高中数学_空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

§3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知识点一 向量基底的判断已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，那么向量a ＋b ，a －b ，c 能构成空间的一个基底吗？为什么？解 ∵a ＋b ，a －b ，c 不共面，能构成空间一个基底． 假设a ＋b ，a －b ，c 共面，则存在x ，y ，使c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . 从而由共面向量定理知，c 与a ，b 共面． 这与a 、b 、c 不共面矛盾． ∴a ＋b ，a －b ，c 不共面．【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB ·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选 B.知识点二 用基底表示向量在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，－*6]·OC →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：（1）AP ； (2)AM →； (3) AN ； (4)AQ →. 解 连结AC 、AD ′. （1）AP =1(')2AC AA + = 1(')2AB AD AA ++＝12(a ＋b ＋c )；(2)AM →＝12(AC →＋'AD )= 1(2')2AB AD AA ++ ＝12a ＋b ＋12c ； (3) AN = 12(AC ′→＋AD ′→)＝12[( 'AB AD AA ++) ＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(2AB ＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ； (4) AQ ＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB ＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c . 【反思感悟】 利用空间的一个基底{a ，b ，c }可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．已知三棱锥A —BCD .(1)化简12(AB ＋AC →－AD →)并标出化简结果的向量；(2)设G 为△BCD 的重心，试用AB ，AC →，AD →表示向量AG →.解 (1)设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P.1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝23·12(AB ＋AC →)＋13AD → ＝13( AB ＋AC →＋AD →)． 知识点三 求空间向量的坐标已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．解 ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设 AD ＝i ，AB →＝i ，AD ＝j ，AP →＝k .以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN＝－23 AB ＋AP →＋23PC →＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )= 13AP ＋23AD →＝13k ＋23AD →＝23i ＋13k ， ∴MN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，13.【反思感悟】 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB= 2π，|AO| = 4，|BO|= 2，|AA 1| = 4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B 的坐标.解 ∵11(),DO OD OO O D =-=-+;11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=---又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2，∴DO →＝(－2，－1，－4)，∴1A B ＝ (－4,2，－4)． 课堂小结：1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．对于OP ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.一、选择题1．若存在实数x 、y 、z ，使－*6]＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立，则下列判断正确的是( )A .对于某些x 、y 、z 的值，向量组{,,PA PB PC }不能作为空间的一个基底B .对于任意的x 、y 、z 的值，向量组{,,PA PB PC }都不能作为空间的一个基底 C .对于任意x 、y 、z 的值，向量组{ ,,PA PB PC }都能作为空间的一个基底 D.根据已知条件，无法作出相应的判断;答案 A解析 当 OA →、OB →、OB →、OC →不共面时，PA →，PB →，PC →也不共面，PA →，PB →，PC →能构成空间的一个基底，当OA →，OB →，OC →共面时，则PA →，PB →，PC →也共面，故不能构成空间的一个基底． 2. 设O-ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG=3GG 1，若OG＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A解析 ，因为OG ＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB ＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.故选A.3．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 命题①，②是真命题，命题③是假命题．4．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )A ．a,2b,3cB ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋aC ．a ＋2b,2b ＋3c,3a －9cD ．a ＋b ＋c ，b ，c 答案 C解析 －3(a ＋2b )＋3(2b ＋3c )＋(3a －9c )＝0. ∴3a －9c ＝3(a ＋2b )－3(2b ＋3c ) 即三向量3a －9c ，a ＋2b,2b ＋3c 共面 ∴选C.5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2) 答案 A解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 二、填空题6. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,解析AO ＝12AC 1→＝12( AB ＋BC →＋CC 1→)．7. 从空间一点P 引出三条射线PA ，PB ，PC ，在PA ，PB ，PC 上分别取PQ ＝a ，PR →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.答案 －23a ＋12(b ＋c )8. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列关于1AC 的表达式中：①1AA ＋A 1B 1→＋A 1D 1→； ②AB ＋DD 1→＋D 1C 1→； ③AD ＋DD 1→＋D 1C 1→；④11(2AB ＋CD 1→)＋A 1C 1→正确的个数是________个． 答案 3 ,解析 AB ＋DD 1→＋D 1C 1→＝AB ＋DC 1→＝AB ＋AB 1→≠AC 1→， ②不正确；11(2AB ＋CD 1→)＋A 1C 1→ ＝11(2AB ＋1BA )＋A 1C 1→ = 1AA ＋A 1C 1→＝AC 1→.④正确；①，③明显正确． 三、解答题9．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？并说明理由．解 由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，即x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0.亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0.由于e 1，e 2，e 3不共面，故得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0 ①2x ＋y －z ＝0 ②x ＋3y －4z ＝0 ③①＋②求得z ＝－5x ，代入③得y ＝－7x ，取x ＝－1， 则y ＝7，z ＝5，于是－a ＋7b ＋5c ＝0，即a ＝7b ＋5c ， 所以a ，b ，c 三向量共面．10．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设－*6]·OC →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量 a ，b ，c ，表示1,D B EF ；（2）若1D F = x a +y b +z c ，求实数x,y,z.解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA + AB- AD = a -b -c ，EF =EA +AF =121D A +12AC = - 1111()()()222AA AD AB AD a c +++=-(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+- ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(陈菊仙)一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，同学们能由平面向量基本定理拓展到空间向量基本定理，能够将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来，并能熟练应用于空间几何体中，借助图形进行空间向量的运算，用以解决证明与求值问题． （二）学习目标 1．理解空间向量基本定理及基向量、基底、坐标等概念．2．掌握将空间任意一个向量用三个不共面的向量表示出来的基本方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，为立体几何证明与求值问题作好铺垫．（三）学习重点 1．空间向量基本定理及相关概念．2．空间任意一个向量用三个不共面的向量表示的方法．3．空间向量的分解在立体几何中的应用．（四）学习难点 1．深刻理解空间向量基本定理及合理选取基底，得到坐标．2．将空间任意向量拆分成三个不共面的向量．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第92页至第94页，填空：类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来． （2）写一写：特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标),,(z y x ．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换． 2．预习自测（1）已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则以下向量一定可以与向量b a p +=，b a q -=构成空间的另一基底的是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．都不可以【知识点】空间向量的基底．【解题过程】由平面向量基本定理知，b a p +=，b a q -=不共线，且在向量a ，b 决定的平面内，而c 不在该平面内，故p ，q ，c 构成空间的一组基底． 【思路点拨】三个向量构成空间的一组基底的充要条件是它们不共面． 【答案】C ．（2）已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则点O ，A ，B ，C 一定（ ） A ．共线B ．不共线C ．共面D ．不共面【知识点】空间向量的基底．【解题过程】向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，则向量OA ，OB ，OC 共面，故点O ，A ，B ，C 共面．【思路点拨】深刻理解空间向量的基底．【答案】C ．（3）已知平行六面体1111D C B A ABCD -，点E 是侧面C C BB 11的中心且a AB =，b AD =，c AA =1，若c z b y a x AE ++=，则=++z y x ．【知识点】空间向量基本定理．【解题过程】∵AE )(211BB BC AB BE AB ++=+=AB ++=a ++= ∴1=x 21=y ，21=z ，=++z y x 2． 【思路点拨】合理的使用基底表示空间中的任意向量． 【答案】2．（4）已知向量a ，b ，c 不共面，向量b a p +=，c b q +=，a c r +=，若向量c b a AB ++=，则以p ，q ，r 为基底，=AB ． 【知识点】空间向量基底的线性运算． 【解题过程】c b a AB ++=)222(21c b a ++=)]()()[(21a c cb b a +++++==++． 【思路点拨】将基底a ，b ，c 转化为基底p ，q ，r 来表示．++ (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律； （2）平面向量基本定理； （3）基向量、基底、坐标等概念． 2．问题探究探究一 由平面向量基本定理类比空间向量基本定理★ ●活动① 类比提炼概念同学们，我们知道，平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a ，b 来表示，这是平面向量基本定理的核心内容，那么，对于空间任意向量，有没有类似的结论呢？（抢答）类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=．由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．【设计意图】由学生熟悉平面向量基本定理类比空间向量基本定理，从二维拓展到三维，让学生体会概念的类比过程． ●活动② 巩固理解，深入探究我们在平面向量基本定理的学习中，有哪些重要的概念呢？（抢答）由此可见，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是},,,|{R z y x c z b y a x p p ∈++=，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，从而更深刻的理解基底的概念，有利于合理选取基底来表示空间任意向量． ●活动③ 深入探究，发现规律空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．但为了方便，我们会选取便于向量计算的基底．怎么选取才会更合适呢？（抢答）三个两两垂直的单位向量，它们的模长都是1，两两之间的数量积都是0，运算最简便． 【设计意图】通过设问，引导学生进行探究，为找到单位正交基底作出铺垫，使学生的理解更加深入．探究二 探究空间向量的坐标表示★▲ ●活动① 类比探究，研究性质和平面向量基本定理类似，我们要找出最合适的基底．特别地，设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（我们称它为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．【设计意图】通过找出单位正交基底，让向量和直角坐标系联系起来，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究那么对于空间任一向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x,y,z)．这样我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．【设计意图】引导学生进行思考，在深刻理解定理的同时，指出有序实数组},,{z y x 和坐标),,(z y x 的关系，有利于下节课坐标的计算． 探究三 探究空间向量基本定理的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，与平面向量类似，空间向量基本定理把向量的线性表达式由二维拓展到了三维．同时使用单位正交基底，确定了空间中任意向量和坐标的对应关系，从而在下堂课顺利引出坐标表示和运算．【设计意图】归纳知识点和定理，学生对概念和方法理解更加深入，培养学生对比、归类、整理的意识．●活动② 互动交流、初步实践例1 已知向量a ，b ，c 是不共面的三个向量，则以下选项中能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2,,2a a b a b -+B ．2,,2b b a b a -+C ．,2,a b b c -D ．,,c a c a c +-【知识点】合理选取空间向量的基底． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设a ，b 2，c b -共面，则有2b c xa y b -=+⋅， 解得()(12)c x a y b =-+-，与a ，b ，c 不共面矛盾， ∴a ，b 2，c b -不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面．【答案】C ．同类训练 已知向量{p ，q ，r }是空间的一个基底，q p m 2+=，q p n +=2，则以下向量一定可以与向量m ，n 构成空间的另一基底的是（ ） A ．pB ．qC ．rD ．都不可以【知识点】空间基底的选取． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设r 与q p m 2+=，q p n +=2共面， 则有r n y m x +=)2()2(q p y q p x +++=，与r ，p ，q 不共面矛盾，∴r 与q p m 2+=，q p n +=2不共面，可以构成基底． 【思路点拨】解题的关键是判断三个向量不共面． 【答案】C ．【设计意图】不共面的向量可以作基底，让学生的理解更加深刻． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试以向量AC ，1AB ，1AD 为空间的一个基底表示1AC ．【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面都是平行四边形， ∴1111,,AC AB AD AB AB AA AD AD AA =+=+=+，∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++)(21AA AD AB ++=12AC =，故1111()2AC AC AB AD =++．【思路点拨】先将AC ，1AB ，1AD 用侧面上的向量AB ，AD ，1AA 表示，再利用向量加法的平行四边形法则和运算律． 【答案】1AC )(2111AD AB AC ++=．同类训练 若向量21e e a +=，32e e b +=，31e e c +=，32132e e e d ++=，向量1e ，2e ，3e 不共面，则当c b a d γβα++=时，=++γβα ． 【知识点】空间向量的线性表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知得321)()()(e e e d γββαγα+++++=32132e e e ++=∴1=+γα，2=+βα，3=+γβ，故6321)(2=++=++γβα，∴3=++γβα 【思路点拨】将d 表示成1e ，2e ，3e 的组合，再利用空间向量基本定理求解． 【答案】3．【设计意图】使用不同的基底表示同一个向量，让学生对向量的分解的运算更加熟练． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，k j b +=，c k i =+，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标为（ ） A ．)10,14,12(B ．)14,12,10(C ．)12,10,14(D ．)3,2,4(【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】864OA a b c =++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++． 【思路点拨】先将OA 用基底},,{c b a 表示，再通过条件转化到用基底},,{k j i 表示． 【答案】A ．同类训练 设},,{k j i 是空间向量的一个正交基底，32a i j k =+-．242b i j k =-++，则向量b a +的坐标为 ．【知识点】空间向量的坐标表示及运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】b a +)23(k j i -+=)242(k j i ++-+k j i ++=6．【思路点拨】以},,{k j i 为基底来表示向量a ，b ，计算后再转化为坐标形式． 【答案】)1,6,1(．【设计意图】基底表示和坐标表示是空间向量基本定理的两种重要形式，它们之间的相互转化是非常重要，也是必须掌握的． 3.课堂总结 知识梳理（1）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得c z b y a x p ++=，即空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）我们把},,{c b a 叫做空间的一个基底（base ），a ，b ，c 都叫做基向量（base vectors ）．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．（3）若1e ，2e ，3e 为三个两两垂直的单位向量（单位正交基底），那么对于空间任一向量p ，存在有序实数组},,{z y x ，使得321e z e y e x p ++=，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作),,(z y x p =．这就是从正交基底到直角坐标系的转换． 重难点归纳（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的三维拓展，表示的重点在于合理拆分． （2）选取单位正交基底后，向量就转化到了直角坐标系中，计算更方便． （三）课后作业 基础型 自主突破1．已知},,{c b a 是空间的单位正交基底，c b a d --=32，则向量d 在基底},,{c b a 下的坐标为（ ）A ．)1,3,2(B ．)1,3,2(--C ．)1,3,2(-D ．)1,3,2(--- 【知识点】向量数量基底表示与空间坐标的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】根据空间坐标的定义，向量a ，b ，c 的系数组成的有序实数组就是向量d 的空间直角坐标．【思路点拨】深刻理解空间直角坐标系的概念．【答案】B ．2．已知},,{c b a 是空间的一个基底，若b a p +=，b a q -=，则（ ） A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底【知识点】空间向量基底的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】假设q y p x c +=，即c )()(b a y b a x -++=b y x a y x )()(-++=，与c 与a ，b 不共面矛盾．故c ，p ，q 不共面． 【思路点拨】三个向量成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．3．已知点A 在基底},,{c b a 下的坐标是)3,1,2(，其中j i a 24+=，k j b 32+=，j k c -=3，则点A 在基底},,{k j i 下的坐标是 ． 【知识点】向量的坐标表示． 【数学思想】转化思想．【解题过程】c b a OA 32++=)24(2j i +=)32(k j ++)3(3j k -+k j i 1238++=，故点A 在基底},,{k j i 下的坐标是)12,3,8(．【思路点拨】将点A 在基底},,{c b a 下的坐标转化为向量，再通过计算，将向量转化为在基底},,{k j i 下的坐标．【答案】)12,3,8(．4．下列能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．OM ++=B ．MC MB MA +=C ．OC OB OA OM ++=D ．MC MB MA -=2【知识点】选取基底的判断． 【数学思想】转化思想．【解题过程】对于选项A ，OC z OB y OA x OM ++=中，1=++z y x ，则有M ，A ，B ，C 四点共面，故向量MA ，MB ，MC 共面；对于选项B 、D ，由空间向量共面定理知，MA 在MB ，MC 确定的平面内．【思路点拨】三个向量能够成为空间的一个基底的充要条件是不共面． 【答案】C ．5．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且1==AD PA ，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则MN 的坐标为 ． 【知识点】空间向量的坐标表示． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵AN PN AP +=AP +=)(21AC PA AP ++=)(21AD AB ++=，AM =MN AM AN -=+=，故MN 的坐标为)21,21,0(．【思路点拨】AB ，AD ，AP 两两垂直且长度为1，故{AB ，AD ，AP }为单位正交基底，所求向量用它们的线性组合表示后，系数就是该向量的坐标． 【答案】)21,21,0(．6．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 是上底面对角线11C A 和11D B 的交点，若a AB =，b AD =，c AA =1，则BM 可表示为（ ）A c ++B ．c +-C ．c +--D ．c ++-【知识点】空间向量的基底表示．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】BM AB AM -=AB AA AD AB -++=1)(211AA ++=．【思路点拨】将所求向量拆分为基底的线性组合． 【答案】D ．能力型 师生共研7．设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且},,{c b a 是空间的一个基底，给出下列向量组： ①},,{x b a ，②},,{z y x ，③},,{z c b ，④},,{c b a y x ++，其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【知识点】空间向量的基底．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵b a x +=，∴x 在a ，b 确定的平面内，故},,{x b a 不能作为基底．而},,{z y x ，},,{z c b ，},,{c b a y x ++都不共面．【思路点拨】能够作为空间的基底的向量组一定不共面． 【答案】A ．8．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M ，N 分别为线段PC ，PD 上的点，且MC PM 2=，ND PN =，求满足AP z AD y AB x MN ++=的实数x ，y ，z 的值．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】AM AN MN -=)(21AP AD +-+=AD AB AP AD )](32)21=++-+=（，故32-=x ，61-=y ，61=z ． 【思路点拨】先将AN 和AM 表示出来，再进行向量的运算． 【答案】32-=x ，61-=y ，61=z ． 探究型 多维突破9．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心，E 是BD 上一点，ED BE 3=，以},,{AD AC AB 为基底，则=GE ．【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵ED BE 3=，∴)(43AB AD BE -==， 又)(31)(2132AC AB AC AB AG +=+⨯=，∴=GE AG AE -AG BE AB -+=)(31)(43AC AB AB AD AB +--+=+-=．【思路点拨】先将AG 和BE 表示出来，再进行向量的运算．【答案】 10．已知},,{321e e e 是空间的一个基底，且3212e e e OA -+=，32123e e e OB ++-=，321e e e OC -+=，试判断},,{OC OB OA 能否作为空间的一个基底．若能，试以此基底表示向量32132e e e OD +-=；若不能，请说明理由．【知识点】空间向量基底的选取．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=， ∴3212e e e -+)23(321e e e x ++-=)(321e e e y -++321)2()()3(e y x e y x e y x -++++-=， ∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴13=+-y x ，2=+y x ，12-=-y x ，此方程组无解， 即不存在实数x ，y ，使得OC y OB x OA +=，∴OA ，OB ，OC 不共面，},,{OC OB OA 能作为空间的一个基底．设OC r OB q OA p OD ++=， 则32132e e e +-)2(321e e e p -+=)23(321e e e q ++-+)(321e e e r -++321)2()2()3(e r q p e r q p e r q p -+-+++++-=，∵},,{321e e e 是空间的一个基底，∴23=+-r q p ，12-=++r q p ，32=-+-r q p ，解得17=p ，5-=q ，30-=r ，∴OC OB OA OD 30517--=．【思路点拨】判断一组向量能否作为空间的一个基底，关键是判断它们是否共面，再利用空间向量基本定理解决． 【答案】能，OC OB OA OD 30517--=．自助餐1．已知向量p 在基底},,{c b a 下的坐标是)1,3,2(-，则p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是 ．【知识点】向量的坐标表示．【数学思想】转化思想． 【解题过程】=p )()(c b a z b a y a x +++++c z b z y a z y x +++++=)()(c b a -+=32， ∵},,{c b a 是一组基底，∴2=++z y x ，3=+z y ，1-=z ，解得1-=x ，4=y ，1-=z ， 故p 在基底},,{c b a b a a +++下的坐标是)1,4,1(--．【思路点拨】将p 表示为a ，b a +，c b a ++的线性组合，通过解方程组得到所求坐标．【答案】)1,4,1(--． 2．在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，D ，E 分别为1AA ，C B 1的中点，若记 a AB =，b AC =，c AA =1，则=DE （用a ，b ，c 表示）【知识点】空间向量基本定理的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】DE E A DA 11+=)(21111C A B A ++=)(211AA AC AB -++=)(21c b a -++==+ 【思路点拨】用向量的运算法则将DE 转化为用AB 、AC 、1AA 表示的向量.+． 3.已知空间的一个基底},,{c b a ，c b a m 2+-=，c b y a x n ++=，若m 与n 共线， 则=x ，=y ．【知识点】空间向量基本定理，向量共线．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵m 与n 共线，∴n m λ=，即c b y a x ++）c b a 2(+-=λc b a λλλ2+-=， 由空间向量基本定理，有λ=x ，λ-=y ，λ21=，解得21=x ，21-=y ．【思路点拨】由共线定理，将向量用基底表示再列式． 【答案】21，21-． 4．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b AD =，c AA =1，P 是C A 1的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在C A 1上，且1:4:1=QA CQ ，用基底},,{c b a 表示以下向量．（1）AP ；（2）AM ；（3）AN ；（4）AQ ．【知识点】在空间几何体中用基底表示向量．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）)(211AA AC AP +=)(211AA AD AB ++=)(21c b a ++=；（2）)(211AD AC AM +=)2(211AA AD AB ++=b ++=；（3）)(2111AD AC AN +=)]()[(2111AA AD AA AD AB ++++=c b ++=；（4）CQ AC AQ +=)(541AC AA AC -+=+=)(51AD AB ++=++=． 【思路点拨】将要求的向量合理拆分，用a ，b ，c 表示出来．【答案】（1）)(21c b a ++；（2b ++（3c b ++；（4++． 5．正方体1111D C B A ABCD -中，点E ，F 分别是底面11C A 和侧面1CD 的中心，若01=+D A EF λ)(R ∈λ，则=λ ．【知识点】空间几何体中向量的线性表示．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a DA =，b DC =，c DD =1，则)(1c a D A +-=，又])(21[)(21c b a c b DE DF EF ++-+=-=-=，∴EF =，故21-=λ． 【思路点拨】将EF 与D A 1用a ．b ，c 表示，可得到两者的数乘关系． 【答案】21-． 6．已知},,{k j i 是空间的一个基底，设k j i a +-=2，k j i b 23-+=，k j i c 32-+-=，k j i d 523++=．试问是否存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立？如果存在，求出λ，μ，ν的值；如果不存在，请给出证明．【知识点】平面向量基本定理的应用．【数学思想】转化思想． 【解题过程】假设存在实数λ，μ，ν，使c b a d νμλ++=成立， 则有325i j k ++)2(k j i +-=λ)23(k j i -++μ)32(k j i -+-+νk j i )32()3()22(νμλνμλνμλ--+++-+-+=，∵},,{k j i 是空间的一个基底， ∴322=-+νμλ，23=++-νμλ，532=--νμλ，解得2-=λ，1=μ，3-=ν，故存在． 【思路点拨】先用基底},,{k j i 表示向量，再利用空间向量基本定理列出等式求解． 【答案】2-=λ，1=μ，3-=ν．。

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计1．掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律．2．通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律．3．通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量．空间向量坐标运算的规律． 通过观察．类比．思考．交流和讨论等．活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+． 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解． 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =．今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++． 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解．问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？1、 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++． 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ）；,,a b c 都叫做基向量．2． 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3． 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．练习：1．已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则（12e e -）12(32)e e -+等于（ ）A ．-8B ． 92C ． 52- D ．8 2．已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和解略：书本P94页A ． 12e e +B ． 12e e -C ． 1eD ． 2e3．在ABC ∆中，设=AB a ，=BC b ，=CA c ，若0)(<+b a a ，则ABC ∆（ ）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4．已知a 和b 是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：理解空间向量基本定理．教学过程：一.复习引入平面向量基本定理及应用二.思考分析在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？提示：能．问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.三.抽象概括1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间向量的坐标表示以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 四.例题分析及练习[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．[思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底．∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．[感悟体会] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 训练题组11．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA ，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝1AC ，a ＋b ＋c ＝1AC .由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC }能否作为空间的一个基底？解：假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y 使OA ＝x OB →＋y OC 成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)．＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.此方程组无解，即不存在实数x ，y 使OA ＝x OB ＋y OC .∴OA ，OB ，OC 不共面． 故{OA ，OB ，OC }能作为空间的一个基底.[例2] 四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ，BE ，AE ，EF .[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．[精解详析] 连接BO ，则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(BA ＋AO ＋OP )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋12c .AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c . EF ＝12CB ＝12OA ＝12a .[感悟体会] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则． 训练题组23．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1.若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则(x ，y ，z )为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：∵OG ＝341OG ＝34(OA ＋1OG )＝34OA ＋34×23[12(AB ＋AC )]＝34OA ＋14[(OB －OA )＋(OC －OA )]＝14OA ＋14OB ＋14OC ，而OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.答案：A4.如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，MA ＝－13AC ，ND ＝131A D .设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .解：连接AN ，则MN ＝MA ＋AN .由ABCD 是平行四边形，得AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ， 则MA ＝－13AC ＝－13(a ＋b )．又1A D ＝AD －1AA ＝b －c ，故AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝AD －131A D ＝b －13(b －c )．故MN ＝MA ＋AN ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝13(－a ＋b ＋c ).[例3] 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN 的坐标．[思路点拨] 把MN 写成xe 1＋ye 2＋ze 3的形式即可得向量的坐标． [精解详析] 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3.因为MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝MA ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12AB ＋AP ＋12(－AP ＋AD ＋AB )＝12AP＋12AD ＝12e 3＋12e 2.∴MN ＝(0，12，12)．[感悟体会] 用坐标表示空间向量的方法与步骤：训练题组35.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则2PF ＝AC ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．6.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB ＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，∴OD ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA )＝OB －OA －1AA ＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴1A B ＝(－4,2，－4)． 五.课堂小结与归纳1．三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件．2．用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a ，b ，c }为单位正交基底，可由p ＝xa ＋yb ＋zc 得到p 的坐标为(x ，y ，z )． 六.当堂训练1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．答案：C2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c解析：能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面． ∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12q .∴A 、B 、C 都不合题意．因为{a ，b ，c }为基底， ∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 答案：D3.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M .设11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M ＝11B A ＋1A A ＋AM ＝－11A B ＋1A A ＋12AC ＝－11A B ＋1A A ＋1211A B ＋1211A D ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A4．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，其中a ＝4i ＋j ，b ＝j ＋3k ，c ＝2k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( ) A ．(7,3,12)B ．(12,7,3)C ．(2,4,6)D ．(12,3,7)解析：设O 为坐标原点，则OA ＝a ＋2b ＋3c ＝(4i ＋j )＋2(j ＋3k )＋3(2k ＋i )＝7i ＋3j ＋12k ， ∴点A 在{i ，j ，k }下的坐标为(7,3,12)． 答案：A5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．解析：若x ≠0，则a ＝－y x b ＋zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 答案：x ＝y ＝z ＝06．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．解析：∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.答案：52，－1，－127.如图所示，空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，D 为BC 的中点，H 为OD 的中点．设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量GH . 解：GH ＝OH －OG .∵OH ＝12OD ＝12(OB ＋OC )＝12(b ＋c )，OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋23AD ＝OA ＋23(OD －OA )＝13OA ＋23×12(OB ＋OC )＝13a ＋13(b ＋c )，∴GH ＝12(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ＋16b ＋16c ，即GH ＝－13a ＋16b ＋16c .8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：1AO －12AB －12AD ；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，试求x ，y ，z的值．解：(1)∵AB ＋AD ＝AC ，∴1AO －12AB －12AD ＝1AO －12(AB ＋AD )＝1AO －12AC ＝1AO －AO ＝1A A . (2)∵EO ＝ED ＋EO ＝231D D ＋12DB ＝231D D ＋12(DA ＋AB )＝231A A ＋12DA ＋12AB ＝12AB －12AD －231A A ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.。