dsp1-3非周期信号的频谱分析

一、傅里叶变换
T1 Fn 0
2 1 0 T1
0 考虑： lim lim( ) ，有值 1 0 0 1 Fn F ( ) lim 1 0 1
Fn
一、傅里叶变换
物理意义：F()是单位频率所具有的信 号频谱，称为非周期信号的频谱密度， 简称频谱
1
F [ f (t )] F () F [F (t )] 2f ()



F ( )e jt d
物理意义：非周期信号分解为不同频率 复指数信号叠加积分
傅里叶正、反变换总结 (非周期信号的频谱分析)
jt F ( ) F [ f (t )] f (t )e dt 1 1 jt f (t ) F [ F ( )] F ( )e d 2
Fn：F (n1 )
时域： 频域：
T1
F ( )
周期连续 非周期连续
频谱 频谱密度（频谱） 离散谱 连续谱
1 0
二、傅里叶反变换
正变换 F：
f (t ) F ( ) f (t )
反变换 F -1：F ( )
1
1 f (t ) F [ F ( )] 2
f (t )
n
F (n )e
1

jn1t
反映周期信号的分解
1 傅里叶级数 Fn F (n1 ) T 的系数
表示周期信号的频谱
T1 2 T1 1 2

f ( Leabharlann Baidu )e
jn1t
dt
离散谱 收敛性
三、典型非周期连续信号的频谱
1、单位冲激信号
F [ (t )] (t )e



1
Sa( )d 2 2



1

Sa ( )d 1 2 2
=



2 lim Sa ( ) ( ) F [1] 2 () 2

3、直流信号
F (1) 2 ()
f (t )
1
0
F ( )
2
T1 2 T1 2


， n1
jt
1 0
1
Fn
f (t )e

dt
一、傅里叶变换
傅里叶（正）变换
F () F [ f (t )] f (t )e


jt
dt
存在条件：f(t)在无限区间里绝对可积



f (t ) dt
傅里叶级数系数和傅里叶变换比较
9. 微分特性
10.积分特性
1、线性
af1 (t ) bf2 (t ) aF 1 () bF 2 ()
其中a、b均为常数
物理意义：P55
1、线性
练习：求f(t)的频谱F()
f (t )
2 1
t
F ( ) 4 ( ) Sa ( ) 2

-0.5
0.5
2、奇偶性
F () f (t )e


jt
dt

f(t)为实函数
f (t ) costdt j f (t ) sin tdt

实频为偶函数
虚频为奇函数
2、奇偶性
F () f (t ) costdt j f (t ) sin tdt



R() jX () F () e
F ( ) R ( ) X ( )
2 2
j ( )
X ( ) ( ) arctg R( )
幅频是偶函数
相频是奇函数
3、对称性（对偶性） 时域与频域的对称性
F ( ) F [ f (t )] f (t )e jt dt 1 1 jt f (t ) F [ F ( )] F ( ) e d 2
正变换表示非周期连续信号频谱密度；
反变换表示非周期连续信号分解为不同 频率复指数信号的叠加积分
傅里叶正、反变换总结
非周期连续信号频谱： F ( ) ~
F () F () e
幅频
j ( )
F () ~
连续谱
相频
() ~
密度谱
连续周期信号的傅里叶级数及其系数 傅里叶级数
1.3 非周期信号频谱分析—傅里叶变换
• 从傅里叶级数系数到傅里叶变换
• 频谱函数与频谱密度函数的区别
• 傅里叶反变换 • 典型非周期连续信号频谱
• 傅里叶变换的性质
一、傅里叶变换
从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数系数到傅里叶变换 周期矩形脉冲傅里叶级数的系数（频谱） E n1 Fn Sa( ) 对非周期 T1 2 信号而言 T1 （非周期） Fn 0 无意义！


jt
dt (t )e


j 0
dt 1
(t )
1
0
1
F ( )
t
0

2、矩形脉冲
E， | t | / 2 f (t ) 0， | t | / 2
jt
F () Ee
2 2
f (t )
E

dt ESa (
t
0

时频对称
4、单位阶跃信号
u (t )
1 t
F ( )

0
0

四、傅里叶变换的性质
设F1 () F [ f1 (t )]，F2 () F [ f 2 (t )]
1. 线性特性 2. 奇偶性 3. 对称性 6. 尺度变换特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性
4. 时移特性
5. 频移特性

2
)
F ( ) E


2

2
t

2
2



3、直流信号 不满足绝对可积条件，但可用极限方式求解
看作矩形脉冲信号脉宽无限大
F [1] 2 () F [ E ] 2E ()
B
2
F ( 0) E

2 F [1] limSa ( ) 2 lim Sa ( ) 2 2
Fn

T
T1 2 T1 1 1 2
1

f (t )e
jn1t
1 dt 2

T1 2 T1 2
f (t )e
jn1t
dt
一、傅里叶变换
1 1 2 Fn

T1 2 T 1 2
f (t )e
jn1t
dt
频 率 连 续
T1
F ( ) lim