龙格库塔法RKF45Matlab实现

matlab龙格库塔方法求解二元二阶常微分方程组文章标题：深入探讨matlab中的龙格库塔方法及其在求解二元二阶常微分方程组中的应用摘要：在科学与工程领域，常常需要求解复杂的微分方程组，而matlab作为一种强大的数学工具，提供了许多求解微分方程组的方法。

本文将深入探讨matlab中的龙格库塔方法及其在求解二元二阶常微分方程组中的应用，以便读者全面理解该方法并能灵活应用于实际问题中。

正文：一、介绍龙格库塔方法龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）是一种数值求解常微分方程的方法，通过将微分方程的解进行离散化，将微分方程转化为差分方程，从而进行数值求解。

龙格库塔方法通过迭代计算，能够得到微分方程的数值解，广泛应用于科学计算和工程技术领域。

二、matlab中的龙格库塔方法在matlab中，龙格库塔方法通过ode45函数实现，该函数能够对一阶或高阶常微分方程进行数值求解。

用户可以通过设定初始条件、微分方程表达式，以及积分区间等参数，快速得到微分方程的数值解。

ode45函数采用自适应步长的方式进行求解，能够有效解决微分方程解的数值稳定性和精确度问题。

三、龙格库塔方法在求解二元二阶常微分方程组中的应用考虑如下形式的二元二阶常微分方程组：$$\begin{cases}y_1' = f_1(t, y_1, y_2) \\y_2' = f_2(t, y_1, y_2)\end{cases}$$其中，$y_1(t)$和$y_2(t)$是未知函数，$f_1(t, y_1, y_2)$和$f_2(t,y_1, y_2)$分别表示其对应的函数表达式。

通过matlab中的ode45函数，可以将该二元二阶常微分方程组转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用龙格库塔方法进行数值求解。

设定初始条件$y_1(0) = y1_0, y_2(0) = y2_0$，对应的一阶方程组为：$$\begin{cases}u_1' = u_3 \\u_2' = u_4 \\u_3' = f_1(t, u_1, u_2) \\u_4' = f_2(t, u_1, u_2)\end{cases}$$其中，$u_1(t) = y_1(t), u_2(t) = y_2(t), u_3(t) = y_1'(t), u_4(t) =y_2'(t)$，通过ode45函数求解该一阶常微分方程组即可得到原二元二阶常微分方程组的数值解。

常微分方程组的四阶Runge-Kutta方法1.问题：1.1若用普通方法-----仅适用于两个方程组成的方程组编程实现：创建M 文件：function R = rk4(f,g,a,b,xa,ya,N)%UNTITLED2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes here%x'=f(t,x,y) y'=g(t,x,y)%N为迭代次数%h为步长%ya,xa为初值f=@(t,x,y)(2*x-0.02*x*y);g=@(t,x,y)(0.0002*x*y-0.8*y);h=(b-a)/N;T=zeros(1,N+1);X=zeros(1,N+1);Y=zeros(1,N+1);T=a:h:b;X(1)=xa;Y(1)=ya;for j=1:Nf1=feval(f,T(j),X(j),Y(j));g1=feval(g,T(j),X(j),Y(j));f2=feval(f,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f1,Y(j)+g1/2);g2=feval(g,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f1,Y(j)+h/2*g1); f3=feval(f,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f2,Y(j)+h*g2/2); g3=feval(g,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f2,Y(j)+h/2*g2); f4=feval(f,T(j)+h,X(j)+h*f3,Y(j)+h*g3);g4=feval(g,T(j)+h,X(j)+h*f3,Y(j)+h*g3);X(j+1)=X(j)+h*(f1+2*f2+2*f3+f4)/6;Y(j+1)=Y(j)+h*(g1+2*g2+2*g3+g4)/6;R=[T' X' Y'];end情况一：对于x0=3000，y0=120控制台中输入：>> rk4('f','g',0,10,3000,120,10)运行结果：ans =1.0e+003 *0 3.0000 0.12000.0010 2.6637 0.09260.0020 3.7120 0.07740.0030 5.5033 0.08860.0040 4.9866 0.11930.0050 3.1930 0.11950.0060 2.7665 0.09510.0070 3.6543 0.07990.0080 5.2582 0.08840.0090 4.9942 0.11570.0100 3.3541 0.1185数据:情况二：对于x0=5000，y0=100命令行中输入：>> rk4('f','g',0,10,5000,100,10)运行结果：ans =1.0e+003 *0 5.0000 0.10000.0010 4.1883 0.11440.0020 3.2978 0.10720.0030 3.3468 0.09220.0040 4.2020 0.08760.0050 4.8807 0.09950.0060 4.2090 0.11260.0070 3.3874 0.10690.0080 3.4011 0.09340.0090 4.1568 0.08890.0100 4.7753 0.0991数据：结论：无论取得初值是哪一组，捕食者与被捕食者的数量总是一个增长另一个减少，并且是以T=5 为周期交替增长或减少的。

MATLAB是一种用于算法开发、数据分析、可视化和数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。

作为一个强大的工具，MATLAB提供了许多数值计算方法，其中4级4阶Runge-Kutta方法就是其中之一。

1. Runge-Kutta方法简介Runge-Kutta方法是求解常微分方程（ODE）的数值方法之一。

在MATLAB中，用户可以使用内置的ode45函数来调用4级4阶Runge-Kutta方法。

具体来说，4级4阶Runge-Kutta方法是一种单步迭代方法，通过在每个步骤中计算斜率来逐步逼近解析解。

它的优点是数值稳定性好，适用于多种类型的微分方程。

2. Runge-Kutta方法的公式4级4阶Runge-Kutta方法的一般形式如下：$$k_1 = hf(t_n, y_n)$$$$k_2 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_1)$$$$k_3 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_2)$$$$k_4 = hf(t_n + h, y_n + k_3)$$$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$其中，$t_n$是当前的独立变量值，$y_n$是当前的解向量，h是步长，$f(t_n, y_n)$是给定点$(t_n, y_n)$处的斜率。

通过不断迭代上述公式，可以逐步求解微分方程的数值解。

3. MATLAB中的4级4阶Runge-Kutta方法的应用在MATLAB中，用户可以使用ode45函数调用4级4阶Runge-Kutta方法来求解常微分方程。

使用ode45函数的基本语法如下：```matlab[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)```其中，odefun是用户定义的ODE函数句柄，tspan指定了求解的时间范围，y0是初始条件。

龙格库塔法RKF45的Matlab实现2007-08-16 14:03:32| 分类：MatLab/Maple/Mat|字号订阅4阶5级龙格库塔法用于解一阶微分方程（组），对于高阶微分方程，可以将其转换为一阶微分方程组求解。

原程序由John.H.Mathews编写（数值方法matlab版），但只能解微分方程，不能解微分方程组。

由LiuLiu@uestc修改，使之能够解微分方程组。

该程序精度比matlab自带的ode45更高。

rkf45.m:function [Rt Rx]=rkf45(f,tspan,ya,m,tol)% Input:% - f function column vector% - tspan[a,b] left & right point of [a,b]% - ya initial value column vector% -m initial guess for number of steps% -tol tolerance% Output:% - Rt solution: vector of abscissas% - Rx solution: vector of ordinates% Program by John.Mathews, improved by liuliu@uestcif length(tspan)~=2error('length of vector tspan must be 2.');endif ~isnumeric(tspan)error('TSPAN should be a vector of integration steps.');endif ~isnumeric(ya)error('Ya should be a vector of initial conditions.');endh = diff(tspan);if any(sign(h(1))*h <= 0)error('Entries of TSPAN are not in order.') ;enda=tspan(1);b=tspan(2);ya=ya(:);a2 = 1/4; b2 = 1/4; a3 = 3/8; b3 = 3/32; c3 = 9/32; a4 = 12/13;b4 = 1932/2197; c4 = -7200/2197; d4 = 7296/2197; a5 = 1;b5 = 439/216; c5 = -8; d5 = 3680/513; e5 = -845/4104; a6 = 1/2;b6 = -8/27; c6 = 2; d6 = -3544/2565; e6 = 1859/4104; f6 = -11/40;r1 = 1/360; r3 = -128/4275; r4 = -2197/75240; r5 = 1/50;r6 = 2/55; n1 = 25/216; n3 = 1408/2565; n4 = 2197/4104; n5 = -1/5;big = 1e15;h = (b-a)/m;hmin = h/64;% 步长自适应范围下限hmax = 64*h;% 步长自适应范围上限max1 = 200;% 迭代次数上限Y(1,:) = ya;T(1) = a;j = 1;% tj = T(1);br = b - 0.00001*abs(b);while (T(j)<b),if ((T(j)+h)>br), h = b - T(j); end%caculate values of k1...k6,y1...y6tj = T(j);yj = Y(j,:);y1 = yj;k1 = h*feval(f,tj,y1);y2 = yj+b2*k1;if big<abs(max(y2)) return, endk2 = h*feval(f,tj+a2*h,y2);y3 = yj+b3*k1+c3*k2; if big<abs(max(y3)) return, endk3 = h*feval(f,tj+a3*h,y3);y4 = yj+b4*k1+c4*k2+d4*k3; if big<abs(max(y4)) return, endk4 = h*feval(f,tj+a4*h,y4);y5 = yj+b5*k1+c5.*k2+d5*k3+e5*k4; if big<abs(max(y5)) return, end k5 = h*feval(f,tj+a5*h,y5);y6 = yj+b6*k1+c6.*k2+d6*k3+e6*k4+f6*k5; if big<abs(max(y6)) return, endk6 = h*feval(f,tj+a6*h,y6);err = abs(r1*k1+r3*k3+r4*k4+r5*k5+r6*k6);ynew = yj+n1*k1+n3*k3+n4*k4+n5*k5;% error and step size controlif ( (err<tol) | (h<2*hmin) ),Y(j+1,:) = ynew;if ((tj+h)>br),T(j+1) = b;elseT(j+1) = tj + h;endj = j+1;tj = T(j);endif (max(err)==0),s = 0;elses1 = 0.84*(tol.*h./err).^(0.25);% 最佳步长值s=min(s1);endif ((s<0.75)&(h>2*hmin)), h = h/2; endif ((s>1.50)&(2*h<hmax)), h = 2*h; endif ( (big<abs(Y(j,:))) | (max1==j) ), return, endend% [Rt Rx]=[T' Y];Rt=T';Rx=Y;使用方法：首先编写方程（组）文件（注意与ode45不同，这儿方程组为1Xn数组：function dx= fun(t,x)dx=zeros(1,2);dx(1)=x(1)+x(2)*2+0*t;dx(2)=3*x(1)+x(2)*2+0*t;然后使用：[Rt,Rx]=rkf45(@fun,[0,0.2],[6;4],100,1e-7)。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载龙格库塔方法及其matlab实现地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容龙格-库塔方法及其matlab实现摘要：本文的目的数值求解微分方程精确解，通过龙格-库塔法，加以利用matlab为工具达到求解目的。

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，用于数值求解微分方程。

MatLab软件是由美国Mathworks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。

MatLab 是英文MATrix LABoratory（矩阵实验室）的缩写。

在MratLab环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。

关键词：龙格-库塔 matlab 微分方程前言1.1：知识背景龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。

这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

通常所说的龙格库塔方法是相对四阶龙格库塔而言的，成为经典四阶龙格库塔法。

该方法具有精度高，收敛，稳定，计算过程中可以改变步长不需要计算高阶导数等优点，但是仍需计算在一些点上的值，比如四阶龙格-库塔法没计算一步需要计算四步，在实际运用中是有一定复杂性的。

Matlab是在20世纪七十年代后期的事：时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的Cleve Moler教授出于减轻学生编程负担的动机，为学生设计了一组调用LINPACK和EISPACK库程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN编写的萌芽状态的MATLAB。

经几年的校际流传，在Little的推动下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市场。

函数功能编辑本段回目录ode是专门用于解微分方程的功能函数，他有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。

ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)³。

解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.使用方法编辑本段回目录[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名tspan 是区间[t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]y0 是初始值向量T 返回列向量的时间点Y 返回对应T的求解列向量[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)在设置了事件参数后的对应输出TE 事件发生时间YE 事件解决时间IE 事件消失时间sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)sol 结构体输出结果应用举例编辑本段回目录1 求解一阶常微分方程程序:一阶常微分方程odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数tspan=[1 4]; %求解区间y0=-2; %初值[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y) %作图title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1<t<4')legend('t^2y''=y+3t')xlabel('t')ylabel('y')% 精确解% dsolve('t^2*Dy=y+3*t','y(1)=-2')% ans =一阶求解结果图% (3*Ei(1) - 2*exp(1))/exp(1/t) - (3*Ei(1/t))/exp(1/t)2 求解高阶常微分方程关键是将高阶转为一阶,odefun的书写.F(y,y',y''...y(n-1),t)=0用变量替换,y1=y,y2=y'...注意odefun方程定义为列向量dxdy=[y(1),y(2)....]程序:function Testode45tspan=[3.9 4.0]; %求解区间y0=[2 8]; %初值[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')legend('y1','y2')title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')xlabel('t')ylabel('y')function y=odefun(t,x)y=zeros(2,1); % 列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);endend高阶求解结果图相关函数编辑本段回目录ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tbMatlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现(自己写的，非直接调用)龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

matlab runge-kutta-fehlberg method1. 引言1.1 概述本文旨在介绍Matlab Runge-Kutta-Fehlberg方法，这是一种常用的数值解法，用于求解常微分方程组。

该方法结合了Runge-Kutta方法和Fehlberg方法的优点，具有较高的精度和稳定性。

1.2 文章结构本文首先介绍Matlab Runge-Kutta-Fehlberg方法的原理和实现步骤。

接着，我们将通过一个应用案例研究来验证该方法的有效性，并对结果进行详细分析。

然后，我们将与其他数值方法进行比较，评估其精度和速度。

最后，根据研究成果进行总结，并提出存在的问题及改进方向。

1.3 目的本文旨在全面了解Matlab Runge-Kutta-Fehlberg方法的原理和实现步骤，并通过应用案例研究来验证其有效性。

我们希望通过对不同数值算法结果的比较以及对结果解释与分析，评估该方法在求解常微分方程组中的优势，并提出改进方向以扩展其应用范围。

这将为科学研究和工程实践提供有力支持。

2. Matlab Runge-Kutta-Fehlberg Method2.1 方法介绍Matlab Runge-Kutta-Fehlberg方法（简称RKF方法）是一种高精度的数值积分方法，用于求解常微分方程（ODEs）初值问题。

该方法采用了经典的龙格-库塔（Runge-Kutta）方法和Fehlberg算法的组合，以提供更高的精度和稳定性。

RKF方法是一类自适应步长控制的显式算法，其基本思想是通过计算不同阶数下的两个解并利用它们之间的差异来评估误差。

该方法根据所需精度自动调整步长，确保求解结果具有较高的准确性。

2.2 方法实现步骤以下是Matlab中执行RKF方法的基本步骤：1. 定义初值问题：确定ODEs以及初始条件。

2. 设定积分区间和初始步长。

3. 使用RKF公式计算当前时间点处的解，并得到不同阶数下的两个解。