人教版九年级上期中数学试题及答案

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个
6.在二次函数yx22x3中，当 时，y的最大值和最小值分别是（）
A.0，4B.0，3C.3，4D.0，0
7.若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
14
7
2
－1
－2
－1
则当 时，y的值为（）
A.－1B.2C.7D.14
8.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）
【分析】由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由此即可求解．
【详解】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，
∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，
由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7，
23.如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是 上的一点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求 的长．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24.如图，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为 (s)．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．
人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷
九年级 数学
（满分：120分 时间：100分钟）

人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．三角形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．菱形 2．如果（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y ＋1）＝0，那么x ﹣y ＝（ ）A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．﹣2或13．如图所示，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若△AOB ＝15°，那么△AOB'的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°4．把方程x 2+x ＝3（x ﹣2）化成ax 2+bx+c ＝0的形式，则a ，b ，c 的值分别为（ ） A ．1，﹣2，2 B ．1，﹣3，6 C ．1，﹣2，6 D ．1，4，6 5．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（3，1），则sinα的值为（ ）A ．13BCD 6．函数y ＝﹣（x ﹣2）2+1的图象可以由函数y ＝﹣x 2的图象通过（ ）得到 A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 7．如图，△ABC△△ADE ，且BC ＝2DE ，则S 四边形BEDC ：S △ABC 的值为（ ）A ．1：4B ．3：4C ．2：3D ．1：28．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x ﹣1的图象上，且x 1＜x 2＜1＜x 3，则下列结论可能成立的是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3＜0B ．0＜y 1＜y 2＜y 3C ．y 1＜y 2＜0＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 1＜0二、填空题9．在平面直角坐标系中，点P （﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ___________________． 10．某商场八月份销售额为100万元，十月份的销售额为121万元，求这个商场九、十月销售额的平均增长率，若设平均增长率为x ，则可列方程为 ___．11．如图AB△CD△EF ，若1=2AC CE ，5DF =，则=BF ______．12．若一元二次方程x 2﹣4x ﹣2＝0的两个实数根为m ，n ，则m n mm+的值为 ___． 13．若二次函数y ＝x 2+3x+c 的图象经过点A （0，c ），过点A 作x 轴的平行线，与抛物线交于点B ，则线段AB 的长为 ___．14．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t ，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax 2+bx+c ＝n 一定有实数根，则n 的取值范围是 ___．15．如图，△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△DBE ，点A 与点D 对应，点C 与点E 对应，DB ，DE 分别与AC 边交于G ，F 两点，连接BF ，若DE 垂直平分BC ，下列结论：△△E ＝30°；△BF△BE ；△△ABG△△DBF ；△GF•BD ＝DG•BF ．其中结论正确的是 ___．（填序号即可）16．如图，ABC ∆中，65CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到AED ∆的位置，使得DC AB ∥，则BAE ∠等于______.三、解答题17．解方程：（1）x 2+2x ﹣7＝0．（2）2x 2﹣3x+1＝0．18．如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，4），B （1，2），C （4，1）．按下列要求画出图形，并回答问题．（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1坐标．（2）以O 为位似中心，相似比为2，在y 轴左侧将△ABC 放大，得到△A 2B 2C 2，在网格中画出△A 2B 2C 2．19．已知关于x 的方程x 2+kx+k -2＝0，证明不论k 为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．20．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，△A ＝45°，tan△DBC ＝34，AB ＝AD 的长．21．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）在平面直角坐标系xOy中，描出二次函数图像的顶点A，与x轴的交点B、C，并画出此二次函数的图像（不必列表）；（2）根据图像，直接写出当x＜4时y的取值范围．22．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH△CE交于点H，求证：AB＝BH．23．如图，在Rt△ACB中，△ACB＝90°，点D为AB边上一点，且BC＝CD，过D作DE△AB 交AC于E．（1）求证：△CDE△△CAD；（2）若BC＝2，CE＝1，求AD的长．24．某水果捞店销售一款成本为12元/份的水果捞，若以30元/份的价格出售，每周可售出150份，“十一”黄金周降价促销，若销售单价每降低1元，则每周可多售出15份（销售单价不低于25元/份），设该款水果捞的销售单价为x元/份，“十一”黄金周的销售利润为y元．（1）当销售单价为多少元/份时，“十一”黄金周的销售利润为2880元．（2）当销售单价为多少元/份时，“十一”黄金周的销售利润最大，最大利润为多少元？25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点B（0，2），与x轴交于D，C（2，0）两点，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P在直线BC下方抛物线上运动，PM△BC交于M，PN△y轴交BC于N，当△PMN的周长最大时，求点P坐标．（3）平面内一点Q（1，1），连接PB，PC，PQ，若PQ恰好平分△BPC，请直接写出点P 的横坐标．26．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，△ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH△△CDG；（2）当α≠60°时，△如图2，连接HG，求证：△ADC△△HDG；△若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．参考答案1．D【分析】一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形，这条直线称为对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180゜后能够与原来图形重合，则称这个图形为中心对称图形，这个点称为对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的概念完成即可．【详解】A、三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、平行四边形是中心对答图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，故符合题意；故选：D．本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，关键是理解概念，并知道一些常见图形中哪些是轴对称图形，哪些是中心对称图形．2．C【解析】【分析】由()()210,x y x y ---+=可得：20x y --=或10,x y -+= 从而可得答案．【详解】解：()()210,x y x y ---+=20x y ∴--=或10,x y -+=2x y ∴-=或 1.x y -=-故选：.C【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 3．B【解析】【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【详解】解：△将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，△△A′OA ＝45°，△AOB ＝△A′OB′＝15°，△△AOB′＝△A′OA−△A′OB′＝45°−15°＝30°，故选：B ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出△A′OA ＝45°，△AOB ＝△A′OB′＝15°是解题关键．4．C【解析】【分析】将方程x 2+x ＝3（x ﹣2）化成ax 2+bx+c ＝0的形式，即可求解．解：把方程x 2+x ＝3（x ﹣2）化成ax 2+bx+c ＝0的形式为：2260x x -+= ，△1,2,6a b c ==-= ．故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 5．B【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】如图：作AB△x 轴于点B ，△点A 坐标为（3，1），△OB=3，AB=1，在RtABO 中，根据勾股定理=△sinα=AB OA = 故选B ．【点睛】此题考查锐角三角函数，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．C【解析】【分析】根据函数的平移规律：左加右减，上加下减确定即可得解．函数2(2)1y x =--+的图像可以由函数2y x =-的图像通过右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．故选C ．【点睛】此题考查的是二次函数的平移，掌握二次函数平移的性质是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：△△ABC△△ADE ，且BC ＝2DE ， △214ADE ABC ED S S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， △S 四边形BEDC ：S △ABC ＝41344-=， 故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 8．A【解析】【分析】判断出二次函数的对称轴为x=1，再根据二次函数的增减性解答．【详解】解：△二次函数y=-x 2+2x -1的对称轴为x=-2b a=1，顶点坐标为(1，0)，且在x 轴上，开口向下，△x ＜1时，y 随x 的增大而增大，△x 1＜x 2＜1＜x 3，△y 1＜y 2＜0，y 3＜0．△下列结论可能成立的是A ，【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增减性，比较简单．9．（2，5）【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解．【详解】解：点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（2，5）故答案为：（2，5）【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握“关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．10．100（1＋x）2＝121【解析】【分析】可设平均增长率为x，，则九月份的营业额是100（1＋x），十月份的营业额是100（1＋x）（1＋x），则可以得到方程即可．【详解】解：设平均增长率为x．根据题意得：100（1＋x）2＝121，故答案为：100（1＋x）2＝121．【点睛】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“＋”，下降用“−”．11．15 2【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理得到AC CE ＝BD DF，求出BD 即可． 【详解】解：△AB△CD△EF ， △AC CE ＝BD DF ＝12 ， △DF ＝5，△BD ＝52， △BD ＝DF+BD ＝5+52＝152， 故答案为：152． 【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12．-2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到m+n=4，mn=-2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，所以原式=42-=-2． 故答案为：-2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=． 13．3【解析】【分析】运用配方法求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得出点B 的坐标，由此即可求出AB 的长．【详解】解：△22393()24y x x c x c =++=++- △抛物线的对称轴是直线32x =- △过点A 作x 轴的平行线，与抛物线交于点B ，△点A ，B 关于直线32x =-对称，且A （0，c ） △B(-3，c)△0(3)3AB =--=故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正确求出抛物线对称轴方程是解答本题的关键． 14．254n ≤ 【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），通过列三元一次方程组并求解，即可得到4b a =+及c 的值；分0a >和0a <两种情况分析；当0a >时，结合二次函数图像的性质，得0t <，不符合题意；当0a <时，结合二次函数平移和一元二次方程的性质，通过求解二元一次方程组和一元一次方程，即可得到答案．【详解】△y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）△04a b c c -+=⎧⎨=⎩， △4b a =+根据题意，分0a >和0a <两种情况分析；当0a >时△y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）△y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴02b x a=-< △y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过（0，4），（t ，4） △0022t b a+=-< △0t <，即和t≥3相矛盾△0a >不符合题意；当0a <时，y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图：当0n >时，y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象向下平移△随n 增大，y ＝ax 2+bx+c -n 与x 轴右侧交点向左移动根据题意，y ＝ax 2+bx+c -n 与x 轴右侧交点的最小值，为3t =时，即()3,0 △322b a=-，即3b a =- △34b a b a =-⎧⎨=+⎩△13a b =-⎧⎨=⎩ △3t =时，y ＝ax 2+bx+c 最大值为254 △2504n -= △254n =当0n <时，y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象向上平移；△随n 减小，y ＝ax 2+bx+c -n 与x 轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax 2+bx+c ＝n 一定有实数根 △254n ≤ 故答案为：254n ≤． 【点睛】 本题考查了二次函数、一元二次方程、三元一次方程组、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程的性质，从而完成求解．15．△△△##△△△##△△△##△△△##△△△##△△△【解析】【分析】根据旋转的性质以及等边三角形的判定，得到△BCE是等边三角形，可判断△；由△FBC =30°，推出△FBE=90°，可判断△；由三角形外角的性质推出△DBF=60°-△D<60°，可判断△；证明△AFB△△DFG，利用相似三角形的性质可判断△．【详解】解：连接CE，如图：△△DBE是△ABC绕点B顺时针旋转得到的，△AB=DB，BC=BE，△A=△D，△BEF=△BCF，△DE垂直平分BC，△BF=FC，EB=EC，△EB=BC=EC，即△BCE是等边三角形，且DE平分△BEC，△△BEF=30°，故△正确；△BF=FC，△BEF=△BCF=30°，△CBE=60°，△△FBC=△BCF=30°，△△FBE=△FBC+△CBE=30°+60°=90°，△BF△BE，故△正确；△△FBC=△BCF=30°，DE垂直平分BC，△△CFE=△DFG=△BFE=△AFB=60°，△△A=△D，△△A+△ABG =△D+△DFG，△△ABG=△DFG=60°，而△DBF=△BFE-△D=60°-△D<60°，△△ABG与△DBF不相似，故△不正确；△△AFB=△DFG=60°，又△A=△D，△△AFB△△DFG，△AB BF DG FG=，又AB=DB，△BD BF DG GF=，△GF•BD＝DG•BF，故△正确．综上，△△△正确．故答案为：△△△．16．50︒【分析】根据平行线的性质得到△ACD=△CAB=65°，根据旋转变换的性质计算即可．【详解】△DC△AB，△△ACD=△CAB=65°，由旋转的性质可知，AD=AC，△DAE=△CAB=65°，△△ADC=△CAB=65°，△△CAD=50°，△△CAE=15°，△△BAE=50°，故答案为50°．17．（1）x1=-x2=-1-（2）x1=1，x2=1 2【解析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）△x2+2x=7，△x2+2x+1=7+1，即（x+1）2=8，x+1=-解得x1=-，x2=-1-（2）△2x2-3x+1=0，△（x-1）（2x-1）=0，则x-1=0或2x-1=0，解得x1=1，x2=12．18．（1）见解析；A1坐标为（-4，2）；（2）见解析【解析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：A1坐标为（-4，2）；（2）如图所示．19．见解析【解析】根据方程的系数结合根的判别式可得出()24120k k ∆=-⨯⨯-＞ ，由此即可得出该方程总有两个不相等的实数根．【详解】解：在方程x 2+kx+k -2＝0中，△()()222412=48240k k k k k ∆=-⨯⨯--+=-+＞，△方程x 2+kx+k -2＝0不论k 为什么实数，总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．20．1【解析】【分析】 先根据等腰直角三角形的性质求出AC 、BC ，再根据tan△DBC ＝34求出CD ，故可得到AD 的长．【详解】△在△ABC 中，△C ＝90°，△A ＝45°，△△ABC 是等腰直角三角形△AB＝△BC=AC= 4= △tan△DBC ＝CD BC =34 △CD=3△AD=AC -CD=1．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质．21．（1）见解析；（2）1y ≥-【解析】【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图像上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图像； （2）根据题意可得当4x = 时，3y = ，观察图像，即可写出y 的取值范围．【详解】解：（1）()224321y x x x =-+=--△二次函数图像的顶点()2,1A - ，令0y = ，即2430x x -+=，解得：121,3x x == ，△二次函数图像与x 轴的交点B 、C 为()()1,0,3,0B C ，画出此二次函数的图像如下图所示：（2）当4x = 时，3y = ，观察图像，得：当x ＜4时，1y ≥- ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图像、二次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．22．见解析【解析】【分析】根据旋转的性质得到CB=CE ，求得△EBC=△BEC ，根据平行线的性质得到△EBC=△BEA ，再利用AAS 得到△EAB△△EHB ，即可得到AB=BH ．【详解】证明：连接BE，△矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，△CB=CE，△△EBC=△BEC，又△AD△BC，△△EBC=△BEA，△△BEA=△BEC，在△EAB和△EHB中，90BAE BHEBEA BECBE BE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAB△△EHB(AAS)，△AB=BH．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）见解析（2【解析】【分析】（1）证明△A=△CDE，即可得到△CDE△△CAD；（2）根据相似三角形的性质得到tanA=12，故可求出AC、AE，再在Rt△ADE中求出AD 的长．【详解】（1）△BC＝CD，△△B=△BDC△△ACB＝90°，DE△AB△△A+△B=△BDC+△CDE=90°△△A+△B=△BDC+△CDE△△A=△CDE又△DCE=△ACD△△CDE△△CAD（2）△△CDE△△CAD△DE CD CE AD CA CD==△tanA=212 DEAD CA==△AC=4，AD=2DE△AE=4-1=3在Rt△ADE中AE2=AD2+DE2△32=（2DE）2+DE2【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．24．（1）销售单价为28元/份时，“十一”黄金周的销售利润为2880元．（2）当销售单价为26元/份时，“十一”黄金周的销售利润最大，最大利润为2940元【解析】【分析】（1）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”结合黄金周的销售利润为2880元列出方程求解即可；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出二次函数关系式，经过配方求解即可．【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意得，(12)[150(30)15]2880x x-+-⨯=整理得，2526720x x -+=解得，128x =，22425x =<（不符合题意，舍去）△销售单价为28元/份时，“十一”黄金周的销售利润为2880元． （2）根据题意得，(12)[150(30)15]y x x =-+-⨯=(12)(60015)x x -- =2157807200x x -+- =215(26)2940x --+ △150a =-< △抛物线开口向下，△25x ≥，对称轴为直线26x = △当26x =时，y 的最大值为2940所以，当销售单价为26元/份时，“十一”黄金周的销售利润最大，最大利润为2940元25．（1）232y x x =-+．（2）(1,0)P ；（3）点P 的横坐标为2【分析】（1）把点B （0，2），C （2，0）代入抛物线解析式，求出b ，c 的值即可；（2）证明PMN ∆是等腰直角三角形，求得PMN 的周长=(1PN +，再求出PN 的最大值即可；（3）求出直线PQ 的解析式为y=x ，联立方程组得232y x y x x =⎧⎨=-+⎩求解即可． 【详解】解：（1）△抛物线y ＝x 2+bx+c 的图象经过点B （0，2），C （2，0）△=2420c b c ⎧⎨++=⎩解得，32b c =-⎧⎨=⎩ △抛物线的解析式为232y x x =-+． （2）△B （0，2），C （2，0）△BOC ∆是等腰直角三角形 △45OBC ∠=︒ 又PN△y 轴△45PNM OBC ∠=∠=︒ 又PM△BC△PMN ∆是等腰直角三角形△PM MN ==△PMN 的周长=(1MN PM PN PN PN ++=+=△PMN 的周长最大时，PN 最大， 设直线BC 的解析式为y=kx+b 把B （0，2），C （2，0）代入得220b k b =⎧⎨+=⎩解得，12k b =-⎧⎨=⎩△直线BC 的解析式为y=-x+2 设2(,32)P x x x -+ △PN△y 轴△(,2)N x x -+，且点P 在直线BC 的下方△222(2)(32)2(1)1PN x x x x x x =-+--+=-+=--+ △当1x =时，PN 有最大值为1△PMN的周长最大值为1(1⨯=1△(1,0)P（3）△直线BC 的解析式为y=-x+2 当x=1时，y=-1+2=1 △Q （1，1）在直线BC 上， 又B （0，2），C （2，0） △Q （1，1）为线段BC 的中点△PQ 平分△BPC ， △BPQ CPQ ∠=∠△PQ 所在直线是线段BC 的垂直平分线， △△OBC 是等腰直角三角形 △直线PQ 的解析式为y=x联立方程组得232y xy x x =⎧⎨=-+⎩解得，1122x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故此时点P的横坐标为226．（1）证明见详解；（2）△证明见详解；△EG或2． 【分析】（1）AD ＝AC ，△ADC ＝60°，可证△ACD 为等边三角形，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD ，△B=△ADC=60°，AD△BC ，可得△HAD=△B=60°=△GCD ，由△GDH=△CDA=60°，可证△HAD =△CDG ，即可证△ADH△△CDG （ASA ）；（2）△根据AD ＝AC ，△ADC ＝α，可得△ACD=△ADC ＝α，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得AD△BC ，可得△HAD=△ADC=α=△GCD ，由△GDH=α=△ADC ，可得△ADH =△CDG 即可；△根据点E 的位置分两种情况，当点E 在AB 上时，过C 作CN△AB 于N ，过G 作GM△AE 于M ，根据四边形ABCD 为平行四边形，AB△DC ，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE△△CGD ，得出AG=3，CG=AC -AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=1922AB =，根据勾股定理=，由GM△CN ，再证△AMG△△ANC ，可求1948AM AN ==,14GM CN ==EM=AE -AM=915388-=，根据勾股定理=，当点E 在BA 延长线上，过C 作CN△AB 于N ，过G 作GM△AE 于M ，由AE△CD ，△GAE△△GCD ，可求GA=6，由GM△CN ，可证△GMA△△CNA ，可得1122GM CN ===，11992224AM AN ==⨯=，EM=AE -AM=3-9344=，根据勾股定理2． 【详解】（1）证明：△AD ＝AC ，△ADC ＝60°， △△ACD 为等边三角形， △四边形ABCD 为平行四边形，△AB=CD=BC=AD ，△B=△ADC=60°，AD△BC ， △△HAD=△B=60°=△GCD ， △△GDH=△CDA=60°，△△HDA+△ADG=△CDG+△ADG=60°， △△HDA =△CDG ， 在△ADH 和△CDG 中 ADH CDG AD CDHAD GCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ADH△△CDG （ASA ）；（2）△证明：△AD ＝AC ，△ADC ＝α， △△ACD=△ADC ＝α，△四边形ABCD 为平行四边形， △AD△BC ，△△HAD=△ADC=α=△GCD ， △△GDH=α=△ADC ，△△ADH+△ADG=△CDG+△ADG=α， △△ADH =△CDG ，△△ADH△△CDG；△解：当点E在AB上时，过C作CN△AB于N，过G作GM△AE于M，△四边形ABCD为平行四边形，AB△DC，AB=DC=9，AD=BC=12，△△EAG=△DCG，△AEG=△CDG，△△AGE△△CGD，△3193 AG AECG CD===，△3CG AG=，△AD=AC=12，△AG+CG=AG+3AG=4AG=12，△AG=3，△CG=AC-AG=12-3=9，△AC=AD=BC，CN△AB，△AN=BN=19 22 AB=，在Rt△BCN中，根据勾股定理，△GM△CN，△△AMG△△ANC，△31124 AM AG GMAN AC CN====，△1948AM AN==,14GM CN==△EM=AE-AM=915388-=，在Rt△MGE 中，根据勾股定理，当点E 在BA 延长线上，过C 作CN△AB 于N ，过G 作GM△AE 于M ， △AE△CD ，△△GAE=△GCD ，△GEA=△GDC ， △△GAE△△GCD ， △3193GA EA GC DC ===， △3GC GA =，△AC=GC -GA=3GA -GA=2GA=12, △GA=6，△AC=AD=BC ，CN△AB ， △AN=BN=1922AB =，在Rt△BCN 中，根据勾股定理，△CN△AB ， GM△AE ， △GM△CN ， △△GMA△△CNA ， △61122GA GM AM CA CN AN ====，△1122GM CN ==，11992224AM AN ==⨯=， △EM=AE -AM=3-9344=，在Rt△GME 中，根据勾股定理=，△综合EG．2【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．。

25.（12分）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得
OD= cm，
∵OC=10cm，
∴CD=OC-OD=4cm，故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键．
4. B
【解析】
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【详解】由勾股定理得：母线 ，
（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，P是MN的中点，连接MB，NA，PC，试探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之间的数量关系，并证明.
24.（12分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心 ，半径为5，⊙P与抛物线 的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
三、解答题（共9小题，总分72分）
17.（6分）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
（1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
（2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
18.（6分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷
九年级 数学
（满分：120分 时间：100分钟）
题号
一
二

人教版九年级上册数学期中试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）1．下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．下列各式是一元二次方程的是（ ）A．3x2﹣＝0B．2x+3y＝5C．2x2+3＝1+2（x2+3x）D．y2﹣3y＝03．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（ ）A．5B．﹣5C．﹣3D．34．若关于x的方程x2+x﹣m+＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．m＜25．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）A．60°B．64°C．66°D．68°第5题图 第7题图 第8题图6．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2﹣2x+5向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的为（ ）A．y＝（x﹣5）2+4B．y＝（x+3）2+8C．y＝（x+3）2+1D．y＝（x﹣5）2+17．如图，AB，CE均⊙O为直径，点C，D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠E的度数是（ ）A．62°B．56°C．66°D．76°8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下结论：①b+2a＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b+c＞0．其中正确的结论有（ ）个A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题共96分）二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程x2﹣mx+8＝0的一个根为4，则m＝ ．10．已知点A（x﹣2，3）与B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则xy的值是 ．11．设a，b是方程x2﹣x﹣2020＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣b的值为 ．12．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为 ．13．如图，已知∠EAD＝34°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE＝ 度．14．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ．15．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC，P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为 ．16．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为 ．三．解答题（本大题共9小题，共72分）17（本题5分）．解下列方程：5x2﹣18＝9x；18（本题7分）．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，（1）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（2）点C2的坐标是： ．19（本题7分）．已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线的解析式．20（本题7分）．已知关于x的元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．21（本题8分）．如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．22（本题8分）．甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．(1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品在应定价为多少元？23（本题8分）．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，CE⊥OA交⊙O 于点E，连接AE．求证：AE＝AO．24（本题10分）．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表：其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元．（1）直接写出y1与x的函数关系式为 ．y2与x的函数关系式为 ．（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由．25（本题12分）．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．C．2．D．3．C．4．A．5．B．6．D．7．A．【提示】∵AB，CE是直径，∴OA＝OE，∴∠E＝∠A，∵∠BOC＝2∠CDB＝56°，∴∠AOE＝∠BOC＝56°，∴∠E＝（180°﹣56°）＝62°，故选：A．8．C．【提示】①由图象得：0＜﹣＜1，且a＜0，去分母得：b＜﹣2a，即b+2a＜0，本选项正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，本选项正确；③∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，本选项错误；④∵x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴b+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，∴b+c＞0，本选项正确；则所有正确的序号为①②④．故选：C．9． 6．10． ﹣2．11． 2019．【提示】∵a是方程x2﹣x﹣2020＝0的根，∴a2﹣a﹣2020＝0，即a2﹣a＝2020，∴a2﹣2a﹣b＝a2﹣a﹣（a+b），∵a，b是方程x2﹣x﹣2020＝0的两个实数根∴a+b＝1，∴a2﹣2a﹣b＝a2﹣a﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019．故答案是：2019．12． （3，0） ．【提示】抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．则抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴正半轴的交点坐标为（3，0）．故答案是：（3，0）．13． 16．【提示】∵△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，∴∠DAE＝∠BAC＝34°，∠CAE＝50°，∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝50°﹣34°＝16°，故答案为16．14． y1＞y2＞y3．15． ．【提示】连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，AB＝2AD＝．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．∴△APB的面积的最大值为＝＝．故答案为：．16．2或﹣．【提示】二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），的对称轴为x＝m，∵当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，∴①若m＜﹣1≤x≤3，x＝1时，函数值y的最小值为﹣4，可得：﹣4＝1+2m，解得：m＝﹣；②若﹣1≤m≤3，x＝m时，函数值y有最小值为﹣4，可得﹣4＝﹣m2，解得m＝2；③若﹣1≤x≤3＜m，x＝3时，函数值y的最小值为﹣4，可得：﹣4＝9﹣6m，解得m＝，不合题意；∴m的值为2或﹣．故答案为2或﹣．17．【解析】5x2﹣18＝9x，移项得，5x2﹣9x﹣18＝0，（5x+6）（x﹣3）＝0，5x+6＝0，x﹣3＝0，∴x1＝﹣，x2＝3；18．【解析】（1）如图所示，△A2B2C2为所作．（2）点C2的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．19．【解析】∵抛物线的对称轴为x＝2，∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+b，把（3，﹣2），（0，1）代入解析式得，解得a＝1，b＝﹣3，∴所求抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣3．20．【解析】（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，又，∴，∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，解得，m1＝3，m2＝﹣3，即m的值是3或﹣3．21．【解析】∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，BA＝EA，由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN，∴∠BAE＝∠MAN，∴∠EAN＝∠BAM，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°，∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，在△EAN和△DAM中，，∴△EAN≌△DAM（SAS），∴EN＝DM．22．【解析】（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；答：这个降价率为10%；（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y（件），根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10800，解得：y＝2（舍去）或y＝8，所以40﹣8＝32（元）．答：该商品在应定价为32元．23．【解析】证明：连OC，OA，如图，∵∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝AO，∵OA⊥CE，∴＝，∴AE＝AC，∴AE＝AO．24．【解析】（1）y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160），y2＝（20﹣12）x﹣60+2x﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）．故答案为：y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）；y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）；（2）对于y1＝（12﹣a）x﹣20，∵12﹣a＞0，∴x＝160时，y1的值最大＝（1900﹣160a）万元．对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+440，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝420万元．（3）①1900﹣160a＝420，解得a＝9.25，②1900﹣160a＞420，解得a＜9.25，③1900﹣160a＜420，解得a＞9.25，∵7≤a≤10，∴当a＝9.25时，选择甲乙两个品种的利润相同．当7≤a＜9.25时，选择甲品种利润比较高．当9.25＜a≤10时，选择乙品种利润比较高．25．【解析】（1）对于y＝﹣x2+2x+3①，令x＝0，则y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），∵点D与点C关于x轴对称，故点D（0，﹣3），设直线BD的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BD的表达式为y＝x﹣3；（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），则四边形BOCP面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝×OB•OC+×PH×OB＝3×3×3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x+，∵＜0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；（3）存在，理由：①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为（0，3）；②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，故设直线PD的表达式为y＝﹣x+t，将点D的坐标代入上式得，﹣3＝0+t，解得t＝﹣3，故直线PD的表达式为y＝﹣x﹣3 ②，联立①②并解得：x＝，故点P的坐标为（，﹣）或（，﹣），综上，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（0，3）．。