江苏大学2006年《高等代数》考研专业课真题试卷

- 1 - 2006年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

（1）11lim______.nnnn

（2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则2____.f

（3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d_____.z

（4）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B .

（5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY_______.

（6）设总体X的概率密度为121,,,,2xnfxexXXX为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2____.ES

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则

(A) 0dyy. (B) 0dyy.

(C) d0yy. (D) d0yy . [ ]

（8）设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则

(A) 000ff且存在 (B) 010ff且存在

(C) 000ff且存在 (D)010ff且存在 [ ]

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

（1）曲线xxxxycos25sin4的水平渐近线方程为______．

【答案】51y

【考点】水平渐近线

【难易度】★★

【详解】

解析：，51cos25sin41limcos25sin4limlimxxxxxxxxyxxx所以水平渐近线方程为51y.

（2）设函数0,,0,dsin1)(023xaxttxxfx在x＝0处连续，则a＝______．

【答案】13

【考点】函数连续的概念

【难易度】★★

【详解】

解析：按连续性定义，313sinlimdsinlim)(lim)0(22030200xxxttxffaxxxx．

（3）广义积分022)1(dxxx＝______．

【答案】12

【考点】无穷限的反常积分

【难易度】★★

【详解】

解析：211121)1(d21)1(d020022222xxxxxx

（4）微分方程xxyy)1(的通解是______．

【答案】xyCxe，C为常数

【考点】变量可分离的微分方程 【难易度】★★

【详解】

解析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得

xxyyd)11(d.

积分得

1lnlnyxxC，即1Cxyexe．

因此，通解为xyCxe，C为常数．

（5）设函数()yyx由方程1yyxe确定，则0|ddxxy＝______．

【答案】e

【考点】隐函数的导数

【难易度】★★

【详解】

解析：在原方程中令0(0)1xy．将方程两边对x求导，并令0x得

yyyexey，(0)(0)yyee．

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一 填空

(1) 11lim_________nnnn

(2) 设函数()x2fx在的某领域内可导,且,21fxfxef,则2_________f

(3) 设函数()fu可微,且102f,则224Zfxy在点(1,2)处的全微分1,2_________dz

(4) 设矩阵2112A,E为2阶单位矩阵,矩阵E满足BA=B+2E,则_________B

(5) 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则max,1_________PXY

(6) 设总体X的概率密度为121,,,......2xnfxexxxx为总体的简单随机样本,其样本方差2S,则E2S=__________

二 选择题

(7) 设函数yfx具有二阶导数,且0,0,fxfxx为自变量x在点0x处的增量,ydy与分别为fx在点0x处对应的增量与微分,若0x,则 ( )

(A)0dyv

(B)0ydy

(C)0ydy

(D)0dyy

(8) 设函数fx在x=0处连续,且220lim1nfnn,则

(A)'000ff且存在

(B)'010ff且存在

(C)'000ff且存在

(D)'010ff且存在

(9)

若级数1nna收敛,则级数 ( )

(A)

1nna收敛

(B)11nnna收敛

(C)11nnnaa收敛

(D)112nnnaa收敛

(10) 设非齐次线性微分方程xxyPyQ有两个的解12,,yxyxC为任意常数,则该方程通解是:

精品

-可编辑- 2000年真题

1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：

4(1)()(1)()(2)()0xfxxgxxhx （1）

4(1)()(1)()(2)()0xfxxgxxhx （2）

证明：41x能整除()gx。

2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。

3（15分）求矩阵321222361A的最大的特征值0，并且求A的属于0的特征子空间的一组基。

４(14分)设-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611nAAE3．

５(14分)设A,B都是实数域R上的nn矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等． 精品

-可编辑- 证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：EAEB

６．(14分)设A是nn实对称矩阵,证明：257nAAE是一个正定矩阵．

证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．

７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设1,nVA使0,但是nA=0,其中n>1．证明：21{,,,,}nAAAK是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．

2000年真题答案 精品

-可编辑- 1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2gxhxhxgx （3）

将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2xfxxgx

441()xxxgxQ+1与互素，．

注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。

2、证明：,()0.ABACABCQ

(),AnrRArAQ是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX只有零解．

0,BCBC即

3、解：224EA，02