182＝326；若ξ＝4，则选出的4名教师全是女教师，必含有乙，有C 44种方法，故P (ξ＝4)＝C 44182＝1182，于是P (ξ≤2)＝1－21182－1182＝160182＝8091.`。
第2讲 古典概型,[学生用书P 172])1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2．古典概型(1)特点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数． [做一做]1．(2014·高考广东卷)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．解析：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中含有a的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种，故所求概率为410＝25． 答案：252．(2014·高考浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．解析：记“两人都中奖”为事件A ，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P (A )＝26＝13． 答案：131．辨明两个易误点(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．(2)概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0．2．古典概型中基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．[做一做]3．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．16解析：选C ．从A ，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P ＝26＝13． 4．在集合{x |x ＝n π6，n ＝1，2，3，…，10}中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________． 解析：基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15． 答案：15,[学生用书P 173～P 174])考点一__简单古典概型的求法________________(2014·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件 C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25． [规律方法] 求古典概型概率的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n ．(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m ．(3)代入公式P (A )＝m n，求出P (A )． 1．(2015·唐山市第一次模拟)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1 050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数；(2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率．解：(1)由抽样方法可知从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为1，2，3．(2)记抽取的6个零件为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3．事件“这2个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共10种可能；事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共7种可能．故所求概率为P ＝0．7． 考点二__较复杂古典概型的概率(高频考点)____古典概型是考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基本概念为主．高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据概率求参数；(2)利用古典概型的概率公式求概率；(3)古典概型与统计的综合应用(下章讲解)．(2014·高考四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ．(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．[解] (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19． 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19． (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89． 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89． [规律方法] 求较复杂事件的概率问题的方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．2．(1)(2015·上海模拟)某高校随机抽查720名在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如下表所示，已知这720名大学生中随机抽取1名，了解商品最新信息的概率是11，则P ＝________．(2)(2014·3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．(3)做投掷2颗骰子的试验，用(x ，y )表示点P 的坐标，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．①求点P 在直线y ＝x 上的概率；②求点P 不在直线y ＝x ＋1上的概率．解析：(1)由题意得160＋480－P 720＝1118，∴P ＝200． (2)甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P ＝39＝13． 答案：(1)200 (2)13(3)解：每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为36．①记“点P 在直线y ＝x 上”为事件A ，则事件A 有6个基本事件，即A ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以P (A )＝636＝16． ②记“点P 不在直线y ＝x ＋1上”为事件B ，则“点P 在直线y ＝x ＋1上”为事件B －，其中事件B －有5个基本事件，即B －＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)}，所以P (B )＝1－P (B )＝1－536＝3136．,[学生用书P 174])考题溯源——求古典概型的概率(2014·高考江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A ．118B ．．19C ．16D ．112[解析] 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为436＝19． [答案] B[考题溯源] 本考题“照搬”人教A 版必修3P 127的例3“同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？”1．(2015·山西省太原市模拟)在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是( )A ．0．3B ．0．4C ．0．5D ．0．6解析：选D ．随机取出三个数字后，剩下两个数有(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，共10种情况，和为奇数共有(1，2)、(1，4)、(2，3)、(2，5)、(3，4)、(4，5)，共6种情况，故和是奇数的概率为610＝0．6． 2．(2015·昆明市调研)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)．点数积等于12的结果有：(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19． 答案：191．(2015·广州模拟)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A ．16B ．．13C ．12D ．38解析：选C ．将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12，13，20，21，30，31，共6个，两位数为奇数的有13，21，31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为36＝12． 2．(2014·高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：选B ．取两个点的所有情况有10种，两个点距离小于正方形边长的情况有4种，所以所求概率为410＝25．故选B ． 3．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A ．25B ．35C ．45D ．15解析：选B ．∵以1为首项，－3为公比的等比数列中的10个数为1，－3，9，－27，81，－243，729，－2 187，6 561，－19 683，其中有5个负数，1个正数1，共6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35． 4．(2015·亳州高三质检)已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14．5．(2015·东北三校高三模拟)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A ．16B ．524C ．13D ．724解析：选C ．由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b ＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”．当b ＝2时，有324，423，共2个“凹数”．∴三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13． 6．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23． 答案：237．(2015·吉林实验中学第一次阶段检测)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________．解析：根据题意，可得x 的情况有6种，y 的情况也有6种，则骰子朝上的点数分别为x ，y 的情况有36种，若log 2x y ＝1，则y ＝2x ，其情况有1、2，2、4，3、6共3种，则满足log 2x y ＝1的概率是336＝112，故答案为112． 答案：1128． 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ．设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．解析：基本事件的总数是16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34． 答案：349．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率；(2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解：(1)由题意知，m ∈{1，2，3，4，5，6}，n ∈{1，2，3，4，5，6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118． (2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10．共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a |≤|b |，其概率为636＝16． 10．(2014·高考山东卷)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2． 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2．(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2．则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415．1．(2015·合肥二检)从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A ．13B ．512C ．12D ．712解析：选A ．设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以其概率为P ＝412＝13，故选A ． 2．(2015·陕西质检)连掷两次骰子得到的点数依次为m 和n ，若记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－2)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．解析：依题意，θ为锐角，则a·b ＞0，则m －2n ＞0，m ＞2n 连续掷两次骰子的所有可能结果为36种，其中满足m ＞2n 的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，所以所求概率为636＝16． 答案：163．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四面体(四个面上分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i ．(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率．解：(1)A ＝{6i ，7i ，8i ，9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24．设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B ．当a ＝0时，b ＝6，7，8，9满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝1时，b ＝6，7，8满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝2时，b ＝6，7，8满足a 2＋(b －6)2≤9；当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9．即B 为(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，6)共计11个．所以所求概率P ＝1124． 4．在APEC 会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．(2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x ＋y ＜17，其中x ＜y ”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)．“所抽取的两名记者都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x ，y ∈{1，2，3，4，5}，且x ＜y ”，包含(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536． 5．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q ．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率；(2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4，0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N *}可得Q ＝{1，3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4，0，1，3}，因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6，0)，(－6，1)，(－6，3)，…，(3，3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425． (2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－525＝45．(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能情况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)．共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝825．。
