理论力学第5章 点的复合运动分析

第5章 点的复合运动分析5－1 曲柄OA 在图示瞬时以ω0绕轴O 转动，并带动直角曲杆O 1BC 在图示平面内运动。

若d 为已知，试求曲杆O 1BC 的角速度。

解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。

2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1ωω==AO v BC O （顺时针）5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm 10=R ，圆心O 1在导杆BC 上。

曲柄长cm 10=OA ，以匀角速rad/s 4πω=绕O 轴转动。

当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角 30=φ。

求此时滑杆CB 的速度。

解：1、运动分析：动点：A ，动系：BC ，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。

2、速度分析：r e a v v v +=πω401a =⋅=A O v cm/s ； 12640a e ====πv v v BC cm/s5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O 和O 1、曲柄OA 和滑道摇杆O 1B 组成。

曲柄OA 的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O 1B 上的滑道滑动。

已知曲柄OA 长r 并以等角速度ω转动，两轴间的距离是OO 1 = d 。

试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。

解：分析几何关系：A 点坐标 d t r x +=ωϕcos cos 1 （1） t r x ωϕsin sin 1= （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程trd r d t r d t rd t r x ωωωωcos 2sin cos 2cos 22222221++=+++=将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： dt r tr +=ωωϕcos sin tandt r t r +=ωωϕcos sin arctan5－4 曲柄摇杆机构如图所示。

1　点的复合运动点或者物体只相对于一个参考系的运动为简单运动；反之，点或者物体相对于多个参考系的运动为复合运动。

在工程或者实际生活中，复合运动实例很常见，一般研究方法是相对于两个参考系为最简单复合运动的单元运动来分析，然后再用叠加原理依次解决工程实际问题。

分析复合运动前，参考系确定是关键。

为研究方便，本文将研究对象的点看成是动点，且只有两个参考系的简单复合运动的情况。

动点相对于静止不动的参考系称为静参考系，简称静系；另一个参考系是相对于静系运动的坐标系称为动参考系，简称动系。

自此，动点、动系以及静系三个确定复合运动的基本参数的已基本确定，这对后续相关分析至关重要。

在研究点的合成运动时，动点相对于静系和动系以及静系和动系之间会产生三种运动，这三种运动都可以用平行四边形法则或者三角形法则来确定，且思路清晰，复合运动就变得简单了。

三种运动分别是指动点相对于静系的运动为绝对运动、动点相对于动系的运动为相对运动以及动系相对于静系的运动为牵连运动。

其中，绝对运动用a表示，相对运动用r 表示，牵连运动用e表示。

用平行四边形法则或者三角形法则分析合成运动时，绝对运动为法则中的“合”，而其他两个运动就是法则中“分”。

因此，法则满足“分”首尾相接，“合”为首尾相接中的起点到终点的方位；掌握了这个基本方法，解决多数工程实际问题就游刃有余了。

例如，曲柄滑块机构如图1所示，曲柄长r，倾角为θ为60°，图示瞬时φ=60，曲柄的角速度ω，角加速度为α，分析此时滑道BCDE的速度和加速度。

速度和加速度分析都可用平行四边形法则和三角形法A作为动点，地面作为O（静系）v a、a a；动点相对于滑道BCDE（动系）的移动为相对运动，则速度、加速度分别为v r、a r；滑道BCDE（动系）相对于地面（静系）的左右移动就为牵连运动，则速度、加速度分别为v e、a e。

依据上述分析，要计算滑道BCDE的速度和加速度，其实就是计算系统的牵连速度、牵连加速度v e、a e。

论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法1引言理论力学是机械、土木类专业的专业基础课。

包括静力学、运动学和动力学三大部分。

运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。

其中点的合成运动是运动学的重点内容。

此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。

当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。

本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。

2点的合成运动概述在日常生活中，会经常遇到这样的情况。

当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。

举个最常见的例子，如图1。

人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。

而以公共汽车为参考物，则人静止的。

可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。

再引申一个例子，如图2。

沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。

对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。

车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。

轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。

于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。

3一点二系三运动研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。

3.1两个参考坐标系研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。

（1）定参考系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。

基础部分——运动学第5 章点的一般运动与刚体的基本运动一、运动学的研究对象及任务点刚体zz几何性质z合成分解例1例2例3例4例5例6二、学习运动学的目的三、运动学的分析方法矢量工具数值求解工具四、具体内容第5章点的一般运动与刚体的基本运动点的运动的矢量法点的运动的直角坐标法点的运动的弧坐标法一、运动方程二、轨迹三、点的速度O)(t r )(t t Δ+r vMM ′位矢四、点的加速度点的运动的矢量法一、运动方程点的运动的直角坐标法O rMxy z)(zy,x,xyz二、轨迹方程三、点的速度四、点的加速度AB点的运动的弧坐标法运动轨迹原点O 一、运动方程sMO)(−)(+正方向弧坐标s二、自然轴系主法线n 切线τ，指副法线b思考：共同点不同点)(t r M O三、点的速度⋅lim ⋅st s d d d d r⋅τ⋅=v tsv d d =)(t t Δ+r vM ′sΔO)(−)(+r Δτ四、点的加速度速度大小随时间的变化率方向ττa 22t d d d d tst v ==22t d d d d tst v a ==z切向tas t ΔΔ⋅→Δτ0lim⋅速度方向随时间的变化率z法向n a sΔΔτs ΔΔϕsd d ϕ→方向？n2n2taa +全t 讨论：加速减速[例5-1]纯滚动解：（1）运动方程运动方程=x =y （2）速度22yxv v +t ωcos 22−（3）切向、法向加速度思考：如何求速度投影加速度投影全加速度22a a yx +法向加速度2t2aa −曲率半径（4）运动方程（弧坐标）如何取弧坐标的原点？讨论：Array纯滚动速度为零加速度不为零5-4-1 平行移动（平移）任一直线z形状相同z速度相同z加速度相同5-4-2 定轴转动=矢量表示:=右手规则滑动矢量αωαkz线速度v（弧坐标法）Rv ω=Rna ta αta 方向?z加速度aRa α=t Ra 2n ω=2n2t aa +42ωα+t a α思考：过轴的任一条直线上θαθrωv ×=ααt a rαa ×=t na vωa ×=nr ωr×=td d αααx ′y ′z ′1O i ′j ′k ′rωv ×=[例5-2]解：r ω=+d d r tω−=avtr R +=22ππ[思考题]j i i k ⎜+′⎟⎜′⋅+′⎟′⋅提示：5-5-1 注意区别几组公式5-5-2 描述点的运动的其它方法点的一般运动与刚体基本运动点的一般运动刚体基本运动矢量法直角坐标法弧坐标法其它方法平移定轴转动5-5-3 本章知识结构框图补充：轮系的传动比一、齿轮传动z速度z 切向加速度外啮合内啮合=两齿轮之传动比：21=1 2112R R i ==ωω2112ωω=i 22211±=±=±=正号內啮合负号外啮合11±=外啮合转向推广：二、带轮（链轮）传动二、带轮（链轮）传动z z 皮带与带轮间无相对滑动。

(b)第2篇 工程运动学基础第4章 运动分析基础4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。

已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2π，试确定小环 A的运动规律。

解：Rv a a 2ns in ==θ，θs in 2R v a =θθt an co s d d 2tR v a tv a ===，⎰⎰=t v v t R v v 02d t an 1d 0θ t v R R v t s v 00t an t an d d -==θθ⎰⎰-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθtv R R R s 0t an t an ln tan -=θθθ4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1．⎪⎩⎪⎨⎧-=-=225.1324t t y tt x ， 2．⎩⎨⎧==t y t x 2cos 2sin 3解：1．由已知得 3x = 4y （1） ⎩⎨⎧-=-=t y t x3344 t v 55-=⎩⎨⎧-=-=34y x5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。

2．由已知，得2ar cco s 213ar cs i n y x =化简得轨迹方程：2942x y -=（2）轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。

4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为221Rt s π=，式中s 以厘米计，t 以秒计。

轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。

当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x 和y 轴上的投影。

解：Rt s v π== ，R v a π== t，222n Rt Rv a π==y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2212ππ== ，12=∴tR a a x π==t ，R a y 2π-=4－4 滑块A ，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r 的鼓轮上，鼓轮A习题4－1图习题4－2图习题4－3图e e -t (c)e e -t υ (b)R t R +υ (a)习题4-6图以匀角速度ω转动，如图所示。

点的合成运动中动点、动系的选择问题
高展
【期刊名称】《运城学院学报》
【年(卷),期】1992(000)004
【摘要】在研究点的合成运动时,必须正地选取动点和动系,才能使问题易于解决;如果选取不当,会使问题极难解决,甚至无法求解、下面就来谈一谈在选择动点、动系时应注意的几个问题。

1、动点不仅对静参考系有绝对运动,而且必须对动参考系有相对运动。

因此,动点和动系不能选在同一刚体上。

【总页数】4页(P65-68)
【作者】高展
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G64
【相关文献】
1.点的合成运动中动点、动系的选取原则和方法 [J], 王云侠
2.点作合成运动时动点、动系、定系选择方法的讨论 [J], 干为民
3.论点的合成运动中动点、动系的选择与解题难易的关系 [J], 李之祥
4.点的合成运动中动点和动系的选择 [J], 王晨
5.《理论力学》“点的复合运动”中动点、动系的选取方法分析 [J], 焦大宾;刘进生
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§2-5 点的复合运动(1)在动系、定系中观测动点的运动量之间的关 系：位置关系、速度关系加速度关系。

(2)借助动系研究动点的运动规律的方法。

定义动点对于定参考系的 运动，称为绝对运动。

动点对于动参考系的 运动，称为相对运动。

动参考系对于定参考 系的运动，称为牵连运动 x0 z0相对轨 迹 绝对轨迹Pz Ay x y0O绝对运动、相对运动与牵连运动 例1 动点：滑块P；定系：圆板；动系：杆 OA 绝对运动：螺旋线相对运动：沿杆直线 牵连运动：定轴转动 牵连点Pe: 动系上与动点P位置重 合的点（杆上的点） 牵连点的位置随动点的相对运动而改变。

牵连速度：牵连点的绝对速度，记为ve 。

点的复合运动公式动点的绝对速度 v a 等于动点相 对动系的相对速度 v r 与其牵连点 的速度 ve 之和。

该动系上瞬时与 动点的几何位置重合的点称为动点 的牵连点。

相对 轨迹P绝对轨迹z0z Ay x y0v a = ve + v r动点的绝对加速度 aa 等于 动点相对动系的相对加速度 ar 与其牵连点的加速度 ae 以及哥 氏加速度 aC 之和。

O x0a a = ae + a r + ac哥氏加速度 ac = 2ω × vrω动系的绝对角速度例：速度合成定理的一个启发性证明Oxyz 为定系；刚性金属丝为动系，作刚体一般运动；丝上套小环P为动点。

绝对 轨迹 相对 轨迹e e前时刻动系上与动点重合的点的绝对轨迹速度合成定理：动点的绝对速度等于其牵连速度与相对 速度的矢量和： v a = ve + v r∆r = ∆rr + ∆re⎛ ∆r ∆rr ∆re ⎞ = + lim ⎜ ⎟ t →0 ⎝ ∆t ∆t ∆t ⎠绝对 速度v a = ve + v rP的绝 对位移牵连 速度相对 速度∆rr相对 位移e牵连点的 绝对位移ee定义：在t 瞬时，动系上与动点相重合之点（牵连点） 的绝对速度称为牵连速度，记为 v e 。