第6讲 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用

专题：三角函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像和性质一、知识点总结1、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 2、函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． ⑥函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-< 二、课前热身1.函数())4f x x π=-(x ∈R )的最小正周期为2. 满足21)4sin(=-πx 的x 的集合为_____3. 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如下图所示，则函数的解析式 ． 4. 要得到)32sin(π-=x y 的图像，只要将y=sin2x 的图像向___移动___单位 5. 函数y=cos(2x-3π) 的单调递增区间是____________________ 6. 若函数()3sin 2f x x ω=+（0ω>）在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是 ___7. 函数y=3sin （2x-6π）-2（2π≤x ≤32π）的值域为___________8. 关于函数()4sin(2)3f x x π=+（x R ∈），有下列命题① 由12()()0f x f x ==得12x x -必是π的整数倍； ② ()y f x =的表达式可改为()4cos(2)6f x x π=-；③ ()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④ ()y f x =的图象关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、典例分析例1：函数sin(A y =ωx )ϕ++B （0,0,>><ωπϕA ）的最大值为22，最小值为-2，周期为32π，图象过点（0，42-），求此函数解析式例2：已知函数)2,0[],21,23[,1sin 2)(2πθθ∈-∈-+=x x x x f （1）当6πθ=时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求θ的范围，使f(x)在区间]21,23[-上是单调递减函数。

解析 由题意，函数 ， 观察发现可由函数的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象.故选A.
3.（2024 · 舒城模拟）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数的图象，若在,上为增函数，则 的最大值为( ) .
A
A.2 B.3 C.4 D.
解析 依题意，，由， ，得，即的一个单调递增区间是,，因为在 ,上为增函数，所以,,，故，即 的最大值为2.故选A.
三角函数的实际应用
典例4 （双空题）如图,这是矩形与半圆 的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为 ，点在线段上，且，设 ，则的面积与 的关系式为 _______________________________, 的最大值为_ _____.
1.（多选题）（2024 · 沧州模拟）已知函数为常数， 的图象关于直线对称，函数 ，则下列说法正确的是( ) .
ABC
A.将的图象向左平移个单位长度可以得到 的图象B.的图象关于点, 对称C.在, 上单调递减D. 的最大值为1
解析 由题意， ，， ， 将的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为 ，A正确； ，B正确； 当,时，,,，此时 是减函数，C正确；的最大值为，D错误.故选 .
D
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解析 因为，所以把函数 图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数 的图象.故选D.
2.（2024 · 梅州模拟）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) .
A
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
题组3 走向高考
5.（2023 · 新高考Ⅰ卷）已知函数在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围是______.

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质【知识导图】知识讲解知识点1 ()sin y A x ωϕ=+的有关概念知识点2 用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时 要找五个关键点 如下表所示知识点3由sin y x =的图象变换得到()sin y A x ωϕ=+ (其中0,0A ω>>)的图象、(1)先平移后伸缩,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)先伸缩后平移[知识点拨]两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换) 平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换 平移的量是()0ϕωω>个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的． 例题讲解【例题1】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【例题2】在平面直角坐标系xOy 中 将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象 则2g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______ 【例题3】已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭<的部分图象如图所示 则()0f =______．【例题4】已知()12sin 24f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（1）画出函数()f x 在f 3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图； （2）求()f x 的单调递增区间.【例题5】已知函数()()sin 306f x A x B A π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最大值为2 最小值为0． （1）求718f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =图象向右平移6π个单位后 倍 横坐标不变 得到函数()y g x =的图象 求方程()2g x =的解.课堂练习【基础】1.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度 再向上平移1个单位长度 所得图象的函数解析式是_____________________.2.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 可以得到函数cos 2y x =的图象. (1)求()fπ的值；(2)求()f x 的单调递增区间.3.,已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ<⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示 则()f x 的解析式是__________．4.,已知函数()f x 的图像可以由cos 2y x =的图像先纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 再横坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍 最后向右平移6π个单位而得到. ⑴求()f x 的解析式与最小正周期； ⑵求()f x 在()0,x π∈上的值域与单调性.5.,函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭<在同一个周期内 当4x π=时y 取最大值1 当712x π=时 ,y 取最小值1-．（1）求函数的解析式()y f x =；（2）函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象？（3）若函数()f x 满足方程()()01f x a a =<< 求在[]0,2π内的所有实数根之和．6.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+<<>为偶函数 且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍 纵坐标不变 得到函数()y g x =的图象 求()g x 的单调递减区间.7.,已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+><>的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 求函数()f x 的值域．小结1．用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时 要找五个特征点．如下表所示．2.图象变换：函数y A =的图象可由函数的图象作如下变换得到：（1）相位变换：sin y x =→()sin y x ϕ=+, 把sin y x =图象上所有的点向____()0ϕ>或向____()0ϕ<平行移动__________个单位．（2）周期变换：()sin y x ϕ=+, ()sin y x ωϕ=+, 把()sin y x ϕ=+图象上各点的横坐标____()01ω<<或____()1ω>到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：()sin y x ωϕ=+, ()sin y A x ωϕ=+, 把()sin y x ωϕ=+图象上各点的纵坐标______()1A >或______()01A <<到原来的____倍(横坐标不变)．,3．当函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>, ,()x ∈∞+∞-表示一个振动量时 则____叫做振幅 T =________叫做周期 f =______叫做频率 ________叫做相位 ____叫做初相．函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期为____________．()tan y A x ωϕ=+的最小正周期为________．课后练习【基础】1.函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ+>=≤≤的图象如图 则()f x =________.2.已知()()cos 2f x x ϕ=+, 其中[)0,2ϕπ∈, 若63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值 无最大值 则ϕ=________．3.已知函数()22cos 2sin cos sin f x x x x x --=.(1)将()f x 化为()cos y A x ωϕ=+的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数()f x 在[0,]π上的图象．【巩固】4.把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )5.函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则φ＝________.6.,函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ<⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示 则ω=__________；函数()f x 在区间,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为_________．,,【拔高】7.将函数()sin 262f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位 再向下平移2个单位 得到()g x 的图像 若()()1216g x g x = 且[]12,2,2x x ππ∈- 则122x x -的最大值为__________．8.,函数()()sin (0,)2f x A x πωφωφ=+><的部分图象如图所示 将函数()f x 的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x 的图象 若函数()g x 在区间,6πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 则θ=_______.9.,如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k π⎛⎫=+Φ+ ⎪⎝⎭，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.。

探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点2 求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式
例 2.(2011·江苏) 已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ 为常数，A>0， ω>0) 的部分 图象如图 所示，则 f(0)的值是 ______．
高考链接
[2021.四川卷]函数f(x ) 2 sin ( x )( 0 , ) 的 22
局部图象如下图，那么 , 的值分别是〔 A 〕
〔A〕2
,
3
〔C〕4
,
6
〔B〕
2,
6
〔D〕
4, 3
高考链接
(2012·天津卷)将函数 f(x)＝sinωx(其中 ω>0)的图象向右
平移π4个单位长度，所得图象经过点34π，0，则 ω 的最小值是
4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像与性质
考情分析
• “根据图像和性质求三角型函数解析式〞是 高考常考内容.
• 一般以小题和大题的第一问为主,考察时有 时只求局部参数,且往往会再结合其他性质 提出问题
• 难度一般不大.
知识梳理
知识梳理
关键: 找出与x相对应的五个点
知识梳理
知识梳理
难点正本 疑点清源
规范解答
答题模板
解 (1)由图象知 A＝ 3， 以 Mπ3，0为第一个零点，N56π，0为第二个零点．
[2 分]
列方程组ωω··π536π＋＋φφ＝＝0，π，
ω＝2， 解之得φ＝－23π.
∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.