分数阶圆周卷积定理及其应用
- 格式：pdf
- 大小：513.91 KB
- 文档页数：10
这样，根据上面的推导我们可以得到分数阶圆 周卷积定理为：
时域上两个序列的周期为Ｎ的夕阶分数阶圆周 卷积对应于它们Ｐ阶离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的乘
万方数据
１２８２
自．我科手盈展 第１ ７卷第９期２００７年９月
积再乘以一个线性调频信号，即
Ｆ，［ｚ１（挖）ｏＮ ｚ。（靠）］：Ｘ１，ｐ（优）Ｘ２。，（ｍ）ｅ－Ｊ－｝ｅ。ｔ＝ｍ２血２
Ａｕ·Ａｔ—ｌ Ｓ Ｉ ２ｎｓｉｎａ／Ｎ
（４）
其中ｌ Ｓ ｌ是与Ｎ互质的整数（常取为。１），ＤＦｒＦＴ 可以表示为：
墨（ｍ）＝～／ｓｇｎ（ｓｉｎａ）（～ｓｉｎａ－－ｊｃｏｓａ）ｅ｛－∞Ⅷ２∥·
∑ｅ士。呦。∥ｅ－ｊ倒铲Ｘ（挖） 当口≠Ｄ７【（５ａ）
磊五
Ｘ口（ｍ）一ｚ（ｍ） 当口一２Ｄｎ，
（５ｂ）
和 Ｘ，（优）＝ｚ（一ｍ） 当口一（２Ｄ＋１）ｎ（５ｃ）
ｘ２（ｎ）Ｏ．５ ０ ２
南Ｏ）ｌ
Ｏ （ｃ）
‰㈣：‰拙础㈤． 图２ （ａ）原始信号而（ｎ）；（ｂ）原始信号也（ｎ）；（ｃ）而（席） 和屯（露）的分数阶圆周卷积结果如（厅）
扳俐：豳蛐娃． 。Ｏ
１０
２０
３０埘４０
５０
６０
７０
。０
１０
２０
３０坍４０
５０
６０
７０
２
羁０）１
０
１０
２０
３０—４０
５０
６０
７０
（ｃ）
由此，我们定义周期为Ｎ的Ｐ阶分数阶圆周卷 积操作为
Ｎ
～
～
ｚｌ（ｎ）砭多ｚｚ（咒）＝［ｊｌ（挖）砭多ｚ ２（，ｚ）３ＲⅣ（７ｚ）一
声
户
Ｎ－－１
∑ｚ。（ｉ）啦，１ ｃｏ一２∥ｚ２（（咒一ｉ））州·
ｌ一０
ＲⅣ（，２）ｄ－Ｙ咖·（ｎ－０２∥
（２０）
其中需要特别注意的是，分数阶圆周卷积操作中的 劫（（咒一ｉ））州ＲⅣ（７ｚ）表示在卷积过程中序列Ｘｚ（挖）将 先按ｃｈｉｒｐ周期性进行延拓，然后再进行圆周移位．
波器实现和通信系统中的两个具体应用，为分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换理论及应用的发展提供了新方法和新思 路．
１分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换定义及分数阶卷积定理
１．１离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换定义及ｃｈｉｒｐ周期性 连续信号ｚ（￡）的ＦｒＦＴ定义为‘３。：
，‘十∞
Ｘｐ（“）一｛Ｆ止ｚ（￡）］）（乱）＝Ｉ ｘ（ｔ）Ｋｐ（≠，ｕ）ｄｔ ｏ－－ｃｏ （１）
其中户一２ａ／＇ｒ为ＦｒＦＴ的阶次，ａ为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 域与时域的夹角，Ｒ［·］为ＦｒＦＴ算子符号， Ｋ，（￡，“）为ＦｒＦＴ的变换核：
ｘｐ（ｊ半ｃ咖一胁ｓ∞），
Ｋｐ（≠，“）＝
ａ≠挖兀 口＝２ｎｎ ａ一（２ｎ士１）兀
（２）
２００６—１２—１５收稿，２００７—０３－２８收修改稿 ＊国家自然科学基金（批准号ｔ ６０５７２０９４）和国家杰出青年科学基金（批准号：６０６２５１０４）资助项目 ＊＊通信作者，Ｅ－ｍａｉｌｌ Ｉａｎｔａｏ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃ１１
考虑Ｐ阶分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域的两个有限长序列 Ｘｚ，，（ｍ）和Ｘ。，，（ｍ）及一个ｃｈｉｒｐ信号序列 ｅ＿ｊ专嘶“。血“的乘积
又 以由 （㈣ＤＦｍｒ成ＦＴ㈤隐＝含 ｖ［周平期ｓｉ性ｎａ可＋ｊ知ｅｏｓａ－ｊ三．酬州）２∥－
∑Ｘ挪（ｍ）ｅｉ铷‘删ｅ－Ｊ｛－ｍｍ２∥
（１８）
再将（１８）式代入（１７）得
“咒）＝√些哥塑ｅ书ｍｎ公·
关键词 分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换卷积ｃｈｉｒｐ周期性
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦｒＦＴ）是传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变 换（ＦＴ）的一种广义形式［１矗］．作为一种新的时频分 析工具，分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换可以解释为信号在时 频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转某一角度后构成 的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域上的表示方法［３“］．由于分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换同时含有信号时域和频域的特征，因此 在某些非平稳信号，尤其是线性调频类信号的检测 和处理中得到了较好的应用［５’６］．同时，分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在通信和信息隐藏等领域也得到了越来 越多的重视和应用［７＿１“１５Ｊ６１．作为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换在信号处理中应用的理论基础的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换采样定理及分数阶卷积定理也于近年分别被提 出［１卜１４］．但是，分数阶卷积定理针对的是两个时域 连续信号的分数阶卷积的情况，而在实际工程中处 理的信号一般为时域离散信号，那么两个有限长离 散信号应如何进行分数阶卷积，分数阶卷积后的结 果和其离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＤＦｒＦＴ）的关系如 何，这一关系又有哪些应用，这些问题都尚未进行 深入的研究．因此，本文从离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变 换和分数阶卷积定理出发，提出了分数阶圆周卷积 定理．并且，文章给出了分数阶圆周卷积定理在滤
Ｘ３。ｐ（ｍ）＝Ｘ１，，（ｍ）Ｘ：，ｐ（ｍ）ｅ＿ｊ专ｍｍ２血２（１４） 由离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的定义
ｚ３（，ｚ）一Ｆ一，［ｘ３，ｐ（ｍ）］一
∑ｚ。（ｆ）出‰产舻．２７。（（咒一ｉ））州·
ｅｉ睾ｃｏｔａ（ｎ－０２Ａｔ２ ｍⅣ（行）＝［；。（７２）匿多；。（，ｚ）］ＲⅣ（，ｚ）
（１９）
∑Ｘ。，，（ｍ）ｅｊ枷ｅ－ｊ÷一ｍ２∥＝
．／！！垒堡±！呈旦！垡、ｅ一丢ｃｏｋｎ２∥．
～
Ｎ
Ｎ－－１
∑Ｘ。，ｐ（ｍ）Ｘ２。，（优）ｅｊ孙”ｅ＿ｊ—ｍ２∥ （１５）
并且
Ｘ１．ｐ（拂）＝４—ｓｉｎａ Ｎ—Ｊｅ。ｓａｅＪ专ｃｏ衄ｍ２△”２·
∑ｚ，（，ｚ）ｅ－ｊ孙矗一ｎ２∥
（１６）
州曲一√学ｅ＿ｊ÷ｍ＂缁薹Ｎ－－１· 将（１６）式代入（１５）式得 ｒ—●————ｊ——ｒ————一
而ＤＦｒＦＴ定义式（６）式中的ｚ（，ｚ）和Ｘ，（ｍ）应分别 为时域和分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域中ｃｈｉｒｐ周期性序列 ’ｘ（ｎ）￥ｌｌ戈，（执）的一个ｃｈｉｒｐ周期内的取值，即
ｚ（挖）一ｘ～（ｎ）ＲⅣ（７ｚ）＝ｚ（（，２））舢ＮＲＮ（咒）
（９）
Ｘｐ（ｍ）一瓢（优）ＲＮ（优）一Ｘｐ（（ｍ））ｐ，ＮＲⅣ（ｍ）
Ｘ３，ｐ（优）一Ｆｐ［ｚ３（靠）Ｊ—
ｓｉｎａ焉ｑｊｃｏｓａｄ号ｃｏｋｍ２△１１２· ∑ｚ。（，１）ｚ。（恕）ｅ＿ｊ孙ｅ｝“‘＂２∥一
瓤仰）０．５ ０ ｌ
南ｅｉ丢ｃｏｍ２∥。。。；。。ｘ－，，（ｉ）ｅ＿ｊ号∞ｋ“２Ａ户·
√下ｓｉｎａ＋ｊｃｏｓａｒ．ｒ１‰ｍ２∥· ｚ２（，２）ｅ－Ｊ－静（ｍ＇－ｉ）一ｅＪＣＯｔａ．ｎｚ∥一
Ｎ
Ｘ１．，（ｍ）Ｏ Ｘ２，，（７，１）
、
一，
（２３）
为了验证所提出的分数阶圆周卷积定理的正确 性，下面给出计算机仿真结果．仿真中，两个长度 为Ｎ＝４０的信号序列ｚ１（咒）＝１和ｚ２（，ｚ）一１（挖＝０， １，…，Ｎ一１）进行Ｌ＝６５点的Ｐ阶分数阶圆周卷 积．首先将ｚ。（柙）和，２７。（挖）补上（Ｌ—Ｎ）个零，再将 ｚ２（咒）按（８）式所示的ｃｈｉｒｐ周期性进行ｃｈｉｒｐ周期延 拓，最后按式（２０）进行分数阶圆周卷积得到序列 ｚ３（靠）．另一方面，将ｚ１（雄）和ｚ２（升）分别进行Ｌ点
Ｘｐ（ｍ—Ｎ△”）ｅ—ｊ｛一（一Ｎ）２厶１１２一Ｘ≯（ｍ）ｅ＿ｊ｛ｍｌａｉｎ２０ （７）
那么，在Ｐ阶分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域，输入输出信号可 以有如下关系
Ｘ３．ｐ（越）一Ｘ。．，（”）Ｘｚ。ｐ（“）ｅ．－ｊ÷。“。２
（１２）
其中Ｘ¨（“）为五（￡）的ＦｒＦＴ（ｉ＝１，２，３）．也就是 说，两个时域信号的分数阶卷积对应于它们分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的乘积再乘以一个线性调频信号．
万方数据
自皿科手近展 第１ ７卷第９期２００７年９月
ＦｒＦＴ的逆变换为：
／＇４－００
ｚ（￡）一ｌ Ｘｐ（“）Ｋ—ｐ（￡，ｕ）ｄｕ
（３）
Ｊ一∞
在实际应用中，需要计算离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换，即ＤＦｒＦＴ．文献［４］指出，对ＦｒＦＴ的输入 输出分别以间隔△￡和Ａｕ进行取样，当分数阶Ｆｏｕ－ ｒｉｅｒ域的输出采样点数Ｍ大于等于时域输入采样点 数Ｎ（通常取为相等的情况，即Ｍ＝Ｎ，因此下文 中分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域和时域采样的点数也统一用Ｎ 表示），并且采样间隔满足
其中Ｄ为整数． 在不失一般性的前提下，通常我们可以只考虑口
＞ｏ且口≠／ｇｎ时的情形，而ａ＜０时的情形和ａ＞０时 的类似，因此可以暂不考虑，这时（５ａ）式可以写为：
Ｘｐ（ｍ）＝４—ｓｉｎａ Ｎ—ＪＣ。Ｓａｅ毒～２∥·
∑ｅ善∞Ⅻ２∥ｅ－ｊ２５俨ｚ（咒） 当口＞０且口≠Ｄ７【（６）
ｚ（挖一Ｎ△￡）ｅｊ毒ｃｏｋ（，ｒＮ）２＆ｔ２：：ｚ（，ｚ）ｅｊ专ｃｏ缸一２∥ （８）
∑ｘ，，ｐ（ｆ）ｅ－ｊ号∞”产∥Ｘｚ，ｐ（（ｍ—ｉ））一户．Ｎ·
ＲⅣ（ｍ）ｅ－ｊ扣缸‘（一ｌ＇２∥一
Ｘ１（，，１）ｏＸ２（ｍ）
一声
（２２）
因此，总结可以得到另一个结论为： 时域上两个序列乘积再乘以一个线性调频信号
对应于它们Ｐ阶离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换周期为Ｎ 的一夕阶分数阶圆周卷积操作，即
Ｆ，［ｚ１（７１）ｚ２（咒）ｅ；丢＊“一２∥］＝
即两个连续信号ｚ。（￡）和恐（￡）的分数阶卷积定义为：
ｚ。（￡）一ｚ－（￡）９ｚ ｚ（￡）＝％／１－－２。ｘｊｃｏｔａ· 户
ｅ－ｊ｝∞ｋ户－ｒｚ，（ｒ）ｅ｝专ｃｏｋｆ２．ｚ：（￡——ｒ）ｅｊ｝∞ｋ（Ｐｆ）２ｄｒ（１１）
这里需要着重指出的是，ＤＦｒＦＴ的定义中隐含 有周期性意义．如同Ｆｏｕｒｉｅｒ域的采样理论一样，根 据分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域采样理论ｈ１３］，ＤＦｒＦＴ定义中的 时域和分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域信号离散化分别造成了分数 阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域和时域信号的ｃｈｉｒｐ周期延拓，即
２分数阶圆周卷积定理
南一｛一ｎ２∥蚤Ｎ－－１ ｚ。ｃｉ，ｄ扣－ｆ２∥·
∑Ｘ。，，（ｍ）ｅｉ－勖（㈣ｅ－ｊ扣ｎｍ２∥
（１７）
以上的分数阶卷积定理得到的是两个时域连续 信号分数阶卷积的情况，而在实际工程中需要处理 的信号多为有限长的离散信号序列，那么对于两个 有限长离散信号其分数阶卷积应该如何实现，对应 的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换域的形式又是怎样的呢？下 面将加以回答．
时域上两个序列的周期为Ｎ的夕阶分数阶圆周 卷积对应于它们Ｐ阶离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的乘
万方数据
１２８２
自．我科手盈展 第１ ７卷第９期２００７年９月
积再乘以一个线性调频信号，即
Ｆ，［ｚ１（挖）ｏＮ ｚ。（靠）］：Ｘ１，ｐ（优）Ｘ２。，（ｍ）ｅ－Ｊ－｝ｅ。ｔ＝ｍ２血２
Ａｕ·Ａｔ—ｌ Ｓ Ｉ ２ｎｓｉｎａ／Ｎ
（４）
其中ｌ Ｓ ｌ是与Ｎ互质的整数（常取为。１），ＤＦｒＦＴ 可以表示为：
墨（ｍ）＝～／ｓｇｎ（ｓｉｎａ）（～ｓｉｎａ－－ｊｃｏｓａ）ｅ｛－∞Ⅷ２∥·
∑ｅ士。呦。∥ｅ－ｊ倒铲Ｘ（挖） 当口≠Ｄ７【（５ａ）
磊五
Ｘ口（ｍ）一ｚ（ｍ） 当口一２Ｄｎ，
（５ｂ）
和 Ｘ，（优）＝ｚ（一ｍ） 当口一（２Ｄ＋１）ｎ（５ｃ）
ｘ２（ｎ）Ｏ．５ ０ ２
南Ｏ）ｌ
Ｏ （ｃ）
‰㈣：‰拙础㈤． 图２ （ａ）原始信号而（ｎ）；（ｂ）原始信号也（ｎ）；（ｃ）而（席） 和屯（露）的分数阶圆周卷积结果如（厅）
扳俐：豳蛐娃． 。Ｏ
１０
２０
３０埘４０
５０
６０
７０
。０
１０
２０
３０坍４０
５０
６０
７０
２
羁０）１
０
１０
２０
３０—４０
５０
６０
７０
（ｃ）
由此，我们定义周期为Ｎ的Ｐ阶分数阶圆周卷 积操作为
Ｎ
～
～
ｚｌ（ｎ）砭多ｚｚ（咒）＝［ｊｌ（挖）砭多ｚ ２（，ｚ）３ＲⅣ（７ｚ）一
声
户
Ｎ－－１
∑ｚ。（ｉ）啦，１ ｃｏ一２∥ｚ２（（咒一ｉ））州·
ｌ一０
ＲⅣ（，２）ｄ－Ｙ咖·（ｎ－０２∥
（２０）
其中需要特别注意的是，分数阶圆周卷积操作中的 劫（（咒一ｉ））州ＲⅣ（７ｚ）表示在卷积过程中序列Ｘｚ（挖）将 先按ｃｈｉｒｐ周期性进行延拓，然后再进行圆周移位．
波器实现和通信系统中的两个具体应用，为分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换理论及应用的发展提供了新方法和新思 路．
１分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换定义及分数阶卷积定理
１．１离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换定义及ｃｈｉｒｐ周期性 连续信号ｚ（￡）的ＦｒＦＴ定义为‘３。：
，‘十∞
Ｘｐ（“）一｛Ｆ止ｚ（￡）］）（乱）＝Ｉ ｘ（ｔ）Ｋｐ（≠，ｕ）ｄｔ ｏ－－ｃｏ （１）
其中户一２ａ／＇ｒ为ＦｒＦＴ的阶次，ａ为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 域与时域的夹角，Ｒ［·］为ＦｒＦＴ算子符号， Ｋ，（￡，“）为ＦｒＦＴ的变换核：
ｘｐ（ｊ半ｃ咖一胁ｓ∞），
Ｋｐ（≠，“）＝
ａ≠挖兀 口＝２ｎｎ ａ一（２ｎ士１）兀
（２）
２００６—１２—１５收稿，２００７—０３－２８收修改稿 ＊国家自然科学基金（批准号ｔ ６０５７２０９４）和国家杰出青年科学基金（批准号：６０６２５１０４）资助项目 ＊＊通信作者，Ｅ－ｍａｉｌｌ Ｉａｎｔａｏ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃ１１
考虑Ｐ阶分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域的两个有限长序列 Ｘｚ，，（ｍ）和Ｘ。，，（ｍ）及一个ｃｈｉｒｐ信号序列 ｅ＿ｊ专嘶“。血“的乘积
又 以由 （㈣ＤＦｍｒ成ＦＴ㈤隐＝含 ｖ［周平期ｓｉ性ｎａ可＋ｊ知ｅｏｓａ－ｊ三．酬州）２∥－
∑Ｘ挪（ｍ）ｅｉ铷‘删ｅ－Ｊ｛－ｍｍ２∥
（１８）
再将（１８）式代入（１７）得
“咒）＝√些哥塑ｅ书ｍｎ公·
关键词 分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换卷积ｃｈｉｒｐ周期性
分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＦｒＦＴ）是传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变 换（ＦＴ）的一种广义形式［１矗］．作为一种新的时频分 析工具，分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换可以解释为信号在时 频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转某一角度后构成 的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域上的表示方法［３“］．由于分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换同时含有信号时域和频域的特征，因此 在某些非平稳信号，尤其是线性调频类信号的检测 和处理中得到了较好的应用［５’６］．同时，分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在通信和信息隐藏等领域也得到了越来 越多的重视和应用［７＿１“１５Ｊ６１．作为分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换在信号处理中应用的理论基础的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换采样定理及分数阶卷积定理也于近年分别被提 出［１卜１４］．但是，分数阶卷积定理针对的是两个时域 连续信号的分数阶卷积的情况，而在实际工程中处 理的信号一般为时域离散信号，那么两个有限长离 散信号应如何进行分数阶卷积，分数阶卷积后的结 果和其离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＤＦｒＦＴ）的关系如 何，这一关系又有哪些应用，这些问题都尚未进行 深入的研究．因此，本文从离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变 换和分数阶卷积定理出发，提出了分数阶圆周卷积 定理．并且，文章给出了分数阶圆周卷积定理在滤
Ｘ３。ｐ（ｍ）＝Ｘ１，，（ｍ）Ｘ：，ｐ（ｍ）ｅ＿ｊ专ｍｍ２血２（１４） 由离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的定义
ｚ３（，ｚ）一Ｆ一，［ｘ３，ｐ（ｍ）］一
∑ｚ。（ｆ）出‰产舻．２７。（（咒一ｉ））州·
ｅｉ睾ｃｏｔａ（ｎ－０２Ａｔ２ ｍⅣ（行）＝［；。（７２）匿多；。（，ｚ）］ＲⅣ（，ｚ）
（１９）
∑Ｘ。，，（ｍ）ｅｊ枷ｅ－ｊ÷一ｍ２∥＝
．／！！垒堡±！呈旦！垡、ｅ一丢ｃｏｋｎ２∥．
～
Ｎ
Ｎ－－１
∑Ｘ。，ｐ（ｍ）Ｘ２。，（优）ｅｊ孙”ｅ＿ｊ—ｍ２∥ （１５）
并且
Ｘ１．ｐ（拂）＝４—ｓｉｎａ Ｎ—Ｊｅ。ｓａｅＪ专ｃｏ衄ｍ２△”２·
∑ｚ，（，ｚ）ｅ－ｊ孙矗一ｎ２∥
（１６）
州曲一√学ｅ＿ｊ÷ｍ＂缁薹Ｎ－－１· 将（１６）式代入（１５）式得 ｒ—●————ｊ——ｒ————一
而ＤＦｒＦＴ定义式（６）式中的ｚ（，ｚ）和Ｘ，（ｍ）应分别 为时域和分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域中ｃｈｉｒｐ周期性序列 ’ｘ（ｎ）￥ｌｌ戈，（执）的一个ｃｈｉｒｐ周期内的取值，即
ｚ（挖）一ｘ～（ｎ）ＲⅣ（７ｚ）＝ｚ（（，２））舢ＮＲＮ（咒）
（９）
Ｘｐ（ｍ）一瓢（优）ＲＮ（优）一Ｘｐ（（ｍ））ｐ，ＮＲⅣ（ｍ）
Ｘ３，ｐ（优）一Ｆｐ［ｚ３（靠）Ｊ—
ｓｉｎａ焉ｑｊｃｏｓａｄ号ｃｏｋｍ２△１１２· ∑ｚ。（，１）ｚ。（恕）ｅ＿ｊ孙ｅ｝“‘＂２∥一
瓤仰）０．５ ０ ｌ
南ｅｉ丢ｃｏｍ２∥。。。；。。ｘ－，，（ｉ）ｅ＿ｊ号∞ｋ“２Ａ户·
√下ｓｉｎａ＋ｊｃｏｓａｒ．ｒ１‰ｍ２∥· ｚ２（，２）ｅ－Ｊ－静（ｍ＇－ｉ）一ｅＪＣＯｔａ．ｎｚ∥一
Ｎ
Ｘ１．，（ｍ）Ｏ Ｘ２，，（７，１）
、
一，
（２３）
为了验证所提出的分数阶圆周卷积定理的正确 性，下面给出计算机仿真结果．仿真中，两个长度 为Ｎ＝４０的信号序列ｚ１（咒）＝１和ｚ２（，ｚ）一１（挖＝０， １，…，Ｎ一１）进行Ｌ＝６５点的Ｐ阶分数阶圆周卷 积．首先将ｚ。（柙）和，２７。（挖）补上（Ｌ—Ｎ）个零，再将 ｚ２（咒）按（８）式所示的ｃｈｉｒｐ周期性进行ｃｈｉｒｐ周期延 拓，最后按式（２０）进行分数阶圆周卷积得到序列 ｚ３（靠）．另一方面，将ｚ１（雄）和ｚ２（升）分别进行Ｌ点
Ｘｐ（ｍ—Ｎ△”）ｅ—ｊ｛一（一Ｎ）２厶１１２一Ｘ≯（ｍ）ｅ＿ｊ｛ｍｌａｉｎ２０ （７）
那么，在Ｐ阶分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域，输入输出信号可 以有如下关系
Ｘ３．ｐ（越）一Ｘ。．，（”）Ｘｚ。ｐ（“）ｅ．－ｊ÷。“。２
（１２）
其中Ｘ¨（“）为五（￡）的ＦｒＦＴ（ｉ＝１，２，３）．也就是 说，两个时域信号的分数阶卷积对应于它们分数阶 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的乘积再乘以一个线性调频信号．
万方数据
自皿科手近展 第１ ７卷第９期２００７年９月
ＦｒＦＴ的逆变换为：
／＇４－００
ｚ（￡）一ｌ Ｘｐ（“）Ｋ—ｐ（￡，ｕ）ｄｕ
（３）
Ｊ一∞
在实际应用中，需要计算离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换，即ＤＦｒＦＴ．文献［４］指出，对ＦｒＦＴ的输入 输出分别以间隔△￡和Ａｕ进行取样，当分数阶Ｆｏｕ－ ｒｉｅｒ域的输出采样点数Ｍ大于等于时域输入采样点 数Ｎ（通常取为相等的情况，即Ｍ＝Ｎ，因此下文 中分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域和时域采样的点数也统一用Ｎ 表示），并且采样间隔满足
其中Ｄ为整数． 在不失一般性的前提下，通常我们可以只考虑口
＞ｏ且口≠／ｇｎ时的情形，而ａ＜０时的情形和ａ＞０时 的类似，因此可以暂不考虑，这时（５ａ）式可以写为：
Ｘｐ（ｍ）＝４—ｓｉｎａ Ｎ—ＪＣ。Ｓａｅ毒～２∥·
∑ｅ善∞Ⅻ２∥ｅ－ｊ２５俨ｚ（咒） 当口＞０且口≠Ｄ７【（６）
ｚ（挖一Ｎ△￡）ｅｊ毒ｃｏｋ（，ｒＮ）２＆ｔ２：：ｚ（，ｚ）ｅｊ专ｃｏ缸一２∥ （８）
∑ｘ，，ｐ（ｆ）ｅ－ｊ号∞”产∥Ｘｚ，ｐ（（ｍ—ｉ））一户．Ｎ·
ＲⅣ（ｍ）ｅ－ｊ扣缸‘（一ｌ＇２∥一
Ｘ１（，，１）ｏＸ２（ｍ）
一声
（２２）
因此，总结可以得到另一个结论为： 时域上两个序列乘积再乘以一个线性调频信号
对应于它们Ｐ阶离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换周期为Ｎ 的一夕阶分数阶圆周卷积操作，即
Ｆ，［ｚ１（７１）ｚ２（咒）ｅ；丢＊“一２∥］＝
即两个连续信号ｚ。（￡）和恐（￡）的分数阶卷积定义为：
ｚ。（￡）一ｚ－（￡）９ｚ ｚ（￡）＝％／１－－２。ｘｊｃｏｔａ· 户
ｅ－ｊ｝∞ｋ户－ｒｚ，（ｒ）ｅ｝专ｃｏｋｆ２．ｚ：（￡——ｒ）ｅｊ｝∞ｋ（Ｐｆ）２ｄｒ（１１）
这里需要着重指出的是，ＤＦｒＦＴ的定义中隐含 有周期性意义．如同Ｆｏｕｒｉｅｒ域的采样理论一样，根 据分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域采样理论ｈ１３］，ＤＦｒＦＴ定义中的 时域和分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域信号离散化分别造成了分数 阶Ｆｏｕｒｉｅｒ域和时域信号的ｃｈｉｒｐ周期延拓，即
２分数阶圆周卷积定理
南一｛一ｎ２∥蚤Ｎ－－１ ｚ。ｃｉ，ｄ扣－ｆ２∥·
∑Ｘ。，，（ｍ）ｅｉ－勖（㈣ｅ－ｊ扣ｎｍ２∥
（１７）
以上的分数阶卷积定理得到的是两个时域连续 信号分数阶卷积的情况，而在实际工程中需要处理 的信号多为有限长的离散信号序列，那么对于两个 有限长离散信号其分数阶卷积应该如何实现，对应 的分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换域的形式又是怎样的呢？下 面将加以回答．
