一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;
（1）若∠E=60°，则∠F=________;
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.
（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;
【答案】（1）90°
（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB
∴EM∥AB∥FN
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN
又∵AB∥CD，AB∥FN
∴CD∥FN
∴∠D+∠DFN=180°
又∵∠D =120°
∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°
∴∠EFD=∠MEF +60°
∴∠EFD=∠BEF+30°
（3）解：如图，过点F作FH∥EP
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°
设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD
∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°
∵FH∥EP
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°
【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.
【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.
2．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧
（1）若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则
________.
【答案】（1）解：①
又 E为BC中点
；
②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知：
，和
当时，
此时可画图如图2所示，代入得：
解得：，即AD的长为3
当时，
此时可画图如图3所示，代入得：
解得：，即AD的长为5
综上，所求的AD的长为3或5；
（2） .
【解析】【解答】（2）①若DE在如图4的位置
设，则
又
（不符题设，舍去）
②如DE在如图5的位置
设，则
又
代入得：
解得：
则 .
【分析】（1）①根据AB的长和可求出AC和BC，根据中点的定义可得CE，再由可得CD，最后根据计算即可得；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知，和，所以需分2种情况进行讨论：和，如图2、3（见解析），先根据已知条件判断点E、F位置，再将EF和CE用含x的式子表示出来，最后代入求解即可；
（2）设，先判断出DE在AB上的位置，再根据得出x和y 满足的等式，然后将其代入化简即可得.
3．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8
（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,
（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．
【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.
（2）MN=
【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；
（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值. 4．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．
（1）若，，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，
∵CD平分△ABC的外角，
∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.
（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N ? 180 ° ).
∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,
∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.
=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.
=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.
= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,
或写成
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；
(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.
5．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
6．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？请直接写出结论：直线 ________（平
分或不平分） .
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________.（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转，请探究：当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.
【答案】（1）平分
（2）或49
（3）解：不变，设，
，，
【解析】【解答】（1）直线平分；（2）或
【分析】（1）根据图形得到直线ON平分∠AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求出t的值；（3）根据题意得到∠AON=50°?y，∠AOM?∠NOC=x?y=40°.
7．如图，直线l上有A、B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=________cm，OB=________cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q 运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为________ cm．
【答案】（1）16；8
（2）解：设CO=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，
∵AC=CO+CB，
∴16﹣x=x+8+x，
∴x= ，
∴CO=
（3）48
【解析】【解答】解：（1）∵AB=24，OA=2OB，
∴20B+OB=24，
∴OB=8，0A=16，
故答案分别为16，8．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，t= ，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）=8，t=16，
∴t= 或16s时，2OP﹣OQ=8．
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）=16，t=16，
∴点M运动的路程为16×3=48cm．
故答案为48cm．
【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）设OC=x，则AC=16﹣x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）=8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2﹣1）=16由此即可解决．
8．如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？
【答案】（1）MN=MC+NC= AC+ BC= （AC+BC）= ×（8+6）= ×14=7
（2）MN=MC+NC= （AC+BC）= a
（3）MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b
（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．
【解析】【分析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm，其他步骤是一样的；（3）当C在线段AB的延长线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出来了；（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB 的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．
9．将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON，，，，，保持三角板OBC不
动，将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒
（1）如图2， ________度用含t的式子表示；
（2）在旋转的过程中，是否存在t的值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O以每秒的速度顺时针旋转.
当 ________秒时，；
请直接写出在旋转过程中，与的数量关系________ 关系式中不能含 .
【答案】（1）
（2）解：当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：
90﹣8t=4（45﹣8t）
解得：t ；
当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：
90﹣8t=4（8t﹣45）
解得：t .
综上所述：t 或t
（3）5或10；3∠NOD+4∠BOM=270°.
【解析】【解答】（1）∠NOD一开始为90°，然后每秒减少8°，因此∠NOD=90﹣8t.
故答案为90﹣8t.
（ 3 ）①当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：
8t﹣2t=30
解得：t=5；
当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：
8t﹣2t=60
解得：t=10.
故答案为5或10.
②∵∠NOD=90﹣8t，∠BOM=6t，∴3∠NOD+4∠BOM=3（90﹣8t）+4×6t=270°.
即3∠NOD+4∠BOM=270°.
【分析】（1）把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小.（2）相对MO与CO的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t 的方程即可.（3）①其实是一个追赶问题，分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况，然后分别列方程即可.②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM，然后消去t即可得出它们的关系.
10．如图，三角形ABC，直线，CD、BD分别平分和．
（1）图中，，，求的度数，说明理由．（2）图中，，直接写出 ________．
（3）图中，， ________．
【答案】（1）解：
，
，
如图1过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理
（2）
（3）
【解析】【解答】
如图2过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，
，
，
即，
，
，
，，
故答案为．
如图3过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，
，
，
即，
，
，
，
，
故答案为．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，得出，，则，再根据、分别平分和，得出，同理，即可解答；（2）根据（1）的思路即可解答；（3）根据（2）的思路即可解答.
11．已知，，点在射线上， .
（1）如图1，若，求的度数；
（2）把“ °”改为“ ”，射线沿射线平移，得到，其它条件不变（如图2所示），探究的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作，垂足为，与的角平分线交于点，若，用含α的式子表示（直接写出答案）.
【答案】（1）解：∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°
（2）解：如图2，过O点作OF//CD，
∴CD//OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，
∴∠OCD+∠BO'E=240°
（3）30°+
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP= ∠OCD，
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°- ∠OCD
=150°- （240°-∠BO'E）
=30°+
【分析】（1）先求出到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O点作OF//CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系；（3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答.
12．已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点，且AP⊥PC于P.
（1）如图1,求证：∠BAP+∠DCP=90°；
（2）如图2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数；【答案】（1）证明：过P作PQ∥AB，
∴∠BAP=∠APQ
∵AB//CD
∴PQ//CD
∴∠DCP=∠CPQ
∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC
又∵AP⊥PC于P
∴∠APC=90°
∴∠BAP+∠DCP=90°
（2）解：过Q作QM∥AB，
∵CQ平分∠PCG ，AH平分∠BAP，
设∠PCQ=∠QCG=a ，∠BAH=∠HAP=b，
∵QM∥AB，∠BAQ=180° b
∴∠BAQ=∠AQM=180°
又∵AB//CD，
∴MQ//CD，
∴∠CQM=180° a
∴∠AQC=（180° b）（180° a）=a b
又∵由（1）得∴∠BAP+∠DCP=90°
∵∠DCP=180° 2a ，∠BAP=2b
∴2b+180° 2a=90°
∴a b=45°
∴∠AQC=45°
【解析】【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的判定定理得出PQ//CD，由平行线的性质，得到∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，结合AP⊥PC，即可得到答案；
（2）过Q作QM∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质，得到角度之间的关系，即可得到答案.